协方差与偏相关分析

通用的正交多项式：可查表
正交多项式前 可以乘系数！
例：大麦氮肥施用量对产量影响试验，试 作分析。
回归关系及自变量作用检验：
剔除三次项再进行检验：
第十章 协方差分析

协方差分析： 是利用回归分析来消除自变量对因变量 的影响，而后再对试验结果进行方差分 析。 是将回归分析和方差分析结合起来的一 种分析方法。并称Y为因变量，x为协变 量。
= SSTx
2 x ∑ −
(∑ x ) 2 nk
2 x ( ) 1 ∑ 2 = SStx Txi . − ∑ n nk
SS SSTx − SStx = ex

y变量的平方和：
= SSTy
2 y ∑ −
(∑ y ) 2 nk (∑ y ) 2 nk
1 2 = SSty T ∑ yi . − n SS SSTy − SSty = ey
四、协方差分析的数学模型和基本假定 １、协方差分析的数学模型
yij = µ y + τ i + β ( xij − µ x ) + ε ij
yij = y + ti + b( xij − x) + eij
２、协方差分析的基本假定

X是固定的量，处理效应属于固定模型。 εij 是独立的（与处理效应无关），且 服从N(0 , δ2y/x) 。 各个处理的（x , y）总体都是线性的， 且具有共同的回归系数，因而各处理总 体的回归是一组平行的直线。
例：幂函数曲线方程的配置
１
10
解：首先配置幂函数曲线方程：
﹡﹡
是否可以选用该指数方程？？？
9.3 多项式回归
一、多项式回归方程配置： １、多项式回归方程式：
最简单的多项式是二次多项式，其方程为：
2 y 2 =b 0 + b1 x + b 2 x
三次多项式的方程为：
y 3 =b 0 + b1 x + b 2 x 2 + b3 x 3

( 679.125)
2
= 782.045 589.750
误差项离回归平方和与自由度为：
( SPe) 2 Qe = SSe y − = 830.875 − 782.045 = 48.83 SSe X dfe ( Q ) = dfe − 1= k (n − 1) − 1= 20
(2)、检验误差项回归显著性（F检验法）
具体计算用下列公式：
例１：为研究A、B、C三种肥料对苹果的增产效果，选 取24株同龄苹果树，第一年记下各树产量（x，kg），第 二年施肥再记下产量（y，kg）。试分析三种肥料效果。 施用三种肥料的苹果产量
直接进行方差分析：？？？
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解：１、计算SSx 、 SSy 、 SP和DF

x变量的平方和：


3、多Leabharlann Baidu式回归方程的建立：
yk = b 0 + b1 x + b 2 x 2 + + bkx k
采用矩阵方法求解：
二、多项式回归的假设检验：
１、多项式回归关系的假设检验：
２、偏回归检验：
例：测定小麦田孕穗期的叶面积指数(x)和籽 粒产量(y)，试建立多项式回归方程。
解：根据资料散点图及资料性质，拟建立
平方和与乘积和的计算
2、检验x和y是否存在线性回归关系
( SPe) (−6.4443) Ue = = = 49.4046 0.8372 SSex
2 2
Qe = SSey − U e = 32.8597
3、检验矫正平均数间的差异显著性 资料的协方差分析
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说明施肥是通过影响颖花数而间接影响结实率的。
x与y的乘积和：
= SPT x∑ y ∑ ∑ xy − nk
1298 ×1455 = 47 × 54 + 58 × 66 + 53 × 66 − = 765.750 24 x∑ y 1 ∑ = SPt Txi .Tyi . − ∑ n nk 407 × 467 + 476 × 494 + 415 × 494 1298 × 1455 86.625 = − 8 24 SPe = SPT − SPt = 765.750 − 86.625 = 679.125
二次多项式回归方程： 2 即： y =b 0 + b1 x + b 2 x
即得到回归方程：
检验：
9.4 正交多项式回归
一、正交多项式回归分析的原理：

用正交多项式代换多项式回归方程中的自变量 各项，从而使信息矩阵成为对角矩阵。 由于回归系数之间不具有相关性，所以回归平 方和等于各次正交多项式偏回归平方和之和。 正交多项式使用条件：自变量具有等间隔取值。
B与C比较：
查t表, t0.01=2.845, 差异极显著。
三、两向分组资料的协方差分析
乘积和的分解：
例２：研究施肥对杂交水稻结实率的影响。试验 过程中发现颖花数（x, 万/m2）对结实率（y, %） 有明显回归关系，对其结果进行协方差分析。
原始资料的方差分析
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解：1、乘积和与自由度的分解：
土壤-植物营养研究法
王淑平
2012年4月18日
回顾：

