数学方法论
数学方法论——精选推荐
数学方法论1所谓数学思想是对数学知识的本质认识是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点2 什么叫数学方法是指从数学角度提出问题，解决问题的过程中采用的各种方式，手段，途径等3 怎样区分数学思想与数学方法强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法4 数学方法的特点具有过程性和层次性的特点5 数学知识数学方法数学思想是数学知识体系的三个层次6 数学教育的三大功能科学技术功能思维功能社会文化功能7 数学思想方法对学生有什么作用数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用8数学思想方法教学的特点隐喻性活动性主观性差异性9，什么是化归思想方法从方法论的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或简单的.熔岩的问题，从认识论的角度看，化归思想方法是用一种联系，发展，运动变化的观点来认识问题，通过对原问题的转换，使之成为另一问题加以认识。
它们的科学概括就是数学解决问题的基本思想方法-化归10，数学语言分为哪几种？图形语言，文字语言，符号语言。
11，什么是归纳推理方法归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。
12，什么是类比推理方法类比是在两个或两类事物间进行对比，找出若干相同或相似点后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。
13.什么叫联想联想是由某种概念或结果而引起其他相关概念或结果的思维形式。
14，什么叫解析法将平面几何问题转化为解析几何问题的化归方法就是通常所谓的解析法15，什么叫数学抽象1 内容上的特殊性—数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切2 方法上的特殊性==数学抽象是一种构造性活动，是借助定义和推理进行的逻辑建构3 程度上的特殊性—数学抽象的程度远远超过自然科学中的一般抽象16，什么叫迁移所谓迁移，是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响既包括积极的促进作用，也包括消极的干扰作用。
数学方法论
一、辩证解题思想.,)∞,2[∪]2-,∞-()∈,(02-.1222的取值范围求上有根在设方程例b a R b a b ax x ++=++?51,4131.2的值为，那么，为实数，且、、、例cabc ab abca c ca cb bc b a ab c b a ++=+=+=+(1)5.{}().(1){};(2)2,,),.n n n n n a a a n S n a p q n n a +++=∈N +>∈N 例已知各项均为正数的数列的前项和为求数列的通项是否存在正整数对所有正整数均成立并证明你的结论.2241:.6+于条对角线长度之和不小的凸四边形的周长及两任何面积等于证明例.18-25-2,013-.7223452的值求的根是方程设例++=+a a a a a x x a 恒为多少？展开式中整理后的常数年湖北理例5)212).(142005(8++xx.)3-2()],([)(,-12)(.951-121的值求已知例f x f f x f xxx f n n ==)2-)(2-(4)2-(:.02-,,,.102c b a b c a a b c b c a c b a ++≥+≠+求证且为常数设例.∠.1,2,3,,90∠,,1.11的度数求内一点且是中在如图例BPC PB PC PA ABC P BC AC ACB ABC o ===∆==∆.)111(,126449,,,.13222的值求且为整数已知例abccb ac b a c b a c b a ++++≤+++ 27-.3-.335-.22-.,62,,).112005(1422D C B A b a b a R b a 最小值则设年福建卷例+=+∈).(---.15b a b a b x x a x >=+的方程解关于例二、一般化的作用例5. (1)n 个整数的和为100,试证其平方和不可能为10001. (2)n 个整数的和为100,试证其平方和不可能为奇数三、化归思想).111)(111111(,10.422x xx x x x x x x ---+--+--++<<化简设例.,012)1(,0)12(,03244.622222的取值范围求数根中至少有一个方程有实设三个方程例m m mx x m m x m x m m mx x =-++-=+++=++++.66:.7x x =-+解方程例?01)1(,.82的两个根都是整数的方程关于是什么整数时当例=++--m x m x x m.,)1()1(2)6(.92的取值范围求轴有交点的图像与的函数已知关于例m x m x m x m y x ++-++= .,0105,,.102的值和求且小于的两根都大于方程为整数已知例c b c bx x c b -=++.),100,,2,1(.,,,100,2,.1210021210021的值求记个不同的点边上有中例m m m i C P BP AP m P P P BC AC AB ABC i i i i +++=⋅+===∆.?,)2(;,)1(.30),,0(),3,0(),0,1(,,.),0,2(,,.13'''的取值范围并求出每种位置关系时有哪几种位置关系与圆直线上移动时在线段当点两点的直线的解析式的坐标和经过求点且三点的坐标分别为又和点轴交于原点与圆的坐标为点在直角坐标系中如图例b O BE OC E C B A b b E C B A O x O O <<-例14.把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是P ,怎样设计才能使冲成的零件面积最大?并求出它的最大面积..:.)2(;)1(,,,.15222222zr xy x r x z z y x r z y x ==-=+求证满足若正实数例例16.