经济数学微积分极限存在准则重要极限连续复利

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(完整版)《高等数学B(经管类)》课程教学大纲

《高等数学B(经管类)》课程教学大纲(Advanced Mathematics B（Economics and Management）)课程编号：161990172学分：10学时：160 （其中：讲课学时：160 实验学时：0 上机学时：0 ）先修课程：无后续课程：线性代数、概率论与数理统计适用专业：经管类专业本科生开课部门：理学院一、课程的性质与目标本课程属于经管类公共基础必修课。

本课程的任务是使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，以及在经济管理中的一些简单应用，为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生思维能力、推理能力、自学能力、解决问题的能力。

二、课程的主要内容及基本要求第1章函数（4学时）[知识点]集合、函数的基本性质、复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、函数关系的建立、经济学中的常用函数[重点]函数概念，基本初等函数；经济学中的常用函数[难点]建立函数关系[基本要求]1、识记：函数的基本性质；复合函数、反函数的概念及其运算；2、领会：基本初等函数的类型，理解初等函数的概念；3、简单应用：简单问题中函数关系的建立；4、综合应用：经济学中的常用函数关系的建立[考核要求]回顾中学相关知识，介绍有关函数的新知识，为后续学习打下基础第2章极限与连续（18学时）[知识点]数列的极限、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则、两个重要极限、连续复利、无穷小的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质[重点]极限运算法则，求极限的方法，无穷小的比较、函数的连续性[难点]求极限的方法；函数的间断点的判定[基本要求]1、识记：数列极限的定义和性质；函数极限的定义和性质；无穷小的定义、性质及其与无穷大的关系；函数连续性、间断点的概念；闭区间上连续函数的性质2、领会：理解极限运算法则，掌握求极限的方法；理解极限存在准则，掌握两个重要极限，；掌握等价无穷小及其在求极限中的应用方法；3、简单应用：等价无穷小及其在求极限中的应用；4、综合应用：经济学中的连续复利问题[考核要求]要求学生能直观理解极限的含义，掌握求极限的方法，明确本章的重要地位。

高考数学中的微积分中的极限与连续性

高考数学中的微积分中的极限与连续性高考数学中的微积分是考生需要掌握的重点内容之一，其中的极限与连续性是微积分的基础，也是考试中常见的题型。

本文将从概念、性质、应用等方面介绍这两个重要的概念。

一、极限的概念极限是微积分中最基本的概念之一，指当自变量趋近于某一值时，函数取值的趋势。

通俗地说，就是函数在某一点处的“最接近值”。

1.1 定义设函数$f(x)$在$x$的某一邻域内有定义，$x_0$为实数，若存在实数$A$，对于任意一个充分小的正数$\epsilon>0$，总存在正数$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$，则称$A$为$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限，记为$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。

1.2 性质（1）唯一性：若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则极限唯一。

（2）四则运算：若$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)=B$，则$\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=A+B$$\lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)]=A-B$$\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$若$B\neq 0$，则$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$。

（3）夹逼准则：若存在函数$h(x)$，当$x$在$x_0$的某一邻域内时，$g(x)\leq h(x)\leq f(x)$且$\lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\tox_0}f(x)=L$，则$\lim_{x\to x_0}h(x)=L$。

1.3 应用极限在微积分中有广泛的应用，如连续性、导数、积分等。

二、连续性的概念连续性是指函数在定义域中任意一点处的函数值与极限相等的性质。

微积分：极限存在准则与两个重要极限

02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说，当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

考研数学三必背知识点：微积分

微积分必考知识点一、函数、极限与连续性1、无穷小量（假设：0)(lim ,0)(lim 0==→→x g x f x x x x ）(1)若)()(lim=→x g x f x x ，则)(x f 为)(x g 的高阶无穷小量，记为)]([)(x g o x f =(2)若∞=→)()(limx g x f x x ，则)(x f 为)(x g 的低阶无穷小量(3)若A x g x f x x =→)()(lim，则)(x f 为)(x g 的同阶无穷小量(4)若1)()(lim=→x g x f x x ，则)(x f 为)(x g 的等价无穷小量，记为)(~)(x g x f2、常见无穷小等价代换（0→x 时）x nx x x x x x e x x x x x x x x x x n x1~11,21~11,21~cos 1,~1,~)1ln(,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2-+-+--+2、极限存在准则(1) 夹逼准则：若)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0(2) 单调有界数列必有极限 (3) 两个重要极限：ex xxx x x xx x =+=+=→∞→→1)1(lim )11(lim ,1sin lim3、间断点 (1) 第一类间断点：)(lim),(limx f x f x x x x +-→→都存在，当)(lim)(limx f x f x x x x +-→→=时为可去间断点，)(lim)(limx f x f x x x x +-→→≠时为跳跃间断点。

