有限长均匀带电杆的简单复合体的空间电场分布

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常见的电场电场线分布规律

常见电场电场线分布规律电场强度、电场线、电势部分基本规律总结整理:胡湛霏一、几种常见电场线分布：二、等量异种电荷电场分析1、场强：①在两点电荷连线上,有正电荷到负电荷，电场强度先减小后增大，中点O的电场强度最小.电场强度方向由正电荷指向负电荷;②两点电荷的连线的中垂线上，中点O的场强最大，两侧场强依次减小。

各点电场强度方向相同。

2、电势：①由正电荷到负电荷电势逐渐降低;②连线的中垂线所在的、并且与通过的所有电场线垂直的平面为一等势面；③若规定无限远处电势为0，则两点电荷连线的中垂线上各点电势即为0。

3、电势能：（设带电粒子由正电荷一端移向负电荷一端）①带电粒子带正电:电场力做正功，电势降低，电势能减少；②带电粒子带负点：电场力做负功,电势降低，电势能增加。

三、等量同种电荷电场分析1、场强：①两点电荷的连线上,由点电荷起,电场强度越来越小，到终点O的电场强度为0，再到另一点电荷，电场强度又越来越大；②两点电荷连线的中垂线上，由中点O向两侧，电场强度越来越大，到达某一点后电场强度又越来越小；③两点电荷（正）连线的中垂线上,电场强度方向由中点O指向外侧，即平行于中垂线。

2、电势：①两正点电荷连线上，O点电势最小，即由一个正点电荷到另一正点电荷电势先降低后升高。

连线的中垂线上,O电电势最大，即O点两侧电势依次降低.②两负点电荷连线上,O点电势最大，即由一个负点电荷到另一负点电荷电势先增高后降低。

连线的中垂线上，O点电势最小，即O点两侧电势依次升高。

③其余各点电势由一般规律判断,顺着电场线方向电势逐渐降低.3、电势能：①由电势判断：若带电粒子为正电荷,则电势越高，电势能越大；若带电粒子为负电荷，则电势越高,电势能越小.②由功能关系判断：若电场力做负功，则电势能增加；若电势能做正功，则电势能减少。

3、匀强电场 1、特点：①匀强电场的电场线，是疏密相同的平行的直线。

②场强处处相等。

③电荷在其中受到恒定电场力作用，带电粒子在其中只受电场力时做匀变速运动. 2、等势面:垂直于电场线的系列平面。

有限长均匀带电圆柱面电场分布

２π
∫ · ｕ＝ λＲ４πε ０
槡（）ｚ＋ｌ＋
ｌｎ
槡（）ｚ
－
ｌ
＋
ｚ＋ｌ２＋Ｒ２＋ ρ２－２Ｒρｃｏｓ θ
ｚ－ｌ
２
＋
Ｒ２
＋
ρ２
－
２Ｒρｃｏｓ
θ
ｄθ
（１）
式中 λ 为电荷面密度．
对电势分别求ｚ分量，ρ 分量的梯度，就可以得到电
场强度．
Ｅｚ
＝－
２第０１３９８年卷３第月３期
大学物理
ＣＯＬＬＥＧＥＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．３Ｍａｒ．２０１９
櫍殻
櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻
櫍殻
櫍大櫍学櫍生櫍园櫍地櫍殻
有限长均匀带电圆柱面电场分布
梁港林
（华中科技大学光学与电子信息学院，湖北武汉）４３００００
摘要：通过把有限长的圆柱面看成由直线段积分而得，通过有限长均匀带电直线段的电场分布进而求得有限长圆柱面电场分布，其中运用高等数学微积分处理方法，以椭圆积分形式给出电场的柱坐标解析表达式，并通过将圆柱面的高度趋于零，得到圆环电场解析表达式．
Ｘ
Ｘ
－
Ｘ
ａａ２＋Ｘ＋ａ２＋Ｘｂｂ２＋Ｘ＋ｂ２＋Ｘ
（６）
然而有恒等式：
Ｘ
ａ
槡槡＋
＝１
ａａ２＋Ｘ＋ａ２＋ＸＸ＋ａ２
（７）
故有
Ｅρ ＝
∫ ( (槡槡 ) ) ２π
－ λＲ ρ －Ｒｃｏｓ θ
４πε
Ｘ
０
ｂ
ａ
－
Ｘ＋ｂ２
Ｘ＋ａ２
ｄθ ＝
∫ ( (槡槡 ) ) （）２π λＲ

均匀带电球体的电场强度分布

均匀带电球体的电场强度分布
1. 均匀带电球体的电场
1) 电场强度分布
电场强度分布是均匀带电球体的一个重要特征，由于球体本身的形状，电场强度分布也是在球面的表面的，就像一个由圆圈组成的带电球体
一样，它的电场强度分布是十分均匀的。

这就意味着，从中心向外沿
球面增加角度，电场强度也是随着角度的变化而变化，在空间中各点
的电场强度（或电压）是一致的。

所以，在球表面和球内部，同一距
离所对应的相同角度处电场强度也是相同的，这种电场强度分布显然
也就是均匀带电球体的特征。

2）均匀体积密度
此外，均匀带电球体的另一个重要特征是体积密度分布的均匀性，也
就是说，在球体内各点之间的电荷密度都是同等的，也就是说，在带
电球体中，中心和各个面积上，电荷密度是一致的，也就是电荷本身
分布在球体内部是均匀的，这又是一个体现均匀带电球体特性的重要
特征。

3）增加距离分布
最后，当均匀带电球体不断增加距离的时候，其电场强度的分布也会
发生变化，从而体现出新的特性，我们知道，随着距离的增加，电场
强度逐渐减弱，远离球体，电场强度逐渐降低，由此，增加距离得到
的均匀带电球体的新特性就是外部电场强度的衰减，内部电场强度保持不变。

