第8-1章 移动荷载列作用下的桥梁动力分析

∞
∑ （数学上称分离变量法 ）。这一变换的表达式如（2-38）所示，为 y(x, t) = φi (x)qi (t) 。 i =1
式中 qi (t) 为广义振型坐标，是时间 t 的函数；φi (x) 为主振型函数。这个式子说明：结构 的任一合理位移都可以由此结构具有相应振幅的各个振型的叠加表示。
结构任一变形的振型分量均可由振型的正交特性得到。对于本章讨论的具有均匀截
图 3-3 匀速移动常量力作用
先不计阻尼影响，由（3-8）式设ξn = 0 ， P(t) = 0 可得到相应的强迫振动方程为
qn (t)
+ ωn2qn
(t )
=
2 mL
P sin
nπ vt L
(n
= 1,
2,...,
N)
（3-12）
当初始条件为静止时，可得到上式得解为：
qn (t)
=
2P mlωn2
∞
∑ y(x,t) = qi (t)φi (x) i =1
（3-26）
×1
1
−
θn2 ωn2
(sin θ nt
− θn ωn
sin ωnt)
（3-13）
上式中， ωn
=
( nπ l
)2
EI 为简直梁的固有振动频率； m
θn
=
nπ v l
可认为是移动常量力的广义激扰频率。
将（3-6）和（3-13）均代入（2-38）式，得到简支梁的动力响应
∑ ∑ y(x,t)
=
∞
φn (x)qn (t)
（1） 如果常量力的移动速度非常小，即令 v → 0 ，vt = x1 ，则式（3-14）中的强迫振动 项可写为
∑ y(x,t) = 2Pl3
∞
sin nπ x sin nπ x1
l
l
EIπ 4 n=1 n4 (1− α 2 / n2 )
（3-17）
与常量力 P 作用在 x1 处产生静挠度的下列级数表达式
L 2
n4π L4
4
EIqn (t)
=
P(t ) sin
nπVt L
（3-7）
令 ωn
=
n2π 2 L2
EI m
为等截面简支梁的第 n 阶圆频率， c = 2ξnmωn 为第 n 阶振型的
mL
阻尼，将等式两边都除以 ，则上式成为标准的移动荷载简支梁动力平衡方程
2
qn (t)
+
2ξnωnqn (t)
)
sin
nπViτ L
e−ξnωn
(t −τ
)
sin
ωDn
(t
−τ
)dτ
（3-11）
在实际分析时，（3-10）式和（3-11）式的解可根据分析精度的需要取前几阶。
一、匀速移动常量力作用下简支梁的动力响应
下图表示以匀速 v 向右运动的常量力 P。假设在 t = 0 时刻，常量力 P 位于左边支承 处；在 t 时刻时，常量力将移动到距左边支承 vt 处。
式（3-14）绘制在下图为
图 3-4 匀速移动常量力引起的跨中挠度
图中的虚线表示强迫振动部分的响应，它非常接近于荷载静力“缓行”时的挠度。 常量力 P 离开桥跨以后的振动就是式（3-14）中自由振动项的延伸。
引入符号 r2 = EI ，α = θ1 = vl ，并假设在最不利情况下的强迫振动振幅和自由振
于是得到剩下的第 n 项的振幅表达式为
∫ ∫ qn (t) =
L 0
φn
(
x)
y
(
x,
t
)dx
L 0
φn2
(
x)dx
（3-3）
按上述原理对简支梁的振动方程进行分解。将（2-38）式代入（3-1）式，得
∑ ∑ ∑ m
∞ n=1
φn
(x)
d
2qn (t) dt 2
+
c
∞ n=1
φn
(x)
dqn (t) dt
假设简支梁为等截面（EI 为常数），恒载质量均匀分布（单位长度梁的质量 m 为常 数），阻尼为粘滞阻尼（即阻尼力与结构的振动速度成正比），阻尼效应和质量及刚度性 质成正比，荷载 P（t）以匀速 V 在梁上通过，梁的运动满足小变形理论并在弹性范围 内，按照图 3-1 所示的坐标系，梁的强迫振动微分方程可表示为：
+
ωn2qn (t)
=
2 mL
P(t) sin
nπVt L
（3-8）
这是个常系数线性微分方程，各阶振型的方程是独立，非耦合的。通过 Duhamel 积分，可以得到其特解为
