常微分方程期中考试题
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程试题及解答
常微分期终考试试卷(1)一、填空题( 30%)1、方程M (x, y)dx N( x, y)dy 0有只含x 的积分因子的充要条件是( )。
有只含y 的积分因子的充要条件是 ____________________ 。
２、_____________ 称为黎卡提方程，它有积分因子_________________ 。
３、__________________ 称为伯努利方程，它有积分因子______________________ 。
４、若X1(t),X2(t), ,X n(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是______________________________ 。
５、形如__________________ 的方程称为欧拉方程。
６、若(t)和(t)都是x' A(t) x的基解矩阵，则(t)和(t )具有的关系是__________________________________ 。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_______ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为__________ 。
二、解答题(６０％)1、ydx ( x y3)dy 0２、 x x sin t cos2t21 14 试求方程组 x Ax 的解 (t), (0)21并求dyx y 2经过( 0，0)的第三次近似解 dx４、(d dy x )3 dx4xy d d y x 8 y 2 0３、若 A expAt５、求方程6.求d d x t x y 1,d d y t x y 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）、n 阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。
试卷答案填空题MNy x(x)N MNyxM(y)２、dy p(x y) 2 Q x(y )R x dx()ddyxp(x)y Q x( y)n u(x, y) n e (n 1)p(x)dx４、 w[x 1(t),x 2(t), ,x n (t)] 0６、 (t) (t)C ７、零 稳定中心 二计算题MN1, 1１、解：因为 y x ，所以此方程不是恰当方程，方程有积x y2 x yc 即 2x y(y 2 c) 另外 y=0 也是解 y2２、线性方程 x x 0的特征方程 2 1 0 故特征根if 1(t) sinti 是特征单根， 原方程有特解 x t(Acost Bsint)1代入原方程 A=- 1 B=0f 2(t) cos2t 2i 不是特征221根，原方程有特解 x Acos2t B sin 2t 代入原方程 A 1 B=0311 所以原方程的解为 x c 1cost c 2 sint tcost cos2tdx na n 1d d y x a n y 02dy 2分因子 (y) e y e ln y2x y 3dy 0所以解为1y dx yd n ya1两边同乘y 2x y 3y 2k=1n 1 2*)两边对 y 求导： 2y(p 3 4y 2)dp p(8y 2 p 3) 4y 2pdy即(p 3 4y 2)(2y dp p) 0由2y dp p 0得 p cy 21即y (p )2将 ydy dy c３、解：p( )26 9 0解 得1,23 此 时1 (t) e 3ti0t i i!(A 3E)i 1e 3t 1 t( 1 2)2 t( 1 2)n 1t i由公式 expAt= e t t (A E)i 得i 0 i!3t 3t 1 01expAt e 3t E t(A 3E) e 3tt0 1111 e 3t 1 t t t1t４、解：方程可化为 xdy dx4y dydx8y2dy 令dy p则有xdx32 p 3 8y 2(*)4yp代入（*）c 2x 422p即方程的 含参数形式的通解为：c 2xc 2 2px 2 4 c 2 4c p p 2 y ( )2c为参数 又由 p 34y 2140得 p （4y 2）3代入（ *）得： y 4 x 3也是方程的解x y 1 0６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2 则xy50dx x y d d t y dy dt 因为 1 1=1+1 0 故有唯一零解( 0，0)111 12 2由2 2 1 1 2 2 2 0得 1 i 故( 3，-2)11为稳定焦点三、证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：x1(t0) 1,x2(t0) 0, ,x n(t0) 0x1'(t0) 0,x2'(t0) 1, ,x n(t0) 0x1n 1(t0) 0,x2n 1(t0) 0, ,x n n 1(t0) 1考虑w[x1(t0),x2(t0), ,x n(t0)]0 01 0100 11５、解：2x x1y0xdx1 0022 x x y0(x )dx x20 04 24 10x x x043 y0 (x5 x207 2 5x x x)dx400 20 2 20 4400 160x11 x8xy从而x i(t)(i 1,2, n) 是线性无关的。
第一学期常微分方程期中试卷
北 京 交 通 大 学2013-2014学年第一学期《常微分方程》期中考试试卷考试方式：闭卷 任课教师：曹鸿钧 学院 专业 班级学号 姓名请注意：本卷共四大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、 填空题（每小题1分，共10分）1、下列微分方程中（1）;46y x dx dy -=（2）;12)(222xy dx dy dxy d -= （3）;03)(32=-+y dx dy x dx dy （4）;0sin 3622=-+-x xy dx dy dx y d x （5）;02cos =++x y dx dy（6）.0)sin(22=-+x e dxy d y 每个方程的阶数分别是 ，其中，线性方程有（写出方程的标号） ，而是非线性方程的有（写出方程的标号） .2、一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为x 6，则曲线方程为 .3、对于贝努利方程n y x q y x p dxdy)()(=+，则可通过变量变换 将其化为一阶线性方程，从而可以求解.4、一阶微分方程0),(),(=+dy y x N y x M 为恰当微分方程的充要条件为 .5、方程3123y dx dy =在区域________________________中满足解的存在唯一性定理.6、方程212-=y dx dy 通过点)0,0(的饱和区间为 . 