(2) 第二类间断点：)(lim),(limx f x f x x x x +-→→其中一个不存在。

4、闭区间上连续函数定理(1) 零点定理：设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<b f a f 则必有),(b a ∈ξ使得0)(=ξf(2) 介值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，)()(b f a f ≠，且有c 介于)(),(b f a f 之间，则必有),(b a ∈ξ使得c f =)(ξ (3) 最值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，mM,分别为最大最小值，且Mc m<<，则必有),(b a ∈ξ使得c f =)(ξ二、一元函数微分学1、导数 (1) 导数的概念hx f h x f x f x x x f x f x f h x x )()(lim)(,)()(lim)(0000000-+='--='→→当00=x ，则xf x f f x )0()(lim)0(0-='→(2) 左右导数xx f x f x f xx f x f x f x x ∆-='∆-='-+→∆-→∆+)()(lim )(,)()(lim )(000002、常用基本求导公式x x x x xx ax x e e a a a axx c axx x x a sin )(cos ,cos )(sin ,1)(ln ,ln 1)(log,,ln ,)(,01-='='='='==='='-α22222211)cot (,11)(arctan ,11)(arccos ,11)(arcsin ,sin1)(cot ,cos1)(tan xx arc xx xx xx xx xx +-='+='--='-='-='='3、导数四则运算：2)(,)(,)(vv u v u vu v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±4、微分中值定理(1) 罗尔中值定理：如果)(x f 满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则在),(b a ∈ξ有0)(='ξf (2) 拉格朗日中值定理：如果)(x f 满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a ∈ξ有a b a f b f f --=')()()(ξ (3) 柯西中值定理：如果)(),(x F x f 满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a ∈ξ有)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--(4) 泰勒公式(00=x 的麦克劳林公式)：)()0(!1)0(!21)0()0()()(2nnn x o x fn x f x f f x f ++''+'+=5、洛必达法则：当0x x →时，函数)(),(x g x f 都趋于零或者趋于无穷大，则)()(lim)()(limx g x f x g x f x x x x ''=→→注意：洛必达法则只适用于“0”“∞∞”型极限，而其它类型极限需要变形和化简为此二类极限。

