数学建模之体内药物浓度的分布模型

D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地
满足微分方程：
dx kx 0 dt
（3.12）
其解为：
x(0) D x(t) Dekt
负增长率的Malthus模型
药物的浓度： c(t) D ekt
V
与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的
时间称为药物的血浆半衰期：
t1
时，可以类似建立多房 室系统，即N房室系统
图3-10表示的是一种常见的两房室模型，
其间的k12表示由室I渗透到室II的变化率前的 系数，而k21则表示由室II返回室I的变化率前
的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其 值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际 情况。
两房室系统 k12 I k21 II
图3-10
虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠
其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量
药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量
为y(t)，则y满足： 因而： y(t) Dek1t
dy
dt
k1 y
y(0) D
D为口服或肌注药物总量
与解触比排发达能在泄翻法力所解通有速转则常以得关率（）情：：），）f况li，可p。下x-(但得当xfdd，tl(x)to0k也出总p)1有在>）k有kk1xkD例 这1。k时D1k外 种当>k，1(k的 情Dke体（1e可 况k=t内药kk1能 下t药时物e（ 的物，k未1t与 血)量对吸药 药均固收物 浓很定完性 度小的前质 为，t，，及 ：这输令C机种入(k体t情)→速对况k率k该1V在1取通D药医极常t物e学限总k的1t上机（大外吸被体应于y部收x(称t(用分药)tK)、为物1罗解y分
dx dt
出
kx
假设药物均匀分布
环境
药物的输入规律与给药的方式有 关。下面，我们来研究一下在几种常 dx
机体
见的给药方式下体内药体的变化规律。
dt
入
x(t)
dx
dt
出
药物总量 图3-8
情况1 快速静脉注射
在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。
设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为
上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故 被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血 液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交 换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模 型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系， 这就需要多房室系当统差模异型较。大的部分较多
从而药物浓度： C(t) k1D (ekt ek1t )
V (k1 k)
环境 K1x
图3-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容 易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急 救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现 在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时 间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一 有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。
（第一次） C(t) K0 (1 ekt )
Vk 0≤t≤T1
C(t) K0 (1 ekT1 )ek (tT1)
Vk
T1≤t≤T1 +T2
环境
dx dt
K0
机体
x(t)
x(0) 0
恒定速率 输入房室
dx
dt
出
情况3 口服药或肌注
口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物
我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容
易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据 不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。
图3-9
新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小 量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫 苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何 使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员 要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特 点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给 药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在2003 年春夏之交的SARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快 拿出一种能治疗SARS的良药或预防SARS的有效疫苗来，但这只能 是一种空想。SARS的突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生”的 情况。国内权威机构一度曾认为这是“衣原体”引起的肺炎，可以用 抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对SARS的控制与治疗 丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持 认为SARS是病毒感染引起的肺炎，两个月后（4月16日），世界卫 生组织正式确认SARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎 （注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验 证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防 的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实 际的幻想。
x(t) K0 (1 ekt ) 或 C(t) K0 (1 ekt )
k
Vk
设 得为出对。T于2，其多则后次在T点2第时滴一间体，类的不次内内似情同设的可况。点为点初讨 ， 第滴情滴始论 区 二称结况时药以 别 次为束1物间后 只 点稳。时态浓各 在 滴为故血度次 初 起病T药：不点 值 ，1人，浓为滴 上 患体度两零时 的 者内次。的点药滴物之浓间度的可间由隔上时式间
2
ln 2 k
环境 机体
只输出不 输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
kx
K0
dt
（x(0)=0）
K0
（3.13）
这是一个一阶常系数线性方程，其解为：
易见：lim C(t) K0
ห้องสมุดไป่ตู้
t
Vk
§3.4 药物在体内的分布
何为房室系统？
在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫 “房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征 或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体 （单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联 系的部分（多房室系统）。
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
单房室系统
交换 内部
均匀分布
药物分布的单房室模型
单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都
是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动
态平衡中，即成立着关系式：
dx dt
dx dt
入
dx dt
出
药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓
度成正比的，即：