数列全章复习及练习题
数列试题
第三章 数列§1 数列的概念一．选择题1． 某数列{}n a的前四项为①1(1)nn a ⎡⎤=+-⎣⎦ ②n a =③0n a =⎪⎩ )(n n 为奇数为偶数）（ 其中可作为{}n a 的通项公式的是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 2． 设函数()f x 满足()()212f n n f n ++=()n N *∈，且()12f =，则()20f =（） A ．95 B ．97 C ．105 D ．1923． 已知数列中{}n a ，11a =，()111nn n n a a a --=+- ()2,n n N *≥∈，则35a a 的值是（） A ．1516 B ．158 C ．34 D ．384． 已知数列{}n a 的首项11a =，且121n n a a -=+ (2)n ≥，则5a 为（）A ．7B ．15C ．30D ．31 5．已知n a =，()n N *∈，则在数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是（）A ．1a ，50aB ．1a ，8aC ．8a ，9aD ．9a ，50a提示：化为1n a -=，作出图像，则可直接求解.二．填空题 6．38，524-，748，980- … 一个通项公式是____ 7．已知11a =，111n n a a -=+(2)n ≥，则5a ＝____ 8．数列{}22293n n -++中的最大项的值是____9．已知{}n a 是递增数列，且对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是____三．解答题10．数列满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++ ，求n a11．已知数列的前三项依次是1，2，3，它的前n 项和为23n S an bn cn =++. 试求a 、b 、c 的值.12．已知一个数列的通项为sin 2n n a πα⎛⎫=+⎪⎝⎭()n N *∈，再构造一个新数列12a a ，34a a ，56a a ，…，这个数列是否为常数列？证明你的结论.§2 等差数列一．选择题1．（2004武汉市高考模拟题）已知数列{}n a 是等差数列，且31150a a +=，又413a =，则2a 等于（ ）A ．1B ．4C ．5D ．62．在等差数列{}n a 中，32a =，则该数列的前5项和为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．323．在{}n a 中，115a =，1332n n a a +=- ()n N *∈，则该数列中相邻两项的乘积是负数的项是（ ） A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a4．数列{}n a 是等差数列的一个充要条件是（n S 是该数列前n 项和）（ ） A ．n S an b =+B ．2n S an bn c =++C ．2n S an bn =+ ()0a ≠D ．2n S an bn =+5．已知数列{}n a ，225n a n =-+，当n S 达到最大值时，n 为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．136．设{}n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知636S =，324n S =，()61446n S n -=>，则n 等于（ ） A ．15 B ．16 C ．17D ．18 提示：设2n S an bn =+二．填空题7．设等差数列{}n a 的公差为2-，且1479750a a a a +++⋅⋅⋅+=，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+=______． 提示：312a a d =+，642a a d =+，…，99972a a d =+． 8．已知()lg 72x -，()lg 45x -，()lg 1x +成等差数列，则log x =______．9．设等差数列{}n a 的首项是3，前n 项和2n S an bn c =++,2lim n n na S →∞=______．10．若数列{}n a 的通项41n a n =-，由12k k a a a b k++⋅⋅⋅+= ()k N *∈所确定的数列{}k b 的前n 项和为______．三．解答题11．数列{}n x 中，11x =，1n x +=，求数列{}n x 的通项公式12．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的利润是8元/件；每提高一个档次，利润每件增加2元，每提高一个档次，产量减少3件，在相同时间内，最低档次的产品可生产60件．问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第一档次）§3．等比数列一．选择题1．若lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，则（ ）A ．2a c b +=B ．()1lg lg 2b a b =+ C ．a 、 b 、c 成等差数列 D ．a 、 b 、 c 成等比数列2．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） ABCD3．已知a 、 b R +∈，A 是a 、 b 的等差中项，G 是a 、 b 的等比中项，则（ ）A ．ab AG ≤B ．ab AG ≥C.ab ≤∣AG ∣ D ．ab>∣AG∣4．若数列{}n a 是等比数列，下列命题正确的个数为（ ）① {}2n a 、{}2n a 均为等比数列； ②{}ln n a 成等差数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭、{}n a 成等比数列； ④{}n ca 、{}n a k ±均为等比数列 A ．4B ．3C ． 2D ．15．公比1q ≠的等比数列的前n 项和公式恒等于11n a a +-，则这样的数列（ ）A ．不存在B ．必存在，且公比可确定而首项不能确定C ．必存在，且公比不确定而首项确定D ．必存在，但公比和首项均不能确定6．某企业在1996年初贷款M 万元，年利率为m ，从该年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a 的值等于（ ） A ．()()1010111M m m ++- B ．()101Mmm + C ．()()1010111Mm m m ++- D ．()1011Mmm +-二．填空题7．等比数列中{}n a ，公比1q ≠±，200100S =，则40201S q =+______．8．正项等比数列{}n a 的首项512a -=，其前11项的几何平均数为52，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是52，则抽取一项的项数为______．9．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款______元．三．解答题10．设有数列{}n a ，156a =，若以1a ，2a ，…，n a 为系数的二次方程：2110n n a x a x --+=（*n N ∈且2n ≥）都有根α、β满足331ααββ-+=（1）求证12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求n a ；（3）求n a 的前n 项和n S ．11．家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，共付12次，即购买后一年付清，如果按月利率8‟，每月复利一次计算，那么每期应付款多少？12．（2004年湖北八校联考）数列{}n a 中，首项12a =，前n 项和为n S ，对任意点()1,n n n p S S +，点n p 都在平面直角坐标系xoy 的曲线C 上，曲线C 的方程为()4388x t y t -+=．其中3t <-，n ＝1，2，3 …（1）判断{}n a 是否为等比数列，并证明你的结论；（2）若对每个正整数n ，则n a ，1n a +，2n a +为边长能否构成三角形，求t 的范围．§4．等差数列与等比数列一．选择题1．互不相等的三个正数a 、b 、c 成等比数列，又x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么2x 、2b 、2y 三个数（ ）A ．成等差非等比数列B ．成等比非等差数列C ．既成等差又成等比数列D ．既不成等差也不成等比数列2．（2004湖北八校联考）等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．297（提示：413a =，69a =，()46992a a S +=）3．（2004江苏溧阳中学高考模拟题）一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折，（即沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ ） A ．188a b ，B ．16464a b ，C ．1128128a b ，D ．1256256a b ，4．（2004山西省试验中学高考模拟题）已知等比数列{}n a 的公比为0q <，前n 项和为n S ，则45S a 与54S a 的大小关系是（ ） A ．4554S a S a =B ．4554S a S a >C ．4554S a S a <D ．以上都不正确5．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则313233l o g l o g l o g l o g a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．32log 5+6．公差不为零的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题7．在等差数列{}n a 中，已知34a a =，0d <，则使它的前n 项和n S 取得最大值的自然数n ＝______．8．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且71427n n A n B n +=+，则n na b =______． 9．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，则3n S =______．10．某企业2003年12月份的产值是这年一月份产值的p 倍，则该企业2003年年度产值的月平均增长率是______． 三．解答题11．项数都是41n - ()*n N ∈的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为a ()0a >，且它们的末项相等，试比较中间项的大小．12．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站的邮袋一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第k 站出发时，邮政车厢内共有k a （k ＝1，2，…，n ）个邮袋．试求： （1）数列{}k a 的通项公式；（2）k 为何值时，k a 最大？求出k a 的最大值．§5．数列求和一．选择题1．数列{}n a 中，160a =-，且13n n a a +=+，则这个数列的前30项的绝对值之和为（ ） A ．495B ．765C ．3105D ．1202．化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（ ）A ． 1222n n ++-- B ．122n n +-+C ．22nn --D ．122n n +--3．在项数为21n +的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为（ ） A ．1n n+ B ．12n n+ C ．21n n+ D ．14．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．66B ．64C ．2663D ．26035．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（ ） A ．5880 B ．5539 C ．5208 D ．4877 6．数列{}n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为10，则项数n 为（ ）A ．11B ．99C ．120D ．121二．填空题7．一条信息，若一人收知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间可传遍______人． 8．()()13579121nn -+-+-+⋅⋅⋅+--=______．9．对于每个自然数n ，抛物线()()22211y n n x n x =+-++与x 轴交于两点n A 、n B ，则200420042211...B A B A B A +++的值为______．10．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______．三．解答题11．（1）{}n a 是等差数列，0n a ≠，求12231111n na a a a a a -++⋅⋅⋅+（2）求数列212n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 12．（2004湖南师大附中高考模拟题）已知二次函数()2f x ax bx c =++经过点()0,0，导数()21f x x '=+，当[]()*,1x n n n N ∈+∈时，()f x 是整数的个数记为n a ．（1）求a b c 、、的值； （2）求数列{}n a 的通项公式 （3）令12n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n S §6．数学归纳法一．选择题 1．已知()1111231f n n n n =++⋅⋅⋅++++，则()1f k +等于（ ） A ．()()1311f k k +++B ．()132f k k ++C ．()11113233341f k k k k k +++-++++ D ．()11341f k k k +-++2．用同数学归纳法证明221111n n a a a a a++-+++⋅⋅⋅+=- ()1a ≠，在验证1n =时，左端计算所得项为（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++3．某个命题与自然数n 有关，如果n k = ()*k N ∈时，该命题成立，那么可推出当1n k =+时，该命题成立，现已知当5n =时该命题不成立，那么（ ） A ．当6n =时该命题不成立 B ．当6n =时该命题成立C ．当4n =时该命题不成立D ．当4n =时该命题成立4．用数学归纳法证明不等式22nn ≥时，n 应取的第一个值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．用数学归纳法证明不等式111131224n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项121k +、()121k +C ．增加了B 项中的两项，但又减少了另一项11k +D ．增加了A 项中的一项，但又减少了另一项11k +二．填空题6．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++时，第一步应验证左式是______，右式是_______． 7．用数学归纳法证明11112321n n +++⋅⋅+<- ()*,1n N n ∈>时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加了的项数是______．8．用数学归纳法证明22nn n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭（a 、b 是非负实数，*n N ∈）时，假设n k =命题成立之后，证明1n k =+命题成立的关键是______．三．解答题 9．求证：422135n n +++能被14整除10．已知()f x 是定义在*N 上的数值函数，满足： （1）()22f =；（2）对任意*,m n N ∈有()()()f mn f m f n =⋅；（3）当m n >时，()()f m f n >． 求证：()f x x =在*N 上恒成立．§7．归纳、猜想、证明一．填空题1．()22x f x x =+，11x =，()11n n x f x -=+ ()*2,n n N ≥∈则234x x x 、、分别为______，猜想n x =______．2．有浓度为%a 的酒精满瓶共m 升，每次倒出n 升()n m <，再用水加满，一共倒了10次，加了10次水后，瓶内的酒精浓度为______． 3．在数列{}n a 中，已知12a =，131n n n a a a +=+ *n N ∈，依次计算2a ，3a ，4a 后，归纳、推测出n a 的表达式是______． 