请观察图形,依据图形面积间的关系,不需要添加辅助线,试得到一个你所熟悉的公式..312:.172qq p q p <-满足不等式、不存在自然数求证例 ).1(433221)(:.18432<-⋅+⋅-⋅=x x x x x S 数试求下列幂级数的和函例)1(433221)(:.912<+⋅+⋅+⋅=x x x x S 数试求下列幂级数的和函例四、观察法、归纳法..cos 2),(2,2sin ,sin .42121n k k k a a a a N k k a a 求通项时当设有数列例---⋅=∈>==θθθ }.{,)1sin(cos ,cot .511n n n a x n x a a x a 试求数列设例--==-预备定理(最小数定理):自然数的任何非空集合A 必有一个最小数,即这数小于集合A 中所有其他的数. 证明:由于A 不是空集,其中必含有一个自然数.我们在A 中任取一个数m ,因为从1到m 共有m 个自然数,所以在A 中不大于m 的数最多只有m 个.显然在这有限个数中存在着最小的数,我们用l 来代表它.那么,l 就是A 中最小的数.事实上,l 对于A 中不大于m 的数来说,它是最小的;而A 中其余的数都比m 大,因而更比l 大,所以l 就是A 中最小的数.定理2(第二数学归纳法):如果与自然数n 有关的某个命题T 对于数1是正确的,而且在假定它对于小于n 的自然数都正确时(此处n ＞1),能证明它对于n 也正确,那么这个命题对于所有自然数都是正确的.•证明:用反证法.如果命题T 不是对于所有自然数都成立,那么使命题T 不成立的自然数的集合M 不是空集.根据预备定理中的最小数原理,M 中必有一最小数L,因为L ∈M ,所以命题T 对于L 不成立.由于1能使命题成立,所以L ≠1,即L ＞1.但L 是集合M 的最小数,即命题T 对于小于L 的所有自然数都成立.因而根据本定理的题设,能证明命题T 对于L 也成立.这个矛盾说明命题T 对于所有自然数都是成立的.].)251()251[(51:),3(,1,1:)(,21,13,8,5,3,2,1,1.22121nn n n n n u n u u u u u F --+=≥+===--求证并且按照下列法则组成数列如果数列例..,;,.63213333231223222111312112的大小和试比较其中最大的为个数小数也得到在各列中再取每列的最其中最小的为个数大数而得到在各行中先取每行的最成以下形式个互不相等的实数排列把例y x y n x n a a a a a a a a a a a a a a a a n nnn n n n n n五、抽象法例1、 7只茶杯,杯口朝上,将其中4只翻转来(杯口朝上的变为杯口朝下的,杯口朝下的变为被扣朝上的),称为一次“运动”.试问:是否能经过有限次运动,使得茶杯的杯口全部朝下?例2. 在除数(在同余数理论中,称为模数)确定了的情况下(不妨设模数为3),同余的关系显然满足对称性、传递性和自反性(注:a ,b 是属于集合的元素,R 是关系.).例3. 关于虚数的概念(虚数源于方程的研究).333332332331093109(3106727422742:),(0,16--+-+==--+--+++-=∈=++x x x pq q p q q x R q p q px x 的根为方程利用这个公式可以求得的公式解亚发现了三次方程意大利数学家塔尔塔利世纪前半叶)1)(1)1(8121212:,z y ,.4222222z y x xyzz z y y x x zyz x R z y x ---=-+-+-=++∈（求证且、、设例 六、以退求进解题策略.,1:.),≤≤≤1(,:)2≥,≤1}(,,,{11-1-21-12112121n nnij j i n n a a a a a a a a A a a a a n j i j i p n a a a a a a A =++++++=<<<= 且证明中至少有一个属于两数与对任意的具有性质已知数集例 2.1.0.1-.)()2009()0)(2-(-)1-()()0)(-1(log )()(.22D C B A f x x f x f x f x x x f x f R 的值为则和满足上的函数定义在例>=≤=.}{,,21)11(,1,}{311的通项公式求数列设中在数列例n n n n n n n b n a b n a n a a a =+++==+.∠,,,),(2:)2(;)1(.33,3)0,0(1-:.400222222的大小为定值证明交于不同的两点与双曲线处的切线上动点是圆设直线的方程求双曲线右准线方程为的离心率为已知双曲线例AOB B A C l y x P y x O l C x b a by a x C =+=>>=例5.设掷一颗均匀的正方体玩具两次,此玩具的6个表面分别刻有数字1,2,2,3,3,3.求掷得的点数之和小于等于5的概率.倍到左焦点距离的到右焦点的距离等于它使点上求一点在椭圆例4,1925.622P P y x =+∑21-1-]1-)1[(,1∈,∈.7nk k k n n x kC n n n N n R x ==+>求证且设例七、正难则反.,≠∩},0,1≤≤1-),{(},1-2-)2-(2-4),{(.122的取值范围求实数若集合已知集合例p O B A y x y x B p p x p x y y x A />=+==.,,6-24-)2-()(.22的取值范围求实数轴的负半轴上其中至少有一个在轴有两个交点的图像与若函数例m x x m mx x m x f +=.,)∈(0)1()()-1(.32的取值范围求实数没有实数根若二次方程例λλλλR i x i x i =++++.1,,,:,12,20,∈,,,4821821821821中至少有一个小于求证且、若例a a a a a a a a a R a a a <=++++ .⊂:.∈,//,∈,//:.6αααb b A a b A a 求证直线直线点平面直线已知例.:.,)1,1(,12-:.722不存在这样的直线证明的中点、的两个交点与双曲线是直线且点作直线过点给定双曲线例l Q P C l B l B y x C = 例1.求证:若两条直线平行于第三条直线,则这两条直线平行..31≥--,,,∈,:],1,0[∈,.2成立使必存在满足条件的对于求证设例by ax xy y x R b a y x.,,)0≠(2.32的垂直平分线不是直线何给定的一条弦试证对于该抛物线的任于两点的焦点且与抛物线相交过抛物线直线例CD l CD x px y l =.,∩,}13≤{},)1log ()1log-3({.622的取值范围求实数都有实数若对于任意均为非空集复数集例k O B A x x z z B i kk x k k x z z A /=+=++++== .,]1,1-[04-.7的取值范围求上有解在若方程例m mx x =+.2,20,0.833≤+=+>>q p q p q p 求证且已知例 .1.945++a a 因式分解例10.