这就是均匀带电球体的距离变化引起的一些特性。

有限长直线电荷的电场分布

电势变化的快慢” 和“ 电场线疏密程度反映电场强弱” 的定性要求，避免了以往文献只能随意绘制的
缺陷．
关键词：均匀带电有限长直线；带电有限长直导线；电势；电场强度；等势线；电场线
中图分类号：０４４１．１文献标识码：Ａ文章编号：２０９５ — ３７９８（２０１７）０３ — ００６５ — ０６
１电势和电场强度的积分表达式
设长度为２ｚ的直线段上总带电荷量为Ｑ，以直线段中心为坐标原点，轴在直线段上，研究该电场的空
间分布．
由于本问题具有轴对称性，只需研究Ｐ（，０，）点处电场的空间分布．设ｚ：点处的电荷线密度为，
．

６６．
广东第二师范学院学报
第３７卷
则线元～４－ｄｚ上的电荷量为ｄＱ— ｄｚ（点电荷）在Ｐ（，０，）点处严生的电努为
ｄＵ： ■—一
一
＝ ————■二二二二＝＝＝＝二＝
一
・
ｕ一詈ｕ。１ｎ［ｚ＋￡＋√ ＝二干。］一詈ｕ。ｌｎ［ｚ一￡＋￣／
由式（３）得
Ｅ＝Ｔ｜。Ｅ
。
．
ｚ＋Ｚ
７ｃＺ —
ｚ— Ｚ
丽
＝兰一
一
一Ｅ。
２
．

常见的电场电场线分布规律

6 页脚内容
页眉内容
c 三点所在直线平行于两电荷的连线，且 a 与 c 关于 MN 对称，a、b 两点的电势差等于 b、c 两点间的电势差，C 正确；根据等量异种点电荷的电场的分布特点，a 点的电势高于 c 点的电势，所以试探电荷+q 在 a 点的电势能大于在 c 点的电势能，D 错误。
5（2012 天津卷）.两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中 A 点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用，则粒子在电场中( C )
在 a 点处有一电荷量为 q 的固定点电荷。已知 b 点处的场强为零，则 d 点处场强的大小为(k
为静电力常量)
A.k
B. k
C. k
D. k
答案：B 解析：由于 b 点处的场强为零，根据电场叠加原理知，带电圆盘和 a 点处点电荷在 b 处产生的场强大小相等，方向相反。在 d 点处带电圆
q
q 10q
正电荷：电场力做正功，电势能减小，电势降低；电场力做负功，电势能增加，电势升高。负电荷：电场力做正功，电势能较小，电势升高；电场力做负功，电势能增加，电势降低。
③根据公式 A
WAO q
和B
WBO q
判断：把电荷 q 从将要比较的 A、B 两点分别移到零电
势点
O，若做的功分别为WAO 、WBO ，则可根由公式 A
由匀加速直线运动
t 2x0 a
将○4 ○5 代入，得
t 2md 2 (1 A )
q0
q0
粒子运动周期
T 4t 4d q0
2m(q0 A)
14（2011上海）．两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势随

