常微分方程期中考试题
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常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空
1 微分方程
)
(2
2=
+
-
+x
y
dx
dy
dx
dy
n
的阶数是____________
2 若
)
,
(y
x
M和)
,
(y
x
N在矩形区域R内是)
,
(y
x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则
方程
)
,
(
)
,
(=
+dy
y
x
N
dx
y
x
M有只与y有关的积分因子的充要条件是
_________________________
3 _________________________________________ 称为齐次方程.
4 如果
)
,
(y
x
f___________________________________________ ,则
)
,
(y
x
f
dx
dy
=
存在唯
一的解
)
(x
yϕ
=,定义于区间h
x
x≤
-
0上,连续且满足初始条件
)
(
x
yϕ
=
,其中
=
h_______________________ .
5 对于任意的
)
,
(
1
y
x,)
,
(
2
y
x R
∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0
(>
N
N使
______________________ ,则称
)
,
(y
x
f在R上关于y满足利普希兹条件.
6 方程
2
2y
x
dx
dy
+
=
定义在矩形区域R:2
2
,2
2≤
≤
-
≤
≤
-y
x上 ,则经过点)0,0(的解
的存在区间是 ___________________
7 若
)
,.....
2,1
)(
(n
i
t
x
i
=
是齐次线性方程的n个解,)(t
w为其伏朗斯基行列式,则)(t
w满足
一阶线性方程 ___________________________________
8若
)
,.....
2,1
)(
(n
i
t
x
i
=
为齐次线性方程的一个基本解组,
)(t
x为非齐次线性方程的
一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________
9若
)
(x
ϕ为毕卡逼近序列{})(x nϕ的极限，则有≤
-)
(
)
(x
x
n
ϕ
ϕ
__________________
10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解
)
(x
y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程．
二求下列方程的解
１
3
y
x
y dx
dy
+
=
２求方程
2
y
x
dx
dy
+
=
经过
)0,0(的第三次近似解
３讨论方程
2
y
dx
dy
=
，
1
)1(=
y的解的存在区间
4 求方程
1
)
(2
2=
-
+y
dx
dy
的奇解
5 0
)1()1(cos 2=-++dy y x
y dx y x
6
x x x y y y 2
2'sin cos sin 2-=-+ 7
0)37()32(2
32=-+-dy xy dx y xy
三 证明题
1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)
()(x Q y x P dx dy
+=, 当 )(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一
参考答案
一 填空题 1 1
2 )()1
)((
y M x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3 形如)
(x y g dx
dy =的方程 4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),
min(m b
a h =
5
2
121),(),(y y N y x f y x f -≤-
6 414
1≤
≤-x 7 0)(1'=+w t a w
8
x
x c x n
i i i +=∑=1
9 1
)!1(++n n h n ML
10 形如)
()()(2x r y x q y x p dx dy
++=的方程 y z y +=
二 求下列方程的解
1 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23 另外 0=y 也是方程的解
2 解：
0)(0=x ϕ
[]
20
20121)()(x dx x x x x =
+=⎰ϕϕ