某林场去年底木材存量为a ,从今年起以每年25%的增长率生长,同时每年冬天要砍伐的木材量为x ,要实现经过20年达到木材存量至少翻两翻的目标,求x 的最大值.(取lg2=0.3).)3(.121111数之和展开式中所有无理项系求二项式例b a +.)(0)1()()-1(.132有两个虚根为何值时二次方程例R x i x i x i ∈=++++λλλ.---:,2,,.1422ab c c a ab c c b a c R b a +<<+>∈+求证且设例.:,,2,22.153成等差数列、、求证为锐角、、且已知例C B A C B A tgB tgC Ctg A tg== 八、数形结合.2-1-.2的值域求函数例x x y =.4)3(;3)2(;2)1(:,-3-2-)(.32个零点函数有个零点函数有个零点函数有的取值范围求满足下列条件的设函数例a a x x x f =?,2]2,0[∈,sin 2sin )(.5的取值范围是则个不同的交点仅有有且的图像与直线函数k k y x x x x f =+=π.,22与直线数形结合求得可型的无理函数的值域一、形如d cx x b ax x y +++++=.54-4.622的值域求函数例+++=x x x y .,)0≠(2得可与抛物线数形结合求型的无理函数的值域和二、形如ac d cx b ax y cbx ax kx y +±+=++=的值域求函数例22-.72++=x x x y.,)0≠()0(2形结合求得可与椭圆或双曲线的数型的无理函数的值域和三、形如am d nx mx b ax y ac d cx b ax y ++±+=≠+±+=的值域求例x x y 3-514-.8+=.)3≥(3-2--32.92的值域求例x x x x y +=?,014-.1022的最大值为那么满足等式、如果实数xyx y x y x =++{的最值求有解已知方程组例r ry x y x ,)4-(44.1122222=+=+的横坐标的取值范围是点钝角时为当为其上动点点、的焦点为椭圆例P PF F P F F y x ,∠,,149.12212122=+ .-,1,)-1(.13131的最大值求时满足当复数已知复数例z z z z i i z ==.,22i -2-.14的模的最大值、最小值求满足已知复数例z z z = .-4-5.152x x x ≥解不等式例.,111.≥c --0,0,0:.16222222等号成立时当且仅当都有对任何求证例ca b c ac a c b b b ab a c b a ==+++++>>>。
数学的学习方法论
数学的学习方法论数学作为一门学科，对于许多人来说是具有一定难度的。
但是，只要掌握了正确的学习方法论，就能够事半功倍地提高数学水平。
本文将介绍一些有效的数学学习方法，帮助读者更好地掌握数学知识。
一、培养数学思维数学思维是解决数学问题的关键。
要培养数学思维，可以通过以下几个方面来实践。
1.注重理论学习：建立对数学的基本概念和原理的理解。
通过学习相关的数学理论，能够使我们更好地理解和掌握数学知识。
2.解决实际问题：将数学知识应用到实际问题中，培养自己的逻辑思维和解决问题的能力。
3.培养创造性思维：通过解决一些有趣和有难度的数学题目，提升自己的创造力，并开拓自己的思维方式。
二、理解数学概念理解数学概念是掌握数学的基础。
以下是一些帮助理解数学概念的方法。
1.阅读相关教材和参考书：通过阅读教材和参考书，可以更深入地理解数学概念和原理。
2.举例和应用：通过具体的例子和应用来加深对数学概念的理解。
将抽象的数学概念与实际生活中的问题相连接，能够更容易地掌握和记忆。
3.与他人讨论：与同学或老师进行讨论，互相交流对数学概念的理解和应用，可以帮助更好地理解数学。
在讨论中，可以澄清疑惑，并且从不同的角度思考问题。
三、多做练习题做练习题是提高数学水平的有效方法之一。
以下是一些方法来做好练习题。
1.选择适合的难度：根据自己的实际情况，选择适合自己的练习题难度。
既不能太简单以至于没有挑战性，也不能太困难以至于让自己感到无从下手。
2.注重基础练习：掌握数学基本概念和方法是学好数学的关键。
在做练习题时，要注重基本题目的练习，不断巩固基础知识。
3.分析解题过程：在解题过程中，要注意分析每一步的解题思路和方法。
查看解答过程和解题思路，并且理解其中的推理和逻辑关系。
这有助于提高解题的能力。
四、利用科技工具现代科技工具提供了许多便利的学习资源，这些资源能够帮助我们更好地学习数学知识。
1.数学软件和应用程序：利用数学软件和应用程序，例如图形计算器、数学绘图软件等，可以更直观地理解数学概念和解题方法。
数学方法论
数学方法论一、熟记公式，找准基点1、数学有很多公式，但不能每个都背下来，只要把重要的，常用的记在心里就可以了。
2、如果公式比较难记，可以先记住常用的几个公式。
二、理解概念，抓住本质四、应用规律，学会举一反三4、把握联系，抓住区别。
5、区分内容和形式。
6、研究性问题和方程问题。
7、类比转化。
6、追求精，忽视量。
7、正反比例。
8、讨论交流时，忽略最后结论。
9、证明书写时不看书。
10、忽视证明过程的推导。
11、因果关系与结论混淆。
12、思考不全面。
13、忽视解题格式。
14、多次运用的知识没用上。
15、粗心大意，漏写、少写解题步骤。
16、思路混乱。
17、运算顺序不当。
18、草稿打得不整洁。
19、忽视估算。
20、缺乏灵活性。
21、证明不严谨。
22、盲目套用定理。
23、列表不完整。
24、缺乏创造性。
25、习惯思维与逆向思维。
26、遇到难题，不敢思考。
27、知识间没有进行迁移和拓展。
28、思维太局限。
29、选择了不恰当的定理。
30、解题时犹豫不决。
31、忽视细节。
32、按照固定思维模式思考。
33、思维呆板。
34、忽略试卷上的小陷阱。
35、忽视合理的联想。
36、同类项搞错。
37、过于复杂，不利于审题。
38、受到干扰时，方向迷失。
39、不会变通。
40、忽略步骤之间的逻辑关系。
41、没有认真阅读题目。
42、理科学习注意总结。