4．数列12，25，310，417，526，637的第20项是______． 5．已知{}n a 满足：存在正数t ，使得对所有正整数n2nt a +=成立（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），则可通过计算1S 、2S 、3S ，猜得n S ＝______．6．设()0f n >，*n N ∈，对任意*,x y N ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅，又()24f =，则()1f =_______，()3f =______，()4f =______．7．若001a b ==，112n n n a a b --=+，11n n n b a b --=+ ()1,2,n =⋅⋅⋅则22112a b -=_______，22222a b -=______，22332a b -=______，22200520052a b -=______．8．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线百平面分成()f k 个区域，则1k + 条直线把平面分成的区域数()()1f k f k +=+ ______二．解答题9．已知数列{}n a 满足2n n S n a =- ()*n N ∈，求出前四项，推测的表达式，再证明．10．已知()n n n nx x f x x x---=+，对*n N ∈，试比较f 与2211n n -+的大小，并且说明理由．数列与数学归纳法单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．数列{n a }中，前三项依次为 11+x ，x 65，x1 则101a 等于 （ ）A ．50B ．13C ．24D ．82．若a 、b 、c 成等差数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图像与x 轴的交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定3．差数列{}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ ＝ （ ）A ．40B ．45C ．50D ．554．已知数列{a n }的通项公式是249n a n =-，则S n 达到最小值时，n 的值是（ ）A ．23B ．24C ．25D ．265．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为 （ ）A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 206．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是 （ ）A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列7．数列{}n a 中，{}1,0+>n n n a a a 且是公比为)0(>q q 的等比数列，满足（ ）211++++n n n n a a a a )(32N n a a n n ∈>++，则公比q 的取值范围是 （ ）A ．2210+<<q B ．2510+<<qC ．2210+-<<q D ．2510+-<<q 8．数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(n ∈N*)，则此数列为 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列 9．数列{a n }的前n 项和S n =5n －3n 2(n ∈N +)，则有（ ）A ．S n ＞na 1＞na nB ．S n ＜na n ＜na 1C ．na n ＞S n ＞na 1D ．na n ＜S n ＜na 110．已知某数列前n 项之和为3n ，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n 11．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公差d ≠1，公比q ＞0且q ≠1，则集合{}n n n a b =的元素最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、已知8079--=n n a n ，（+∈N n ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A ．501,a aB ．81,a aC ．98,a aD ．509,a a二、填空题：13．数列{}n a 的前ｎ项的和S n =3n 2+ n +1，则此数列的通项公式a n =_______. 14．在11+n n和之间插入n 个正数，使这n +2个正数成等比数列，则插入的n 个正数之积为 .15．等差数列{}n a 中，公差d ≠0，a 1，a 3 ，a 9 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++= ____ .16．当x ≠1，0时，1+3x +5x 2 +……+(2n －1)x n －1 = ___________________. 三、解答题：17．（本题满分12分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S . （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G . 18．（本题满分12分）数列{}n a 的通项公式).1()1)(1)(1()(*),()1(13212n n a a a a n f N n n a ----=∈+=设 （1）求：f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值；（2）由上述结果推测出计算f (n)的公式，并用数学归纳法加以证明.19．（本题满分12分）设S n 为数列{a n }的前ｎ项的和，且S n =23(a n －1)(n ∈N*)， 数列 {b n }的通项公式b n = 4n +5.①求证：数列{a n }是等比数列；②若d ∈{a 1 ，a 2 ，a 3 ，……}∩{b 1 ，b 2 ，b 3 ，……}，则称d 为数列{a n }和{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，求数列{d n }的通项公式. 20．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和n S 与通项n a 满足)2,(,1222≥∈-=n N n S S a n nn ，求通项n a 的表达式.21．（本题满分12分）甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：（A ）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡：（B ）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个. 请你根据提供的信息解答下列问题：（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？ （2）哪一年的规模最大？为什么？ 22．（本题满分14分）对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点.如果函数),()(2N c b cbx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ；（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立.数列与答案§1 数列的概念一．选择题 1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 二．填空题 6．()()12211211n n n a n ++=-+- 7．858．108 9．()3,-+∞ 三．解答题10．[解析]：11236a =⨯⨯=当2n ≥时 ∵ ()()1232312n a a a na n n n ++++=++ ① ()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+ ② ①－②得 ()31n na n n =+ ∴ ()31n a n =+ 当1n =时 上式1236a =⨯= ∴ ()31n a n =+.[评析]：此题的解法与已知n S 求n a 的方法类似. 11．解析：由已知可得 11S =，23S =，36S =∴ 1248339276a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得 12a =，12b =，0c = 12．证： 设这个数列的第n 项为n C ，则212n n n C a a -= ()n N *∈∴ ()212212sin sin 22n n n n n C a a ππαα--⎡⎤⎛⎫==++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()=sin sin 2n n παπαπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭()()cos sin n n απαπ=-++ ()11sin 22sin 222n απα=-+=- （为常数）∴ 这个数列是常数列.[评析]：1．此题的关键是找出新数列的第n 项n C 与已知数列{}n a 的关系式212n n n C a a -=()n N *∈.2．思考问题时，不要仅停留在前几项，而更重要的是要抽象到第n 项，这是数学的重要思想方法.§2 等差数列一．选择题1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 提示：设2n S an bn =+二．填空题7．—82 提示：312a a d =+，642a a d =+，…，99972a a d =+． 8．329．4 10．22n n +三．解答题11．[解析]思路1：计算出2x ，3x ，4x ，猜想n x ，再证明． 思路2：∵1n x +=∴ 221222n n n x xx +=+ ∴22221211122n n n nx x x x ++==+ 即2211112n n x x +-= ∴ 数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2111x =，公差为12的等差数列 ∴()()22111111111222n n n n x x +=+-⨯=+-= 由已知可得 0n x >∴n x =12．[解析]10个档次的产品的每件利润构成等差数列：8，10，12，…，()82126n a n n =+-=+()110n ≤≤，10个档次的产品相同时间内的产量构成数列：60，57，54，…，()6031633n b n n =--=- ()110n ≤≤∴ 在相同时间内，生产第n 个档次的产品获得的利润()()26633y n n =+-()2696144n =--+⨯．当9n =时 max 6144864y =⨯=（元） ∴ 生产低9档次的产品可获得最大利润．§3．等比数列一．选择题1．D 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C二．填空题7．100 8．6 9．1255元三．解答题10． [解析]（1）证明：∵ 1n n a a αβ-+=， 11n a αβ-= 代入331ααββ-+= 得 11133n n a a -=+ ∴11111113322322n n n n a a a a --+--==--为定值 ∴ 数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列（2）∵ 115112623a -=-= ∴ 111112333n nn a -⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴ 1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3） 21113332n n n S ⎛⎫=++⋅⋅⋅++⎪⎝⎭111331213n n⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-11223nn +=-⨯ 11．[解析]法一：设每期付款数x 元，则第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为()1110.008x + 第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为()1010.008x + ……第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为()10.008x + 第十二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为x所以各期付款连同利息之和为()12111.00811 1.008 1.008 1.0081x x -++⋅⋅⋅+=- 又所购电器的现价及其利息之和为122000 1.008⨯于是有12121.00812000 1.0081.0081x -=⨯- 得175.46x ≈ 即每期应付款元175.46元法二：设每期付款数x 元，第k 月后欠款为k a 元（k ＝1，2，…，12） 则 ()1200010.008a x =⨯+- ()2110.008a a x =⨯+- ……()110.008n n a a x -=⨯+- 设 ()11.008n n a a λλ--=- 则0.008xλ＝ ∴ 11.0080.0080.008n n x x a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ∴ 数列0.008n x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成等比数列 ∴ 11 1.0080.0080.008n n x x a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵ 120a = 即 111 1.00800.0080.008n x x a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ 将12016a x =-代入上式 得175.46x ≈ 即每期应付款元175.46元[评析]两种解法从不同角度解决分期付款问题，解法一即教材所提供的解法，通过两种解法的比较，也可进一步加深对分期付款问题的理解．12． [解析]（1）由112S a ==，21222S a a a =+=+ ()()2422388t a t t +-+= 得2382t a t += 于是21384a t a t+= 又 ()14388n n tS t S t +-+= ()14388n n tS t S t --+= ()2n ≥ 两式相减得 ()11438n n ta t a +-=+ ()2n ≥ 故1384n n a t a t ++=()2n ≥ ∴ 1384n n a t a t++= ()*n N ∈ ∴ {}n a 是首项为2，公比为384t t+的等比数列． （2）由（1）知13824n n t a t -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∵ 3t <- ∴ 38014t t+<< 又 120a => ∴ {}n a 是一个单调递减的数列从而n a ，1n a +，2n a +为边长能构成三角形的充要条件是 12n n n a a a +++>即 1138383822222n n n t t t t t t +-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得85t >-+ 或85t <-- 又 3t <- ∴8t <-[评析]此题（1）中证明21384a t a t+=是必要的．充分利用已知条件对构成三角形的充要条件进行简化，能达到事半功倍的效果．§4．等差数列与等比数列一．选择题1．A 2．B （提示：413a =，69a =，()46992a a S +=） 3．C 4．B 5．B 6．C 二．填空题 7．5或6 8．1481119．63 10．1 三．解答题11．[解析]设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则它们的中间项分别为 2(21)n a a n d =+-，212n n b aq -= 由4141n n a b --=得 ()2(21)221n a n d a q-+-=∴ ()()2212221n aq a n d a a-+--=⎡⎤⎣⎦∴ 2222n n b a a a -= 即 ()222212n n a b a a =+ ∴ ()22222212n n n n a b b a b a -=+- ()22102n b a a=-≥当且仅当n b a =，即1q =时，上式等号成立． 故当1q =时，22n n a b =，当1q ≠时，22n n a b >．