第三章 静态电磁场及其边值问题的解(课后题).
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
因为电场强度大小是该点电位的变化率。
3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
此时该点电位可能是任一个不为零的常数。
3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。
3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。
答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。
答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。
计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。
表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。
3 静态电磁场及其边值问题全
边界条件
en E1 E2 0或者
en D1 D2 S 或者
3.1.2 电位函数
一、电位函数与电位差 电位函数 E 0 E 可由一标量函数表示。 ( ) 0 引入电位函数 ：E 关于电位函数的讨论
r
aU aU E dr 2 dr r r r
19
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值 问题的求解。
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中
E ex ey ez x y z
3
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算：
el l el 为 增加最快的方向 E el d E dl l B A AB B A Edl E dl
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
E
Q 4 0 r 2
er
Q 1 Q U E dr ( ) Q 4 0 aU a 4 0 r a 4 0 a aU E 2 er r
13
例题3.1.3两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a 处，在两板之间x=b处有一面密度为SO的均匀电荷分 布。求两导体平板之间的电位和电场。 解：两板之间除x=b外电位函数方程：
电磁场理论(柯亨玉)答案第三章静态电磁场.pdf
由B A
得： Az Ay 0 y z
Ax Az 0 z x
Ay x
Ax y
B0
可得一解为： Az Ay 0
还可得另一解为： Ax Az 0
还存在其它解。 两者之差的旋度：
Ax B0 y Ay B0 x
eˆx eˆy eˆz
( Ayeˆy Axeˆx ) (B0 xeˆy B0 yeˆx )
磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示其中引入的条件是无传导电流的单连通区域如电流是环形分布的磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的区域
第三章 静态电磁场
1. 静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件 电位函数的引入及其方程的推导过程。我们以图解的方式表示
D
E
x
0 y z
B0 y B0 x 0
3-10. 证明：设线圈中的电流分别为 I1, I 2
线圈 1 对线圈 2 的作用力为
f12
0 4
I
2
dl2
(I1
dl1r12 )
L1 L2
r132
0 I1I2
dl2
(dl1r12 )
4
L1 L2
r132
0 I1I 2
[(dl2 r12 )dl1 (dl1 dl2 )r12 ]
设介质被抽出的一段长为 x ， C 便等于无介质部分的电容 C1 与有介质部分的电容
C2 的迭加，即
C
C1
C2
2 0 x ln(b a)
2 (L x) ln(b a)
2 [L ln(b a)
(
0
)x]
则 W V2 C 2
V2 2
2 [L ( ln(b a)
第3章 静态电磁场及其边值问题的解剖析
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
第三章 静态电磁场及其边值问题的解(课后题).
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间 产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有 ＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0 ( , ) E0 x C E0 cos C 感应电荷的电位 in (r , )应与 0 ( , )一样按cos变化，
且在无限远处为 0。
E0 y a O x
( , ) n ( , ) Rn ( ) n ( ) n m B n sin n )(C n D n ) (( r, ) Cn0( ( A cos ,D 0)ln Rn ( ) ( ) (C Bn sinnn ) n Dn )( n An cos n n ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面， 试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化 电流的分布
I 解：（ 1 ）由安培环路定律，可 得H e 2 0 I I B1 0 H e , B2 H e 2 2 (2)磁介质的磁化强度 ( 0 ) I 1 M B2 H e 0 20
将上式两边同乘以 sin(
ny )，并从0到a对y积分，有 a 2ql a 2ql ny nd An Bn ( y d ) sin( )dy sin( ) 0 n 0 a n 0 a
《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。
当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。
静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。
由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。
本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。