第五节极限存在准则两个重要极限、连续复利(简案)2012-9-23

§2.5 极限存在准则两个重要极限连续复利教学目的：了解夹逼准则的推导过程；能熟练应用夹逼准则、两个重要极限解决相关问题；会正确求解连续复利问题．重点:熟练运用两个重要极限解决相关问题; 会求解连续复利问题．难点: 夹逼准则及两个重要极限的灵活与正确运用. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：一、夹逼准则【定理2.11】准则Ⅰ若数列{}n x {}n y {}n z (1,2,)n = 满足条件:(1) n n n y x z ≤≤(1,2,)n = ; (2) lim lim n n n n z y a →∞→∞==;则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.证明由lim lim n n n n z y a →∞→∞==知对于120,0,0N N ε∀>∃>>,1n N >当时,有n y a ε-<；当2n N >时,有n z a ε-<;取{}12max ,N N N =,当n N >时, 有,n n y a z a εε-<-< 同时成立, 从而n n n a y x z a εε-<<<<+成立, 即n x a ε-<, 故 lim n n x a →∞=.准则Ⅰ1(夹逼准则):lim lim x x u v A λλ→→==,且,()u w v x U λ≤≤∈,则 lim x w A λ→=.证明：因A v u x x ==→→λλl i m l i m⇒)1(o A u +=,)1(o A v +=, )(λ→x .又因v w u ≤≤,于是, ]1,0[∈∃θ ..t s()w u v u θ=+-[(1)](1){[(1)][(1)]}A o O A o A o =+++-+ )1()1()1(o A o o A +=++=, )(λ→x . 所以 A w x =→λlim .( 其实uv uw --=θ, v u ≠； 0=θ, v u =. ) 例1 证明（1）0limsin 0x x →=；（2）0limcos 1x x →=.证：(1)当02x π<<时，0sin x x <<；由 0lim 0x x →=，故 0lim sin 0x x →=.（0lim sin 0limsin 0x x x x →→=⇔=）(2)22201cos 2sin 2222x x x x ⎛⎫≤-=≤= ⎪⎝⎭，因为 20lim02x x →=，所以 0lim(1cos )0x x →-=；故 0lim cos 1x x →=.例2 利用夹逼准则计算下列极限(1)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++解：设2221212n nx n n n n n n n =+++++++++ ，则 2212121n n nn ny x z n n n n n ++++++=≤≤=++++因为21211lim limlim 2(2)2n n n n n n y n n n n →∞→∞→∞++++===+++ 且2212(1)1lim limlim 12(1)2n n n n n n n z n n n n →∞→∞→∞++++===++++ 所以由夹逼准则知：1lim 2n n x →∞=，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)222111lim()12n n n n n→∞++++++解：设22211112n x n n n n =++++++ ，则221n n n n ny x z n n n =≤≤=++因为222lim lim lim 1n n n n nn y n n n n→∞→∞→∞===++且222lim lim lim 111n n n n nn z n n →∞→∞→∞===++ 所以由夹逼准则知：lim 1n n x →∞=，故222111lim()112n n n n n→∞+++=+++(3) 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞⋅+++=+++ . 证明：由于2222222111()2n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++ ，而221lim lim 11n n n n n nππ→∞→∞==++,2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++,所以 222111lim()12n n n n n πππ→∞+++=+++ . (4)设12max{,,,}m A a a a = ,(0,1,2,,)i a i m >= ,则有12lim nnnn m n a a a A →∞+++= .证明：由于12nn n n n nn n n m A A a a a mA A m =≤+++≤= ，而 lim lim 1n n n n A m A m A A →∞→∞==⋅=,所以 12lim n n nn m n a a a A →∞+++= .(5)1lim(1234)nn nn nn →∞+++解：设1(1234)n n nn nn x =+++，则111(4)4(44)4n n n n n nn n n y x z +==≤≤⨯==因为lim 4n n y →∞=且1limlim 44n n nn n z →∞+→∞==所以由夹逼准则知：lim 4n n x →∞=，故 1lim(1234)4n n nn nn →∞+++=.例3 证明:lim 1n n a →∞=, (0)a >.证明：(1)当1=a 时,结论显然成立；(2)当1>a 时, 令01>-=n n a t ,有n nn n nk k n k n nn nt t nt t C t a +≤+++==+=∑=11)1(0 ,这样 010→-≤<na t n ,(∞→n ), 于是0lim =∞→n n t ,所以1101lim ]1)1[(lim lim =+=+=+-=∞→∞→∞→n n n n n n t a a ；(3)当10<<a 时,令11>=ab , 1lim 11lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n bb a . 综上所述 1lim =∞→n n a , )0(>a .提问:(00.3) 设对任意的x ,总有()()()x f x g x ϕ≤≤,且lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=,则lim ()x f x →∞=( ).(A )存在且等于零 (B )存在但不一定为零 (C )一定不存在 (D )不一定存在答因)()()(x g x f x ≤≤ϕ很容易想到夹逼定理,但注意适用条件是)(),(x x g ϕ极限均存在且相等.此题选(D ).例4*(06.4) (1)1lim()nn n n-→∞+= .解法1 由于1(1)1n-≤-≤,有1(1)111111()()11n n n n n n n n n--+++-=≤≤=++因11lim(1)lim(1)11n n n n→∞→∞-=+=+,所以(1)1lim()1nn n n-→∞+=.设有数列()n y f n =，（1）若对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n <+，则称()f n 为单调递增数列.（2）如果对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n >+，则称()f n 为单调递减数列.（3）如果存在两个数,()m M M m >，使得对于任何正整数n ，恒有()m f n M <<，则称()f n 为有界数列.【定理2.12】准则Ⅱ：单调有界数列必有极限.（单调上升且有上界或单调下降且有下界时极限存在），即数列()n y f n =单调有界，则lim ()n f n →∞存在.