∫ qn (t)
=
2
mLω
n D
t 0
P(τ
)
sin
nπVτ L
e−ξnωn
(t −τ
)
sin
ωDn
(t
−τ
)dτ
（3-9）
上式，ωDn = ωn 1− ξn2 为第 n 阶有阻尼自振频率。
m
ω1 rπ
动振幅正好叠加起来。这样，简支梁跨中（ x = 1 l ）处的最大动挠度可写为 2
（3-15）
上式中的
2 Pl 3 EIπ 4
≈
Pl 3 48EI
，相当于
P
作用在简支梁跨中时的跨中静力挠度，于是有
ymax = 1 yst 1− α
（3-16）
即为移动常量力的动力效应。
下面我们来讨论两种特殊情况：源自)L 0φi2
(
x)dx
+
c
dqn (t dt
)
L 0
φi2
(
x)dx
+
EIqi
(t
)
L 0
φi
(
x)
d 4φi (x) dx4
∫=
L 0
δ
(
x
−
Vt
)
p(t
)φi
(
x)dx
（3-5）
对于等截面简支梁，振型函数可假定为三角函数，由于式中的下标均表示任意阶， 为方便叙述，用 n 替代（3-5）中的 i 表示，这时
+
EI
∞ n=1
qn
(t)
d
4φn (x) dx4
=
δ
(x
−Vt)
p(t )
（3-4）
将上式的每一项都乘以第 i 个振型函数φi (x) ，并沿梁的全长积分，并考虑振型的正
交性（根据前面的假定，结构的质量、刚度和阻尼均满足正交条件），第 i 个振型的广义 坐标运动方程为
∫ ∫ ∫ m
d
2qi (t dt 2
yd max
=
Pl 3 ( EIπ 3
sin
πx
l
)x= l 2
=
π 2
2 Pl 3 ( EIπ 4
)
=
π 2
yst
（3-24）
由上式可看出，最大动挠度相当于比常量力 P 所产生的最大静挠度约大 50%。如下图所 示：
图 3-5 简支梁挠度响应
根据
EMPA
对简支梁桥基本周期的实测统计，可近似地按
f1
以上分析的是只有一个移动力的情况，所得到的结果比较容易推广到图 3-2 所示的 以不同速度Vi 移动的一组集中荷载 Pi (t) 作用的情况
图 3-2 荷载列作用于简支梁的模型
这时系统的运动方程的解为
∑ ∑ ∫ y(x,t)
=
2 mL
∞1 ωn
n=1 D
sin
nπ x L
N i =1
t 0
Pi
(τ
式（3-6）和式（3-9）分别为第 n 阶振型和第 n 阶振幅，并将式（3-6）和式（3-9）
均代入（2-38）式，可得到下式
∑ ∫ y(x,t)
=
2 mL
∞ n−1
1 ωDn
sin
nπ x L
t 0
P(τ
)
sin
nπVτ L
e−ξnωn
(t
−τ
)
sin
ωDn
(t
−
τ
)dτ
（3-10）
上述分析是针对简支梁的，所以其振型函数采用了三角函数表示。实际上，只要采 用符合边界条件的振型函数，任何一种结构都可以用振型分解法求解。
∑ yst
=
2 Pl 3 EIπ 4
∞ n=1
1 n4
sin nπ x sin l
nπ x1 l
（3-18）
作比较，移动常量力的“动力效应”相当于在简支梁上作用一个相同大小的静力引起的 挠度基础上扩大 1 倍。
(1−α 2 / n2 )
（2） 当移动速度增大到使α 2 = 1 时，结构发生共振，此时
φn
(x)
=
sin
nπ x L
（3-6）
∫ 由于 L sin2 nπ xdx = L
0
L
2
∫ Lδ (x −Vt) p(t) sin nπ x dx = P(t) sin nπVt
0
L
L
则将（3-6）式代入（3-5）式，并积分，得到
mL 2
d 2qn (t) dt 2
+
cL 2
dqn (t) dt
+
=
vti ，则可得 ti
=
di v
。
对于图 3-6 所示移动荷载列匀速通过等截面简支梁桥时，梁的运动方程可写为
∑ EI
∂4 y ∂x4
+
m
∂2 ∂t
y
2
+ c ∂y ∂t
=
N i =1
Piδ (x − v(t