3.1 静电场分析静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件1． 基本方程考虑到电磁场的源量（静止电荷q ）和场量（E 、D ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为积分形式d d (3.1.1)d 0(3.1.2)SV cVρ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰D S E l微分形式(3.1.3)0(3.1.4)ρ⎧∇⎪⎨∇⨯=⎪⎩D =E以及ε=D E （3.1.5）基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线（E 线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。
2. 边界条件在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式()120n ⨯-=e E E 或 12t t E E = （3.1.6）表明电场强度的切向分量是连续的。
电位移矢量满足的关系式是()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.1.7）表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。
若分界面上不存在面电荷，即0S ρ=，则()120n -=e D D 或 12n n D D = （3.1.8）此时，在分界面上，D 的法向分量是连续的。
式（3.1.8）可改写为1122n n E E εε=可见，当12εε≠时E 的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。
南京邮电大学《电磁场与传输理论B》第3章静电场及其边值问题的解法作业解答
3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：（1） ()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； （3）()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+；Sol.已知空间的电位分布，由E Φ=−∇和20/Φρε∇=−可分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) ()2x E e Ax B Φ=−∇=−+，2002A ρεε=−∇Φ=− (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=−∇=−+++⎣⎦20004sin sin 3sin BzBz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫=−∇=−+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.6 有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。
已知0z >时，201050x y z E e e e =−+V /m 。
试求0z <时的D 。
Sol. 设1122, (0), (0)E D z E D z ⎧>⎪⎨<⎪⎩，则由题意可知 111201050e e t t n n x y z E E E e e e =+=−+111010201050 2100e e e e e t t x y n n z n n n n z E e e E e D E εε=−⎧⎪⇒⎨=⇒==⎪⎩ 两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为1t 2t 12n n E E D D =⎧⎨=⎩或1t 2t12t t n nn n e E e E e D e D =⎧⎨=⎩ ，则21220202010100205e =e e e e t t t t x y n n n n z n n z E E e e D D e E e εε=−⎧⎪⎨=⇒==⎪⎩所以，z < 0 时：2222202000201020 (V/m 10050100 )( C/ m )=e +e =5t t n n x y z x y z E E E e e e D E e e e εεεε⎧=−+⎪⎨=−+⎪⎩3.8 一块厚度为d 、相对介电常数为r ε的无限大介质平板放置在均匀电场0E 中。
习题答案 第3章 静电场及其边值问题的解法
第3章 静电场及其边值问题的解法3.1 / 3.1-1 一个半径为a ，壁厚d 极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U 0。
当它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。
试求此水滴（drop ）对无穷远处的电位U d 。
若U 0=20V ，a=3cm ，d=10μm ，则U d =? [解] V d a aUd a aU U d 2001010109320103334436423203200=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---πεπε3.2 / 3.1-2空气中有一半径为a 的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为2ˆCr r E =（r<a ），C 为常数。
求：a)球体内的电荷分布；b)球体外的电场强度；c)球内外的电位分布；d)验证静电场的电位方程。
[解] a) ()()Cr Crrdrd rE r v 0222041εεερ=⋅=⋅∇= (r<a)b) 24ˆra C r E = (r>a)c) 取 ∞→r 处为电位参考点，得 ()333332424333:raC CaCr Ca dr ra Cdr Cr Edr a r arar-=+-=+==<⎰⎰⎰∞∞φ⎰∞==>rraCE d r a r 4:φd) 022224331:ερφv Cr r C r r r a r -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅∂∂=∇< 得证。
()01:24222=⋅∂∂=∇>-rCa rrra r φ 得证。
3.3 / 3.1.3空气中有一半径为a ，体电荷密度为ρv 的无限长圆柱体。
请计算该圆柱体内外的电场强度。