43、平均用力，浪费时间。
44、思路太开阔，知识掌握不牢固。
45、为考试而学，只知道做题。
46、忽视细节，盲目追求速度。
47、机械训练，枯燥乏味。
48、低级错误频繁出现。
49、做题时没有想清楚就落笔。
50、孤立地解决问题。
51、马虎大意，经常丢分。
52、忽视错误，以为粗心导致错误。
53、忽略常见题型的答题技巧。
54、计算能力差，解题时易出错。
三、对称思维，化难为易8、观察发现，多观察，多发现问题，并寻找规律。
中学数学教学中的数学方法论研究
数学方法论概述
数学方法论是研究数学思想、方法及其发展变化的学科，涉及数学基础、数 学方法、数学思维和数学素养等多个方面。在中学数学教学中，数学方法论的重 要性主要体现在以下几个方面：
首先，数学方法论可以帮助教师和学生掌握数学思想和方法的本质。数学思 想是人们对数学知识的认识和总结，是解决数学问题的基本观点。数学方法是解 决具体数学问题的技巧和手段，是数学思想的具体体现。通过研究数学方法论， 教师可以明确不同数学思想和方法之间的和区别，从而更好地指导学生学习。
这种方法有利于提高学生的归纳能力和推理能力，同时也可以帮助他们更好 地理解和记忆数学概念和公式。
3、案例三：数学建模法
数学建模法是一种将实际问题转化为数学模型的方法。在数学教学中，这种 方法可以用于教授应用题，帮助学生理解和解决实际问题。
例如，在教授一元一次方程的应用题时，我们可以使用数学建模法。首先， 通过具体的应用题实例，引导学生理解题意并找到题目中的等量关系；然后，让 他们用数学符号和语言表示这个等量关系，建立相应的数学方程；最后，通过解 方程得出答案。
二、数学方法论与教学案例
1、案例一：函数图像法
在解决某些代数问题时，我们可以使用函数图像法。例如，在求解二次方程 时，我们可以先画出相应的二次函数图像，通过观察图像来解决方程。
例如，对于方程x2+2x-3=0，我们可以通过以下步骤来求解： (1)画出对应的二次函数y=x2+2x-3的图像；
(2)观察图像，找出y=0时的x的值， 即为方程的解。
这种方法不仅直观，而且可以用于解决更复杂的问题。通过这种方法，学生 可以更好地理解二次方程及其解的概念，同时提高他们的数形结合能力。
2、案例二：归纳推理法
归纳推理法是一种常见的数学方法论，它通过观察和总结特例，得出一般规 律。在数学教学中，这种方法可以用于教授数列、组合数学等概念。
数学方法论第一章绪论
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
第一讲
绪论
一、研究数学方法论的意义
促进数学发展 发挥数学的功能 改革数学教育 培养数学人才
二、数学方法论的定义及分类
1.方法、方法论和科学方法论
二、数学方法论的定义及分类
2.数学方法的分类
•具体方法 •一般方法 •数学思想方法
三、数学方法论的性质及研究对象
则有
1 1 1 1 1 1 b0 x2 2 x2 2 x2 2 0 1 2 n
即
x 2 x2 x2 0 b0 1 2 1 2 1 2 1 2 n
数学方法论
张龙军 909242428
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头
脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
x x x 1 2 1 2 1 2 2 0 4 n 比较这个方程与方程（**） x2项的系数，
2 2 2
得出
1 1 1 1 2 2 2 6 2 3
于是有
对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新 的并且还来没有这样用过。” 欧拉又用这种方法重新发现了著名的莱布尼 兹级数的和：
17 世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢 的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数 ，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法 进入了数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的解析几 何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不 仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运 用到几何乃至整个数学铺平了道路。
数学方法论简明教程
《数学方法论简明教程》是2006年南京大学出版社出版的图书。
《数学方法论简明教程》共10章，在介绍数学方法论的学科性质、研究对象、发展简史、研究意义的基础上，结合实际介绍化归法、类比与归纳、联想与直觉、抽象方法、论证方法、模型方法、试验方法、美学方法等最重要最基本的数学思想方法及其数学语言的运用等，既包括数学中的逻辑方法。
当前，人类社会正由工业时代向信息时代转变，世界性的新技术革命正在到来，在现代科学技术的飞速发展中，方法论正在迅速崛起，成为一门引人注目的新兴学科。
数学方法论是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视，本章首先对什么是数学方法论，数学方法论的学科性质、研究对象、发展简史和研究意义进行介绍。
《数学方法论》
《数学方法论》教学大纲数学方法论是关于数学研究的基本方法，是数学研究的基本策略。
数学思想方法是数学教育的重要依据。
通过中学数学思想方法概论的学习，让学生理解观察、实验、类比、归纳、联想、分析、综合、抽象、概括等基本的研究方法，把握数学的逻辑方法、思维方法、模型方法等。
通过这些内容的学习无疑有益于学生数学教育素养的提高。
一、课时总数： 108学时，其中自学52学时，面授56学时。
二、课程内容：第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力本章内容要求学生了解数学史的分期,初步掌握数学发展的规律,把握中国数学发展的线索,通过了解九章算术认识中国数学的历史,正确认识数学与世界的关系,正确认识数学。
把握数学发展的动力。