多元线性回归方程：
检验：
= b1SP1y+ b2SP2y+…+ bmSPmy
剔除不显著自变量
多元回归方程变量标准化：
令：
y′ = y− y sy
y′ = 或令：
x′i = xi − xi si
y− y sy xi − xi si
x′i =
= SP T
∑ xijyij −
TxTy nk 105.6 × 1847 = −73.5986 28
= 4.59 × 58 + 4.09 × 65 + 3.01× 71 − = SPR
1 TxTy T T − ∑ x. j y . j nk k 52.39 × 937 + 53.21× 910 105.6 × 1847 = − = −0.7907 14 28 1 TxTy SP T T = − ∑ xi . yi . nk t n 8.91× 119 + 8.20 × 127 + + 6.04 × 146 105.6 × 1847 = − = −66.3636 2 28 SPe =SP T − SP t =−73.5986 − ( −0.7907) − ( −66.3636) =−6.4443 R − SP

一、协方差的意义和功用
1、协方差的意义 对于一个具有N对（X,Y）的有限总体， 其定义为：
2、协方差分析的功用

其主要作用有： 数矫正y变数的处理平均数，提高试验精确度。
（1）、当x与y为因果关系时，可利用y依x的回归系 （2）、当x与y为相关关系时，可通过估计不同变异 来源的总体方差和协方差，作出相应的相关分析。
多项式方程的一般形式为：
2 k yk = b 0 + b1 x + b 2 x + + bkx
２、多项式方程次数的初步确定：

两个变数的N对观察值配置多项式方程时， 最多可配到k=N-1次多项式。 可根据资料的散点图作初步选择。散点 所表现的曲线趋势的峰数+谷数+１即为 多项式回归方程的次数。若散点波动较 大或峰谷两侧不对称，可再加一次。
Ue / dfe (U ) 782.045 /1 = F = = 320.3 Qe / dfe ( Q ) 48.83 / 20
查F表,
F0.01=8.10, x和y存在极显著直线回归关系。
检验误差项回归显著性（t检验法）
= sy / x = sb Qe = dfe ( Q ) sy / x = SSe X 48.83 = 1.5625 20 1.5625 = 0.0643 589.750
b 1.1515 = t = = 17.91 sb 0.0643
查t表, t0.01=2.845,
x和y存在极显著直线回归关系。
３、检验矫正平均数间的差异显著性：

矫正总平方和：
dfT(Q)
矫正y值处理间的平方和与自由度：
Qt = QT − Qe = 271.67 − 48.83 = 222.84 dft ( Q ) = dfT ( Q ) − dfe ( Q ) = 22 − 20 = 2 Qt / dft ( Q ) 111.42 = = = 45.63 F 2.442 Qe / dfe ( Q )
（３）、估计缺失数据，可以得到无偏的处理平方和。
二、单向分组资料的协方差分析
单向分组资料
总计
协方差分析步骤：

计算处理间、处理内的SSx、SSy 、 SP和 DF。 检验x和y是否存在直线回归关系。 检测矫正平均数间的差异显著性。 矫正平均数多重比较。

乘积和与自由度的分解：
乘积和：用SP表示

F0.01(2,20)=5.85, 差异极显著。
协方差分析表
矫正值（离回归部分）变异的分析
df df
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矫正组（肥料）间变异
４、处理平均数的矫正及其多重比较：
矫正平均数差数标准误：
则：
A与B比较：
查t表, t0.01=2.845, 差异极显著。
A与C比较：
查t表, t0.01=2.845, 差异显著。
２、检验x和y是否存在直线回归关系：

计算误差项的回归系数，并对其回归关系进 行显著性检验。
（1）、计算误差项回归系数、回归平方和、离 回归平方和与相应的自由度：

误差项回归系数为：
SPe 679.125 = b = = 1.1515 SSe X 589.750

误差项回归平方和与自由度为：
2
( SPe) = Ue = SSe X dfe (U ) = 1
y′ =
则改为：
y− y sy
第九章：曲线回归
9.1 可直线化的曲线的类型与特点： 一、指数函数形式：
二、对数函数形式：
三、幂函数曲线：
四、双曲函数曲线：
五、S型曲线：
1 − ln a b
9.2 方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序： 1、根据变数之间的关系，选择适当的曲线 类型。散点图 2、对选定的曲线类型，线性化后按最小二 乘法原理配置直线回归方程，并做显著 性检验。 3、将直线回归方程转换成相应的曲线回归 方程，并对有关统计参数作出推断。