常见电场电场线分布规律

常见电场电场线分布规律在物理学中，电场是指电荷产生的空间中存在的电力场，它对带电粒子施加力。

在介绍电场的分布规律时，最重要的工具就是电场线。

电场线是指在电场中移动的点所连成的线条，它是表示电场分布规律的一种重要方式。

下面将介绍一些常见的电场分布规律和它们的电场线分布规律。

1. 均匀电场均匀电场是指在一个空间范围内电场的大小和方向都相同的电场。

这种电场很容易实现，比如可以通过将两个互相平行的电极板电容器上的电荷等量分布来制造。

均匀电场的电场线分布规律非常简单，它们是平行的，从正极板向负极板指向。

从数学上的角度来看，这些电场线具有相同的导数，也就是说它们的斜率是相等的。

2. 点电荷电场点电荷是指电量很小、体积几乎为零的电荷。

在点电荷的周围，会产生一个电场。

这个电场的分布规律与点电荷到空间中任意一点的距离的平方成反比。

如果将点电荷看作是放在 x 轴上的，则它的电场线分布规律是由由 x 轴向外发射的、球面形电场线组成的。

球面电场线的密度是由点电荷的电量大小决定，容易计算得出。

3. 偶极子电场偶极子电场是由两个相等电量、相反电荷的点电荷组成的电场，它们的连线方向被称为偶极子的方向。

偶极子电场的电场线分布规律与单个点电荷电场相似，只是在偶极子的位置处，电场的大小方向有明显的变化。

在偶极子的两端，电场线呈曲线状，而在偶极子两端之间的区域，电场线为弧形，且密度较大。

如果所选电荷偶极矩增大，那么曲线的弧度和弯曲程度就会增加。

4. 球形电荷分布电场球对称电荷分布是指电荷均匀地分布在球的表面或内部。

对于一个半径为 R 的球形电荷分布体，当外部观察时，它产生的电场线是与一个球形电场线环相同的。

这些电场线从球心开始，扩张到球表面，然后再由球表面扩散到环外部，直到无限远处。

注意这个过程中电场线的密度不断减小。

5. 无限长直导线电场无限长直导线电场是指通过长导线上的电荷所产生的电场。

直导线所产生的电场，在其周围区域内是均匀的。

计算均匀带电球体的电场分布

計算均匀带电球体的电场分布
计算均匀带电球体的电场分布是一个重要的物理问题，它可以帮助我们理解电荷在空间中的分布和相互作用。

在这篇文章中，我们将讨论如何计算均匀带电球体的电场分布，并探讨这一问题的物理意义和应用。

首先，让我们考虑一个半径为R、带有总电荷量Q的均匀带电球体。

我们可以使用高斯定律来计算球体内外的电场分布。

在球体内部，由于电荷的均匀分布，可以证明球心到球内任意一点的电场强度E与该点到球心的距离r成反比，即E = kQr/R^3，其中k是一个常数。

而在球体外部，根据高斯定律，球外的电场分布与一个点电荷相同，即E = kQ/r^2。

接下来，我们可以利用这些公式来计算均匀带电球体的电场分布。

首先，我们可以计算球体内部的电场分布。

通过积分计算，我们可以得到球内的电场强度随距离的变化规律。

然后，我们可以计算球外的电场分布，根据高斯定律，利用球外的电场分布与一个点电荷相同的性质，可以得到球外的电场分布公式。

在实际应用中，均匀带电球体的电场分布计算可以帮助我们理
解电场的性质，例如在电场中的粒子受力情况、电场与电势的关系等。

此外，对于工程技术领域，了解电场分布也有助于设计电场传感器、电场屏蔽等设备。

总之，计算均匀带电球体的电场分布是一个重要的物理问题，它可以帮助我们深入理解电场的性质和应用。

通过本文的讨论，我们希望读者能够对这一问题有更深入的理解，并将其应用于实际问题的解决中。

有限长均匀带电圆柱体空间电势分布

有限长均匀带电圆柱体空间电势分布有限长均匀带电圆柱体空间电势分布：探索物理相关性与势垒解集合之间的微妙关系。

在讨论有限长均匀带电圆柱体空间电势分布时，将考查以下内容：1. 有限长均匀带电圆柱体概念：有限长均匀带电圆柱体（Finite Uniformly Charged Cylinder）是一种长度有限，沿着它的长度方向均匀分布电荷的圆柱体，这种电荷分布可以使其具有某种电势时，要求此圆柱体上每个元件处的电势大小和方向均是一致的，所以它是一种理想系统。

2. 空间电势分布：空间电势分布是对电势的表征，它指的是在某一特定的空间方向上，带电粒子的电势的大小和方向的分布情况。

有限长均匀带电圆柱体空间电势分布可以用以下方程来描述：V(r,θ,z)=(-Q/2πε_0)*(z/r+ln(r/a))其中r、θ和z分别表示待求空间电势的极坐标，Q表示电圆柱体上的总电荷，a表示电圆柱体的半径，而ε_0是真空介电常数。

由以上空间电势分布公式可知，有限长均匀带电圆柱体上电势的方向是沿着圆柱体的长度方向，而在某点上，电势随着r的变化，不论r如何变化，z/r恒为常数，因此电势只随着其余项ln(r/a)的变化而变化。

3. 电势分布分析：关于有限长均匀带电圆柱体的空间电势的典型分析，可以看出，圆柱表面上的its电势沿着它的长度方向是均匀的，而圆柱里面的电势是不均匀的，电势沿着圆柱从中心向外依次减弱。

同时，要注意电势随着半径变化的趋势，在圆柱面上，随着半径的减小，电势呈现出递减的趋势；而如果超出圆柱面的半径范围，电势的值又会急剧增加，甚至可能远超圆柱面上的电势值。

4. 总结：有限长均匀带电圆柱体空间电势分布就是上面所述的特定情况。

由于这种柱体的表面是均匀带电的，因此其电势分布也是沿着它的长度方向均匀的，而圆柱内部的电势则是随着半径减小而减小，但超出电圆柱体半径以外，电势值可能急剧增加。

有限长均匀带电直线电场的分析

有限长均匀带电直线电场的分析金彪（浙江省上虞市春晖中学，浙江上虞 312353）摘要：本文分析了有限长均匀带电直线周围的电场，用两种方法论述了有限长均匀带电直线电场的电场线为双曲线而等势面为旋转椭球面，并由此计算出导体旋转椭球面电容及面电荷密度分布。

关键词：有限长均匀带电直线；旋转椭球面；双曲线；等势面；电场线；电势；电场强度如图1所示线段AB 为真空中均匀带正电直线，长为2c ，线电荷密度为e η，求其产生的电场中任一点D 的电场强度D E 与电势D U 。

1 用等效替代法求电场过D 点作AB 的垂线段DE ，垂足为E ，以D 为圆心，DE 长为半径，作圆弧FEG ，点F 在线段AD 上，点G 在线段BD 上，当圆弧FEG 的线电荷密度也为e η时，圆弧FEG 与线段AB 在D 点产生的电场强度相等。

论证如下：过D 点作任一微小角θd ，在圆弧和线段上分别截得HI 、JK ，过K 作KN 垂直于DJ ，则有三角形相似可得：22DHDJHI DH DJ NK DE DJ NK JKL L L L L L L L L L ⋅=⋅=⋅= （1）由点电荷电场求解公式可得：线电荷密度相等短线JK 和HI 在D 点产生的电场强度相等，故线段AB和圆弧FG 在D 点的电场也相等。

由此可以得到线段AB 在D 的电场强度E D 方向为沿ADB ∠的角平分线DC 反向延长线向外。

若沿电场线方向移动一段微小距离l d 到D /，如图3。

可得ADC l L L AD AD /∠⋅=-sin d ，BDC l L L BD BD /∠⋅=-sin d ，由于DC 是ADB ∠的角平分线，可得BD BD AD AD L L L L //-=-， BD AD BD AD L L L L //-=-。