7、方程22y x dxdy+=定义在矩形域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ．8、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件是 .二、选择题：（每小题1分，共6分） 1、方程y x dxdy-=24为 A 、一阶齐次线性方程 B 、一阶非齐次非线性方程 C 、一阶齐次非线性方程 D 、一阶非齐次线性方程2、方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解的存在唯一定理条件的区域是 ．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面3、方程323y dxdy=过点(0, 0)有 . A 、无数个解 B 、只有一个解 C 、只有两个解 D 、只有三个解 4、方程0)(2=-+dy x y x ydx 的一个积分因子为 .A 、x 1B 、21xC 、x lnD 、x x ln5．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为 ．(A)2211y C y C y += (B) 21Cy y y += (C) )(211y y C y y ++= (D) )(12y y C y -=6、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的 条件． A 、充分 B 、必要 C 、充分必要 D 、不确定三、计算题（本大题包含8个小题，共75分） 1、求解方程xy dxdy2=的通解，并求满足初值条件1,0==y x 的特解.（9分）2、求方程2526)(22xy xy x y dx dy +-=的通解.（9分）3．求方程0)d (d 222=-+y y x x xy 的通解.（9分）4、求方程2y x dxdy-=通过点（1,0）的第二次近似解.（10分）5、求方程x y dxdysin +=的通解.（9分）6、设函数)(t ϕ于),(+∞-∞上连续，)0('ϕ存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数)(t ϕ.（10分）7、求方程2''2)2()1(y y y -=-的解.（9分）8、已知里卡蒂微分方程xx xe yeyey 22'12-=-+-的一个特解为x e y =_，求此方程的特解（提示：取变换-+=y z y ）（10分）.四、证明：（9分）（1）、一阶非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的任两解之差必为对应的齐次线性微分方程y x P dxdy)(=的解（3分）； （2）、若)(x y y =是齐次线性微分方程y x P dxdy)(=的非零解，而)(x y y -=是非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的解，则非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解可表为)()(x y x cy y -+=，其中，c 为任意常数（3分）.。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
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常微分方程试题库试卷库常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+= ５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=-２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠ ５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ=７、零 稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyy y y e e y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ４、解：方程可化为3284dy y dxx dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y pdy -+-= 即32(4)(2)0dp p y yp dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p 为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x =也是方程的解 ５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ ６、解：由1050x y x y --+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0） 由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
复旦大学常微分期中试卷
˙ = A(t)x, 其中 A(t) 为 R 上以 T (T > 0) 为周期的 考虑线性方程 n 维线性常微分方程: x 连续矩阵值函数. (1) 设 上 述 方 程 的 一 个 基 本 解 方 阵 为 ϕ(t), 证 明 存 在 一 个 ϕ(t + T ) = ϕ(t) · B . (2) 如 果 已 知 存 在 n 阶 矩 阵 C 使 得 eC T = B , 我 们 对 原 方 程 进 行 坐 标 变 换 y (t) = eC t ϕ−1 (t)x(t). 证明在此坐标变化下, 存在常数 C1 , C2 > 0 使得 C2 ∥x(t)∥ ≤ ∥y (t)∥ ≤ C1 ∥x(t)∥, 对于 t ∈ R 成立，并求出 y (t) 满足的微分方程. (3) 若 (2) 中得到的矩阵 C 的一切特征值实部都小于 0, 设 H (t) 为 R 上的 n 阶 连 常 值 矩 阵 B， 使 得
, ∥A∥2 2 =
得分 . .