[评析]将2n a 用2n b 表达是解答本题的关键；作差后的配方是判断符号的需要，也体现了“集中变量”这一重要的数学思想．12． [解析]由题设知11a n =-，()()2121a n n =-+--， ()()()312312a n n n =-+-+---，…在第k 站出发时，前面放上的邮袋共有()()()12n n n k -+-+⋅⋅⋅+-个，而从第二站起，每站放下的邮袋为12(1)k ++⋅⋅⋅+-个．故a k=（n-1）+(n-2)+…+(n -k)-[1+2+…(k -1)]()[]1212(1)k n k k =-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+- 2(1)(1)22k k k k kn kn k +-=--=- （k ＝1，2，3，…，n ） （2）由（1）知2224k n n a k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭若n 为偶数，则当2n k =时，k a 的最大值为24n若n 为奇数，则当12n k -=或12n k +=，k a 的最大值为214n -．§5．数列求和一．选择题1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C二．填空题7．2421- 8．()()n n n n ⎧⎨-⎩为偶数为奇数 9．20042005 10．11，7三．解答题11． [解析]：裂项求和111111k k k k a a a a d--⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭ 答：11nn a a - （2）求数列212n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 [解析]：错位相减法 答：2332nn +-12． [解析]（1）∵ ()f x 的图像过()0,0 ∴ 0c = 又 ()221f x ax b x '=+=+ ∴ 1a =，1b = （2）∵ ()2f x x x =+ ∴ 对称轴为12x =-∴ ()f x 在[],1x n n ∈+上单调递增 而 ()2f n n n =+，()()()2211132f n n n n n +=+++=++∴ ()()1123n a f n f n n =+-+=+ （3）()()1221123252325n n n b a a n n n n +===-++++ ∴ 123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+ 11111157792325n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11525n =-+ ()2525nn =+§6．数学归纳法一．选择题1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 二．填空题 6．112-，111+ 7．2k 8．两边同乘以2a b + 三．解答题9． 证明：（1）当1n =时 412211358546114⨯+⨯++==⨯ 能被14整除， ∴1n =时命题成立（2）假设n k =时命题成立，即422135k k +++能被14整除则1n k =+时 ()()()()41221142421242142135353535k k k k k k +++++++++++=++⋅-⋅()()()44221212444221213355533355414k k k k k k ++++++=++-=+-⋅⋅能被14整除∴ 1n k =+时，命题成立．综合（1）、（2）知命题对一切*n N ∈均成立．[评析]第二步证明中想方设法配出假设中的代数式422135k k +++是此类问题的解题规律．10． 证明：由条件（1）、（2）知 ()()()()221221f f f f ==⋅= ∴ ()11f = 即当1x =时，()f x x =成立假设x =1，2，3，…，k 时，有()f x x = 则当1x k =+时，若12k s += ()1s k ≤≤， 则()()()()12221f k f s f f s s k +====+； 若121k t +=+ ()1t k ≤≤ 则()()()22212222t f t f t f t t =<+<+=+ 即 ()22122t f t t <+<+由于()f x 是在*N 上的数值函数，故()2121f t t +=+ 即()11f k k +=+，综上所述，()f x x =对*x N ∈恒成立[评析]这一题的证明充分显示出数学归纳法的威力．§7．归纳、猜想、证明一．填空题1．23，24，25；21n + 2．101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭3．265n a n =- 4．40120 5．2tn6．2，8，16，2n7．1，－1，1，1 8．1k +二．解答题9．[解析]∵ 11121a S a ==⨯- ∴ 11a = 21222122S a a a a=+=+=⨯- ∴ 232a = 31233331232S a a a a a =++=++=⨯- ∴ 374a =41234443712424S a a a a a a =+++=+++=⨯- ∴ 4158a = 由此猜想1212n n n a --= ()*n N ∈，下面用数学归纳法证明：证：1º当1n =时，1102112a -==，等式成立 2º假设n k =时，等式成立 即 1212k k k a --=，则当1n k =+时，∵ ()1121k k S k a ++=+- 2k k S k a =-∴ ()()111212k k k k k a S S k a k a +++=-=+---⎡⎤⎣⎦ 112k k k a a a ++=-+∴ ()11112122222k k k k a a +-⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭11112121222k k k k++---=⋅=即1n k =+时，等式成立综合1º、2º对*n N ∈，1212n n n a --=均成立．10．[解析]21212121n nn nnn nf ----===-+++ 而 22212111n n n -=-++ ∴f与2211n n -+的大小等价于 2n 与2n 的大小．当1n =时，1221> 当2n =时，2222= 当3n =时，3223< 当4n =时，4224=当5n =时，5225>猜想当5n ≥时，22nn >，以下用数学归纳法证明 1º当5n =，由上可知不等式成立2º假设()5n k k =≥时，不等式成立 即22kk > 则当1n k =+时，122222k k k +=⋅>又 ∵ ()()22221120k k k -+=--> （∵ 5k ≥） 即 ()2121k k +>+∴ 1n k =+时 不等式成立综合1º、2º 对*5,n n N ≥∈不等式22nn >成立 所以 当1n =或5n ≥时，2211n fn ->+当3n =时，2211n fn -<+当2n =或4时，2211n fn -=+数列与数学归纳法单元测试题参考答案13、⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2(26)1(5n n n a n14、2)1(nnn + 15、1613 16、21)1()12()12(1x x n x n x n n --++-++ 三、17、（Ⅰ）由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩……3分 由233)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n ……………………………6分（Ⅱ）设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n b ………………… 9分 .2)12(62)2222(3321n n G n n n +-=+++++=∴*)(,62231N n n G n n ∈-+⋅=∴+ ……………………………………12分 18、解：（1）,432111)1(21=-=-=a f ,649843)1)(1()2(21=⋅=--=a a f ,85161564)1)(1)(1()3(321=⋅=---=a a a f .106252485)1)(1)(1)(1()4(4321=⋅=----=a a a a f 。
数列章节课后习题及答案
数列习题及答案详解一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )． A ．30 B ．31 C ．32 D ．33解析 a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案 B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )． A ．15 B ．16 C ．49 D ．64解析 由于S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1＝1适合上式． ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 答案 A3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案 D5．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )． A ．4 B ．8 C ．16 D ．32解析 由等比数列的性质得：a 2a 6＝a 24＝16. 答案 C6．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )． A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S5S 2＝)1(11)1(2151q a q q q a --⋅-- ＝1－q 51－q 2＝－11. 答案 A8．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )．A ．120B ．70C ．75D ．100 解析 ∵)2(2)123(+=++=n n n n S n ，S n n＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.答案 C9．设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )．A.2]1)1[(--nn B.2]1)1[(1+--n C.2]1)1[(+-nD.2]1)1[(--n解析 因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝)1(1])1(1)[1(------n＝2]1)1[(--n.答案 D10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q＝2.∴S 4＝1－241－2＝15.答案 C 11．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析 10476518218218121932222)(b b b a q a q q a q q a q a q a a a +====≥+=+=+12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，且7,373=-=S S ，那么数列{}n a 的公差=d （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A二、填空题13．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________. 解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25. 答案 －2514．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以0)]61)(14(1[)]61)(1(1[=--++--+k ，即k ＝10.答案 1015.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设竹子从上到下的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d＝766，a 1＝1322a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案 676616. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥217. 等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－12三、解答题18. 知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．(1)解 设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得：A ＝2，B ＝－4，C ＝0.∴S n ＝2n 2－4n .(2)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)] ＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．当n ＝1时符合上式，故a n ＝4n －6， ∴a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }成等差数列．19. 知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋24n ＋(n －1)2－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *)．(2)法一 ∵S n ＝－n 2＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二 ∵a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252.∴a 12＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144.20. d 为非零实数，a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋n C n n d n ](n ∈N *)．(1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d (1＋d )，a 3＝d (1＋d )2.当n ≥2，k ≥1时，k nC k n ＝C k －1n －1，因此 a n ＝∑n k ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d (d ＋1)n －1. 由此可见，当d ≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列； 当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }不是等比数列． (2)由(1)可知，a n ＝d (d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n (d ＋1)n －1]．①当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d ≠－1时，①式两边同乘d ＋1得(d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n (d ＋1)n ]．② ①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n (d ＋1)n ]＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+n n d n d d d )1(1)1(2. 化简即得S n ＝(d ＋1)n(nd －1)＋1. 综上，S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.21. 知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设n n a b 41log32=+ (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .[尝试解答] (1)由题意，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)，又2log 341-=n n a b ，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)． ∴S n ＝1×14＋4×⎝⎛⎭⎫142＋7×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ， 于是14S n ＝1×⎝⎛⎭⎫142＋4×⎝⎛⎭⎫143＋7×⎝⎛⎭⎫144＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n ＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， 两式相减，得 34S n ＝14＋3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －(3n －2)×⎝⎛14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－3n ＋23×⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)．22. 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n n －1 2×2＝n 2＋2n .。
