2020年中考高频考点——锐角三角函数与圆专题讲义(无答案)

锐角三角函数与圆专题

知识点回顾

锐角三角函数知识点：

1. 正弦(sin α)、余弦(cos α)、正切(tan α) 特殊角的三角函数值，如30°，45°，60°

30°

45°

60°

sina cosa tana

准确运用特殊三角函 数值计算：

2sin45°-2

1

cos60°=________．2sin45°-3tan60°=________．

(sin30°+tan45°)·cos60°=__ _． tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°=__ _．

例1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA=（ ）

A 、

55 B 、510 C 、2 D 、2

1

圆的主要知识点：

1. 垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________.

锐

角 a

三 角 函 数

推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧圆的两条平行弦所夹的弧。

2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________.

推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________.

2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______.

3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距

4.切线的性质与判定、

性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径.

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径.

5.点与圆的位置关系:___________________________________.

直线与圆的位置关系:_________________________________.

圆与圆的位置关系：__________________________________.

6.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 ,这点和圆心的连线两条切线的夹角。

例2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F.有下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；

④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )

A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥

C．②③④⑥D．①③④⑤

类型1：在圆中求锐角的三角函数值

1．如图2，已知⊙O的半径为1，锐角三角形ABC内接于⊙O，

BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于( )

A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长

2 .如图3，AB是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点P，∠BPC是α，若⊙o的半径是3，CD=4，求cosα的值是__________.

3.如图4，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为

E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为_________．

图3 图4

4.如图，AB是圆O的直径，∠ABT=45°，AT=AB

(1) 求证：AT是圆O的切线

(2)连接OT交圆O于点C，求tan∠TAC的值。

变式一：

如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。

（1）求证：直线EF是⊙O的切线

（2）求cos∠E的值

变式二：

如图所示，已知等边∆ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊥AC，垂直足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，

（1）求证：DF是⊙o的切线、

（2）求tan∠FGD的值.

类型2：在圆中已知锐角三角函数值，求线段长度。

1.如图1,以圆O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B 重合),连接OP,设∠POB＝α,则点P的坐标是( )

A.(sinα,sinα)

B.(cosα,cosα)

C.(cosα,sinα)

D.(sinα,cosα)

图1 图2

2. 如图2，以Rt ∆ABC 的边AB 为直径作⊙o ，点C 在⊙o 上，过点C 作CD ⊥AB 于

点D ，已知cos ∠ACD= 53

，BC=4，则AC 的长是（ ）

A.1

B. 320

C. 3

D. 3

16

3.如图，点C 在以AB 为直径的⊙o 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙o 于点E ，

(1) 求证：AC 平分∠DAB

(2) 连接BE 交AC 于点F,若cos ∠CAD=

54 ，求FC

AF 的值.

变式一：

如图，⊙o 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ，⊙o 的切线BF 与弦AD 的延长线交于点F ，若AD=3，cos ∠BCD=

4

3

，求BF 的长。

变式二：

如图，在∆ABC 中，以AC 为直径作⊙o 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，交AC 的延长线于点F ， （1）求证：直线EF 是⊙o 的切线 （2）若CF=5，cosA=

5

2

，求BE 的长.