P．60练习题1—15第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评价通过本章学习，要求学生了解关于数学的特征的主要观点，把握数学的三大特征，认识数学在科学、自然科学、人类文化中的地位和作用。
形成辩证唯物主义的数学观，能运用辩证唯物观去把握数学、理解数学，了解数学悖论形成的原因，了解逻辑主义、直觉主义、形成主义等数学三大学派的主要观点，并能指出其不足。
P．108 练习题1～11，13，14，15，17第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括第五节特殊与一般通过本章学习,认识观察与实验、划分与比较、分析与综合、抽象与概括、特殊与一般在数学研究中的重要作用，要求学生掌握观察与实验的一般规律,了解概念划分的原则，理解划分的标准，掌握划分的方法；能灵活运用分析与综合方法去解决各种问题，理解抽象与概括的涵义，学会抽象与概括数学概念、原理等；掌握特殊化与一般化解决问题的策略。
P．144 练习题 3～5，6～8， 9，10第四章数学中的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用的逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析通过本章学习，让学生理解概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式，理解概念的内涵与外延的涵义以及概念间的各种关系；认识判断与推理的各种形式，了解形式逻辑与辩证逻辑的关系；掌握命题基本形式以及逻辑等价的涵义，灵活运用逻辑推理规则，掌握正确的逻辑推理方法，理解数学证明的意义，避免逻辑推理中的错误。
数学方法论学习计划
数学方法论学习计划一、引言数学方法论是数学理论的研究方法，是研究数学本质和其在其他学科中的应用的一种学科。
数学方法论是数学的基础科学，并且在自然科学、社会科学等领域中有着广泛的应用。
掌握好数学方法论对于深入了解数学知识、提高学习能力，以及解决实际问题都有着重要的意义。
因此，对于学习者来说，掌握数学方法论是很重要的。
二、学习目标1.理解数学基本概念和原理；2.掌握数学方法论的基本知识和技能；3.加深对数学知识的理解和应用；4.提高数学研究和解决实际问题的能力。
三、学习内容1.数学基本概念：包括数学逻辑、集合论、代数结构、拓扑学、分析、微积分等内容；2.数学方法论的基本理论：包括数学的发展历程、数学研究方法的特点和基本原则、数学建模方法等；3.数学应用：包括数学在自然科学、社会科学、工程技术等领域中的应用。
四、学习方法1. 注重理论与实践相结合。
学习过程中要注重理论和实践相结合，通过实际问题的解答来加深理论的理解，并且通过理论知识指导实际问题的解答。
2. 多角度思考。
学习数学方法论时，要多角度思考问题，尝试用不同的方法和角度去分析和解决问题，增强解决实际问题的能力。
3. 夯实基础。
数学方法论的学习离不开对于数学基础概念的掌握，因此要夯实数学基础，培养自己严谨的数学思维。
4. 多练习。
通过大量的练习来加深对数学方法论的理解，提高解决实际问题的能力。
五、学习计划1. 第一阶段（1-2周）1）熟悉数学方法论的基本概念和理论知识；2）复习数学基础概念，夯实基础；3）学习数学方法论的发展历程和基本原则。
2. 第二阶段（2-4周）1）深入学习数学方法论的基本理论和方法；2）学习数学应用领域的相关知识；3）进行相关实际问题的分析与解答。
3. 第三阶段（4-6周）1）加强对数学基础知识和数学方法论的理解；2）通过实际问题的练习，提高解决问题的能力；3）总结学习成果，进行学习成果的分享与交流。
六、学习评估1. 自我评估。
第一章数学方法论简介
布尔巴基学派认为：“数学是研究抽象 结构的学科。”并认为最普遍、最基本的结 构有三类，即代数结构、拓扑结构和顺序结 构。 亚历山大洛夫在《数学——它的内容、 方法和意义》一书中指出：“数学以纯粹形 态的关系和形式作为自己的对象”
总结：对数学本质特征的认识是随数学的 发展而发展的。
19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为 那时的数学与现实之间的联系非常密切。 随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科 学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发 展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序 结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，许多人认为数 学是研究模式的学问，数学家怀特海在《数学与善》中说，“数学的本 质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数 学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。” 1931年，歌德尔不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统 中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学 家冯· 诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
七、数学方法特点P11
• • • • 1.概括性 2.隶属性 3.层次性 4.过程性
一、意义
1. 有利于培养数学能力与改革数学教育 2. 有利于充分发挥数学的功能 3. 有利于深刻认识数学本质与全面把握数学 发展规律
五、学习数学方法的重要性P20
1. 2. 3. 4. 现实的需要决定数学思想方法对数学教学的重要 认识的实现让数学思想方法对数学教学的重要 认识规律决定了数学思想方法对数学教学的促进 数学思想方法对数学教学起着指导作用
（4）数学对客观世界的反映是能动的。数 学以抽象形式反映客观世界，它舍弃了物质 运动形态中有关质的特性。所反映的仅仅是 量的形式和关系。这种反映包含了人类思维 中对运动形式的加工作用。例如：抽象、概 括、模式化等等。而且，数学又能通过人类 活动对客观事物产生作用， 从而推动人类科 学技术的前进 （5）客观世界是一个运动、变化、发展 着的对立统一体，作为反映客观世界数量关 系变化规律性的数学必然充满着辩证法。数 学理论的创立要靠数学家的抽象思维，但不 是人脑的“自由创造物和想象物”。数学具 有真理性，但不是绝对真理。