[解] :a <ρ ρερ02ˆv rE =:a >ρ ρερ022ˆarE v =3.4 / 3.1-4 已知空气中半径为a 的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为ρl ，位于z =0平面，试求其轴线上任意点P （0，0，z ）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。
电磁场电磁波静态场及其边值问题的解
Cq
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
q
q
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质
的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
关于电位差的说明
电动力学 第三章 静态电磁场及其边值问题的解
最后得
所以
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解一、判断题1．为了简化空间电位分布的表达式，总可以将电位参考点选择在无穷远处。
（）【答案】×2．焦耳定律只适用于传导电流，不适应于运流电流。
（）【答案】√3．绝缘介质与导体分界面上，在静电情况下导体外的电力线总是垂直于导体表面的。
（）【答案】√4．位移电流的假说就是变化的磁场产生电场的假说。
（）【答案】×5．任意两个带电导体之间都存在电容，对电容有影响的因素包括导体几何形状，导体上的电荷量、两导体相对位置和空间介质。
（）【答案】×6．恒定电场中理想导体内的电场强度为零。
（）【答案】√7．空间体积中有电流时，该空间内表面上便有面电流。
（）【答案】×8．应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。
（）【答案】×9．一个点电荷Q放在球形高斯面中心处。
如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。
（）【答案】×台10．在线性磁介质中，由的关系可知，电感系数不仅与导线的几何尺寸、材料L Iψ=特性有关，还与通过线圈的电流有关。
（ ）【答案】×二、填空题1．镜像法是在所求场的区域之外，用_______来代替场问题的边界。
假想电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场必须要满足_______。
【答案】一些假想电荷；原问题的边界条件。
2．磁介质中恒定磁场的基本方程为：_______。
【答案】，；，.d 0S B S =⎰v v Ñ0B ∇⋅=v d 0CH l ⋅=⎰v v ÑH J ∇⨯=v v 3．位移电流假说的实质是_______。
【答案】变化的电场可以产生磁场4．位移电流和真实电流（如传导电流和运流电流）的区别在于_______。
【答案】位移电流不对应任何带电质点的运动，只是电场随时间的变化率5．已知磁感应强度为，则m 的值为_______。
电磁矢论 第三章、静态电磁场及其边值问题的解
q C 单位：F/法拉 U
统的几何尺寸及周围电介质的特性参数有关。
3.1 静电场分析
4. 静电场的能量 （1）静电场的能量
在静电场中，电场对电荷有作用力，电荷在电场力作用下沿
电场方向发生运动，意味着电场力对电荷作功了，表明静电 场是有能量的。
电场能量的来源：建立电荷系统过程中外界提供的能量。
1 P1 2 Δl
P2
3.1 静电场分析
3. 导体系统的电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷 能力的物理量。 孤立导体的电容：孤立导体所带电荷量q与其电位φ之比。
C
U之比。
q
单位：F/法拉
导体系统的电容：任一导体上的总电荷量q与导体间的电位差
电容的大小与电荷量、电位差无关，只与孤立导体或导体系
求对应的电场强度。
1 r 1 1 r [ 2 e ( )e ]e r 4 0 r r q 1 1 r ( 2 )e e r 4 0 r r q
3.1 静电场分析
(3)电位差（电压） 电位差:电场空间中不同位置处电位的变化量，也称电压，可 用U表示。 注:空间中某点的电位无物理意义，只有两点间的电位差才有 意义。
3.1 静电场分析
在均匀介质中
2
泊松方程
在无源区域中 0 ： 2 0
拉普拉斯方程
解上述的微分方程，结合给定的边界条件，就可得出电位的
定解。
1 2 边界条件 2 1 2 1 S n n
媒质1 媒质2
1
2
电位差有确定值，其取值只与首尾两点的位置有关，与积分
路径无关。
3.1 静电场分析
[工学]第三章静态电磁场及其边值问题的解
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P'
q O
E
Q l P
q 1 1 er ( ) dr 2 P ' 4 0 rP rQ 4 0 r 选取Q点为电位参考点，则 Q 0 q 1 1 P ( ) 4 0 rP rQ
q
Q
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 r Q
则：
(r )
E
ex ey ez x y z
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
E / 0 / 2 即： / 0 0 E
在无源区域， 0
q
r
r
l
1 1 P ( ) 4 0 r r
q
O
q
r r l r r r 2 l 2 2rl cos 1 1 1 l 2 cos (r 2 r l l r r r 1 2 2 cos r r q l pr P 2 cos ＝ 4 0 r 4 0 r 3
点电荷在空间中产生的电位 4 r
0
q
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
无限长线电荷的电位
l E er 2 0 r l P (ln rQ ln rP ) 2 0
电位参考点不能位于无穷远点，否则表 达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取r=1柱面 为电位参考面，即 rQ 1 得：
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
《电磁场理论》第三章 静态场边值问题的解析解1
3.3.2 唯一性定理
