利用图形计算器探究复合函数的性质

《利用图形计算器探究复合函数的性质》教学设计
西北师大附中曹岩
一．教学内容解析
本节课旨在引导学生掌握研究问题的方法：“观察—归纳—猜想—证明”，选取的知识载体是复合函数的性质，辅助探究工具是图形计算器。

“观察—归纳—猜想—证明”是我们认识事物的一种重要的方法，可以探索发现事物的本质和规律，也是一种完整的思维方式，这种思维方法对于分析和解决问题具有重要而且有效的作用,掌握这种思维方法对提高中学生思维能力有直接的作用。

在知识载体上，函数是高中数学的主体内容，而函数性质是函数研究的核心。

函数研究有两种途径：“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”。

本节课我们主要实践第一种途径：“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”即“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法。

二．教学目标设置
1．知识与技能：
（1）会用图形计算器作出函数的图象和含参数的动态图象；
（2）会观察函数的图象特征并归纳函数的性质；
（3）会用代数的方法判断或证明函数的性质；
（4）能对含参数的问题进行分类讨论；
2.过程与方法：
(1) 掌握“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法；
（2）了解函数研究的两种途径“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”；
（3）了解科学研究的两种途径：“理论研究→实验验证”和“实验探究→理论证明”；
3.情感态度与价值观：
（1）培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法，提高学生的思维能力；
（2）激发学生自主探究的积极性，体验探究的乐趣；
（3）引导学生在探究活动中有意识的总结数学研究活动的一般过程和方法，培养学生的动手实践能力和创新精神；
三．学生学情分析
本节课的授课对象为我校高二选修课《用图形计算器学数学》的学生，通过高一学段的学习已经具备了以下三个方面的条件：
1．工具方面：学生可以熟练地操作图形计算器实现相关的功能，如输入函数解析表达式并画出图象、利用图形计算器动态图功能对含参数的函数进行动态演示；
2．知识方面：学生已经学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图象和性质，也具备了讨论由基本初等函数复合或四则运算而构成的初等函数性质的能力，会求出初等函数定义域、值域，会判断和证明函数的单调性、奇偶性、周期性，会求解或证明函数的对称中心、对称轴、渐近线等；
3．数学思想方法方面：学生已经掌握了数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等常见的数学思想方法；
基于以上基础，可以展开本节课的教学。

但是对于结构比较复杂的函数，尤其是复合函数，部分学生直接对函数性质的讨论和求解存在困难，因此可以借助于图形计算器，先画出函数图象，观察函数图象特征，进而归纳函数抽象的代数性质，得到关于性质的猜想后再做证明。

这样变抽象的函数问题为形象的图形问题、变未知的探索为已知猜想的证明，降低了学习的难度。

根据以上对学情的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定了本节课的教学重点与难点：
教学重点：
“函数图象→函数性质”的“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法；
教学难点：函数性质的代数研究方法；
有图形计算器函数图象的辅助大大降低了函数性质的代数研究的难度，教学的难点得以突破。

四．教学策略分析
本节课采用问题引导驱动、启发自主探究的教学方法。

通过问题引导、分组合作、自主探究、辨析讨论、成果展示的过程，达到深化理解的目的，图形计算器的辅助使得学生自主探究贯穿本节课的始终，学生研究成果在投影上的展示更加激励了学生自主探究的动力。

本节课的特点主要有以下几方面：
1．以问题驱动式教学，激发学生的探求欲，体现了以学生为主体的教学理念；
2．恰当地利用现代信息技术，帮助学生洞察数学本质；
3．“问题串”的设计以引导学生的数学思维活动，注重学生参与探究的全过程，是学生有所思，也有所获。

五．教学过程
1．复习已学知识：
（1）函数常用性质有哪些？ 定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性
（2）函数性质在函数图象上是如何反映的？
定义域—————函数图象向x 轴投影的数集合
值 域—————函数图象向y 轴投影的数集合
奇偶性—————函数图象关于原点或y 轴的对称性
单调性—————函数图象沿x 轴的上升或下降变化趋势
周期性—————函数图象周而复始的重复性
2.新课探究
1()lg 1x f x x
-=+例1：已知函数 (1)求函数的定义域；
(2)画函数的图象，并观察图象特征，猜想函数有哪些性质？
(3)证明函数的性质
（求解过程和结果由学生现场展示）
设计意图：
(1)这是一个“对数型”复合函数，外函数是对数函数，内函数是分式函数。

通过三个问题逐步引导学生经历并掌握“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”的研究方法；
(2)引导学生利用信息工具（图形计算器）辅助学习；
(3)进一步强化训练学生观察图象特征的能力，并与函数性质对应；
(4)复习巩固相关的数学知识和方法，如对数函数的性质、分式不等式解法、奇偶性的定义、单调性的两种判断方法（定义法、复合函数判断法）、函数图象变换、分离常数法等
()ln(sin )f x x =例2：已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)画函数的图象，并观察图象特征，猜想函数有哪些性质？
(3)证明函数的性质
(4)观察ln(cos )ln(tan )y x y x ==和的图象，你能得出什么结论？
（求解过程和结果由学生现场展示）
设计意图：
(1) 前三个问题的设置目的仍然逐步引导学生经历并掌握“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”的研究方法；
(2) 与例1相比，将“对数型”复合函数的内函数变为正弦函数，增加了问题研究的难度，主要体现在不连续性和周而复始的重复性。

学生图象特征的观察能力进一步提高；函数性质的研究除了值域和单调性，增加了两类对称轴和周期性。

(3)第(4)问进一步将内函数变化为余弦函数和正切函数，开放性问题的设置打开学生的思维，可能得到丰富的研究结果；
(4)本题涉及的数学知识和方法可能有对数函数和三角函数的性质、奇偶性和周期性的定义、单调性的两种判断方法（定义法、复合函数判断法）、函数图象变换等
2()lg f x x =∈例3：已知函数（+a ）(a R)
(1)讨论函数的定义域；
(2)讨论函数的单调性和奇偶性；
(3)用图形计算器的动态图功能验证讨论的结果；
（求解过程和结果由学生现场展示）
设计意图：
(1) 函数解析式中引入了字母参数，方法上需要分类讨论法；
(2) 代数上分类讨论结果用图形计算器的动态图功能验证；
(3) 该题体现了函数研究的另一种途径：“函数性质→函数图象”；
3.课堂小结
本节课的例1和例2展示了研究函数性质一种途径：“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质” 即“观察→归纳→猜想→证明”
的研究方法；例3展示了研究函数性质的另一种途径，即先研究函数性质再画出图象验证。

这是函数研究的两种途径： “函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”。

推而广之，一般科学研究也有类似的两种途径：“实验探究→理论证明”和“理论研究→实验验证”。

希望同学们能掌握这两种研究问题的方法。

4.课后作业
请研究以下函数的性质
22(1)log (23)y x x =--
2(2)ln(1)y x x =+-
(3),,22x x x x x x
x x e e e e e e y y y e e
-----+-===+ 六．教学效果预测
本节课利用图形计算器对复合函数性质展开了探究，使学生主动地参与到数学课堂中来，成为课堂的主体。

对函数性质的研究方法和基本初等函数的性质达到了很好的复习和巩固作用，掌握了“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法，从而顺利地完成教学目标。

另外，由于图形计算器显示屏较小，坐标不能出现π相关的无理数，给例2中函数图象特征的观察带来不便，这一切都会影响教学目标的达成。

由于本校的选修课《用图形计算器学数学》开设才一年多，处于探索阶段，教学组织过程中可能会出现一些不太成熟的地方，恳请各位专家不吝批评和指正，谢谢！。