例如数列 11231:0,,,,234n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭……，因为11n y n =-单调增加且有上界 1n y <，所以 1lim(1)n n →∞-存在.且 1lim(1)1n n→∞-=.例5 （1）设12x =,12n n x x -=+,2,3,n = ,证明数列{}n x 存在极限并求之. 证明:1)先证明数列}{n x 存在极限显然 122x =<,假设12n x -<, 有 12222n n x x -=+<+=,因此,02n x <<,（ ,3,2,1=n ），{}n x 有界. 由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有1122n n n n x x x x +-=+>+=,因此, {}n x 为单调递增数列；综上所述: 数列}{n x 必存在极限.2)求极限: 设lim n n x a →∞=，显然有02a ≤≤.由2a a =+，即022=--a a ，得2=a(1-=a 舍去).故数列}{n x 极限存在且 lim 2n n x →∞=.（2）证明数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在.并求此极限.证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x ,②由于111()2n n n n nx x x x x +-=+- 221111022221n n n n x x x x --=-=≤=⋅, 即 n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在. 设a x n n =∞→lim ,则2211()211(0)2a a a a a a a =+⇒=+⇒=±> 1a ⇒=. 准则Ⅲ：有界数列必有收敛的子数列.二、两个重要极限1.0sin lim 1x xx→=. 证明：如图,AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇,从而,BADxCO1当20π<<x 时,x x x tan 2121sin 21<<时, 由于sin 0x >所以 1sin cos <<xxx , 显然02<<-x π时此式也成立.（注意：sin xx是偶函数）下证 1cos lim 0=→x x .因 2||0π<<x 时)0( 02)2(22sin 2cos 10222→→=⋅<=-<x x x x x ,所以 1cos lim 0=→x x .由准则Ⅰ, 知 1sin lim0=→x xx .提问：21sin(1)lim 1x x x →-=-【】.(A )1 (B )0 (C )2 (D )21答221)]1(1)1sin([lim 1)1sin(lim 22121=⋅=+⋅--=--→→x x x x x x x . 例6计算下列极限 (1)0tan limx xx→000sin 1sin 1lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x →→→⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭. (2)201cos limx xx →-222002sin sin222lim lim 42x x x x xx →→⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭22201sin 11lim 1222x t t t t =→⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭. (3)arcsin 00arcsin limlim 1sin t x x t x txt =→→== (4)00sin sin()sin lim lim lim 1t x x t t x t tx t tππππ=-→→→+==-=--．(5)00sin 1sin 11lim lim 0sin sin 111x x x x x x x x x x→→---===+++; (7)30tan sin lim sin x x xx→- 2211cos ~2220sin ~011cos 2lim lim sin cos cos x x x x x x x x x x x x-→→-= 0111lim 2cos 212x x →===⋅. (8)00sin 22sin 22122lim lim sin 5sin 551555x x x x x x x x→→⋅⋅===⋅⋅. 00sin sin limlim x x kx kxk k x kx→→=⋅= （k 为非零常数）. (9)2112122sin 22cos lim 2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(10)2001cos 22sin lim lim sin sin x x x xx x x x→→-⋅=0sin lim(2)212x xx→=⋅=⨯=.(11)lim 2sin 2nn n x →∞12sin lim()1nt n txxx x tx=→∞===⋅=,(x 为不等于零的常数).(12)0sin sin sin()sin lim lim t x a x a t x a a t ax a t=-→→-+-====-022sin cos22limt t a t t→+= 00sin2lim limcos()cos 22t t t t a a t →→=+=. (14)303sin()sin 3lim lim12cos 12cos()3t x t x x t x t ππππ=-→→-====--+sin lim12(cos cossin sin )33t tt t ππ→=--0sin lim1cos 3sin t tt t→=-+0022sin sin lim lim1cos 3sin sin sin 232()2t t tt t tt t t t t t→→==-+⋅+1330131==⨯+⨯. 另解33sin()sin()133limlim 112cos 2cos 2x x x x x x ππππ→→--=-- 3sin()13lim2cos cos 3x x x πππ→-=-33cos112lim 233sin 2x x x πππ→-=-=+. (15)1102lim(1)tan lim 2cot2t x x t x t x t πππ=-→→-==.(16)(07-08期末考试)11lim(sinsin )n n n n n→∞+= 1 .若 lim(1)5xx a x→∞+=,则 ln5a = .例7 (1)(05.4) 极限22lim sin 1x xx x →∞=+ . 答案：2.(2)(93.3) =++∞→xx x x 2sin 3553lim2 . 解 2222sin3526106lim sin lim()253535x x x x x x x x x x→∞→∞++=⋅=++. 2. 1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.将数列1(1)nn+的值列成表格：n1 2 3 4 5 10 100 1000 100001(1)n n +2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 有表格看出随着n →∞，1(1)nn+的变化趋势是稳定的.下证1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：令0111n n k n n k k x C n n =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑, 1,2,3,n = (1) 先证{}n x ↑. 