数学方法论
数学方法论《数学方法论》学习指南一、课程性质《数学方法论》是高等师范院校数学教育专业及相关专业本科生的一门通识教育选修课，也可作高师数学教育专业研究生必修的一门基础课．本课程是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学的发现、发明和创新的学科．它是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视．现代科技与经济发展成熟的标志是数学化，“数学化”不仅是数学知识的应用，更多的是数学思想方法的应用．二、课程的意义新的数学教育理念认为，要提高中学生的数学素质，不仅要学生掌握数学知识，还要使学生掌握渗透于数学知识中的、对人的素质有重要影响的数学方法，并能用数学知识和方法去解决实际问题．我国中学数学课程改革中新的《数学课程标准》已将数学方法的教学列为中学数学教育的主要目标之一，因此要求中学数学教师应具备较为系统的数学方法知识结构以及运用数学方法解决实际问题的能力．三、教学目的了解“数学方法论”课程的性质及其意义，了解该课程的研究对象、范围以及它与所学知识的联系，理解它在中学数学教学中的作用；掌握数学研究的一般方法和有关概念，包括数学逻辑方法、思维方法和中学数学中常用的数学思想方法；能够用所学的、较为系统的数学方法来探求数学认知和应用的一般规律．四、教学内容第一章绪论知识点一：数学方法论的主要概念针对方法、科学方法、方法论、科学方法论、数学方法、数学思想方法、数学方法论等概念的讲解．知识点二：数学方法论的性质、对象及其产生与发展数学方法论的性质和对象简介，讲述数学方法的积累及数学方法论学科的产生、形成与发展过程．知识点三：学习数学方法论的意义从促进数学的发展、发挥数学的功能和数学教育改革几方面阐述学习、掌握数学方法论知识的意义．重点：掌握数学方法论的主要概念，了解数学方法论的性质、对象等．难点：掌握数学方法论的概念和理解数学方法论的意义．第二章化归知识点一：化归思想和方法的有关概念介绍规范问题、问题的规范化、数学中的化归方法、化归的模式、化归的方向和原则等概念，包括对熟悉性、简单性、直观性等概念的讲解．知识点二：化归的方向通过具体的数学例题，理解化归方法在实施中的方向及其原则的具体内容和内涵，包括符合化难为易、化繁为简、化未知为已知等思想应用的例子，以及利用熟悉性、简单性、直观性等思路找到化归途径的范例．知识点三：化归策略介绍常用的3种化归策略，以及3种化归的常用方法．通过大量的典型实例，分别对这些策略和方法予以应用，从而掌握它们的特点．知识点四：化归的方法主要介绍把一类数学问题化归为另一类数学问题的方法．知识点五：辩证地认识化归主要从化归的核心思想以及化归的实践性、局限性等三方面重新认识化归的特点．重点：掌握化归的主要概念及其原则、策略和方法，了解化归的基本方法．难点：在数学化归思想指导下分析具体问题，并在解题中顺利实施化归的策略和方法．第三章类比与归纳知识点一：类比法与归纳法类比、简单类比、复杂类比、常见的几种类比、归纳、数学归纳法、数学归纳原理等方面的概念讲解．知识点二：常见的几种类比和归纳介绍数学研究中常见的几种类比模式以及归纳模式．知识点三：类比与归纳的再认识整体上重新认识类比、归纳与化归的关系，并由此进一步理解类比和归纳是数学发现的重要方法．理解“培养学生提出问题的能力比解决问题的能力更重要”的意义．重点：掌握类比和归纳的相关概念和数学归纳原理，了解利用类比和归纳的常见类型及方法解决数学例题的过程．难点：认识类比、归纳与化归的关系以及归纳法与数学归纳法的区别．第四章联想与直觉知识点一：联想的有关概念、意义、法则及其途径包括联想与数学联想的概念及3个联想法则和5个联想途径的介绍．知识点二：直觉的有关概念、意义、特征及数学直觉分类包括直觉与数学直觉的概念及6个直觉思维的特征介绍．知识点三：联想与直觉在解题中所起的作用本节重点是选择一个简洁、典型的例题，由此来说明联想与直觉在解题中的作用及其方法．重点：掌握联想与直觉的相关概念和思维规律，了解利用联想与直觉的方法发现或解决数学问题的过程．难点：认识联想与直觉的关系及其区别，并理解两者在解题中所起的作用．第五章数学的论证方法知识点一：论证方法概念及分析法与综合法介绍命题、推理、论证等概念及常用的论证方法的两种．知识点二：直接证法与间接证法及应用这是另外两种常用的论证方法，并介绍其在证题中的应用．知识点三：计算证题法及其应用把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法，该方法一般思路单纯（即使算式繁杂但难度降低），较易着手，且能避免添加过多的辅助线．重点：掌握论证的相关概念和数学推理及其证明类型，掌握计算证题的诸多方法的特点．难点：认识间接证法的本质特征，掌握同一法的特点及其与反证法的区别．第六章数学的抽象方法知识点一：数学研究对象的抽象性数学抽象与其他科学的不同之处在于研究对象的抽象性和研究方法的抽象性两个方面，并介绍研究对象的抽象性的两个特点．知识点二：数学抽象的基本形式介绍数学抽象的4种基本形式．知识点三：研究方法的抽象性及数学发展规律通过几种不同的公理化方法了解数学研究方法的抽象性，并由此探讨数学学科的发展规律．重点：掌握数学对象抽象的特点，理解数学抽象方法对数学发展的意义．难点：对数学抽象的几种常见形式的认识，对各种不同公理化方法的理解．第七章数学的模型方法知识点一：数学模型方法的有关概念及其意义介绍模型以及数学建模等概念，并介绍其4个方面的意义．知识点二：数学建模的一般步骤及建模过程利用“凳子的平稳问题”的解决过程来说明数学建模的7个步骤．知识点三：数学建模的基本方法通过具体实例介绍数学建模的3种基本方法．重点：掌握数学模型的有关概念，了解数学模型方法的意义及其作用．难点：弄清数学建模的每一步骤的特点，了解数学建模各类方法的区别．第八章数学的试验方法知识点一：试验方法的基本思想及思维过程数学试验方法的基本思想是：面对问题和题设情况→确定试验方案→逐项试验→去伪存真（剔除不合题意的解）→找出问题解答．知识点二：数学试验与数学猜想的关系对于较为复杂的数学题，且不容易找到解题思路时，可进行适当实验，并对实验结果作归纳，探索条件与结论的联系，猜测解题方向．