已知 h(t) 为 (α, β ) 上的实值连续函数，x0 ∈ R, t0 ∈ (α, β ). 用逐次逼近法证明以下初值问 dx = h(t)(x + t2 sin x + t), dt 题 的解在 (α, β ) 上存在且惟一. x(t ) = x
(1) 若 A(t) ≡ A, 试用常数变易公式写出上述方程满足初值条件 x(t0 ) = x0 (t0 ∈ R, x0 ∈ Rn ) 的解. (2) 在 (1) 的条件下，若 A 的一切特征值实部大于 0，证明该方程存在唯一在 R 上有界 的解. 1 2 t2 + 1 , f (t) ≡ 0. 证明存在 x0 ∈ R , 使得该方程满 cos 2t
6
, 分 6 分, 5 分 6 分, 6 分 12
自考常微分方程试题及答案
自考常微分方程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项是一阶微分方程？A. dy/dx + 2y = x^2B. d^2y/dx^2 + y = 0C. dy/dx = 0D. d^3y/dx^3 - y = x答案：A2. 常数变易法主要用于求解什么类型的二阶线性微分方程？A. 欧拉方程B. 伯努利方程C. 线性齐次方程D. 线性非齐次方程答案：D3. 以下哪个解是微分方程y'' - y' - 2y = 0的一个特解？A. y = e^(2x)B. y = e^(-x)C. y = e^(x)D. y = e^(x/2)答案：A4. 微分方程y' = y/x 表示的曲线族是：A. 一系列直线B. 一系列抛物线C. 一系列双曲线D. 一系列椭圆答案：C5. 如果一个函数满足微分方程y'' + y' + y = 0，那么它是：A. 一个奇函数B. 一个偶函数C. 一个周期函数D. 一个非周期函数答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 解微分方程dy/dx = x^2 - y^2，当y(0) = 1时，y(1)的值为_________。
答案：07. 微分方程的通解为y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，其中C1和C2是任意常数，该方程是_________阶线性齐次方程。
答案：一8. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的特征方程为_________。
答案：r^2 - 2r + 1 = 09. 微分方程dy/dx = sin(x) + cos(y)满足初始条件y(0) = 0的解是y =_________。
答案：arccos(cos(x))10. 微分方程y' = y^2的解是y =_________。
答案：C/x + C^2，其中C是任意常数。
三、解答题（共75分）11. （15分）求解微分方程dy/dx - y = e^x，并给出通解。
常微分方程期中考试题
y sin x 1
, 另外
又
y 0
xc
dz z 2 z 1
也是方程的解
dy p(x) y 2 q(x) y r(x) dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
（完整版）常微分方程试题库.
1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是 ．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解 与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上 与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们 共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是 ． 答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））． （A ）上半平面）上半平面 （（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面 （（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）． （A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解． （A ）一）一 （B ）无数）无数 （C ）两）两 （D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有三个）有三个 （（B ）无）无 （（C ）有一个）有一个 （（D ） 有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维 （（B ）1+n 维 （（C ）1-n 维 （（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））． （（A ）有无数个解）有无数个解 （（B ）只有三个解）只有三个解 （（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分 （（B ）充分必要）充分必要 （（C ）必要）必要 （（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））． （（A ）构成一个2维线性空间维线性空间 （（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间 （（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））． （（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件． （A ）必要）必要 （（B ）必要非充分）必要非充分 （（C ）充分必要）充分必要 （（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有一个）有一个 （（B ）有两个）有两个 （（C ）无）无 （（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间 解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以 方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到 ２，２， 所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解 解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解 令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出可解出 41=A ． 故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。
《常微分方程》期中试卷
4．通过变量代换 ，可使方程 降为
阶方程：
5．对于欧拉方程 ，令 ，则方程可化为：
6．方程 的通解是：
7．方程： 的全称是
8，试画出一阶方程 在等倾线：
上的方程 的解
则 是 的解
是 的解
的通解为
10．解对初值连续依赖性定理是：对于方程 ，若 满足
条件：（1） 在区域G内连续；（2） 在G内满足局部L条件
并设 是方程满足初始条件 的解，在[a,b]上有定义且连续
结论： 使得当 时，满足初始条件 的解 在[a,b]上有定义且连续，且
二．选择题（15分）
1． 的（）
A）解；B）通解；C）特解；D）不是解
2.对于方程 ，设 在区域G内连续，则“ 在G内
2．在一个电阻R、电感L、电容C和电源E串联而成的闭合回路中，已知E=100sin60t(V)
R=2欧姆，L=0.1（H），C=1/260（F）。设I（0）=0，Q（0）=0。求开关闭合后电容上电量q随时间的变化关系。
3.已知一曲线过（0，2）点，曲线上任一点的切线的倾角是该点到原点连线与x轴夹角的一半，求这条曲线的函数表达式。
4．求解方程
5．
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五．证明题（5分）
六．应用题（任选1题，10分）
1．设运动员从跳落到开伞前为自由落体运动，开伞后在空气中下落时受到的空气阻力与速度平方成正比（比例系数为k）。一运动员从高空跳下T秒后才打开降落伞。试建立微分方程，求开伞后，该运动员在下降过程中速度与时间关系，并求出极限速度。
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所围区域内某一点的解 与 形成的图形是（）
A）；B）；C）；D）
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5. 是由n个函数 构成的伏朗斯基行列试，
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
常微分方程试题库试卷库2
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。
有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。
２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。
３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。
5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。
6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。
二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、 形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。
2、 形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
常微分方程期中考试题