即：当D 点始终沿电场强度方向运动时，D 点运动的轨迹为电场线，而D 点到A 、B 两点的距离差保持不变，即电场线为双曲线。

有限长直线电荷的电场分布

有限长直线电荷的电场分布江俊勤【摘要】用Mathematica-10.3强大的数值计算和数字绘图能力,特别是绘制等值线和流线图的卓越功能,研究和比较了有限长均匀带电直线和带电导体直线两种电场的分布, 绘制了电势和电场大小、等势线和电场线的分布图.这种方法绘制的等势线和电场线能满足"等势线疏密程度反映电势变化的快慢"和"电场线疏密程度反映电场强弱"的定性要求,避免了以往文献只能随意绘制的缺陷.%Using the famous software Mathematica-10.3, the distributions of two kinds of electric field in the uniformly charged finite length-straight line and the charged conductor finite length-straight line are studied and compared, the distribution maps of the electric field intensity and the isoelectric line well as well the electric field line are plotted.The equipotential lines and the electric field lines drawn by this method can meet the qualitative requirements that "the density of the equal potential line reflects the speed of the electric potential change" and "the density of the electric field lines reflects the electric field strength", which avoids the defects of previous literature.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2017(037)003【总页数】6页(P65-70)【关键词】均匀带电有限长直线;带电有限长直导线;电势;电场强度;等势线;电场线【作者】江俊勤【作者单位】广东第二师范学院物理与信息工程系, 广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O441.1有限长直线电荷的电场，是电磁场的重要模型之一，是人们一直关注的问题[1-4]．文[1-3]使用点电荷的电势或电场强度公式和叠加原理导出了均匀带电有限长直线的电势或电场强度，文[4]则用椭球面坐标系和高斯定理推导出均匀带电有限长直线的电场强度. 但现有文献存在两点不足：1)由于同种电荷相斥，有限长直线段上的电荷不会是均匀的，特别是有限长导体直线，其电荷分布必然是中间疏两头密.到目前为止，未见有资料详细研究带电有限长直导线的电势或电场强度分布问题；2)讨论均匀带电有限长直线的文献[2-4]没有给出定量的电场空间分布图, 都只是随意绘制了若干条等势线和电场线——未满足“等势线疏密程度反映电势变化的快慢”和“电场线疏密程度反映电场强弱”的定性要求.为了弥补现有文献的不足，本文用Mathematica-10.3强大的数值计算能力、卓越的数字绘图功能，统一研究和比较有限长均匀带电直线和带电导体直线两种电场的分布, 定量绘制电势和电场大小的空间分布图，并给出疏密程度符合物理要求的等势线和电场线分布图.设长度为2l的直线段上总带电荷量为Q ，以直线段中心为坐标原点，z轴在直线段上，研究该电场的空间分布.由于本问题具有轴对称性，只需研究P(x,0,z)点处电场的空间分布．设z=z′点处的电荷线密度为λ，则线元z′～z′+dz′上的电荷量为dQ=λdz′(点电荷)在P(x,0,z)点处产生的电势为dU==.对全直线段求积分，得U=.电场强度由电势的负梯度求得Ex=-，Ez=-.电势的计算依赖于电荷线密度λ，下面将分两种情况进行具体研究.先考虑最简单的模型，假设电荷Q均匀分布于直线段上，则λ为常数，λ=Q/2l，U=.以U0=Q/(4π2ε0l)为电势单位；相应地，电场强度以E0=Q/(4π2ε0l2)为单位, 由式(4)积分得U=U0ln[z+l+]-U0ln[z-l+].由式(3)得Ex=E0-E0,Ez=E0-E0.由式(5)，令U==U0ln C1(C1≥1)，得xoz平面内的等势线方程z+l+=C1[z-l+].对式(7)移项、等式两边平方，化简得(C2-1)x2+2(C-1)z2=2l2(C+1),式中 C= ；C1≥1，C≥1. 当C≠1，即C1≠1时，式(8)可改写为+=1,这是标准椭圆方程，半短轴为a=、半长轴为b=、半焦距为c==l.当C1→1，即C→1时，由式(8)得l→0或者x/l→∞或者z/l→∞, 直线分布电荷退化为点电荷(等势线是同心圆簇)，或者对应于远场(此时电场分布接近于点电荷的电场).给定一个C1值，由式(7)或式(8)可绘制出相应的一条等势线，电磁学要求等势线疏密程度应定性地反映电势变化的快慢，所以C1值的选取必须考虑电势U(x,z)的分布情况，使用Mathematica绘制三维曲面图的命令Plot3D，以-10≤x/l≤10和-10≤z/l≤10为画图区域，由式(5)和式(6)容易绘制电势U(x,z)和电场强度大小E(x,z)=的分布图，如图1所示，在带电直线段上电势和电场强度都是无穷大，绘图时被截去顶部(下同).不同观测区域电势变化的快慢差别很大：在区域外围，电势分布接近于点电荷的电势，而且变化缓慢；在接近带电线段时,电势快速变化. 按照定义要求：等势线疏密程度应定性地反映电势变化的快慢，如果根据式(7)或式(8)使用隐函数绘图法绘制等势线分布图，需要取大量不同的C1值，而C1值集合的选取必须考虑图1所示电势的变化规律，这是一件十分繁琐的工作. 所幸的是，在Mathematica-10.3等版本中，内置了绘制等高线的命令，直接把式(5)代入ContourPlot之中就可以方便准确地绘制出等势线分布图，以-10≤x/l≤10和-10≤z/l≤10为画图区域，取250条等高线，结果如图2所示(对应于不带箭头的黑色闭合曲线).图2显示： xoz平面内的等势线的确是以线段两个端点z=±l为焦点的共焦椭圆簇(在三维空间里则是绕z轴旋转的共焦椭球面簇)；在离带电线段较远的外围，等势线稀疏，代表电势变化缓慢、电场强度较小，而且椭圆形等势线的偏心率较小(接近于圆)；越往中心区，等势线越密，椭圆的偏心率越大；在带电线段附近，等势线十分密集(以至于无法分开各条等势线而形成一个黑色阴影区)，表示电势快速变化、电场强度很大.文[2]随意绘制出10条等势线(见该文中图2的虚线)，文[2]没有说明决定10条等势线位置的10个C1常数具体取多少以及凭什么依据取值，其结果图显然不满足“等势线疏密程度定性地反映电势变化的快慢”的要求、不符合图1所示的电势变化规律，其主要问题有两方面：(a)内层的等势线密度反而比中间层等势线密度小；(b)电势快速变化的中心区完全没有等势线(文[3]的情况也类似, 文[4]则象征性地画出两条等势线草图).电场线由一阶微分方程确定=.把式(6)代入式(10)，经化简和凑微分得 =.积分得电场线簇方程-=2C2(|C2|≤l).由式(11)移项、等式两边平方，化简得-+=1.式(12)是标准双曲线方程，其半焦距c==l，与C2无关，所以电场线是以z=±l为焦点的共焦双曲线簇，给定一个C2值就得到一条电场线. C2的值集如何选取才能使电场线疏密程度定性反映电场强弱？现有文献都没有妥善处理，文[2]和文[3]给出的电场线分布图都是在平行于带电直线方向上电场线十分稀疏，在垂直方向上电场线则密集得多(见文[2]的图2和文[3]的图3), 这与图1(b)所示的电场分布图不一致！C2值的选择是一个颇为复杂问题，在本文中我们将直接避开这个麻烦，方法是使用Mathematica-10.3等较高版本中一个十分有用的绘制流线图命令, 其格式为：StreamPlot[{Ex,Ez},其他选项]这样，可以直接从式(6)出发绘制电场线分布图，不用求解微分方程、不需要选择积分常数C2,这对于电场线微分方程没有解析解的情况更有意义！使用适当的“其他选项”后，得到电场线分布图，如图2中带箭头的射线簇所示, 电场线分布图较好地描述了电场的发布情况：在带电线段附近，x方向与z方向的分布明显不同，确保每条电场线都与大偏心率的椭圆形等势线正交(后面的近区放大图将更加清晰展现这一现象)；在离带电线段较远的外围，电场线的分布趋于各项同性，即趋于点电荷的电场分布规律.美中不足的是：在接近带电线段处，有些电场线没有画至与带电直线段相接，这是因为在这些地方的电场线过于密集，软件系统自动省去一些线段，但这不是大问题，我们在读图时只需将它顺延画到带电直线上就可以了.正如上面提到的，在远离带电线段的外围，电场分布情况与点电荷的电场相近；在带电直线段附近区域，电场分布情况才具有特色. 下面，取画图区域为-0.5≤x/l≤0.5和-1.5≤z/l≤1.5，电势、电场强度大小以及等势线和电场线合并图分别如图3、图4和图5所示.图1～图5全面、形象和准确地描述了均匀带电有限长直线的电场空间分布.图1和图2显示了电场分布的整体概貌;图3和图4详细地描述在带电直线段附近电势和电场强度大小的空间分布;图5详细地描述在带电直线段附近等势线和电场线的分布及其相互关系. 这些图不但美观而且正确反映了物理规律，图2和图5中等势线和电场线疏密程度能定性地反映电势的变化快慢和电场强度的大小分布.相较于文献[2]和[3]随意绘制若干条等势线和电场线，本文的方法和结果是一次质的飞跃. 需要特别强度的是：本文中，只需将电势和电场强度计算式直接代入Mathematica-10.3的绘图命令就可快速获得这些精美图像，无需推导和处理等势线方程和电场线方程. 在研究更复杂电荷系统的电场分布时(通常没有解析解)，这种方法尤其有用，下面用该方法研究有限长带电导体直线的电场分布.由于同种电荷相斥，有限长直线段上的电荷不会是均匀的，特别是有限长细导线，其电荷分布必然是中间疏两头密[5]，导线上z′点处的电荷线密度为λ=.把式(13)代入式(2)和式(3), 得U=,Ex=,Ez=.式(14)～式(16)是复杂的积分，本文用Mathematic-10.3的标准数值积分法进行计算，其他的处理方法和步骤与均匀带电有限长直线段的方法相同.取研究区域在导线附近：-0.5≤x/l≤0.5和-1.5≤z/l≤1.5，根据式(14)～式(16), 用三维曲面画图命令Plot3D、等值线绘图命令ContourPlot和流线图绘制命令StreamPlot，就可绘制出电势、电场强度大小以及等势线和电场线合并图，分别如图6、图7和图8所示，他们从各个角度准确地描述了带电有限长导体直线的电场分布.有限长直线电荷的电场，是人们关注的重要问题之一. 由于数学的复杂性，到目前为止，未见有其他作者研究和绘制有限长带电导体直线的等势线和电场线分布图；已有的文献仅仅讨论了最简单的情形——均匀带电有限长直线——其等势线和电场线方程都有解析解，分别含有任意常数C1和C2；但是C1值集和C2值集的选择必须考虑电势和电场强度的分布规律而且数集的元素必须足够多，这是一件繁难的工作，已有的文献都没有处理好这个问题、所给出的等势线和电场线分布图都是随意地绘制——不符合“等势线疏密程度反映电势变化的快慢”和“电场线疏密程度反映电场强弱”的物理要求.【相关文献】[1] 郑开春. 电动力学解题指导[M]. 北京：北京大学出版社，2004：20-21.[2] 卢林芳, 胡先权, 周林, 等. 有限长直线电荷等电势线和电力线的求解与描绘[J]. 重庆师范大学学报，2008, 25(3):66-69.[3] 姜付锦. 有限长均匀带电直线的电场分布特点[J]. 物理通报，2013(5):32-33. [4] 王爱霞,高国棉,周九茹. 有限长均匀带电直线电场的对称性分析与计算[J]. 大学物理，2015，34(10):17-19.[5] 陈钢. 有限长带电导体直线的电荷分布[J]. 大学物理，2011, 30(10):28-29.。