知识点三：非标准问题及优选问题的试验求解非标准问题与优选问题，一般难以直接用常规的思考方法，而运用试验来寻找解题方向，往往容易成功．重点：了解试验方法的基本思想，掌握非标准问题试验求解的一般方法．难点：弄清数学试验与数学猜想的关系以及在猜想中的作用，了解数学试验方法与其他方法的区别．第九章数学的美学方法知识点一：数学家与艺术的关系及其对数学美的看法知识点二：数学美的基本特征数学美既有感性的色彩，又有其确定的内容，它的基本特征是相对稳定的，用美学的标准来看，它具有简单性、对称性、统一性和奇异性．知识点三：数学美的意义及审美能力的培养介绍数学美的3方面的意义，以及数学审美能力的4个层次，并探讨数学审美能力培养的方法等．重点：了解数学家对数学美的看法，了解数学美在学习数学和解题方面的作用及例题，逐步培养学生的数学审美能力．难点：掌握数学美的基本特征及其表现形式，认识研究数学美学方法的意义．第十章数学语言知识点一：数学语言的特征及其特点数学语言又叫符号语言，它具有4方面的特征以及3大特点．知识点二：数学的名词、符号和图形对于数学语言的这三种形式的使用、要求、分类等予以介绍．知识点三：数学语言运用的标准在各类数学语言的运用中，都需要符合所介绍的4点标准，也是4点要求．重点：了解数学语言的特点，认识数学符号的意义，熟悉数学语言运用的标准，提高学生准确、灵活地运用数学语言的能力．难点：理解数学名词的意义，掌握数学符号的发展变化过程及其分类．五、教学特点和学习方法1、本课程以讲授为主，2学分共36个课时，以南京师大出版社2006年出版的《数学方法论简明教程》(主编：章士藻)为主讲的教材．2、我们假定学员们都了解一些形式逻辑和数学公理方面的知识（包括命题、推理、论证及数学公理系统、公理化思想等），所以，我们是在此基础上学习本课程，因此，建议学员们在学习中查看一些形式逻辑和数学公理方面的材料，以便于更好地理解相关的内容．3、由于本课程课时有限，而教材内容又太多，因此有些内容不讲或略讲，例如：所讲的内容一般是各章节最基本的部分，所选的例题也是尽可能简单的、典型的，有不少过难或过繁的例题不讲．即只选讲该学科的入门知识．。
浅谈数学方法论在数学教学中的应用
浅谈数学方法论在数学教学中的应用数学方法论是研究数学研究方法的学科，它关注的是如何系统地进行数学研究和解决数学问题。
在数学教学中，数学方法论可以帮助学生理解和运用数学的思维方式、技巧和策略，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将从数学方法论的概念和特点出发，论述数学方法论在数学教学中的应用。
首先，数学方法论以逻辑严谨性为基础。
数学是一门严密的学科，它的推理过程必须遵循一定的逻辑规则。
数学方法论的基本思想是通过分析数学推理的原理和规则，研究数学推理的合法性和有效性。
在数学教学中，数学方法论可以帮助学生理解数学定理和命题的证明过程，提高他们的逻辑思维能力和证明能力。
通过培养学生的逻辑思维习惯，可以使他们在解决问题时更加条理清晰、步骤明确。
其次，数学方法论注重数学思维和解决问题的策略。
数学方法论研究的是数学思维的方法和策略，如归纳法、递归法、反证法等。
这些方法和策略可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
在数学教学中，数学方法论可以帮助学生学会抽象思维、推理思维和计算思维，培养他们的数学思维能力。
通过培养学生的数学思维习惯，可以使他们在解决问题时更加灵活、巧妙，提高他们的问题解决能力和创新能力。
第三，数学方法论关注数学教学的整体性和综合性。
数学方法论研究的是数学教学的整体过程和核心问题，如教学目标的确定、教学内容的组织和呈现、教学方法的选择和运用等。
在数学教学中，数学方法论可以帮助教师理清教学思路和方向，优化教学设计和组织，提高教学效果。
通过运用数学方法论的原理和方法，可以使数学教学更加系统、科学和有效，激发学生的学习兴趣和学习动力。
最后，数学方法论强调数学教学的实践性和应用性。
数学方法论研究的是数学应用和解决实际问题的方法和技巧，如模型建立和分析、统计和概率方法、优化方法等。
在数学教学中，数学方法论可以帮助学生理解数学在现实生活中的应用和意义，培养他们的数学建模能力和实际问题解决能力。
通过运用数学方法论的原理和方法，可以使数学教学更加贴近学生的实际需求和兴趣，提高学生的学习动力和学习效果。
初中数学学习方法论(含示范课课程设计、学科学习情况总结)
初中数学学习方法论第一篇范文：初中数学学习方法论数学作为一门基础学科，在人们的日常生活和经济社会发展中发挥着重要作用。
初中数学学习是学生数学素养形成的关键时期，因此，掌握科学的学习方法至关重要。
本文从实际出发，结合初中数学学科特点，探讨初中数学学习方法论，以期为初中生提供有效的学习策略。
二、认知规律与学习方法1.遵循认知规律，提高学习效率认知规律是人们获取、处理和应用信息的基本规律。
初中生在学习数学时，应遵循以下认知规律：（1）从具体到抽象：数学知识具有较强的抽象性，学生应在掌握具体实例的基础上，逐步形成抽象概念。
（2）由简到繁：学习数学时，应从简单知识入手，逐步过渡到复杂知识。
（3）同化与顺应：学生在新旧知识之间建立联系，形成新的认知结构。
2.学习方法指导（1）主动学习：学生应主动参与课堂，积极提问，提高课堂学习效果。
（2）分散学习：将学习任务分解为若干小部分，分阶段完成，避免一次性过大压力。
（3）总结归纳：课后及时总结归纳，形成知识体系。
三、数学学习策略1.掌握基础知识初中数学学习的基础知识主要包括数学概念、性质、定理和公式等。
学生应熟练掌握这些基础知识，为解决问题奠定基础。
2.提高运算能力运算能力是数学素养的重要体现。
初中生应通过大量练习，提高加减、乘除、幂运算等基本运算能力。
3.逻辑思维训练数学学习过程中，逻辑思维至关重要。
学生应通过解决实际问题，锻炼推理、论证、归纳等逻辑思维能力。
4.培养解题技巧解题技巧是提高解题速度和准确性的关键。
初中生应掌握以下解题技巧：（1）阅读理解：仔细阅读题目，理解题目要求。
（2）画图辅助：利用图形辅助解题，直观展示问题关系。
（3）方程求解：运用方程思想，将实际问题转化为数学问题。
四、人性化教学与学习1.关注学生个体差异教师应关注学生个体差异，因材施教，调动学生学习积极性。
2.创设生动情境教师通过创设生动情境，激发学生学习兴趣，提高课堂活力。
3.鼓励合作探究鼓励学生开展合作探究，培养团队协作能力和创新精神。