常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空1 微分方程)(22=+-+xydxdydxdyn的阶数是____________2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程),(),(=+dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________ 称为齐次方程.4 如果),(yxf___________________________________________ ,则),(yxfdxdy=存在唯一的解)(xyϕ=,定义于区间hxx≤-0上,连续且满足初始条件)(xyϕ=,其中=h_______________________ .5 对于任意的),(1yx,),(2yx R∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0(>NN使______________________ ,则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.6 方程22yxdxdy+=定义在矩形区域R:22,22≤≤-≤≤-yx上 ,则经过点)0,0(的解的存在区间是 ___________________7 若),.....2,1)((nitxi=是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程 ___________________________________8若),.....2,1)((nitxi=为齐次线性方程的一个基本解组,)(t x为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________9若)(xϕ为毕卡逼近序列{})(x nϕ的极限，则有≤-)()(xxnϕϕ__________________10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解)(xy，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程．二求下列方程的解１3yxy dxdy+=２求方程2yxdxdy+=经过)0,0(的第三次近似解３讨论方程2ydxdy=，1)1(=y的解的存在区间4 求方程1)(22=-+ydxdy的奇解5 0)1()1(cos 2=-++dy y xy dx y x6 x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+7 0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy三 证明题1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(x Q y x P dx dy+=, 当 )(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一参考答案一 填空题 1 12 )()1)((y M x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3 形如)(x y g dxdy =的方程 4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(m ba h =52121),(),(y y N y x f y x f -≤-6 4141≤≤-x 7 0)(1'=+w t a w8xx c x ni i i +=∑=19 1)!1(++n n h n ML10 形如)()()(2x r y x q y x p dx dy++=的方程 y z y +=二 求下列方程的解1 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23 另外 0=y 也是方程的解2 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x xdx x x x x+=+=⎰ϕϕ []8115222316014400120121)()(x x x xdx x x x x+++=+=⎰ϕϕ3 解：dx y dy=2两边积分c x y +=-1所以 方程的通解为c x y +-=1故 过1)1(=y 的解为21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 )2,(-∞ 4 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5 解: y M ∂∂=2--y , x N∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂, 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y xy y v y x x u得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy y uϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y y xx =++ln sin6 解:x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin +=, 则方程可化为2z dx dz -=,c x z +=1即c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7 解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx732=--y d xy d dx所以c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解三 证明题1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =令 y z y += , dx yd dx dz dx dy += 又 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=dx yd x r y z x q y z x p dx dz -++++=)())(())((2由假设 )()()(2x r y x q y x p dx yd ++= 得 []z x q y x p z x p dx dz )()(2)(2++= 此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解2 证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则)()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 ,因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 , 故)(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L即)(x P L≤ , x ∈[]βα,1y ∀,R y ∈2 2121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤ 因此 一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） 22d d x y x y += （2）y x x x y sin d d += （3）0d d d d 2d d 223344=+-x y x y x y（4）t x x x x =++ （5）223d d 1)d d (s rs r += （6）0d d 22=+x y y x2、填空题(8%)（1）．方程y x x ytan d d =的所有常数解是___________.（2）．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M (x, y )d x + N (x, y )d y = 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M (x 0, y 0)是可微曲线y = y (x )上的任意一点，过该点的切线在x 轴和y 轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%)（1）．方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）. (A)可分离变量方程 （B ）线性方程 (C)全微分方程 （D ）贝努利方程（2）．方程)0(d d ∞≤≤=y y xy，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B ）两个解 (C) 无数个解 （D ）三个解（3）．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）. (A)y =±1, x =±1, (B) y =±1 (C) x =±1 (D) y =1, x =1（4）．若函数y (x )满足方程0ln 2=-+'x y y y x ，且在x =1时，y =1, 则在x = e 时y =( ).(A)e 1 (B) 21(C)2 (D) e（5）．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维（6）. 方程2d d +-=y x x y（ ）奇解．（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个（7）．方程323d d y x y=过点)0,0(（ ）．（A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解 4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）. 21d d x xy x y +=（2）. xy x y2e 3d d =+（3）.0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x （4）. 