数列练习题_附答案
数列练习题_附答案强⼒推荐⼈教版数学⾼中必修5习题第⼆章数列1．{a n }是⾸项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等⽐数列{a n }中，⾸项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都⼤于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知⽅程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成⼀个⾸项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等⽐数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，⾸项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成⽴的最⼤⾃然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等⽐数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等⽐数列，则212b a a 的值是( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9⼆、填空题11．设f (x )＝221+x ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和公式的⽅法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等⽐数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插⼊三个数，使这五个数成等⽐数列，则插⼊的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平⾯内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平⾏，任意三条直线不过同⼀点．若⽤f (n )表⽰这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列.18．设{a n }是公⽐为 q 的等⽐数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为⾸项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，⽐较S n 与b n 的⼤⼩，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2 S n (n ＝1，2，3…)．求证：数列{nS n }是等⽐数列．第⼆章数列参考答案⼀、选择题1．C解析：由题设，代⼊通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等⽐数列的相关概念，及其有关计算能⼒．设等⽐数列{a n }的公⽐为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，⼜a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．⼜a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，⽽⽅程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是⼀个⽅程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另⼀个⽅程的两个根．∴167，1615分别为m 或n ，∴｜m －n ｜＝21，故选C ．解法2：设⽅程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第⼀项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47，∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27，∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有⼀正数⼀负数，⼜a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故4 006为S n ＞0的最⼤⾃然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最⼤值．∵S n 是关于n 的⼆次函数，如草图所⽰，∴2 003到对称轴的距离⽐2 004到对称轴的距离⼩，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最⼤⾃然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，⼜由a 1，a 3，a 4成等⽐数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．(第6题)8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ??＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公⽐，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，⼜a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，⽽a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．⼆、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222?+＝x x 22221+，∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+?＝x x 222211+?+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121==+=+q q a a a a ，∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216．解析：本题考查等⽐数列的性质及计算，由插⼊三个数后成等⽐数列，因⽽中间数必与38，227同号，由等⽐中项的中间数为22738?＝6，∴插⼊的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413?＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)．解析：同⼀平⾯内两条直线若不平⾏则⼀定相交，故每增加⼀条直线⼀定与前⾯已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满⾜从第2项开始每项与其前⼀项差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满⾜，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．⾸项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋cb a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋，∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21．（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ，所以1＋1＋n S n ＝n S n 2．故{n S n }是以2为公⽐的等⽐数列．。
数列 练习题
数列练习题数列练习题数列是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
数列由一系列有序的数字组成，其中每个数字称为数列的项。
在数列中，每个项都有一个位置，称为项数。
数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对数列的理解。
练习题一：等差数列1. 某等差数列的首项是3，公差是2，求该数列的第10项。
2. 某等差数列的前三项分别是1，4，7，求该数列的通项公式。
3. 某等差数列的前五项和为30，公差为3，求该数列的首项。
解答：1. 根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
代入已知条件，可得a10 = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
2. 设该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
代入已知条件，可得1 = a1 + (1-1)d，4 = a1 + (2-1)d，7 = a1 + (3-1)d。
解得a1 = 1，d = 3，所以该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3。
3. 设该等差数列的首项为a1，前五项和为30，公差为3。
根据等差数列前n项和的公式Sn = n/2(a1 + an)，代入已知条件，可得30 = 5/2(a1 + a5) = 5/2(a1 + a1 + 4d) = 5/2(2a1 + 4d) = 5/2(2a1 + 12)。
解得2a1 + 12 = 12，所以a1 = 0。
因此，该数列的首项为0。
练习题二：等比数列1. 某等比数列的首项是2，公比是3，求该数列的第5项。
2. 某等比数列的前两项分别是2，6，求该数列的通项公式。
3. 某等比数列的前三项和为21，公比为2，求该数列的首项。
解答：1. 根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
代入已知条件，可得a5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正 整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且 则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等 差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（ ）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（ ） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（ ）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线 （该直线不过原点O ），则200S =（ ）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈； （1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项； （3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。
数列章节复习
《数列》整章复习一、知识要点1、定义：等差数列 等比数列2、通项公式：等差数列： ，推广式： 。
等比数列： ，推广式： 。
3、中项： 等差中项 a 、A 、b 成等差数列⇔ 等比中项 a 、G 、b 成等比数列⇒4、 前n 项和公式：等差数列 或等比数列 或5、简单性质：等差数列{a n }：（1）若m+n=p+q ，则 ； 特别地：若m+n=2p,则 （2）2,,,n n m n m a a a ++ 组成以 为公差的等差数列； （3）232,,n n n n n S S S S S -- 组成以 为公差的等差数列；等比数列{a n }：（1）若m+n=p+q ，则 ； 特别地：若m+n=2p,则 （2）2,,,n n m n m a a a ++ 组成以 为公比的等比数列；（3）232,,n n n n n S S S S S -- 组成以 为公比的等比数列(S n ≠0)； 二、等差数列1、等差数列{a n }中，已知113a =，a 2 + a 5 = 4，a n = 33，则n=（ ） A 、48 B 、49 C 、50 D 、512、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4 = 18–a 5 ，则S 8=（ ）A 、18B 、36C 、54D 、723、在等差数列{a n }中，公差为0.5，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=4、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A 、5B 、4C 、3D 、25、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=24，且S 17= S 10，问数列{a n }的前多少项之和最大，并求此最大值。
6.等差数列{a n }中，a 1＞0，且3a 8 = 5a 13，则S n 中最大的是（ ） (A) S 10 (B) S 11(C) S 20 (D) S 217、在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++=（ ） A 、40 B 、42 C 、43 D 、458、在等差数列{a n }中，a 2+a 4=p ，a 3+a 5=q ．则其前6项的和S 6=（ ） A 、4)(5q p + B 、2)(3q p + C 、p+q D 、2(p+q) 9、在等差数列{}n a 中，a 5=10，a 60=40，则a 45= 。