由于23(1)1(1)(2)1112!3!n n n n n n x n n ---=++⋅+⋅+ (1)(1)1!n n n n n n n--++⋅ )11()21)(11(!1)11(!2111nn n n n n ----++-++=11111(1)2!1n x n +=++-++1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+---+++ 112(1)(1)(1)(1)!111nn n n n +---++++ 显然 1+≤n n x x , ,3,2,1=n ，所以↑}{n x . (2) 再证3<n x , 即 3||<n x , ,3,2,1=n . 由于1111(1)2!n x n =++-+1121(1)(1)(1)!n n n n n -+--- 111112!3!!n ≤+++++2111111222n -≤+++++111121331212nn --=+=-<-.{}n x 有界 (3) 由(1)(2)及准则Ⅱ知, n n x ∞→lim 存在,记作e ,即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim . 其中：e 是无理数, 它的值是 718281828.2=e .下证: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.证明:(1)0x ∀>,n N +∃∈ ..t s 1n x n ≤<+⇒1111111n x n+<+≤++, 从而 11111111n x n n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+≤+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又因为 111lim 1,lim 11nn n n e e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以 1l i m 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(2) 111lim 1lim 1lim 1x t t x t x t t x t t t -=-→-∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11lim 11t t e t -→+∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭.综上所述 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.公式: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,1101lim(1)lim 1t txx x t x e t =→→∞⎛⎫+===+= ⎪⎝⎭. 例8 计算下列极限(1)1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭11111lim 111lim 1111lim 111n n n n n e n n e n n ++→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.(2)1111lim 1lim 11n nn n n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11lim 1lim 1n n n e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)lim [ln(2)ln ]n n n n →∞+-22lim 2ln(1)nn n→∞=+2e ln 2==.(4)22lim(1)x x x →∞+e 4422lim[(1)]x x x→∞=+=;（5）100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x→→+=+10ln[lim(1)]1xx x →=+=所以 ln(1)(0x x x +→ 时）(6) 2111202lim(1) lim(1)xu x u x u u x=----→∞→-+11lim[(1)(1)]u u u u →=++1e=; (7)e1)1(lim 1)1(lim )22(lim 101220=+=+-→-→-=→uu uu xu xx u u x; (8)1lim()1xx x x →∞-+e21(1)11lim lim 111(1)(1)(1)xx x x x x x x x x →∞→∞--===+++-;(9)211lim (1)lim (1)u x x u x u x u=→+∞→+∞-- 1ee )11()11(lim ==-++=-+∞→u uu u u ;(10)22lim()1xx x x →∞- 211lim 111(1)lim[(1)(1)]x x x xx x x x→∞→∞==--+ 1lim(1)11lim(1)xx x x e x e x-→∞→∞-===+.(11)22cot 0lim(13tan )xx x →+2313tan 330lim(1)[lim(1)]t xtt t t t t e =→→===+=+=.(12)0ln(12)lim sin 3x x x→+11220002l i m l n (12)2l n (12)lim sin 3sin 333lim33xxx x x x x x x xx x x→→→++==⋅2l n 2313e ==⨯. (13)3tan 0lim(1)xx x →+01313lim3tan tan 0lim(1)[lim(1)]x x x x xx xx x x x e →⋅→→=+=+=.例9 确定ｃ，使lim()4xx x c x c→∞+=- 解：由于1lim()lim 1xx x x c x c x c x c x →∞→∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 2[(1)]lim [(1)]x ccc x x cc c x e c x→∞--+==-. 由24ce =解得：ln 2c = 三、连续复利1.一年一个计息期的复利：设年利率为r ,贷款本金为0A ,那么一年后本利和为：10(1)A A r =+；两年后本利和为：220(1)A A r =+；……………………k 年后本利和为：0(1)k k A A r =+.2.一年n 个计息期的复利：设年利率为r ,一年n 个计息期,则每期利率为nr , 若贷款本金为0A ,那么, k 年后本利和为：0(1)kn k rA A n=+.3.连续复利：即每时每刻计算复利.设年利率为r ,贷款本金为0A ,让一年计息期的个数n →∞,则k 年后本利和为：000lim (1)lim (1)krnkn kr r k n n r r A A A A e n n →∞→∞⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦.这个数学模型在现实世界中应用很多，例如物体的冷却、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等.例10某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为6.5%r =,10k =年后每份债券一次偿还本息1000k A =元,若以连续复利计算利息,则0krk A A e =, 即100.06501000A e⨯=,得 100.06501000552.05A e-⨯==(元).小结：1.利用两个重要极限时，计算式必须符合重要极限的形式才能套用公式.但需注意巧算.2．运用夹逼准则解题时放缩尺度要把握好，两边极限要相等.3．解决经济问题时注意：以年计息时，月利息=年利息的12分之一；每期到时结一次息，按年数乘以年息.课后记：1.计算技巧运用不到位，不能灵活变形，蛮算.使用公式时，不注意公式的条件限制.2.用夹逼准则解题时放缩的尺度把握不好；用重要极限时不能灵活运用变量替换进行适当变形．。