2)(d d x y x y xy -= （5）. 1)ln (='-'y x y5. 计算题(10%)求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 6．证明题（16%）设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f x y=的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+．参考答案： 1．辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2．填空题（1）． ,2,1,0,±±==k k y π （2）．)()]()([1211x y x y x y C +-（3）．⎰⎰=+yy xx y y x N x y x M 0d ),(d ),(0 （4）．y x y y y x '-'-0000,3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解 当0≠y 时，分离变量得x x xy y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=（2）．解 齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出C x C x+=5e 51)(原方程的通解为xC y 3e -=+x 2e51（3）．解 由于x Nxy yM ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为13023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰即 C y y x x =++42242（4）. 令xu y =，则x uxu y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x u x u -=+，2d d u x u x -=当0≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u +=-⎰⎰d d 2C x u+=ln 1，C x u +=ln 1即：C x xy +=ln5. 计算题令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=pp )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 15．计算题解 方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 xC C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。
常微分方程期中试卷(2)
常微分方程期中试卷(2) 班级 姓名 学号 得分一、计算题（每小题10分，本题共50分）求下列方程的通解或通积分：1. 0d d )2(=-+y x x y x2.1d d +=xy x y 3. 0d )ln (d 3=++y x y x x y 4．2)(y y x y '+'=5．03)(22=+'+''x y y y二、计算题（每小题10分，本题共20分）6．求方程x y y 5e 3='-''的通解．7．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 34d d 2d d三、证明题（每小题15分，本题共30分）8．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．9．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(),(x q x p 在),(b a 上连续．试证明：若存在),(0b a x ∈使方程的两个解)(1x y ，)(2x y 同在0x 处取极值，则)(1x y ，)(2x y 不能是方程的基本解组．试卷答案一、计算题（每小题６分，本题共30分）1．解 方程化为xy x y 21d d += 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入上式，得 u x u x +=1d d 分量变量，积分，通解为1-=Cx u原方程通解为x Cx y -=22．解 齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )(原方程的通解为Cx y =+x x ln3．解 因为xN x y M ∂∂==∂∂1，所以原方程是全微分方程． 取)0,1(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x x y y x=+⎰⎰031d d 即 C y x y =+441ln 4．解 原方程是克来洛方程，通解为2C Cx y +=5．解 原方程是恰当导数方程，可写成0)(3='+'x y y即 13C x y y =+'分离变量解此方程，通积分为二、计算题（每小题10分，本题共20分）6．解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ，特征根为 01=λ，32=λ故齐次方程的通解为 x C C y 321e += 因为5=α不是特征根。
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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％） ~1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.(三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M Ny xx N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+ ３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰= ４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dxdx ---++++=６、()()t t C ψφ=;７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+ ３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ {由公式expAt= 10()!in t ii te A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dy y dx x dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy -+-=即32(4)(2)0dp p y y p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ ６、解：由1050x y x y --+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
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常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空1 微分方程)(22=+-+xydxdydxdyn的阶数是____________2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程),(),(=+dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________ 称为齐次方程.4 如果),(yxf___________________________________________ ,则),(yxfdxdy=存在唯一的解)(xyϕ=,定义于区间hxx≤-0上,连续且满足初始条件)(xyϕ=,其中=h_______________________ .5 对于任意的),(1yx,),(2yx R∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0(>NN使______________________ ,则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.6 方程22yxdxdy+=定义在矩形区域R:22,22≤≤-≤≤-yx上 ,则经过点)0,0(的解的存在区间是 ___________________7 若),.....2,1)((nitxi=是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程 ___________________________________8若),.....2,1)((nitxi=为齐次线性方程的一个基本解组,)(tx为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________9若)(xϕ为毕卡逼近序列{})(x nϕ的极限，则有≤-)()(xxnϕϕ__________________10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解)(xy，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程．