数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列1 . 孔｝是首项a1= 1, 公差为d =3的等差数列，如果a n =2 005, 则序号n 等千（）．A. 667B. 668C. 669D. 6702. 在各项都为正数的等比数列｛孔｝中，首项a1= 3 f前三项和为21I则a3+ a4 + a s = ( ). A. 33B. 72C. 84D. 1893. 如果a1,a2, …，as 为各项都大千零的等差数列，公差d-:t-0,则（）．A.a泣s > a 泣5B.a也s < a 泣5C . a 1+as < a4 + a s D . a 1as= a 泣54. 已知方程(Jf -2x+ m )(烂-2x+ n ) = 0的四个根组成一个首项为－的等差数列，则4 Im-n I 等于（）．A. 13-4B 1_2c D. 3-85. 等比数列｛孔｝中，a2= 9 , as = 243 , 则｛动的前4项和为（）． A. 81B. 120C. 168D. 1926. 若数列a 动是等差数列，首项a1> 0, B2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 则使前n项和Sn>0成立的最大自然数E=In 定：（）．A. 4 005B. 4 006C. 4 007D. 4 0087. 已知等差数列｛劲的公差为2,若a1, a3 , a4成等比数列则a2=().A. -4B. -6C. -8D. -108. 设岛是等差数列｛劲的前n项和，若化＝5 S ——，贝u----2...= ()a 39 S 5A. 1 B . -1C.2 l-2．D 9. 已知数列-l,a1,a2-4成等差数列-1 a — 2 aII纺，纺，�/-4成等比数列，则］的值是（b 2)1_2． A l -2 ． B l -2 或l -2 ． cl-4． D 10. 在等差数列｛孔｝中，a n t:-0,a n -l -a�+ a n +l = O (n�2), 若S2n -l = 38 , 则n =( ) .A. 38B. 20C. 10D.9二、填空题11 . 设心＝ 1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得I(-5) + I(-4) + ... + f(O) +…+ /(5) 2勹一五+ /(6)的值为12. 已知等比数列｛动中，(1)若a3盆·as =8, 则a2·务函岔兔＝(2)若a1+ a2 = 324 , a3 + a4 = 36 , 则as+a 产(3)若S4=2,Ss =6,则a17+ a1s + a19 + a20 = 8 2713 . 在－和—之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为14. 在等差数列｛孔｝中，3(a 产生）+ 2(动+a10 + a13) = 2 4 , 则此数列前13项之和为15 . 在等差数列｛孔｝中，as =3,a6= -2, 则a4+as+…+a10 =16. 设平面内有n 条直线(n�3)/其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同—点．若用杯）表示这n 条直线交点的个数，则私）＝三、解答题；当n>4时，杯）＝17 . (1)已知数列｛孔｝的前n 项和S n =3rF -2n,求证数列｛孔｝成等差数列(2)已知1 1 1 — —, －成等差数列，求证b+cc+a a+b也成等差数列abcab c18. 设｛孔｝是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设｛如是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n,当n�2时，比较岛与幻的大小，并说明理由．19. 数列｛孔｝的前n项和记为S n,已知a1= 1 求证：数列｛二｝是等比数列．n+2, an+ 1 = Sn(n = 1 , 2 , 3 ...) .20. 已知数列｛孔｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，岛为其前n项和，a1/ 2句，3a4成等差数列，求证：1253 / 55 / 512 -55成等比数列第二章数列参考答案一、选择题1.C解析：由题设，代入通项公式a n=a1 +(n -l)d, 即2005 = 1 +3(n -1) ,.·.n = 699 .2.C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列｛孔｝的公比为q(q>0) /由题意得a1+ a2 +a3 = 21 ,即a1(l+ q+矿）= 21, 又a1=3,:.l+q+矿=7.解得q=2或q=-3(不合题意，舍去），．岛＋函+a s=a1矿(1+ q+矿）= 3x2奴7=84.3.B.解析：由a1+as=a4+a s,才非除C.又a1岔=a1(a1 +7动=a产+7 a1d,a4· 无=(a1 +3功(a1+ 4动=a产+7 a1d + 12d > a1·as .4.C解析：1解法1:设a1= , a尸1 1 1— —+ d, a3 = -+ 2d, a4 =—+3d, 而方程烂-2x+m=O中两根之和为2烂-2x+n=O4 4 4 4中两根之和也为2,.a1 +a2 +a3 +函=1+6d=4,7 3 5:.d=—, a1 =—, a4=—是一个方程的两个根，a1=—, a产—是另一个方程的两个根．2 4 4 4 47 15.-. —, —分别为m或n,1616.-. Im -n I =_!_, 故选C .2解法2:设方程的四个根为X 1, X2 , X3 , X4 , 且X 1+X2=X3+X4=2 IX1为=m ,X3凶=n.由等差数列的性质：若等差数列为，1 3 5 7 4 4 4 4715 :.m =—, n =— 1616+s =p +q ,则a7+ a s = a p+ a q /若设X1为第—项，X 2必为第四项，则X2=—，千是可得4.-. Im -n I．1-25.B解析：a2 = 9 , as = 243 , 生－＝矿＝—－243 =27 a 29.·.q = 3 I a1q = 9 I a1 = 3 I S 4= 3—35=严=120l —326. B 解析：解法1:由a2003 + a 2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 知a2003和a2004两项中有—正数—负数，又a1> 0 /则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003 > a2 004 , 即a2003 > 0 , a2 004 < 0.4 006(a1+a 4 006 )4 006(a +a ).-. 54 006 ==2 003 2 004 > O ,224 0074 007 :.S4 007 =·(a1+ a4 007) =·2a2 004 < 0 , 22 故4006为S n>0的最大自然数选B.解法2:由a1> 0 , a2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 ,同解法1的分析得a2003 >0 , a2 004 < 0 ,.·.S2 003为岛中的最大值．I（第6题）岛是关于n的二次函数，如草图所示，.2 003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，4 007.在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007 I4 008都在其右侧，S n >0的最大自然数是4006.7.B解析：了｛孔｝是等差数列，．．岔=a1 + 4 , a4 = a1 + 6 , 又由a1, a 3, a4成等比数列，..(a1 + 4)2 = a1(a1 + 6) , 解得a 1= -8 t .a 2 = -8 + 2 = -6 . 8.AA 选， 1 ＿＿ 5-9 9-5 ＝ 53 a a ．． 95 ＿＿ 、丿、晶，丿95 a a +2+2a l a _ （（ 95 ＿＿ s 9-i ·' .. 析解9.A解析：设d和q分别为公差和公比，则-4 = -1 + 3d且-4 = (-1) cf / .d = -1 , 矿=2,a -a .2 I d l ．．= =— 九－矿210. C解析：｛孔｝为等差数列，a�= an-l + an+l, .·.a�= 2an, 又BntO, ."孔=2 / {孔｝为常数数列，s2n-138而a n =I即2n -1 =—= 19,2n -12:.n = 10二、填空题11. 3五．解析：了伈劝＝2勹一五2x.f(_l -劝=1 =2x=✓2 i 1-x 十五2+✓2·2x 忒+2XI·2x l + 1.y1(✓2+ 2x)伈店－劝=1+✓2=✓2 =✓2五+2x迈+2x五+2x丘+2x设S =I(_ -5) +/(_ -4) +…＋和）＋…＋朽）＋秅），贝U 5 = /(_6) + /(_5) +…+ f(_O) +…+ I(_ -4) + I(_ -5):.2S = [/(_6) + I(_ -5)] +团5)+ /(_ -4)] +…+ [/(_ -5) +秅）] = 6✓2..S = I(_ -5) + /(_ -4) + ... +和）＋…＋朽）＋秅）=3五．12 . (1) 32 ; (2) 4 ; (3) 32 . 解析：(1)由a3岔=Q�/得a4= 2I＿2＿＿ :.a2·a3·a4·a5·a6 = a 5 = 32. (2) {a , + a , �324⇒ 矿＝丿(a, +aJ 矿=369 I．岛+a6= (a1 + a2)才=4.(3){义�a 三+a ,+a 4�24⇒旷�2'S 8=a 1+a 2+· · ·+a 8=S 4+S 4q:.a 17 + a 1s + a19 + a20 = S4泸=32.13 . 216 .8 27解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与－，—同号，由等比中项的中间数为厂产=6I ..插入的三个数之积为汇竺x6= 216. 3 23214. 26.解析：·.岔+a s =2a4, 句+au =2a10, :.6(a4 + a 10) = 24 , a4 + a 10 = 4 , :.S 13 =13(a 1+a 13) 13(a 4+a 10) 13X42 = 2 = 2= 26. 15 . -49. 解析：·:d =a 6 -a s = -5 , .·.a4 +a s+…+ a10 =7(a 4+a 10)_ 7(a 5—d+a 5+5d) =7(a s +2动= -49.16. 5, —(n + l)(n-2) . 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，.f(k)=f(k-1) + (k-1)由/(3)= 2/(4) = /(3) + 3 = 2 + 3 = 5 , /(5) = /(4) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9 ,f(n) = f(n -1) + (n -1), 相加得杯）=2+3+4+ 三、解答题1…+ (n -1) =—(n + l)(n -2) . 2 17. 分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：(1) n= 1时，a1=51=3-2=1,当n�2时，a n =S n -S n _ 1 = 3 ff -2 n -[3(n -1)2 -2(n -1)] = 6n -5 n=l 时，亦满足，:.a n =6n -S(nE N *) .首项a1= 1 ,a n -a n -1 = 6n -5 -[6(n -1) -5] = 6(常数）(nEN*),．数列｛动成等差数列且a1= 1, 公差为6.(2) .. 1 1 1 ， 成等差数列，a b c 2 1 1 :. —=-+-化简得2a c =以a +CJ b a cb+c a+b ＋＝ bc+c 2+a 2+ab b(a+c)+a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 a+c = = = = 2a C ac acac b(a+c) b . b+c c+a a+b， 也成等差数列．a bc 18. 解：(1)由题设2a3= a1 + a2 , 即2a心=a1 + a1q, :a1-:t-O, :.2矿-q -1=0,:.q= 1或－—．12(2)若q=1, 则S n =2n+= n(n —I) n 2+3n 2 2当n�2时，S -b n = S n -(n —1) (n+2)n 1=>O, 故S n >b n .若q = 2I n(n 1)，则S n =2n + l —n +9n -—(-—) ＝2 2 2 4. 当n�2时，S n -炕=S n -1 =, (n —I) (IO —n)2故对于nEN+,当2匀区9时，S 户肛；当n =10时，S n =b n ; 当n�ll时，S n <b n . 19. 证明...n+2 .. a n +i = Sn+l -S n I a n +i = nS n I .·.(n + 2)S n = n(S n +l -S n ),整理得nS n +l = 2(n + 1) S n , s 所以n +l 2S n n+I n s 故｛二｝是以2为公比的等比数列．20. 证明：由a1/ 2句，3a4成等差数列，得4句=a1 + 3a4, 即4a1cf = a1 + 3a1矿，变形得(4矿+1)(矿-1) = 0 , 1 矿＝－－或矿=1(舍）．4 吓－矿）由戈=1-q = l+q 3 =上12S 3 12a, (1-矿）12 16 1—qa l (l —q '2) S ,2-S 6 =旯l —q 1-1= -1=1+ -1=—·＃ s 6 s 6 a , (1—q 勹得戈＝凡-S 6. 12S 3 S 61-q .12S3 I S5 I S12 -吴成等比数列．16。
数列练习题(含答案)基础知识点
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求na解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法 如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n na a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+( 附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nxS x x -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为 （ ）（A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n（D ）212112+--+n n n 9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ） （A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为 （ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =14、已知等差数列{}na ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++= 15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a = 16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、 解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆｝的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中，若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包｝，若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中，a3= 2, a5 = l, 则数列｛｝是等差数列，则a ll=a n +l5、在数列{a J和｛九｝中，b n是a n与a n+I的等差中项，a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列｛九｝的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项，则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中，已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立，则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀＝号－，如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立．则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中，各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立，若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2)，则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立＝12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—，则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中，如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数），则称{a J为等a n+l -a n差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等千公差比．其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中，Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时，n的值为（）A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列，若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值，那么当凡取得最小正值时，n=a l O（）A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是（）A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、｛九｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹，则数列{e n}的前10项和等千（）A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和｛仇｝的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是（b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆｝的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九＝凡_3n,求忱｝的通项公式；(2)若a＊n+I� 化，nEN,求a的取值范围．24、数列曰｝满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列，凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时，用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值，试求a的取值范围；125、数列{aJ中，a l=—，点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上，其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列｛九｝是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小｛九｝的前n项和，是否存在实数入，使得数列｛凡:入T"}为等差数列？若存在，试求出入；若不存在，则说明理由。