微积分中的函数极限与连续性

微积分中的函数极限与连续性在微积分这门学科中，函数极限与连续性是两个极为重要的概念。

它们不仅是微积分理论的基础，也在解决各种实际问题中发挥着关键作用。

让我们先从函数极限说起。

想象一下，有一个函数 f(x)，当 x 趋近于某个特定的值 a 时，函数 f(x) 的值会越来越接近一个确定的数 L ，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L 。

这里的“趋近”可以是从左边趋近，也可以是从右边趋近。

举个简单的例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1) ，当 x 趋近于1 时，分母和分子都趋近于 0 。

但是，如果我们直接把 x ＝ 1 代入函数，会得到 0/0 这种不确定的形式。

然而，当 x 非常接近但不等于 1 时，比如 10001 或者 09999 ，我们会发现函数的值非常接近 1 。

所以，我们就说这个函数在 x 趋近于 1 时的极限是 1 。

函数极限的定义是非常严谨和精确的。

用数学语言来表述，就是对于任意给定的一个很小的正数ε ，都存在一个正数δ ，使得当 0 ＜｜x a| ＜δ 时，｜f(x) L| ＜ε 成立。

这个定义虽然看起来有点复杂，但它的核心思想就是说，只要 x 与 a 足够接近（但不等于 a ），那么 f(x) 与 L 的差距就可以任意小。

了解了函数极限，接下来谈谈函数的连续性。

一个函数在某一点处连续，直观地说，就是当自变量在这一点处有一个很小的变化时，函数值也会有一个相应的很小的变化，而且函数在这一点没有“跳跃”或者“断裂”。

比如说，常见的一次函数 y ＝ x ＋ 1 ，在其定义域内的每一点都是连续的。

因为无论 x 怎么变化，只要变化量很小，函数值 y 的变化也会很小，而且图像是一条连续不断的直线。

再看一个稍微复杂点的例子，函数 f(x) ＝｜x| 。

在 x ＝ 0 处，当 x从负数趋近于 0 时，f(x) 的值趋近于 0 ；当 x 从正数趋近于 0 时，f(x)的值也趋近于 0 ，并且 f(0) ＝ 0 。

经济数学微积分-极限存在准则两个重要极限

解
边形面积所构成数
2、
n
…
10
102 103 104 105
…
…
…
数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列, 由极限存在准则Ⅱ 可知，该数列存在极限，
其极限就是无理数e=2.71828…
推广形式：
为某过程中的无穷大量为某过程中的无穷小量
例6 解
例7 解
三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算
例1 解
由夹逼定理得
2、单调有界收敛准则
单调增加单调数列
单调减少
几何解释:
例2 求数列解
的极限.
由数学归纳法，数列{xn}单调递增. 数列{xn}单调有界
二、两个重要的极限
1、
即
又
当
时，
推广形式：
□为自变量某个变化过程中的无穷小.
例3 求解原式= 例4 解
例5 求圆的内接正列的极限值.
常用等价无穷小:
证明：
例8 解
因此，
例9 解
因此，

例10 解
若分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例11 解
注意：不能滥用等价无穷小替换.一般可对分子或分母中乘积形式作等价无穷小替换，对于和差形式中各无穷小一般不能分别替换.
经济数学——微积分
1.7 极限存在准则两个重要极限
一、极限存在准则二、两个重要极限三、利用无穷小替换定理计算极限四、连续复利五、小结
一、极限存在准则
1、夹逼准则
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则.

第六节极限存在准则两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。

现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。

又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。

上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。

准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。

准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。

微积分一个重要极限复利.ppt

(
x
1)
e2. 内涵1、未定式 1 内涵2、内外互为倒数
8
4、小结
重要极限(初始型)
lim
n
1
1 n
n
e
重要极限(标准型)
lim
x
1
1 x
x
e
重要极限(推广型)
重
无理数e的由来
要
未定式 1极限的求解
性
连续复利数学模型(课外思考)
9
参考书：
[1] 同济大学数学系编.《高等数学》（第六版）. 高等教育出版社.2007年.
1
1 x
3.内外互为倒数
令-x=t
=
lim t
1
1 t
t
1
6
3、重要极限的推广——推广型
推广:
重
注: 代表相同的表达式要
∞
极
1
限
内涵
推广
1、未定式1 2、内外互为倒数型
()
7
2
例3.求 lim x x1 . x 1
2
解：原式
lim
x1
1
x
1
x 1
1 2
lim
x 1
1
1
1
x1
重要极限 n
3
观察当
n
时数列
1
1 n
n
的变化趋势：
n 1 2 12 365 1000 10000 100000 1000000 ……
1
1 n
n
2
2.25
2.61
2.71
2.717
2.7181
2.7182
2.71828

