高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修

3．1.1数系的扩充和复数的概念

预习课本P102～103，思考并完成下列问题

(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

[新知初探]

1．复数的有关概念

a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其我们把集合C＝{}

中i叫做虚数单位．

全体复数所成的集合C叫做复数集．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．

对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．

[点睛]复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非b i.

(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

2．复数相等

a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规在复数集C＝{}

定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.

3．复数的分类

对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋b i可以分类如下：

复数z ⎩

⎪⎨

⎪⎧

实数b ＝0，虚数b ≠0

当a ＝0时为纯虚数.

[点睛]复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．() (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．()

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．() 答案：(1)×(2)√(3)√

2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是() A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i

答案：C

3．复数z ＝(m 2

－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有() A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1

答案：B

复数的概念及分类 [典例]实数x 分别取什么值时，复数z ＝x ＋3

＋(x 2

－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚

数？(3)纯虚数？

[解](1)当x 满足⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 2

－2x －15＝0，x ＋3≠0，

即x ＝5时，z 是实数．

(2)当x 满足⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

－2x －15≠0，

x ＋3≠0，

即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．

(3)当x 满足⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 2－x －6

x ＋3

＝0，x 2

－2x －15≠0，

x ＋3≠0，

即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.

[活学活用]

当m 为何值时，复数z ＝m 2

(1＋i)－m (3＋i)－6i ，m ∈R ，是实数？是虚数？是纯虚数？

解：∵z ＝(m 2

－3m )＋(m 2

－m －6)i ，

∴(1)当m 满足m 2

－m －6＝0，即m ＝－2或m ＝3时，z 为实数． (2)当m 满足m 2

－m －6≠0，即m ≠－2且m ≠3时，z 为虚数．

(3)当m 满足⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2－3m ＝0，

m 2

－m －6≠0，

即m ＝0时，z 为纯虚数.

复数相等

[典例]m 的值为________，方程的实根x 为________．

[解析]设a 是原方程的实根， 则a 2

＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－1

2＋3m ＝0，

所以m ＝1

12

.

[答案]112－1

2

[一题多变]

1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2

＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？

解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 2

0＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x 0＝1，

m ＝－2

或⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝－1，

m ＝2，

因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2

－m

2x －1＝(10－x －2x 2

)i ，如何求解？

解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m

2x 0－1＝(10－x 0－2x 2

0)i ，由复数相等定

义，得：

⎩⎪⎨⎪⎧

3x 20－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x 0＝2，m ＝11

或⎩⎪⎨⎪

⎧

x 0＝－5

2

，

m ＝－71

5

，

因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－715时，原方程的实根为x ＝－5

2.

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．

层级一学业水平达标

1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2

＋2i 的实部为虚部的复数是()