第二章数列合练习
第二章：数列综合练习一、选择题1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）A ．11B ．12C ．13D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2973．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ．120C ．168D ．1924．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．－1C ．1±D ．215．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项A ．2B ．4C ．6D ．86．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513B ．512C ．510D ．82257．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。
A ．98B ．99C ．96D ．978．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．179．在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a 则n a 为（ ）A ．6B ．2)1(6--⋅nC ．226-⋅nD ．6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n10．在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（）A ． –22.5B ．－21.5C ．－20.5D ．－2011．已知等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于 （ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．912．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） A 23 B 2131n n -- C 2131n n ++ D 2134n n -+ 13．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ． – 4B ．－6C ．－8D ．－1014．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 15．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ）A ．1B ．0或32C ．32D ．5log 216．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A．B.C. D.)251,251(++- 17．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对18．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。
第四章数列单元测试试题及解析
第四章数列测试卷(时间：90分钟，满分：100分)一、单项选择题：本题共6小题，小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列13，25，37，49，…的通项公式{a n }是( )． A ．221nn － B ．23nn － C ．21nn ＋ D ．23nn ＋ 2．化简式子113×＋135×＋157×＋…＋120192021×，得( )． A ．20202021B ．20192020C ．10102021D ．202120223．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了( )．A ．48里B ．189里C ．288里D ．336里4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝2a 3，则95S S ＝( )．A ．910B ．1518C ．95D ．1855．数列{a n }的通项公式πcos 2n n a n ＝，其前n 项和为S n ，则S 2020＝( )． A ．1 010B ．2 020C ．505D ．06．在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1．记T n ＝a 1a 2…a n (n N *)，则数列{T n }( )．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．7．已知数列{a n }是等比数列，则( )． A ．数列{|a n |}是等比数列B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列C ．数列2lg na {}是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列8．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( )．A ．a 4＝0B ．S n 的最小值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|＜|a 5|三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．9．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 6＋a 9＝24，则a 6的值是__________，S 11的值是__________．10．已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5＝8，a 7＝8，则a 1的值是__________．11．在数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1，数列11n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＋是等差数列，则a 8的值是__________．12．已知等比数列{a n }满足a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，且前n 项和S n ＝63，则n 的值为__________．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 5＝15，则25n S n＋取得最小值的n 值为__________．四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．(8分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝0，a 2＝2． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S n 的最大值及相应的n 的值．15．(10分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 2，a 3＋1，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ＋log 2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．16．(10分)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足S n ＝2a n ＋n ． (1)证明数列{a n －1}是等比数列，并求出通项公式a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n ．17．(10分)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)证明数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a n ，记数列11n n b b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＋的前n 项和为T n ，求使得910nT ≤成立的n 的最大值．18．(10分)一列火车从A 城驶往B 城，沿途有m 个车站(包括起点站和终点站)．车上有一邮政车厢，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各站发给该站的邮包各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第n站出发时，邮政车厢内共有邮袋a n个(n＝1，2，…，n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，a n的值最大，求出a n的最大值．参考答案一、单项选择题．1．C ．2．C ．3．D ．4．D ．5．A ．6．B ． 提示：由题意可知，等差数列的公差d ＝51195151a a －－＋＝－－＝2，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－9＋(n －1)×2＝2n －11．注意到a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜0＜a 6＝1＜a 7＜…，且由T 5＜0可知T i ＜0(i ≥6，iN )，由1ii T T －＝a i ＞1(i ≥7，iN )可知数列{T n }不存在最小项．由于a 1＝－9，a 2＝－7，a 3＝－5，a 4＝－3，a 5＝－1，a 6＝1，故数列{T n }中的正项只有两项T 2＝63，T 4＝63×15＝945．故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T 4．故选B ．二、多项选择题． 7．ABD ．提示：根据题意，数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则1n na a ＋＝q (nN *)．对于选项A ，对于数列{|a n |}，有1n na a ＋＝|q |(n N *)，因此为数列{|a n |}等比数列，即选项A 正确．对于选项B ，对于数列{a n a n ＋1}，有11n n n na a a a ＋－＝q 2(nN *)，因此为数列{a n a n ＋1}为等比数列，即选项B 正确．对于选项C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a ＝，则数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，故选项C 错误．对于选项D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a －－＝＝，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，因此选项D 正确．故选ABD ． 8．AC ．提示：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ．所以a 4＝0，故选项A 正确．因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故选项C 正确．由于d 的取值可正可负，故S 3可能为最小值或最大值，故选项B 不正确． 因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故选项D 不正确． 故选AC ． 三、填空题． 9．8；88． 10．1． 11．12． 12．6． 13．2． 四、解答题．14．解：(1)在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 5＝0，a 2＝2，解得a 1＝4，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－2n . (2)2152n n a a nS n n (＋)＝＝－＋，当n ＝2或n ＝3时，S n 有最大值是6． 15．解：(1)由题意可得2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，即2(4a 1＋1)＝2a 1＋8a 1，解得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1；(2)因为b n ＝a n ＋log 2a n ＋1＝2n －1＋n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n -1)＝1212nn n (＋)＋－． 16．解：(1)由S n ＝2a n ＋n ，当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1． 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋(n －1).作差可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1＋1， 所以a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n－1－1)．数列{a n －1}是以a 1－1＝－2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n －1＝－2×2n －1，故a n ＝1－2n ．(2)利用错位相减得214122n n n n T n ＋＋－＝－(－)． 17．解：(1)当n ≥2时，因为a n ＝S n －S n －1＝(2a n －a 1)－(2a n －1－a 1)＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1．因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以2(a 2＋1)＝a 1＋a 3． 又a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，所以2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2．于是122nn a n a －＝(≥)． 所以数列{a n }是首项和公比均为2的等比数列，即2n n a =． (2)由b n ＝log 2 2n ＝n ，得1223111111112231n n n T b b b b b b n n +＝＋＋…＋＝＋＋…＋××(＋)， 则1111111122311n T nn n ＝－＋－＋…＋－＝－＋＋． 令191110n －≤＋，解得n ≤9，即n 的最大值为9． 18．解：(1)a 1＝m －1，考察相邻两站a n ，a n －1之间的关系，由题意知 a n ＝a n －1－(n －1)＋(m －n )，所以a n －a n －1＝(m ＋1)－2n (n ≥2)． 于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝(m －1)＋(n －1)(m ＋1)－2(2＋1＋…＋n )＝nm －n 2，即a n ＝nm －n 2(m ，n N *，1≤n ≤m )．(2)由(1)可得a n ＝nm －n 2＝2224m m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－＋．当m 为偶数时，取2m n ＝，a n 取得最大值24m ；当m 为奇数时，取12m n －＝或12m ＋，a n 取得最大值214m －。
学业水平考试复习《第五章 数列》
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★要点解读
3.等差数列的通项公式和前n项和公式.
an= a1+(n-1)d Sn= na1+n(n-1)d/2
基本量
a1
d
4.等比数列的通项公式和前n项和公式.
an= a1qn-1
1- qn Sn= a1 1- q
基本量
a1
q
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★要点解读
▲.更多的知识点详见导引. 1.等差中项. 2.等比中项.
