2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷

2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷

一、填空题：（本大题共8个小题,每小题8分,共64分．）

1．已知数列，，，…，，…满足关系式，且，则的值是．

2．圆锥曲线的离心率是．

3．设的定义在上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的、，都有

，则函数在上的最大值是．

4．设，均为正整数，则．

5．已知点在圆：上运动，点在曲线（，）上运动，且的最大值为，则．

6．已知，，是一个三角形的三个内角，如果取得最大值，则

．

7．从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能性为．

8．已知是正整数集合的无穷子集，满足对任何，，，，将中的元素按照由小到大的顺序排列

成的数列记为，且已知，，则．

二、解答题（本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

9．设直线：与椭圆：不相交.过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结.

（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；

（2）当时，定点平分线段.

10．已知函数，数列、满足，，，，. （1）讨论数列的单调性；

（2）求证：，.

11．（1）求使方程

（*）

有正整数解的最大正整数.

（2）用表示方程（*）的所有正整数解（）构成的集合，当为奇数时，我们称中的每一个元素为方程（*）的一个奇解；当为偶数时，我们称中的每一个元素为方程（*）的一个偶解.证明：方程（*）中所有奇解的个数与偶解的个数相等.

2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷

参考答案及评分标准

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9．证明：（1）设、、.则椭圆过点、的切线方程分别为

，.因为两切线都过点，则有，.

这表明、均在直线①上，由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足

直线的方程.当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为

代入①消去得②对一切恒成立，变形可得

，对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点. （2）当时，由式②知，解得

代入②，得此时的方程为③将此方程与椭圆方程联立，消去得

由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即

这就是说，点平分线段.

10．解：（1），则

所以，，，解得.

所以当时，数列单调上升；所以当时，数列，；

所以当时，数列单调下降。

证明：（2）因为单调上升，计算得，，

由（1）知

所以，（i）当，时，，故当时，

，同理，.故

（ii）当，时，由（1）得：.所以

，

（iii）最后，当，时，我们有，

所以

11．解：（1）因为

，

所以.当时，，为方程（*）的一组正整数解，故所求最大值为.

证明：（2），，令与之对应，其中

，，

则，且.令

.

那么是到的双射，所以：（表示集合中所含元素的个数）.

，我们用表示中使得成立的最小下标，即：

，，.

因为，所以满足条件的正整数存在且，并记.

若，我们断言，否则，因此，于是我们有：

，

此不可能.所以是唯一确定的元素且.

若且时，我们断言.否则

，

因此.于是我们有：

，

此不可能.所以是唯一确定的元素且. 由此我们证明了：,是到自身的映射且，

，如果我们能够证明是满射，则也是单射，因而是双射，从而：

，

即：方程（*）中所有奇解的个数与偶解的个数相等.

事实上，，如果，则存在

，使得：.

如果，则存在

，使得：.故是满射，结论成立.