大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问题，例如求不定积分和定积分；第二个重要极限则常用于解决一些概率论和统计学问题，例如计算概率和期望值等。两个重要极限都是微积分和概率论中非常重要的概念，对于理解这些学科的基本原理和解决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础，确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套，即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。

极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn

a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x

U
0
(
x 2
)2

1 2

12
2
2
1. 2
2. lim(1 1 )n e
n
n
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn

(1

1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
C
B
1. lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
注
lim cos x 1, 又lim1 1,
lim sin x 1.

ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

的极限存在, 那末数列xn的极限存在, 且lim xn = a.
证 ∵ yn → a ,
zn → a ,
n→∞
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < y n < a + ε,
三、连续复利
设一笔贷款 A0 (称为本金 ) ，年利率为 r , 则一年后本利和 A1 = A0 (1 + r ) 两年后本利和 A2 = A1 (1 + r ) = A0 (1 + r ) 2
k 年后本利和 Ak = A0 (1 + r ) k 如果一年分 n期计息，年利率仍为 r ，则 r 每期利率为，于是一年后的本利和 n r n A1 = A0 (1 + ) n
第五节极限存在准则两个重要极限连续复利
一、夹逼准则二、单调有界收敛准则三、连续复利
一、夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn及 zn满足下列条件: 准则Ⅰ 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
(n = 1,2,3⋯ )
(2) lim yn = a, limzn = a,
n→∞
可以证明，可以证明，当 x 取实数而趋向 + ∞ 或 − ∞ 时，函数 1 x (1 + ) 的极限都存在且等于 e , 因此 x 1 x ∴lim(1 + ) = e. x→∞ x 1 z 利用代换 z = ，则当 x → ∞ 时， → 0 , 于是有 x

经济数学微积分极限存在准则

1 lim
0
sin
某过程

1;
2 lim (1 ) e .
0 某过程
1
思考题
有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率.
k 年后本利和 Ak A0 (1 r ) k
如果一年分 n期计息，年利率仍为r ，则 r 每期利率为，于是一年后的本利和 n r n A1 A0 (1 ) n
………
r nk k 年后本利和 Ak A0 (1 ) n 如果计息期数 n ，即每时每刻计算
复利(称为连续复利) ，则 k 年后的本利和
2
二、单调有界收敛准则
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3x n x n 1
A
M
x
例3 证明数列 x n 3 3 3 ( n重根
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim(
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n

