从“一题多解”转变为“多题一解”

从 一题多解 到 “ ”

多题一解 “ ” 【摘要】一题多解是训练学生发散思维的好方法，然而仅仅停留在 一题多解 的层面上远远 “ ”

不够的，即让学生的思维无限发散，不注意 收（及时归纳总结方法），那将不利于学生对数 “ ”

学思想方法的掌握和运用。因此，一题多解要关注考纲和考试说明、关注学生的 学情 “ ” 、关 注解法的选择，最终变为多解归一，升华为解一类题的方法。

【关键词】一题多解 多题一解 求异思维 发散思维

文[１]说： “一题多解应该关注考纲和考试说明、 关注学生的 ‘学情’ 、 关注解法的选择。 ” 这一点笔者在高三教学感触颇深。

让我们先看一例：

例 1.已知点 ( ) ( ) ( ) 3,0,0,33,3,0, A B C ABC - D 外接圆为 D e

（1）求 D e 的方程；

（2）设直线 ( ) 1 :33 l y m x =+ 与直线 ( )

2 :31 l y nx =- 的交点为P ，且点P 在 D e 上①若 D e 关于直线 1 l 对称，求n 的值；②若 0,0 m n >> ，求证：mn m n +- 为常数。 解法一： （标准答案提供方法）将直线 1 l 与 2 l 的方程联立方程组

( ) ( ) 33 31 y m x y nx ì =+ ï í =- ï î 解得 ( )

31 331 m x n m m n y n m + ì = ï - ï í + ï = ï - î

代入圆D 的方程得： ( ) 2 2 31 31 ()3112 m n m n m n m + éù + +-= êú -- ëû

化简得 ( ) ( ) ( )

222

3133212 m mn m n n m +++-=- 移项因式分解得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313232232 m n m mn m n n m mn m n +=-++---+- éùéù ëûëû

化简得 ( ) ( )( )

2 31331334 m n m n mn m +=+-- 因为 0 m > ，所以 ( ) ( )

313334 m n n mn m +=-- 移项分解因式得 ( )( ) 31313(31)(1)

n n m n n -+=++ 因为 0 n > ，所以 1

3

mn m n +-=-

【评注】此法是参考答案提供的方法，对照题意思路清晰——入口宽，但要想真正化到最 终结果，却不太容易——运算量大。然而这一点符合《考试说明》考查学生运算求解能力的 要求，毕竟此法是通性通法。 解法二：设直线 1 l 与圆D 的交点 ( ) 00 , Q x y ，则将直线 1 l 与圆D 的方程联立方程组

( ) 22 33 2390 y m x x y y ì =+ ï í +--= ï î 消去 y 得

( ) ( ) 2222 31186271890

m x m m x m m ++-+--= 因为 2 0 2 618 (3) 31

m m x m - +-= + 所以 点 ( ) 2 22 631 693 (,) 3131

m m m m Q m m + -+ ++ ， 因为点Q 也在直线 2 l 上，所以 ( ) 2 22 631 693 3(1) 3131

m m m m n m m + -+ =×- ++ 化简得 ( ) 2 2 31693 m mn m n n +=-+ 即 ( ) ( )( ) 2 313133 m m mn n +=-+- ， 所以 1 3

mn m n +-=- 【评注】本题是两直线与圆共三个元素的交点，如何选择两者先求交点，再代入第三者 当中，要有所取舍，否则运算极大，甚至无功而返。此法在解法一的基础上做了适当调整， 减化了运算量。

解法三：因为直线 1 l 过定点 (

) 3,0 M - ，直线 2 l 过定点 ( ) 0,3 N - 所以 23 MN = ，又因为圆D 的半径 23

r = 直线 1 l 到直线 2 l 的角为30 o ，所以 333 tan 30 133 n m mn - =

= + o 故 1

3

mn m n +-=- 【评注】解法三挖掘题目中隐含条件——过定点，利用到角公式巧

妙，运算量小。然则，所用知识不在苏教版《考试说明》所要求

的范围中，虽巧，最好不要向学生介绍。

解法四：因为直线 1 l 过定点 (

) 3,0 M - ，直线 2 l 过定点 ( )

0,3 N - ， 所以 23 MN = ，

又因为圆D 的半径 23 r = ，所以如图 30 a b =+ o ，因为 tan 3,tan 3 n m

a b == 故 ( ) 3

tan tan 30 3

a b -== o 所以 333 133 n m mn - = + ，得 1 3

mn m n +-=- 。 【评注】解法四同样注意到过定点这一隐含条件，利用几何性质，从倾斜角这一角度 加以解决，避免了用 到角公式 这一考纲不要求掌握的内容，构思精巧，值得提倡。但是要 “ ”

根据具体学情加以引导。解决解析问题时，注意用几何性质。

一题多解是训练学生求异思维的一种很好的教学方法，对学生思维的流畅性和灵活性有 很大发展，同时让他们能运用多种方法思考问题， 能用多种法则、公式、原理去解决新问题， 思维过程更加灵活，迁移能力强，能举一反三，触类旁通，产生新想法的数量多，种类多。 然而，仅仅停留在“一题多解”的层面上远远不够的，即让学生的思维无限发散，不注 意“收” （及时归纳总结方法），那将不利于学生对数学思想方法的掌握和运用。上述例题四 种解法分为两类，解法一与解法二运用联立方程组的思想，这是我们在解决直线与圆锥曲线 相关问题的主要思想方法，应重点介绍。解法四是挖掘图形内在的几何特征，运用几何条件 简化运算量，值得提倡。至于解法三所用的知识根本不作要求，所以此法就不要讲了。 因此，教者在备课时对这些问题如不加思考，甚至于对照参考书罗列各种解法直接抛给 学生，那么课堂就成了教师个人的“解题秀” ，毫无好处。