物理教案：带电体的电场分布

带电体的电场分布物理教案一、教学目标与要求1、了解带电体的电场分布规律。

2、掌握计算带电体的电场强度公式。

二、教学重难点1、重点：带电体电荷与电场的相互作用规律。

2、难点：如何正确计算带电体的电场强度。

三、教学过程1、带电体的电场分布带电体是一种独立的、具有电荷的物体，电荷不可能孤立存在于空间中，它会对周围的空间产生影响，形成电场。

带电体的电场分布是指在某个区域中带电体所产生的电场强度分布情况。

2、带电体的电场分布规律带电体的电场分布规律是由库仑定律给出的：在真空中，两个点电荷之间的相互作用力是它们电荷量的乘积与它们距离平方的倒数的比例，方向是两点电荷之间指向对方电荷的直线方向。

3、计算带电体的电场强度公式在真空中，带电体的电场强度公式为：E = k × Q / r²其中 E 表示电场强度（V/m），Q 表示带电体电荷量（C），r 表示距带电体中心的距离（m），k 为电场常量，其取值在国际单位制中一般约定为8.99×109 N·m²/C²。

四、实验操作1、实验目的掌握计算带电体的电场强度公式。

2、实验装置带电体、测量仪器。

3、实验步骤（1）将带电体放置在测量仪器的位置。

（2）测量仪器记录带电体中心位置与测量点的距离。

（3）通过公式计算测量点的电场强度。

（4）以不同距离的测量点记录带电体的电场强度分布情况并绘制电场强度图。

五、教学总结本节课主要介绍了带电体的电场分布规律及电场强度的计算方法。

在实验操作中，通过构建测量仪器并计算不同距离的带电体电场强度，学生不仅深入理解了电场分布的规律，同时也掌握了实验操作技巧和方法。

未来的科技发展将更深入探索带电体的电场分布规律，带领我们走向更广阔的科技发展前沿。

微元法研究均匀带电体的电场分布

微元法研究均匀带电体的电场分布*阳喜元†，蔡新华，吴丹（湖南文理学院物理与电子科学学院，湖南常德415000）摘要：以均匀无限长带电直线的电场分布为基础，运用微元法和叠加原理研究了无限大均匀带电平面和无限长均匀带电圆柱面在其周围电场分布情况。