2.5 极限存在准则

§2.5 极限存在准则两个重要极限连续复利·夹逼准则·单调有界收敛准则 ·连续复利一、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明:因 a z a y n n →→,，据数列极限定义，有 εε<->>∃>∀ay N n N n 有时当,,0,011；对于上述ε， 02>∃N ，,,2ε<->a z N n n 有时当故可取},max{21N N N =则当 N n > 时，有 ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，亦即：εεεε+<<-+<<-a z a a y a n n ,从而有 εε+<≤≤<-a z x y a n n n 亦即ε<-a x n 成立这就是说， a x n n =∞→lim . 准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) )()()(x h x f x g ≤≤ ;(2) A x h A x g ==)(lim ,)(lim (;那么)(lim x f 存在, 且A x f =)(lim .注如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义,准则I 及准则I ' 称为夹逼准则. 例1：求 )12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解：,11112222+<++++<+n nn n n n n n n n n n n n 111limlim2+=+∞→∞→又 ,1=22111lim1limn n n n n +=+∞→∞→由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n下面根据准则I '证明第一个重要极限:1sin lim 0=→xx x .证明首先注意到, 函数xxsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, CD ⊥OB , AB ⊥OB . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 x CD sin =弦,x BC =弧x AB tan =弦.因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以 x x x tan 2121sin 21<< ,即 x x x tan sin <<. 不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<,或 1sin cos <<xxx . 注意此不等式当2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x ,根据准则I ',1sin lim 0=→xxx . 应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要)(x α是无穷小, 就有1)()(s i n l i m =x x αα.这是因为, 令)(x u α= , 则0→u , 于是 )()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u . 1sin lim 0=→x x x ， 1)()(sin lim =x x αα (0)(→x α) 例2. 求 xx x tan lim 0→.解: x xx tan lim0→x x x x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→x x x x x . 例3. 求 20cos 1lim xxx -→. 解: 20cos 1limx x x -→220220)2(2sin lim 212sin 2lim x x x x x x →→== 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 二、单调有界准则满足条件如果数列n x,121 ≤≤≤≤+n n x x x x 单调增加 ,121 ≥≥≥≥+n n x x x x 单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.单调数列准则Ⅱ的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.例4：.)(333的极限存在重根式证明数列n x n +++= 证：,1n n x x >+显然 {};是单调递增的n x ∴331<=x 又， ,3<k x 假定331<+=+k k x x ，{};是有界的n x ∴ .lim 存在n n x ∞→∴ ,31n n x x +=+ ,321n n x x +=+ ),3(lim lim 21nn n n x x +=∞→+∞→ ,32A A += 2131,2131-=+=A A 解得 (舍去) .2131lim +=∴∞→n n x 根据准则Ⅱ, 可以证明极限 nn n)11(lim +∞→ 存在. 设n n nx )11(+= 现证明数列{n x }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有123x 1+n n A Mnn n nn n n n n nn n n n n n n n n x 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++= )111()121)(111(!1)121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11()121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n .比较n x , 1+n x 的展开式, 可以看出除前两项外, n x 的每一项都小于1+n x 的对应项, 并且1+n x 还多了最后一项, 其值大于0, 因此 n x <1+n x ,这就是说数列{n x }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为n x 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121212111!1!31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x . 根据准则II , 数列{n x }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nnn =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xxx =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数x e y =以及对数函数x y ln = 中的底e 就是这个常数.因此的极限都存在且等于时，函数或取实数而趋向可以证明，当,)11(e xx x+∞-∞+.)11(lim e xxx =+∴∞→ 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要)(x α是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.ez z x xz zz =+→∞→=→10)1(lim ,01于是有时，，则当利用代换例5. 求xx x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→tt t-∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim=+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x x x 11])11(lim [---∞→=-+=e x x x . 例6．.)23(lim 2xx xx ++∞→求解：422)211(])211[(lim -+∞→++++=x x x x 原式 .2e = 例7．.)1ln(lim0xx x +→求解：.1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+→→→e x x x x xx x x x 例8．.1lim0xe x x -→求解：,1u e x =-令 ),1ln(u x +=即 ,0,0→→u x 有时则当)1ln(lim1lim 00u ux e u x x +=-→→ uu u )1ln(1lim 0+=→ .1= 三、连续复利则，年利率为称为本金设一笔贷款,)(0r A)1(01r A A +=一年后本利和2012)1()1(r A r A A +=+=两年后本利和k k r A A k )1(0+=年后本利和，则，年利率仍为期计息如果一年分r n，于是一年后的本利和每期利率为nrnnr A A )1(01+=nkk nr A A k )1(0+=年后本利和年后的本利和，则称为连续复利复利，即每时每刻计算如果计息期数k n )(∞→rkrkrn n nkn k e A r n A nr A A 00011lim )1(lim =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→。

2019平的微积分第一章课件15极限存在准则与两个重要极限

1) 若{ xn }单调增加且有上界 M, 则{ xn }必有极限 2) 且ln有 i mxnM . 2) 若{ xn }单调减少且有下界 m, 则{ xn } 必有极限 3) 且ln有 i mxnm .
例1
设
x1
1, 2
xn1
1xn2 2
(n1,2,L ),
(1) 求证：数列{xn}单调递增且有上界.
(2)求lnimxn .
注意在取极限前应该先证明数列 xn 有极限. 这时常用的一个方法是先证明数列 xn 单调有界.
例2 设 x 13,x 23 x 1, ,x n 13 x n,
证 ln i明 x m n存 ,并在 ln i求 x m n.
证 x 23 x 13 3 3 x1,
即0sinxxtaxn , 即 c1oxss1inx11,,
当x0时,上式也 ta.x成 n x立 xsin x
2
当 0 |x |时 ,有 cx o ssx i n 1 ,
2
x
sinx
lim coxs1, lim11,
x 0
x0
lim 1. x0 x
例4 用夹逼准则证明 :lim sinx 0 x 0
x x 0
注意： limxsin11
x
x
例3 求limsin3x x0 sin5x
例4 求lxi m01xco2sx.
二、单调有界收敛准则
若数列{xn}满足： x1 x2 xn , 就称为递增数列.
x1 x2 xn , 就称为递减数列.
单调数列
单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限.
例1 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2