3.等差、比的求和公式.
▲实战P74 第9题
湖南省简化解题过程.
性质
等差数列 等比数列
性质1 a = a +(n-m)d n m
性质2 若m+n=p+q则
an= amqn-m
若m+n=p+q则
an+am=ap+aq
Sn , S2n-Sn , S3n-S2n 成等差数列
等差数 列的前 n项的 和
★考试内容与考试要求
单元 知识条目 考试要求 b c b a c c c ▲1.等比数列 ①等比数列的概念 等比数 ②等比数列的通项公式 列 ③等比中项 ④等比数列与指数函数的关系 等比数 列的前 n项的 和 ▲1.等比数列前n项的和 ①等比数列前n项和的公式 ②等比数列的基本量运算 ③等比数列前n项和公式的实际应用
★要点解读
2. 数列的前n项和Sn
(1) S n a1 a2 ... an ；
( n 1) S1 ( 2) an 与S n的关系： n a . S n S n 1 ( n 2)
例2. 数列前n项的和 Sn＝n2 +2n，求an. 变式. 数列前n项的和 Sn＝n2 +2，求an.
2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为()A ．11B ．12C ．13D ．14答案C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a2a 1等于()A.32B.23C.12D ．2答案A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d＝32.故选A.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于()A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案B解析a 1＋15d ＝30，a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑()A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ．39500m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000×7＋7×62×200＝39200(m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于()A.139B.79C ．3D ．1答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列，∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中的()A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组答案A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .在直线y ＝2x －1上，则a 9等于()A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821答案C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝又S11－1＝a 1－1＝1，1，公比为2的等比数列，所以Sn n －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故a 9＝10×128＋1＝1281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为()A.175264B.3988C.173264D.181264答案A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝所以数列{b n }的前n项和为T n －13＋12－14＋…＋1n －－1n ＋1－所以T 10－111－＝175264，故选A.12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018<1，则实数x 可以等于()A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案B 解析∵a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)，当x ＝－23x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，a 1＋12×112d2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10.14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若Sn T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －2则S 2019＝________.答案2020解析∵a n ＝(2n －2＝(1－2n )sinn π2，∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4，∴S 2019＝504×4＋a 2017＋a 2018＋a 2019＝2016＋[(1－2×2017)＋0＋(2×2019－1)]＝2016＋4＝2020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5.当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1，∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列，∴a n ＝5·5n －1＝5n .∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n…＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3.(1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(1)证明b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1}是等比数列；(2)若数列b n ＝log 2(a n ＋1)n 项和T n .(1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝2n ，∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝∴T n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝n 2n ＋1.21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n .(1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n .解(1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ，∴a n n ＝1，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列，∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n≥m 成立，求实数m 的最大值．解(1)∵S n ＝2a n －2，①∴S n ＋1＝2a n ＋1－2，②∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)，∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，成等差数列，公差为12.首项T 11＝b11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n2n ＝n 2n －1＝－1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3＋…＋n －1，③12M n ＝12＋2＋3＋…＋n ，④③－④得，12M n ＝1＋12＋＋…－1－n 1－12n＝2－(n ＋，∴M n ＝4－(n ＋－1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋－4＋(n ＋－1＝n ＋12n>0.∴{M n }为递增数列，且(n ＋－1>0，∴M n <4.∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。
数列练习题及答案(通用)
必修5第二章《数列》 练习题一、选择题1．数列1，3，6，10，的一个通项公式是：（ ）A. 12+-=n n a nB.)1(21-=n n a nC.)1(21+=n n a nD.)1)(1(21+-=n n n a n2．若三个连续整数和为48，则紧随它们后面的三个连续整数的和是 （ ） A ．48 B ．46 C ．54 D ．573．等差数列的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则a 的值为 （ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．24．在等差数列中，若1a +2a +…+10a =65，11a +12a +…+20a =165，则1a 的值为；（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．若ac ＞0，m 是a ，c 的等比中项，则有 （ ）6.下列等比数列中,首项为1的是( )A.n n a 4=B.n n a 21=C.nn a ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=313 D.122-⋅=n n a7.下列几种说法正确的是( )A. 常数列是等差数列也是等比数列B. 常数列是等比数列但不可能是等差数列C. 常数列是等差数列但不可能是等比数列D. 常数列是等差数列也可能是等比数列8.首项为3,末项为3072,公比为2的等比数列的项数有( )A. 11项B. 12项C. 13项D. 10项 9.在等比数列}{n a 中,,24,3876543==a a a a a a 则=11109a a a ( )A. 48B. 72C. 144D. 192 10.公差不为零的等差数列的第2,3，6项组成等比数列，则公比为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、411.在等比数列{}n a 中，如果66=a ，99=a ，那么=3a （ ）A 、4B 、23C 、916D 、312.在等比数列{}n a 中，5642a a a +=，则公比q 等于 （ ） A 、1或2 B 、－1或－2 C 、1或－2 D 、－1或213．若数列{}n a 的前n 项和322+-=n n S n ,则这个数列的前三项分别是: ( ) A. -1,1,3 B. 2,1,3 C. 2,1,0 D. 2,1,614．已知等比数列的公比是2，且前四项和为1，那么前八项之和为 （ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．2115.设等差数列{}n a 的公差为d ，如果它的前n 项和Sn=－n 2，那么 （ ） A 、2,12-=-=d n a n B 、2,12=-=d n a n C 、 2,12-=+-=d n a n D 、2,12=+-=d n a n二、填空题1．等差数列{a n }中，a 1=-1，a 7=8，则a 8=____。
高三第一轮复习数列基础练习题
/ 8 高三第一轮复习数列基础练习题 敕章知识点小结 等差数列 1相关公式： （1） 定义：),1(1为常数dndaann（2）通项公式：dnaan)1(1 （3）前n项和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（4）通项公式推广：dmnaamn)( 2.等差数列}{na的一些性质 （1）对于任意正整数n，都有121aaaann （2）}{na的通项公式)2()(2112aanaaan （3）对于任意的整数srqp,,,，如果srqp，那么srqpaaaa （4）对于任意的正整数rqp,,，如果qrp2，则qrpaaa2 （5）对于任意的正整数n>1，有112nnnaaa （6）对于任意的非零实数b，数列}{nba是等差数列，则}{na是等差数列 （7）已知}{nb是等差数列，则}{nnba也是等差数列 （8）}{},{},{},{},{23133122nnnnnaaaaa等都是等差数列 （9）nS是等差数列na的前n项和，则kkkkkSSSSS232,, 仍成等差数列，即)(323mmmSSS （10）若)(nmSSnm，则0nnS（11）若pSqSqp,，则)(qpSqp （12）bnanSn2，反之也成立 、等比数列 1相关公式： （1）定义：)0,1(1qnqaann （2）通项公式：11nnqaa （3）前n项和公式：1q 1)1(1q 11qqanaSnn （4）通项公式推广：mnmnqaa 2.等比数列}{na的一些性质
必修5 第二章 数列 期末复习(知识点及题型全)
必修5 第二章《 数 列 》期末复习制卷：王小凤 学生姓名【知识梳理】一．等差数列与等比数列二．数列通项公式的求法1．根据n S ，利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩求通项n a 。
注．已知n S 求n a ，应分1=n 及2≥n 两步，最后验证1a 是否满足后面的n a .2．根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项n a ，其要点是： （1）121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L ；（2）321121(2)n n n a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅⋅≥L 3．构造新的等差、等比数列，转化法求通项n a 。
三．数列求和1．利用等差、等比数列的公式求和； 2．分组求和法；3．错位相减求和，适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列； 4．裂项相消求和，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式：（1）1111()()n n k k n n k =-++ （2）11()n k n kn k n =+-++5．倒序相加法求和。
四．n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得mS 取最大值.(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得mS 取最小值。
【考点题型】考点一：通项公式、递推公式的基本应用1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项( ) A ．380 B ．39 C ．35 D ．232．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为( ) A ．6 B ．3- C ．12- D ．6-等差数列 等比数列定义1n n a a d --=（2n ≥）通项公式 d n a a n )1(1-+=，(),()n m a a n m d n m =+->， 中项如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=．三个数成等差数列的设法： ．如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且 三个数成等比数列的设法：aq，a ，aq 前n 项和 1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+当1q =时：n S = 当1q ≠时：n S =性质若q p n m +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m p q =+，则 *(,,,)p q n m N ∈若q p n m +=+，则2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有n S 、2n n S S -、32n n S S -为等差数列n S 、2n n S S -、32n n S S -为等比数列 函数思想 看数列12221()()22n n a dn a d An B d ds n a n An Bn =+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq qa as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法（1）定义法：证明)(*1N n a a n n ∈-+为一个常数； （2）等差中项：证明*11(2N n a a a n n n∈+=+-，)2≥n（3）通项公式:(,n a kn b k b =+为常数)(*N∈n )（4）2ns An Bn =+(,A B 为常数)(∈*n N )（1）定义法：证明)(*1N n a a nn ∈+为一个常数（2）中项：证明21nn a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥ （3）通项公式：(,nn a cq c q =均是不为0常数）（4）n ns Aq =A -(,A q 为常数，≠≠A 0,q 0,1）考点二：等差、等比数列的基本运算3．若等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的( ) A ．第1006项B ．第1007项C ．第1008项D ．第1009项4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =( ) A ．138B ．135C ．95D ．235．在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±6．已知,,,a b c d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22= ( ) A ．1 B ．21 C ．41 D ．817．在等比数列{}n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于( ) A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5128．