从“一题多解”转变为“多题一解”

从 一题多解 到 “ ”多题一解 “ ” 【摘要】一题多解是训练学生发散思维的好方法，然而仅仅停留在 一题多解 的层面上远远 “ ”不够的，即让学生的思维无限发散，不注意 收（及时归纳总结方法），那将不利于学生对数 “ ”学思想方法的掌握和运用。

因此，一题多解要关注考纲和考试说明、关注学生的 学情 “ ” 、关 注解法的选择，最终变为多解归一，升华为解一类题的方法。

【关键词】一题多解 多题一解 求异思维 发散思维文[１]说： “一题多解应该关注考纲和考试说明、 关注学生的 ‘学情’ 、 关注解法的选择。

” 这一点笔者在高三教学感触颇深。

让我们先看一例：例 1.已知点 ( ) ( ) ( ) 3,0,0,33,3,0, A B C ABC - D 外接圆为 D e（1）求 D e 的方程；（2）设直线 ( ) 1 :33 l y m x =+ 与直线 ( )2 :31 l y nx =- 的交点为P ，且点P 在 D e 上①若 D e 关于直线 1 l 对称，求n 的值；②若 0,0 m n >> ，求证：mn m n +- 为常数。

解法一： （标准答案提供方法）将直线 1 l 与 2 l 的方程联立方程组( ) ( ) 33 31 y m x y nx ì =+ ï í =- ï î 解得 ( )31 331 m x n m m n y n m + ì = ï - ï í + ï = ï - î代入圆D 的方程得： ( ) 2 2 31 31 ()3112 m n m n m n m + éù + +-= êú -- ëû化简得 ( ) ( ) ( )2223133212 m mn m n n m +++-=- 移项因式分解得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313232232 m n m mn m n n m mn m n +=-++---+- éùéù ëûëû化简得 ( ) ( )( )2 31331334 m n m n mn m +=+-- 因为 0 m > ，所以 ( ) ( )313334 m n n mn m +=-- 移项分解因式得 ( )( ) 31313(31)(1)n n m n n -+=++ 因为 0 n > ，所以 13mn m n +-=-【评注】此法是参考答案提供的方法，对照题意思路清晰——入口宽，但要想真正化到最 终结果，却不太容易——运算量大。

然而这一点符合《考试说明》考查学生运算求解能力的 要求，毕竟此法是通性通法。

解法二：设直线 1 l 与圆D 的交点 ( ) 00 , Q x y ，则将直线 1 l 与圆D 的方程联立方程组( ) 22 33 2390 y m x x y y ì =+ ï í +--= ï î 消去 y 得( ) ( ) 2222 31186271890m x m m x m m ++-+--= 因为 2 0 2 618 (3) 31m m x m - +-= + 所以 点 ( ) 2 22 631 693 (,) 3131m m m m Q m m + -+ ++ ， 因为点Q 也在直线 2 l 上，所以 ( ) 2 22 631 693 3(1) 3131m m m m n m m + -+ =×- ++ 化简得 ( ) 2 2 31693 m mn m n n +=-+ 即 ( ) ( )( ) 2 313133 m m mn n +=-+- ， 所以 1 3mn m n +-=- 【评注】本题是两直线与圆共三个元素的交点，如何选择两者先求交点，再代入第三者 当中，要有所取舍，否则运算极大，甚至无功而返。

此法在解法一的基础上做了适当调整， 减化了运算量。

解法三：因为直线 1 l 过定点 () 3,0 M - ，直线 2 l 过定点 ( ) 0,3 N - 所以 23 MN = ，又因为圆D 的半径 23r = 直线 1 l 到直线 2 l 的角为30 o ，所以 333 tan 30 133 n m mn - == + o 故 13mn m n +-=- 【评注】解法三挖掘题目中隐含条件——过定点，利用到角公式巧妙，运算量小。

然则，所用知识不在苏教版《考试说明》所要求的范围中，虽巧，最好不要向学生介绍。

解法四：因为直线 1 l 过定点 () 3,0 M - ，直线 2 l 过定点 ( )0,3 N - ， 所以 23 MN = ，又因为圆D 的半径 23 r = ，所以如图 30 a b =+ o ，因为 tan 3,tan 3 n ma b == 故 ( ) 3tan tan 30 3a b -== o 所以 333 133 n m mn - = + ，得 1 3mn m n +-=- 。