在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题 如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。在讨论这 些方法之前，需要解决这样一个问题：满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件 的解是否唯一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解，这就是唯一性定理。 此定理的表述十分简单：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解 是 唯一的。 也就是说，若要保证 为问题的唯一正确解， 必须满足两个条件。 第一， 要满足方程
3.2.1 导体平面的镜像
例 3.2.1 在无限大的接地导电平面上方 h 处有一个点电荷 q ，如图 3.2.1 所示，求导电 平板上方空间的电位分布。 解 建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为 z 0 ；场区的源是电量为 q 位于
P ( 0 , 0 ,h )点的点电荷，边界为 x y 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为 x y 面上
电位为零。
图 3.2.1 导电平面上方的点电荷
图 3.2.2 点电荷的镜像电荷
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷
74
是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷 q 和 q ，分别位于 P ( 0 , 0 , h ) 和点
cos r
2
，故总电位为
E 0r cos
K cos r
2
上式中 K 为一待定常数，它应由边界条件来确定。 边界条件为：
73
（1） r , S 面上的电位分布为 E 0 r c o s 。由上面的电位函数式可知它满足这一条 件； （2） r a 的导体球面上电位值为零，故有 ( a , ) E 0 a c o s 可得 K E 0 a ，故总的电位函数为
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ψ=U0
d3 故U 0 － Ad 6 0 d U d 得A d 6 0
0 0 0
0
d
x3 U d ( )x 6 0 d d 6 0
0 0 0
2 x U 0 0d 0 E ex ex ( ) x d 6 0 2 0 d
ql • 3.8证明：同轴线单位长度的静电储能 We 2C
证明：由高斯定理可以 求出同轴线内、外导体 间的电场强度为 ql E( ) 2 内外导体间的电压为 ql b U Ed d ln a a 2 2 a ql 2 则同轴线单位长度的电 容为C U ln(b a)
同轴线中单位长度储存 的磁场能量为
b b
2
ql
aБайду номын сангаас
b
则同轴线单位长度的静 电储能为： We ql 2 1 1 1 ql b ql 2 E dV ( ) 2 d ln 2 V 2 a 2 2 2 a 2C
b 2 2
• 3.13 在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为 r1和r2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体。 试求(1)沿厚度方向的电阻（2）两圆弧之间的电阻 （3）沿α方向的电阻。设导电板的电导率为σ
z I O μ1＝μ0 μ2＝μ x
则磁化体电流的密度 1 d ( 0 ) I 1 d 1 J m M ez ( M ) ez ( ) 0 d 20 d
在磁介质表面，磁化电 流的面密度为 ( 0 ) I J mS M ez e z 0 20
r2 r1
I2 E2 rd
J2
I2 r2 E2 dr ln d r1
故得到两圆弧面之间的 电阻为 U2 1 r2 R2 ln I 2 d r1
(3)设沿方向的两电极的电压为 U 3，则有 U 3 E3rd
0
U3 由于E3大小与无关，故得E3 e r U 3 J 3 E3 e r I 3 J 3 e dS
• 3.19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是 半径为b的薄圆柱面，其厚度可以忽略不计。内、 外导体之间填充有磁导率分别为μ1、 μ2两种不同的 磁介质，设同轴线中通过的电流为I。试求（1）同 轴线中单位长度所储存的磁场能量（2）单位长度 的自感
解：同轴线的内外导体 之间的磁场沿 方向，在两种 磁介质的分界面上磁场 只有法向分量。根据边 界条件 可知，两种磁介质中的 磁感应强度 B1 B2 B e B (1)由安培环路定理，当 a
μ2 μ1
a
b
0 I 2 2B0 2 a
0 I B0 ( a) 2 2a 当a b区域内，有 ( H1 H 2 ) I B1 B2 1 2 I 即（ ） I , 故B e 1 2 ( 1 2 )
S3
dU3 dU3 r2 dr ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面， 试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化 电流的分布
I 解：（ 1 ）由安培环路定律，可 得H e 2 0 I I B1 0 H e , B2 H e 2 2 (2)磁介质的磁化强度 ( 0 ) I 1 M B2 H e 0 20
解：（ 1 ）设沿厚度方向的两电 极的电压为U1，则有 U1 U1 E1 J1 E1 d d U1 2 2 I1 J1S1 (r2 r1 ) d 2 故得到沿厚度方向的电 阻为 U1 2d R1 I1 (r22 r12 )
d
(2)设内外两圆弧面电极之 间的电流为I 2 , 则 I2 I2 J2 S 2 rd U2
第三章 静态电磁场及其边值问 题的解
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间 产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有 ＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0
• 3.7 无限大导体平板分别置于x=0,x=d处，板间充满 电荷，体电荷密度为ρ，极板的电位分别是0和U0， 求两极板之间的电位和电场强度。
x3 解此方程，得 － Ax B 6 0 d 在x 0处， 0，故B 0 在x d处， U 0
0
ψ=0 ρ(x)
即 : 4 ( x a) 2 y 2 z 2 ( x a) 2 y 2 z 2 5 5 故得： ( x a) 2 y 2 z 2 ( a) 2 3 3 5 4 零电位面方程是一个以 点（ a,0,0）为球心，以 a为半径的球面 3 3
2 d 1 x 2 解：两极板之间的电位 满足泊松方程 ＝－ ,即 2 － 0 dx 0 d