然后根据均匀带电圆环轴线上的电场分布，进一步讨论均匀圆柱面在其轴线上的电场和均匀带电球面在其周围产生的电场，所得结果与高斯定理完全符合。

关键词：微元法；电场分布；均匀带电体；叠加原理中图分类号：O441.1 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2008)03-0034-041 引言微元法在大学物理教学中有非常重要的作用。

在多年大学物理教学实践中，我们发现这样的问题，即由于学生对微积分知识掌握不够牢固，常使他们在解答有关大学物理问题时感到无从下手，更难以理解各物理量的真正含义乃至正确解答有关物理题。

因此，在教学过程中，教师不仅要把抽象物理知识讲透彻，还应将微元法传授给学生来解答物理问题，从而增强两者之间的联系，激发学生学习物理学兴趣。

目前，一般教材在讲授带电体电场分布时，都运用电场强度定义和叠加原理，以例题形式讲授无限长均匀带电直线和均匀带电圆环在其轴线上某一点的电场，而对对称性较高带电体的电场分布，则用高斯定理给予解决，而已有参考文献[1－3]计算方法又较复杂，对于非物理专业学生来说，是难以接受，也不利于学生对微元法基本思想的理解。

因此，为了使学生更好地理解和掌握电场强度的概念、叠加原理以及微积分的有关知识，本文以上面提到的两种带电体电场分布为基础，运用微元法，根据电场定义和叠加原理研究其他均匀带电体电场分布情况。

2 无限长带电直线电场分布应用无限长均匀带电直线的电场分布[4]：E = λ2πε0a(1)其中，λ 是均匀带电导线的线电荷密度，即单位长度导线带的电量，a 是点到导线的距离，电场强度的方向垂直于导线。

2.1 无限大带电平面的电场分布首先，建立一个坐标系，其圆点O 在选定无限长平面的中轴线上，x 轴垂直于带电面，y 轴在面内（如图1 所示）以(1)式为基础，运用微元法和叠加原理来求：宽为2L ，无限长的均匀带电平面（电荷密度为σ ）在x 轴上一点P 的电场强度E 。

高二物理竞赛无限长均匀带电直线的场强分布课件

s ( 上底）
s (下底）
h
r
+
+o
en y
E dS s ( 柱面）
x
+
en
2
E dS EdS E dS h
S
s ( 柱面）
s ( 柱面）
0
2rhE h 0
E 2 0r
z
+
E
+
h
r
+
+o
en y
x
+
3
4. 无限大均匀带电平面的场强分布。设其面电荷密
度为。
解：对称性分析：E 垂直于平面
原理：高斯定理
Φe
E dS 1
S
0
n
qi
i 1
例3 在匀强电场 E 中，假想半球面 S 如图放置，求通过 S 面的电通量。
S
解： Φe 0
Φe
E dS
S
S’ en
E
E dS E dS
S
S
E dS r2E 0 S
E dS r2E SE
S
2
11
例4 设正方形平面边长为a ，点电荷 q 位于距平面中点 a/2处，求通过该平面的电通量。
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2SE S＇ 0
E 20
E
E S＇
E
S＇
E
S＇
4
E
2 0
均匀场
E
EE
E
x
O ( 0)
E
5
思考：具有一定厚度的无限大均匀带电平面的场强
分布
S0
y

有限长均匀带电杆的简单复合体的空间电场分布

有限长均匀带电杆及其简单复合体的空间电场分布邓晓宇[摘要]利用教材中有限长带电杆的电场分布的结论，将正四边形均匀带电体，田字形均匀带电体视为多段带电直棒，在空间中采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出带电正方形杆，可变田字形杆的普遍表达式，并由此创新性的拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空间相互作用的空间电场分布，利用DTP 平台编程画出其电场的空间分布图形。

[关键词]带电正方形杆，田字形杆;分段计算;叠加原理；空间电场分布；DTP 平台 O 引言电场强度的计算是电磁学中的一个常见问题，在各种带电体中，具有中心对称性的带电细圆环或薄圆盘的研究比较多，方法也多种多样，而对不具有中心对称性的矩形或正方形的带电体则研究得很少，本文从教材中一个例题的结果引出，将均匀带电正方形杆，田字形杆视为多段带电直棒，采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出均匀带电正方形杆，田字形杆空间电场分布的普遍表达式，并由此拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空间相互作用的空间电场分布，最后利用DTP 平台编程画出其电场的空间分布图形。

1一段均匀带电细棒的空间电场分布一般来说应从点电荷的场利用叠加原理可计算限线电荷，面电荷，体电荷的场，但是，往往处理积分特别是多重积分会遇到计算上的困难，有限长直线均匀带电体的电场有一个解析表达式，利用这一结果，可以较方便的处理很多问题，其结果如下：如图1所示，均匀带电细棒的线电荷密度为λ，直棒外一点P 到直棒的距离为a ，点P 至棒两端的连线与直棒之间的夹角分别为α和β，则p 点的场强为:)sin (sin 4αβπελ-=a Ex ； ]1[)cos (cos 4βαπελ-=aEy 这是《大学物理学》教材中的结论，若点P 到直棒的垂足为O,O 到直棒两端的距离分别为1l ，和2l ，则p 点的场强为:)(11(4221222a l a l Ex +-+=πελ （1）)(422222211a l l a l l a Ey +++=πελ （2）由公式（1）和（2）并将其扩展至三维坐标系中有：))()(()(422222222zx y l y l zx y l y l z x xEx ++--++++++=πελ （3）))(1)(1(4222222zx y l z x y l Ey +++-++-=πελ （4） ))()(()(422222222zx y l y l zx y l y l z x zEz ++--++++++=πελ （5）根据上述公式就可以利用DTP 平台做出其空间电场分布的图形，如图2图2 有限长均匀带电杆的空间电场分布2带电正方形线圈的空间电场强度计算及作图利用上述结论还可以较方便的讨论许多问题，例如均匀带电平面的场，平行平板电容器的场，圆内接正多边形均匀带电线的场，环形均匀的场等。