【评注】解法四同样注意到过定点这一隐含条件，利用几何性质，从倾斜角这一角度 加以解决，避免了用 到角公式 这一考纲不要求掌握的内容，构思精巧，值得提倡。

但是要 “ ”根据具体学情加以引导。

解决解析问题时，注意用几何性质。

一题多解是训练学生求异思维的一种很好的教学方法，对学生思维的流畅性和灵活性有 很大发展，同时让他们能运用多种方法思考问题， 能用多种法则、公式、原理去解决新问题， 思维过程更加灵活，迁移能力强，能举一反三，触类旁通，产生新想法的数量多，种类多。

然而，仅仅停留在“一题多解”的层面上远远不够的，即让学生的思维无限发散，不注 意“收” （及时归纳总结方法），那将不利于学生对数学思想方法的掌握和运用。

上述例题四 种解法分为两类，解法一与解法二运用联立方程组的思想，这是我们在解决直线与圆锥曲线 相关问题的主要思想方法，应重点介绍。

解法四是挖掘图形内在的几何特征，运用几何条件 简化运算量，值得提倡。

至于解法三所用的知识根本不作要求，所以此法就不要讲了。

因此，教者在备课时对这些问题如不加思考，甚至于对照参考书罗列各种解法直接抛给 学生，那么课堂就成了教师个人的“解题秀” ，毫无好处。

其实，一题多解的想法，本身并没有什么不好，历史上对p 的计算可以说是最著名的一 题多解，然而正是这样的一题多解给我们带来了五彩缤纷的数学知识，给了我们无尽的精神 财富。

那么如何克服一题多解的弊端呢？笔者认为在一题多解的基础上通过教师及时点评和 变式训练，将其解题的思想方法进行整理提炼，升华为解一类题的方法，变为多题一解。

例 2.已知数列{ } n a 和{ } n b 都是等差数列， n S 和 n T 分别是它们的前n 项之和43 25 n n S n T n + = + ，求 8 8a b 的值。

解法一：因为 ( ) ( ) 115 815 815 115 15 2 15 2a a a Sb T b b + == + ，所以 8 8 9 5 a b = 解法二：因为 43 25n n S n T n + = + ，所以 设 ( ) ( ) 43,25 n n S kn n T kn n =+=+ 则由 1 n n n a S S - =- ，得 () ( ) 81,43 n n a k n b k n =-=+ 故 8 8 8819 4835a b ´- == ´+ 【评注】解法一运用等差中项的性质，但这不是一般方法，只能作为一种技巧。

如要求 8 9a b 的值，此法就不灵了。

解法二从函数的角度研究等差数列的前n 的和 n S 的特征， 表面上看比法一稍繁，但此法可以解决一类问题，如下变式。

变式题： 设等差数列{ } n a 的前n 项和为 n S ， 若m n ¹ ， 22 , m n S n S m == ， 则 m n S + =。

解：设 2 n S n n a b =+ ，则由 22 , m n S n S m == 得22 n m m a b =+ …①， 22 m n n a b =+ …②，将①－②得( ) ( ) m n m n b a =-+-+ …（＊）因为 ( ) ( ) 2m n S m n m n a b + =+++ ，所以将（＊）代入得 ( ) ( ) ( ) ( )2222 m n S m n m n m n m n a a + =+-+-+=-+ 例 3.（1）设 22 1 x xy y -+= （ , x y ÎR ），求 22 x y + 的取值范围。

（2）已知 223sin 5sin cos 2cos 0 q q q q --= ，则tan q = 。

分析：此两题背景不同，分别是不等式、三角，高三教师在复习都有很多的解题 方法，但仔细品味，其实它们涉及到对二次三项式的处理。

解：（1） 22 1 x xy y -+= Q ， 222222x y x y x xy y + \+= -+ ∴当 0 x = 时， 2 1 y = ，则 22 1x y += 当 0 x ¹ 时， 2 22 2 1() 1() y x x y y y x x+ += -+ ，令 y t x = ，则 2 22 22 1 1 11 t t x y t t t t + +==+ -+-+ 利用函数知识得 22 2[,3] 3x y +Î （2）因为 22 sin cos 1 q q += ，所以 22 22 3sin 5sin cos 2cos 0 sin cos q q q q q q-- = + ，分子分母同除 2 cos q 2 2 3tan 5tan 2 0 tan 1 q q q -- = + ，解得 tan 2 q = 或 1 3- 。

综上所述， 一题多解如能加上教师思维智慧， 将分散在各章不同题型的共同处理方法， 进行整理加工形成多题一解，将会使“一题多解”这一亮点更亮。

参考文献文[1]指《一题多解 是 亮点 还是 败笔》 “ ” “ ” “ ” 吕增锋 《中学数学教学参考》2010 年第10 期上旬。