2019-2020学年度高三4月月考卷数学试题(5)(带答案解析)
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据统计，该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴300元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴200元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
则政府执行此计划的年度预算为___________万元.
三、解答题
【详解】
复数 的实部与虚部相等，
，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
设向量 ，分别通过定义法和坐标运算法表示 ，列方程求解即可.
【详解】
设向量 ，
， ，则 ，
，
解得 或Βιβλιοθήκη Baidu，
故 为 或 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量数量积的定义以及坐标表示，考查了方程思想，属于基础题.
二、填空题
13．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是______ .
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求点D到平面BEC的距离．
20．已知函数
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若函数 在区间 上无零点，求 的最小值.
21．椭圆 的离心率为 ，其右焦点到点 的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点( ， 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证直线 过定点，并求出该定点的坐标.
2019-2020学年度高三4月月考卷
数学试题(5)
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 为（）
A． B． C． D．
2．设 的实部与虚部相等，其中 为实数，则 的值为（）
A． B． C． D．
3．设向量 ， 与 的夹角为 ，且 ，则向量 为（）
A． B． C． 或 D．
4．已知 ， 满足 ，则 的取值范围是（）
（2）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先化简集合A，然后根据交集的定义计算 即可.
【详解】
由集合 ，得 ，解得 ，
，
又 ，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法及交集的的运算，考查了计算能力，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简 ，再结合该复数实部与虚部相等列方程，解出 即可.
15．若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为____________．
16．我国正逐渐进入老龄化社会，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：
22．在平面直角坐标系 中，已知直线 经过点 ，倾斜角 ，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的参数方程，并把圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设 与圆 相交于 、 两点，求 的值.
23．已知函数
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
微信控
非微信控
合计
女性
60
男性
30
合计
70
140
（1）根据以上数据，把表格中的数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
①是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“微信控”与“性别”有关；
②已知在被调查的女性“微信控”市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取2人，求至少有1位老师的概率.
4．A
【解析】
【分析】
记 ，画出不等式组表示的可行域，目标函数 可化为 ，可看作斜率为 的直线， 为该直线在 轴上截距，数形结合得到最优解，联立方程求最优解坐标，代入目标函数即可得解..
附表： 其中
P(K2≥k)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝ CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.
A． 在 上单调递增;B． 在 上单调递减
C． 在 上单调递增；D． 在 上单调递减.
11．设 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
12．在 中， ， ， ，当 的周长最短时， 的长是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
A． B． C． D．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）
A．2B．1C．0D．
6．下列命题：① 使得 成立；② ，都有 成立，是 在区间D上单调递增的充要条件；③只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值；④过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有2条；正确的个数是（）
17．已知 为锐角，且 ，函数 ，数列 的首项 ， .
（1）求函数 的表达式;
（2）求数列 的前 项和 .
18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音、短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访140位市民进行调查，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果统计如下:
A． B． C． D．
7．若等差数列 的前 项和为 ， ， ，则使 取得最小值时， 的值为（）
A． B． C． D．
8．函数 且 的图象是（）
A． B．
C． D．
9．点 是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点，若点 到抛物线 的准线的距离为2，则双曲线 的离心率等于（）
A． B． C． D．
10．已知函数 （ ， ）是奇函数，直线 与函数 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，则（）
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴300元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴200元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
则政府执行此计划的年度预算为___________万元.
三、解答题
【详解】
复数 的实部与虚部相等，
，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
设向量 ，分别通过定义法和坐标运算法表示 ，列方程求解即可.
【详解】
设向量 ，
， ，则 ，
，
解得 或Βιβλιοθήκη Baidu，
故 为 或 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量数量积的定义以及坐标表示，考查了方程思想，属于基础题.
二、填空题
13．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是______ .
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求点D到平面BEC的距离．
20．已知函数
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若函数 在区间 上无零点，求 的最小值.
21．椭圆 的离心率为 ，其右焦点到点 的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点( ， 不是左右顶点)，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证直线 过定点，并求出该定点的坐标.
2019-2020学年度高三4月月考卷
数学试题(5)
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 为（）
A． B． C． D．
2．设 的实部与虚部相等，其中 为实数，则 的值为（）
A． B． C． D．
3．设向量 ， 与 的夹角为 ，且 ，则向量 为（）
A． B． C． 或 D．
4．已知 ， 满足 ，则 的取值范围是（）
（2）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先化简集合A，然后根据交集的定义计算 即可.
【详解】
由集合 ，得 ，解得 ，
，
又 ，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法及交集的的运算，考查了计算能力，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简 ，再结合该复数实部与虚部相等列方程，解出 即可.
15．若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为____________．
16．我国正逐渐进入老龄化社会，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：
22．在平面直角坐标系 中，已知直线 经过点 ，倾斜角 ，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的参数方程，并把圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设 与圆 相交于 、 两点，求 的值.
23．已知函数
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
微信控
非微信控
合计
女性
60
男性
30
合计
70
140
（1）根据以上数据，把表格中的数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
①是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“微信控”与“性别”有关；
②已知在被调查的女性“微信控”市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取2人，求至少有1位老师的概率.
4．A
【解析】
【分析】
记 ，画出不等式组表示的可行域，目标函数 可化为 ，可看作斜率为 的直线， 为该直线在 轴上截距，数形结合得到最优解，联立方程求最优解坐标，代入目标函数即可得解..
附表： 其中
P(K2≥k)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝ CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.
A． 在 上单调递增;B． 在 上单调递减
C． 在 上单调递增；D． 在 上单调递减.
11．设 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
12．在 中， ， ， ，当 的周长最短时， 的长是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
A． B． C． D．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）
A．2B．1C．0D．
6．下列命题：① 使得 成立；② ，都有 成立，是 在区间D上单调递增的充要条件；③只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值；④过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有2条；正确的个数是（）
17．已知 为锐角，且 ，函数 ，数列 的首项 ， .
（1）求函数 的表达式;
（2）求数列 的前 项和 .
18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音、短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访140位市民进行调查，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果统计如下:
A． B． C． D．
7．若等差数列 的前 项和为 ， ， ，则使 取得最小值时， 的值为（）
A． B． C． D．
8．函数 且 的图象是（）
A． B．
C． D．
9．点 是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点，若点 到抛物线 的准线的距离为2，则双曲线 的离心率等于（）
A． B． C． D．
10．已知函数 （ ， ）是奇函数，直线 与函数 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，则（）