二求下列方程的解１3yxy dxdy+=２求方程2yxdxdy+=经过)0,0(的第三次近似解３讨论方程2ydxdy=，1)1(=y的解的存在区间4 求方程1)(22=-+ydxdy的奇解5 0)1()1(cos 2=-++dy y xy dx y x6x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+ 70)37()32(232=-+-dy xy dx y xy三 证明题1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(x Q y x P dx dy+=, 当 )(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一参考答案一 填空题 1 12 )()1)((y M x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3 形如)(x y g dxdy =的方程 4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(m ba h =52121),(),(y y N y x f y x f -≤-6 4141≤≤-x 7 0)(1'=+w t a w8xx c x ni i i +=∑=19 1)!1(++n n h n ML10 形如)()()(2x r y x q y x p dx dy++=的方程 y z y +=二 求下列方程的解1 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23 另外 0=y 也是方程的解2 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x xdx x x x x+=+=⎰ϕϕ []8115222316014400120121)()(x x x xdx x x x x+++=+=⎰ϕϕ3 解：dx y dy=2两边积分c x y +=-1所以 方程的通解为c x y +-=1故 过1)1(=y 的解为21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 )2,(-∞ 4 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5 解: y M ∂∂=2--y , x N∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂, 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y xy y v y x x u得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy y uϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 cy y xx =++ln sin6 解:x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin +=, 则方程可化为2z dx dz -=,c x z +=1 即c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7 解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx732=--y d xy d dx所以c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解三 证明题1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =令 y z y += , dx y d dx dz dx dy += 又 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++= dx y d x r y z x q y z x p dx dz -++++=)())(())((2由假设 )()()(2x r y x q y x p dx y d ++= 得 []zx q y x p z x p dx dz)()(2)(2++= 此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解 2 证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则)()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 ,因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 , 故)(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L即)(x P L≤ , x ∈[]βα,1y ∀,Ry ∈22121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤因此 一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） 22d d x y x y += （2）y x x x y sin d d += （3）0d d d d 2d d 223344=+-x y x y x y（4）t x x x x =++ （5）223d d 1)d d (s rs r += （6）0d d 22=+x y y x2、填空题(8%)（1）．方程y x x ytan d d =的所有常数解是___________.（2）．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M (x, y )d x + N (x, y )d y = 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M (x 0, y 0)是可微曲线y = y (x )上的任意一点，过该点的切线在x 轴和y 轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%)（1）．方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）. (A)可分离变量方程 （B ）线性方程 (C)全微分方程 （D ）贝努利方程（2）．方程)0(d d ∞≤≤=y y xy，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B ）两个解 (C) 无数个解 （D ）三个解（3）．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）. (A)y =±1, x =±1, (B) y =±1 (C) x =±1 (D) y =1, x =1（4）．若函数y (x )满足方程0ln 2=-+'x y y y x ，且在x =1时，y =1, 则在x = e 时y =( ).(A)e 1 (B) 21(C)2 (D) e （5）．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维（6）. 方程2d d +-=y x x y（ ）奇解．（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个（7）．方程323d d y x y=过点)0,0(（ ）．（A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解 4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）. 21d d x xy x y +=（2）. xy x y2e 3d d =+（3）.0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x （4）. 2)(d d x y x y xy -= （5）. 1)ln (='-'y x y5. 计算题(10%)求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 6．证明题（16%）设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f x y=的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+．参考答案： 1．辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2．填空题（1）． ,2,1,0,±±==k k y π （2）．)()]()([1211x y x y x y C +-（3）．⎰⎰=+yy xx y y x N x y x M 0d ),(d ),(0 （4）．y x y y y x '-'-0000,3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解 当0≠y 时，分离变量得x x xy y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=（2）．解 齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出C x C x+=5e 51)(原方程的通解为xC y 3e -=+x 2e51（3）．解 由于x Nxy yM ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为13023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰即 C y y x x =++42242（4）. 令xu y =，则x uxu y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x u x u -=+，2d d u x u x -=当0≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u +=-⎰⎰d d 2C x u+=ln 1，C x u +=ln 1即： Cx x y +=ln5. 计算题令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=pp )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 15．计算题解 方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 xC C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。