利用函数的最值求不等式恒成立问题

考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题

例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3．

（1）求b a ,的值；

（2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+

依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k

()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a

（2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+⨯-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f

17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x

要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A

变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈

（Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a .

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为

自然对数的底数）.

【解析】（I ）求导得2

()()2()ln ()(2ln 1

)x a a f x x a x

x a x x

x

因为x

e 是()

f x 的极值点，所以()0f e

解得a

e 或3a e ．

经检验，符合题意，所以a e ，或3a e

（II ）①当031a 时，对于任意的实数(0,3]x

a ，恒有2()04f x e 成

立，即1

3a

符合题意 ②当31a 时即1

3

a 时，由①知，(0,1]x 时，不等式恒成立，故下

研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)

(3)ln 34ln 3f a a a a a a 此值随着a 的增大而增大，故应

有

224ln34a a e ，即22ln 3a a

e

故参数a 的取值范围是10

3

a

或13

a ，且2

2ln 3a a e .

同步训练

1、(2011·荆州质检题)函数3()31f x ax x 对于[1,1]x 总有()0f x 成立，则a 的

取值为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4]

【解析】2()

33f x ax ，当0a

时，min

()(1)20f x f a ，2a ，不合题意；

当01a 时，2()333()()f x ax a x x

a a

，)(x f 在[－1,1]上为减函数，

min

()(1)20f x f a ，2a

，不合题意；当1a 时，(1)

40f a 且

10f a

a

，解得4a .综上所述，4a ，故选C.答案：C

2、设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ,定义函数

⎩⎨

⎧>≤=K

x f K K

x f x f x f k )(,)(),()( 取函数x e x x f ---=2)(.若对任意的),(+∞-∞∈x ,恒有)()(x f x f k =,则( )

A.K 的最大值为2

B.K 的最小值为2

C.K 的最大值为1

D.K 的最小值为1 【解析】 因为()()K f x f x =恒成立，所以K ≥()f x =2x x e ---

01

1)(=+

-='x

e x

f 时，解得0=x 故)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ；),0(+∞∈x 时0)(<'x f

所以),(x f 在)0,(-∞∈x 上为单调递增函数；在),0(+∞∈x 上为单调递减函数。 在0=x 处取得最大值1)0(max =f ，即1≥K 。答案：D 3、设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ，且22()()f x xf x x ，下面的不等式在R 上恒

成立的是（ ） A 、()

0f x B 、()0f x C 、()f x x D 、()f x x

【解析】可令211

()2

2

f x x ，则()f x 满足条件，验证各个选项，知B 、C 、D 都不恒成

立，故选A.

4、（2012辽宁文）设()ln 1f x x

x ，证明：

（1）当1x 时，3

()

(1)2

f x x （2）当13x 时，9(1)

()5x f x x

【解析】（1）记3()ln 1(1)2

g x x

x x ，则当1x 时， 13

()02

2g x x x ，又(1)0g ，故

()0g x ，即3

()(1)2

f x x （2）记9(1)

()()5

x h x f x x ，则当13x 时，由（1）得

2

2

154254

()

2(5)(5)2x

h x x

x

x x x

32

2

554

(5)2164(5)4(5)x x x

x x x x

令3

()

(5)216,13l x x x x ，