等差数列{}n a 的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1909．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为( )A ．2113B ．1114C ．2110 D ．21910．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A ．5B ．4C ．3D ． 2考点三：等差、等比数列的性质的应用11．已知{}n a 是等差数列，且2381148a a a a +++=，则67a a += ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．2412．已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=L ，则有（ ） A ．11010a a +> B ．21000a a +< C.3990a a += D ．5151a = 13．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ） A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 14．等差数列{}n a 中，1590S =，则8a = ( )A ．3B ．4C ．6D ．1215．若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) A ．10项 B ．11项 C ．12项 D ．13项16．等比数列{}n a 中,0n a >,965=a a ,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+ 17．等差数列{}n a 中，121015a a a +++=L ，11122020a a a +++=L ，则212230a a a +++=L ( )A ．15B ．25C ．35D ．4518．已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( ) A ．60 B ．70 C ．90 D ．126考点四：等差、等比数列的实际应用19．夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是( )A ．1500B ． 1600C ．1700D ．180020．某种细菌培养过程中，每半小时分裂一次（一次分裂为两个），经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成( )个．A ．64B ．128C ．256D ．51221．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是( )A ．1997B ． 1999C ．2001D ．2003考点五：等差数列前n 项和的最值22．等差数列{n a }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A ．5 B ．6 C ．5 或6 D ．6或723．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负． (1)求数列的公差d ； (2)求前n 项和S n 的最大值．考点六：数列的通项公式的求解24．已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，11=a ，求n a ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a ．考点七：等差、等比数列的证明数列求和26．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.27．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． （Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； （提示：利用等差数列定义证明） （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． （提示：错项相减求和）28．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S = 33960b S =．(1)求n a 与n b ； (2)求和：12111nS S S +++L ．（提示：裂项相消求和） （注：将第26—28题解题过程写在试卷背面 ）。
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数列全章复习及练习题数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做_________.2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的__________.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2 项，…，第______项，….3.数列的一般形式：，或简记为_________，其中_______是数列的第n 项 ⒋数列的通项公式：如果数列的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的___________.注：数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 5．数列的表示方法①通项公式法 ②图象法 ③递推公式法 ④数列的前n 项和 6．高中数列主要研究的问题：巩固练习1．下列解析式中不．是数列，的通项公式的是（） A. B. C. D. 2的一个通项公式是（）A.B.C.D.3．已知数列，，那么是这个数列的第（）项.A. B.C. D.4．数列，，，，…的一个通项公式是（） A ．B ．C ．D ．,,,,,321n a a a a {}n a n a 1,1,1,1,1--(1)nna =-1(1)n na+=-1(1)n na-=-{11nn an =-，为奇数，为偶数，n a n a =n a na={}na 1()(2)na n N n n +=∈+112091011121-85157-249()()1121nn n n a n +=-+()()211n n n n a n +=-+()()21111nnn an ++=-+()22121nn n na n +=-+5．上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（） A ． B ．C ． D ．6．已知数列，，，且，则数列的第五项为（）A. B. C. D.7．在数列，，，，，，，，中，应等于（） A ．B ．C ．D ．8．在数列中，对所有的正整数都成立，且，则（）A ．B ．C ．D ． 9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1 000＝( )A ．5B ．－5C ．1D ．－1 10．若，则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．不能21nan n =-+()12nn n a-=()12nn n a+=()22nn n a+={}na 13a =26a=21n n naa a ++=-63-12-6-12358x 213455x 11121314{}na 122n n na aa +=+n 712a =5a =011-22nn a n =+na 1n a +1nn aa +>1nn aa +<1nn aa +=等差数列(第一部分)1．定义：若数列_____________________________________, 则称为等差数列；2．递推公式：____________________________；3．通项公式：___________________________； 4. 前n 项和公式：___________________________；5．求通项公式和前n 项和公式的过程中用到的方法:{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+{),(}{1nn n n a d a a a 则常数满足=-+2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=基础练习1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________________2. 在等差数列中已知，a 7=8，则a 1=_______________3. 等差数列8，5，2，…的第20项为_____________.4. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是545．等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为 （）A ．B ．C ．D ．6．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．51 7.在等差数列{}na 中，则的值为（）A.84B.72C.60 .D.488.数列 中，，，前n 项和，则＝＿，＝；13d =-{}na 1,1,23x x x -++21na n =+21na n =-23na n =-25na n =-31140aa +=45678910aa a a a a a -+++-+{}na *11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈32na =152nS=-1a n9. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式等差数列（第二部分）等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的___________．即：___________或 （2）等差中项：数列是等差数列等差数列的性质： （1）当公差时， 等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；所以通项公式可写为:____________________. 前和是关于的二次函数且常数项为0.所以前n 项和公式可写为:____________________. （2）当时,则有____________，特别地，当时，则有______________.注：，a Ab A a b b a A +=2{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 0d ≠11(1)naa n d dn a d=+-=+-n d n 211(1)()222nn n d dSna d n a n -=+=+-n m n p q +=+2m n p+=12132nn n a aa a a a --+=+=+=⋅⋅⋅基础练习题 1．在等差数列{}na 中,若，则的值等于 （ ） A.45 B.75 C.180 D.300 2. 等差数列{}na 中,,则此数列前20项的和等于 （ ） A.160 B.180 C.200 D.2203. 在等差数列{}na 中，前15项的和，为（ ）A.6B.3C.12D.44．在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝ （ ）A ．40B ．45C ．50D ．555．在等差数列}{na 中，若30,240,1849===-n n a S S，则n 的值为（ ）A ．18 B. 17C ．16D ．1534567450aa a a a ++++=28aa +12318192024,78a aa a a a ++=-++=1590S =8a {}na d 174a a +20642a a a a++++6．等差数列}{na 中，110052515021,2700,200a a a a a a a则=+++=+++ 等于（ ） A ．－20．5 B ．－21．5C ．－1221D ．－207．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于（ ） A ．22 B ．21C ．19D ．188．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0 B.a 7＝0 C.S 9＞S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值9．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A.130B.170C.210D.26010．与的等差中项是________________-11．在等差数列}{na 中，若4681012120aa a a a ++++=，则10122aa -=.12．已知数列 的前n 项和，求数列的前项和.等比数列（第一部分）1．定义：若数列____________________________________________,则称为等比数列；2()a b +2()a b -{}na 212nSn n =-{||}na nnT {),(}{1nn n n a d a a a 则常数满足=-+{),(}{1nnn na d a a a 则常数满足=-+2．递推公式：___________________或___________________；3．通项公式：_______________________； 4. 前n 项和公式：____________________或_____________________；基础练习题1．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ） A ． B ．﹣2 C ． C.2 D ．2．等比数列{a n }中，a 6+a 2=34，a 6﹣a 2=30，那么a 4等于（ ） A 8 B ． 16C ． ±8D ． ±163．已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ( )A. B. C.D.24. 如果成等比数列，那么（）A. B. C.D.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=}{na 3a 9a 25a 2a 1a 212221,,,,9a b c --3,9b ac ==3,9b ac =-=3,9b ac ==-3,9b ac =-=-5. 若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．166. 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 各项都是正数的等比数列{}na ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =8.设等比数列的公比，前项和为，则． 9. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．等比数列（第二部分）1. 设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的__________中项. 可得：________.2.若数列为等比数列，当m n p q +=+时，则有___________na a a a =_________，特别地，当2m n p +=时，则有____________m n p a a a =____.3.若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列,,n n n n nS S S S S --, ______，________…也是等比数列。
{}na n ∈N*11a =418a =4122-2122-10122-11122-{}n a 12q =n nS 44Sa ={}na n nS 1S 22S 33S {}na ab G ±={),(}{1nnn na d a a a 则常数满足=-+基础练习1．在等比数列{a n}中a2=3，则a1a2a3=（）A．81 B．27 C．22 D．92．正项等比数列{a n}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（）A．﹣1 B．1C．2D．03．在等比数列{b n}中，b3•b9=9，则b6的值为（）A．3B．±3 C．﹣3 D．94．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．B．C．D．15．在等比数列{a n}中，a n＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．816．已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则的值是（ ）A ．B ． ﹣C ． 或﹣D ．7．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n－1)2B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)8．已知是等比数列，，则=（ ）A. 16（）B.6（）C. （）D.（）9．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）A.为常数数列B.为非零的常数数列C.存在且唯一D ．不存在 10．在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为（）A. B. C.或D ．或11．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝{}na 41252==a a，13221++++n n a a a a aa n--41n--21332n--41332n--21{}na 41=a1a 5a 13a {}na 13+=n an3+=n an13+=n an4=na3+=n an4=na( )A.23B.32C.23或32 D ．－23或－3212．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －113．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________.14．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。