有限长均匀带电杆的简单复合体的空间电场分布

有限长均匀带电杆及其简单复合体的空间电场分布 邓晓宇

[摘要]利用教材中有限长带电杆的电场分布的结论，将正四边形均匀带电体，田字形均匀带电体视为多段带电直棒，在空间中采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出带电正方形杆，可变田字形杆的普遍表达式，并由此创新性的拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空间相互作用的空间电场分布，利用DTP 平台编程画出其电场的空间分布图形。

[关键词]带电正方形杆，田字形杆;分段计算;叠加原理；空间电场分布；DTP 平台 O 引言

电场强度的计算是电磁学中的一个常见问题，在各种带电体中，具有中心对称性的带电细圆环或薄圆盘的研究比较多，方法也多种多样，而对不具有中心对称性的矩形或正方形的带电体则研究得很少，本文从教材中一个例题的结果引出，将均匀带电正方形杆，田字形杆视为多段带电直棒，采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出均匀带电正方形杆，田字形杆空间电场分布的普遍表达式，并由此拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空间相互作用的空间电场分布，最后利用DTP 平台编程画出其电场的空间分布图形。

1一段均匀带电细棒的空间电场分布

一般来说应从点电荷的场利用叠加原理可计算限线电荷，面电荷，体电荷的场，但是，往往处理积分特别是多重积分会遇到计算上的困难，有限长直线均匀带电体的电场有一个解析表达式，利用这一结果，可以较方便的处理很多问题，其结果如下：如图1所示，均匀带电细棒的线电荷密度为λ，直棒外一点P 到直棒的距离为a ，点P 至棒两端的连线与直棒之间的夹角分别为α和β，则p 点的场强为:

)sin (sin 4αβπελ-=

a Ex ； ]1[)c o s (c o s 4βαπελ

-=a

Ey 这是《大学物理学》教材中的结论，若点P 到直棒的垂足为O,O 到直棒两端的距离分别为1l ，和2l ，则p 点的场强为:

)(1

1(4221222

a l a l Ex +-+=

πελ （1）

)(42222

221

1a l l a l l a Ey +++=

πελ （2）

由公式（1）和（2）并将其扩展至三维坐标系中有：

))()((

)

(42

2

2

2

2

2

2

2

z

x y l y l z

x y l y l z x x

Ex ++--+

+++++=

πελ （3）

))(1

)(1(4222222z

x y l z x y l Ey +++-++-=

πελ （4） ))()((

)

(42

2

2

2

2

2

2

2

z

x y l y l z

x y l y l z x z

Ez ++--+

+++++=

πελ （5）

根据上述公式就可以利用DTP 平台做出其空间电场分布的图形，如图2

图2 有限长均匀带电杆的空间电场分布

2带电正方形线圈的空间电场强度计算及作图

利用上述结论还可以较方便的讨论许多问题，例如均匀带电平面的场，平行平板电容器的场，圆内接正多边形均匀带电线的场，环形均匀的场等。这里以正四边形的空间电场分布为例作具体的研究讨论，并利用DTP 平台作出正四边形均匀带电体的场的空间电场分布情况，并且由得出的结论作出可变田字形，两个正四边形，两个田字形均匀带电体的空间电场分布情况作为创新性的扩展研究，使关于这一系列的问题的讨论更加全面，更加直观。

如图3所示，取正方形线圈的中心为坐标原点，平行于水平边向右为x 轴正方向，垂直于纸面向内的方向为y 轴的正方向，z 轴垂直于线圈平面，设正方形线圈边长为2l ，场点P 的坐标为(x,y,z)，先计算带电的BC 边在P 点产生的场强。由图3可知:

2

2)(z x l PQ a +-==（6）

y l BQ l +==1 （7）

y l QC l -==2 （8）

图3 均匀带电正四边形的空间电场分析

将式(6)、式(7)和式(8)代人式(1)和式(2)可得带电的BC 边在P 点产生的场强在Y 方向和QP 方向的分量分别为:

=

y BC E ))()(1)()(1(4222222z

x l y l z x l y l +-++-+-+-πελ （9）

=

QP E ))()()()((

)(42

2

2

2

2

2

2

2

z

x l y l y

l z

x l y l y

l z

x l +-+--+

+-++++-πελ

再把QP 方向的场强分解到x 和y 方向:

)

)()()()((

]

)[(4)

(cos 2

2

2

2

2

2

22z

x l y l y

l z

x l y l y

l z x l x l P PQ E E QP BC x +-+--+

+-++++---

='∠-=πελ （10）

)

)()()()((

]

)[(4sin 2

2

2

2

2

2

2

2

z

x l y l y

l z

x l y l y

l z x l z

P PQ E E QP BC z +-+--+

+-++++-=

'∠=πελ （11）

用同样的方法可求得其它带电的三条边在p 点产生的场强，其中带电的CD 边在p 处产生的场强为:

=

x CD E ))()(1

)()(1(4222222z

y l x l z y l x l +-++-+-+-πελ （12）

))()()()((

]

)[(4)

(2

2

2

2

2

2

22z

y l x l x

l z

y l x l x

l z y l y l E y CD +-+--+

+-++++---

=πελ （13）

))()()()((]

)[(42

2

2

2

2

2

2

2

z

y l x l x

l z

y l x l x

l z y l z

E z CD +-+--++-++++-=

πελ （14）

带电的DA 边在P 处产生的场强为:

=y DA E ))()(1

)()(1(4222222z

x l y l z x l y l ++++-+++-πελ （15）

))()()()((

]

)[(4)

(2

2

2

2

2

2

2

2

z

x l y l y

l z

x l y l y

l z x l x l E x DA +++--+

++++++++=

πελ （16）

))()()()((

]

)[(42

2

2

2

2

2

2

2

z

x l y l y

l z

x l y l y

l z x l z

E z DA +++--+

+++++++=

πελ （17）

AB 边电荷在P 处产生的场强为:

=

x AB E ))()(1

)()(1(4222222z

y l x l z y l x l ++++-+++-πελ （18）

))()()()((

]

)[(4)

(2

2

2

2

2

2

2

2

z

y l x l x

l z

y l x l x

l z y l y l E y AB +++--+

++++++++=

πελ （19）

))()()()((]

)[(42

2

2

2

2

2

22z

y l x l x

l z

y l x l x

l z y l z

E z AB +++--++++++++=

πελ （20）

依据前面各式带电正方形线圈在p 点产生的场强E 的分量表达式为:

x x x x DA CD BC AB x E E E E E +++= （21）

DAy CD BC ABy y E E E E E y y +++= （22）

z z z z DA CD BC AB z E E E E E +++= （23）

由此结果可以作出正四边形均匀带电体的空间电场分布情况如图4所示：

图4均匀带电正四边形杆的空间电场分布

3基于正四边形均匀带电体空间电场分布情况的创新性扩展研究

1.在均匀带电细棒的空间电场分布和正四边形均匀带电体电场分布的基础上将这两种带

电体放在同一空间，讨论其复合电场在空间的分布情况，电场分布的解析解可由与上诉求解正四边形均匀带电体的相同的方法并利用叠加原理求出，这里不再写出具体的求解方程（下同），其空间电场分布的情况如下图5所示：

图5—1 图5—2

图5—3 图5—4

图5 可变田字形均匀带电体的空间电场分布

2.基于同样的原理我们可以继续作出两个正四边形均匀带电体（图6）以及两个田字形均

匀带电体（图7）的空间电场分布情况图：

图6两个正四边形均匀带电体的空间电场分布

图7两个田字形均匀带电体的空间电场分布

根据上述讨论，我们由此可以找到处理这一系列问题的方法，不仅如此，利用公式（1）（2）以及圆内接n边形逼近圆的思想，我们可以求出均匀带电圆环的空间电场分布，再考虑线动成面，可以计算出有限打均匀带电圆弧柱面的场等等，此处不再多作讨论.

参考文献:

【1】李元杰，陆果.大学物理学（第二版）.北京；高等教育出版社【2】李元杰.数字物理教学典型案例.北京；高等教育出版社

【3】樊雅平，黄生学.均匀带电正三角形线圈的电场分布