有限长均匀带电导体直线的电场分布特点

有限长均匀带电导体直线的电场分布特点姜付锦(武汉市黄陂区第一中学，湖北武汉 430300)摘要：通过库仑定律和麦克斯韦方程推导出有限长均匀带电导体直线的电场线方程和等势线方程，并利用绘图软件WINPLOT 对电场线与等势线画出函数图像，直观表示了电场的特点。

关键词：有限长均匀带电导体直线；电场线方程；等势线方程法拉第为形象地描绘静电场在空间的分布情况，引入了电场线的概念。

麦克斯韦通过对电场线特点的分析总结出了麦克斯韦方程组。

本文将通过库仑定律和麦克斯韦方程对有限长均匀带电导体直线的电场线方程与等势线方程进行推导，得出它们的分布规律，并利用绘图软件WINPLOT 对电场线与等势线画出函数图像，直观表示了电场的特点。

1 电场强度的计算如图1所示，有一均匀带电导体直线，长度为a (0)a <<∞，总电量为q ，以直线的中点为坐标原点，并以直线为x 轴，建立平面直角坐标系xoy ，在x 轴上坐标为0x 处取一电荷元，其电量为0(dq dx λλ==根据库仑定律，它在(,)P x y 点激发的电场强度为03k dx d E r rλ= ，式中：r 是从0dx 指向P 点的矢量，r d E 与x 轴的夹角为θ，则d E 沿x 轴和y 轴的两个分量分别为cos ,sin x y dE dE dE dE θθ==[1]，则000223/2223/200(),[()][()]x yk x x dx k ydx dE dE y x x y x x λλ-==+-+-图1 均匀带电导体直线外任一点处的场强将上列两式积分，得0022223/2022022223/2022()[()][()]a a a a x x aa a a y y k x x dx k E dE y x x ya ax xk ydx k E dE y x x y λλλλ-----===+--+===++-⎰⎰⎰⎰2 电场线方程的推导根据麦克斯韦方程可知，电场线的微分方程为yxE dy dx E =，将上式代入后得dy dxx x =-++()()a ax dx ydy x dx ydy++-+=2222[()][()]a ad y x d y x +++-=，两边同时积分得C =（式中C 是一常量）焦点相同的双曲线，式中a C -≤≤3 等势线方程的推导如图2所示，图中P 点的电势a P ϕ=⎰[2]，将上式整理后得，图2 均匀带电导体直线外任一点处的电势[ln(ln(22aPa ak x x ϕλ==-+---+⎰4 数值模拟利用Winplot强大的绘图功能，对以上的电场线和等势线进行模拟，数值模拟中令1C/m,=1maλ=，如图3所示5 结语通过对电场线与等势线数值模拟的分析可以发现：在原坐标系中，当,x y→∞→∞时有限长均匀带电导体直线相当于一个“点电荷”，它的电场线的反向延长线趋近于通过原点；等势面趋近于圆周。

电场的分布规律

电场的分布规律在物理学中，电场是一个十分重要的概念。

它描述了电荷之间相互作用的力场，同时也对电荷的运动和电磁现象产生影响。

电场的分布规律是研究电荷分布情况及其相应电场分布的规律性规定。

本文将从不同电荷分布情况出发，探讨电场的分布规律。

一、点电荷的电场分布规律首先，让我们考虑最简单的情况，即一个点电荷的电场分布。

对于一个单个的正电荷，其电场按照与该点电荷距离的平方成反比的规律分布。

根据库仑定律，点电荷产生的电场强度E与距离r的关系可由以下公式表示：E = k * (Q / r^2)其中，E为电场强度，Q为电荷大小，r为距离，k为库仑常数。

从上述公式可以看出，点电荷的电场强度随距离的增加而减小，呈现出与距离r的平方成反比的关系。

二、均匀带电直线的电场分布规律接下来，我们考虑均匀带电直线的电场分布。

对于沿一条直线均匀分布的电荷，其电场分布具有轴对称性。

通过计算可以得出，均匀带电直线的电场强度E与距离r之间的关系为：E = (k * λ) / r其中，E为电场强度，λ为单位长度上的电荷密度，r为距离，k为库仑常数。

需要注意的是，在这种情况下，电场强度E与距离r呈反比的关系，但是与距离的平方没有直接关系。

三、均匀带电平面的电场分布规律除了直线分布的电荷，我们还可以考虑平面分布的电荷情况。

在均匀带电平面的情况下，平面上各点的电场方向相同且大小相等，其大小只与平面上的位置有关。

根据计算可以得到，均匀带电平面的电场强度E与距离关系没有直接的简单公式表示。

但是，我们可以得出以下结论：1. 与平面垂直方向的电场强度是均匀分布的，与距离无关。

2. 与平面平行方向的电场强度与距离成反比，但与距离的平方无直接关系。

四、其他电荷分布情况下的电场分布规律在实际情况中，我们会遇到各种复杂的电荷分布情况。

对于这些情况，我们可以通过应用高斯定律和数值计算等方法来得到电场分布的规律。

高斯定律是研究电场分布的重要方法之一，它表明电场通量与所选闭合曲面内电荷的总量成正比，与所选闭合曲面的形状无关。

有限长均匀带电圆柱体与点电荷的相互作用的求解方法

2008.No15２９摘要：在电磁学和电动力学中经常会遇到求某一带电物体在空间产生的电场强度、电势的问题，然后根据电场强度、电势再来求电场力、电容等。

但是对于有限长（大）带电物体的问题，除几种典型问题外，却很少有过讨论。

本论文主要从理论上导出有限长均匀带电圆柱体周围的电势、场强，然后找出它与点电荷之间的相互关系而寻求一种解决方法。

关键词：有限长　均匀带电圆柱体点电荷计算方法一、目前的研究情况　在电磁学和电动力学中，都是讨论无限长均匀带电物体的场强、电势计算问题，这些问题我们都可以直接利用高斯定理得出结果。

而对于有限长均匀带电物体的场强计算问题，大多数情况下都是将其视为无限长（大）均匀带电物体的问题来研究。

如，求有限大平行电容器的场强时将其视为两无限大的均匀带异号电荷的平行板来进行研究。

对于有限长带电体的电场，由于其计算较为复杂，而各种类型的带电体又非常多，给我们的研究带来许多困难，因而有必要从理论上导出各种有限长带电物体相关的计算公式。

二、有限长均匀带电圆柱体与点电荷之间的相互作用的计算已知：如图（二），均匀带电圆柱体长为２Ｌ，底面半径为Ｒ，求其与点电荷ｑ的相互作用力Ｆ。

分析：　欲求均匀带电圆柱体与点电荷ｑ的相互作用力，需先求出有限长均匀带电圆柱体的电视和电场，而解决这个问题则需从解决均匀带电圆盘的电视和电场出发。

（一）求解圆盘的空间电势和电场。

设一均匀带电圆盘，半径为Ｒ，电荷的面密度为σ，Ｐ点是电场中任意一点，其Ｐ点的坐标为（ｘ，ｙ，ｚ）。

求Ｐ点的电位。

如图（一）所示，将坐标原点选在圆心上，盘面在ｘｏｙ平面内，Ｚ轴沿圆盘轴线，设Ｐ点到圆心的距离为ｒ，在盘内任取一小面积元ｄｓ：ｄｓ＝ｄｘｄｙ，ｄｓ到圆心的距离为ａ，到空间任一点Ｐ的距离为ｒ／，电荷元带电量为：ｄｑ＝，电荷元在Ｐ点激发电场的电位为：由图（一）可求出：据对称性可知，圆盘电荷在Ｐ点产生的电位Ｖ与Ｐ点的方位角α　无关，为简单可设α＝０，这时候我们所选的Ｐ点就ｘｏｚ平面上。

有限长均匀带电直线的电场分布特点

有限长均匀带电直线的电场分布特点
姜付锦
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】2013(000)005
【摘要】通过库仑定律和麦克斯韦方程推导出有限长均匀带电直线的电场线方程和等势线方程,并利用绘图软件Winplot画出了电场线与等势线函数图像,直观地表现了电场的特点.
【总页数】2页(P32-33)
【作者】姜付锦
【作者单位】武汉市黄陂区第一中学湖北武汉 430300
【正文语种】中文
【相关文献】
1.均匀带电直线电场分布对称性分析 [J], 姜黎霞
2.有限长均匀带电直线电场的对称性分析与计算 [J], 王爱霞;高国棉;周九茹
3.无限长均匀带电直线组电场分布的复势解法 [J], 李秀燕;陈赐海
4.均匀带电园环附近和无穷长均匀带电直线二者场相似的物理机制 [J], 展铁政;王家鹏
5.有限长均匀带电圆柱面电场分布 [J], 梁港林
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电场的分布

专题八电场的分布电场的分布问题是近年的高考的热点问题，这部分题目也选择题为主，本专题主要讲解四种情况下的电场分布问题1、电场由一个或多个点电荷的电场叠加而成，这类题目的处理方法一般为将各个点电荷的场强进行矢量和，也可运用一些已知的结论，如等量同种电荷的场强分布、等量异种电荷的场强分布2、电场由非点电荷产生，常见的有直杆、圆环或圆环的一部分，平面等。

处理这类问题的思路一般是根据对称性或某些特殊位置解决3、已知等势面的分布判断电场的分布，思路为电场线与等势面垂直，从而画出电场线4、已知电势的变化规律（φ—x 图象），根据图象的斜率等于场强来判断 1、（2013海南）1．如图，电荷量为q 1和q 2的两个点电荷分别位于P 点和Q 点。

已知在P 、Q 连线至某点R 处的电场强度为零，且PR=2RQ 。

则A ．q 1=2q 2B ．q 1=4q 2C ．q 1=-2q 2D ．q 1=-4q 22、（2010海南）4、(3分)如下图， M 、N 和P 是以为直径的半圈弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场强度的大小为；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场场强大小变为，与之比为A ．B ．C ．D ．4、（2013江苏）6. 将一电荷量为+Q 的小球放在不带电的金属球附近,所形成的电场线分布如图所示,金属球表面的电势处处相等. a 、b 为电场中的两点,则(A)a 点的电场强度比b 点的大 (B)a 点的电势比b 点的高(C)检验电荷-q 在a 点的电势能比在b 点的大(D)将检验电荷-q 从a 点移到b 点的过程中,电场力做负功 6、（2013山东）19、如图所示，在x 轴上相距为L 的两点固定两个等量异种电荷+Q 、-Q ，虚线是以+Q 所在点为圆心、2L为半径的圆，a 、b 、c 、d 是圆上的四个点，其中a 、c 两点在x 轴上，b 、d 两点关于x 轴对称，下列说法正确的是（） A 、b 、d 两点处的电势相同 B 、四个点中c 点处的电势最低 C 、b 、d 两点处的电场强度相同D 、将一试探电荷+q 沿圆周由a 点移至c 点，+q 的电势能减小5、（2010上海）9、(3分)三个点电荷电场的电场线分布如图所示，图中a 、b 两点处的场强大小分别为E a 、E b ，电势分别为φa 、φb ，则 …( )A ．E a ＞E b ，φa ＞φbB ．E a ＜E b ，φa ＜φbC ．E a ＞E b ，φa ＜φbD ．Ea ＜Eb ，φa ＞φb3、（2011重庆）6、(6分)如图所示，电量为＋q 和－q 的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有 …（）A ．体中心、各面中心和各边中点B ．体中心和各边中点C ．各面中心和各边中点D ．体中心和各面中心 7、（2012海南）12．N (N ＞1)个电荷量均为q (q ＞0)的小球，均匀分布在半径为R 的圆周上，示意如图．如移去位于圆周上P 点的一个小球，则圆心O 点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k )8、如图所示为一均匀带电的直杆，杆长为L ，O 为杆的中点，A 到O 的距离为L/4，B 到O 的距离为3L/4，试比较A 点和B 点的场强大小9、（2013江苏）3. 下列选项中的各41圆环大小相同,所带电荷量已在图中标出,且电荷均匀分布,各41圆环间彼此绝缘. 坐标原点o 处电场强度最大的是10、（2013新课标1）15.如图，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、 c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点电荷.已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)A.k 3q R 2B. k 10q 9R 2C. k Q +q R 2D. k 9Q +q 9R2 11、(2013安徽理综)20.如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z ＜0的空间，z ＞0的空间为真空。