819数学教学论与数学方法论
819数学教学论与数学方法论（原创版3篇）《819数学教学论与数学方法论》篇1数学教学论和数学方法论是数学教育中两个相互关联的重要领域。
数学教学论主要研究数学教育的理论和实践，包括数学课程设计、教学策略、学生评价等方面。
而数学方法论则主要关注数学知识的发现、发展和应用，探讨数学思维的本质和数学方法的运用。
在数学教学中，数学方法论可以提供理论指导，帮助教师由经验型教学转向理论指导下的自觉实践，以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。
数学思想方法是对数学本质的认识，是数学知识的精髓。
在教学过程中，通过挖掘数学知识背后的数学思想方法，可以帮助学生更深入地理解和掌握数学知识，从而提高学生的数学素养和能力。
此外，数学方法论还可以应用于数学教学的评价和评估。
通过对数学教学方法和策略的有效性进行评估，可以不断提高数学教育的质量和效果，为学生的数学学习和成长提供更好的保障。
《819数学教学论与数学方法论》篇2数学教学论和数学方法论是研究数学教学和数学方法的学科。
数学教学论主要研究数学教育的目的、原则、方法和策略，以及数学教育的历史、文化、社会和心理等方面。
数学方法论则主要研究数学方法和数学思维的本质、特点和应用，以及数学方法在解决实际问题中的作用和价值。
数学教学论和数学方法论的关系密切，数学方法论是数学教学论的基础和重要组成部分。
数学教学论需要借鉴数学方法论中的思维方式和方法，以提高数学教学的效果和质量。
同时，数学方法论也需要数学教学论的支持和应用，以推动数学方法在解决实际问题中的发展和应用。
《819数学教学论与数学方法论》篇3数学教学论和数学方法论是研究数学教学和数学方法的学科。
数学教学论主要研究数学教育的目的、原则、方法、内容、评价等方面，以提高数学教育质量为主要目标。
数学方法论则主要研究数学思维的方法、数学发现的规律、数学知识的结构和数学应用的技术，以提高数学思维能力和数学应用能力为主要目标。
数学方法论
四、数学方法论的产生与发展
1.数学方法论的产生
四、数学方法论的产生与发展
2.数学方法论的发展
案例1： 鸡兔同笼不知数，十二个头笼中 露。数清脚共三十只，多少只鸡多少兔？
案例2： 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2 小时，去时顺水，比返回来每小时多航行8千米，且第二小 时比第一小时少航行6千米，求甲、乙两地水路的距离？ 顺水
生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生
学会领会内在的思维方法．
二、数学方法论的定义及分类
1.数学方法论的定义
二、数学方法论的定义及分类
2.数学方法的分类
•具体方法 •一般方法 •数学思想方法
三、数学方法论的性质及研究对象
1.数学方法论的性质
三、数学方法论的性质及研究对象
2.数学方法论的研究对象
大片地上割，午后人们对半分开，一半仍留在大片地
上，到傍晚恰好把草割完；另一半到小片地上去割， 到傍晚还剩下一小块，这一小块一个人一整天可以割 完。问这组割草人有多少？
半组人 半天
一人一天＝二人 半天
一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙
港逆水行回甲港，共用了8小时。已知顺水每小时
比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行 60千米。那么，甲乙两港相距多少千米。
现在岁数与当时岁数的差
113岁 甲17岁 乙岁数 丙岁数
甲现在岁数
乙现在岁数
17) 3 32
（岁） 丙现在岁数是：113 25 32 56
数学方法论
主讲人：盛建洪
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
数学方法论稿范文
数学方法论稿范文
一般来说，数学方法论的基础是数学模型。
通常，建立数学模型是为
了解决具有复杂性的问题，可以使用模型来检验现实世界的情况，并用来
做出有益的改变和改善。
数学模型分为几种类型：概率模型、运筹学模型、社会计算模型等等。
数学方法论的另一个基础是数学方法。
它们可以用于研究和解决各种
复杂的问题。
举例来说，可以使用数学分析、统计学、优化方法、积分和
微分方程等。
这些数学方法可以帮助用户建模并验证现实世界中的情况，
改进和优化模型。
此外，数学方法可以帮助用户推断出结论并建立有用的
预测。
最后，数学方法论还涉及到计算技术。
举例来说，为了更好地解决现
实问题，需要使用计算机代码，可以使用计算机和相关技术来支持建模、
优化和模拟。
此外，计算机软件可以帮助用户完成大量重复性的计算，从
而提高工作效率。
总的来说，数学方法论是一种应用于复杂问题分析、解决和预测的学
术研究方法。
数学方法论 课件
数学方法论课件一、数学方法论概述数学方法论是研究数学方法的学问，它探讨数学方法的来源、性质、适用范围和局限性，以及如何运用数学方法解决实际问题。
数学方法论旨在为数学学习和应用提供理论支持和实践指导。
二、数学方法的分类与特点数学方法可根据不同的标准进行分类。
按照性质可分为演绎法和归纳法；按照用途可分为构造方法和抽象方法；按照范围可分为初等数学方法和高等数学方法。
每种数学方法都有其独特的特点和应用范围。
三、数学方法的理论基础数学方法的理论基础主要包括集合论、逻辑学、数学分析、微分学、线性代数等学科。
这些学科为数学方法的运用提供了理论基础和工具支持。
四、数学方法的实践应用数学方法在各个领域都有广泛的应用，如科学计算、工程设计、经济分析、金融建模等。
通过运用数学方法，可以简化问题，提高计算精度，为决策提供科学依据。
五、数学方法的发展与创新随着科学技术的发展，数学方法也在不断发展和创新。
新的数学方法不断涌现，如人工智能与数学结合形成的机器学习方法、大数据分析中的统计学习方法等。
这些新方法为解决复杂问题提供了更多选择和工具。
六、数学方法的应用案例分析为了更好地理解数学方法的应用，我们可以通过一些具体案例进行分析。
例如，利用数学模型预测股票价格变动、通过统计分析探究消费者行为等。
通过对这些案例的分析，可以深入了解数学方法在解决实际问题中的作用和价值。
七、数学方法论在教学中的意义在数学教学中，引入数学方法论有助于提高学生对数学的认识和理解，培养学生的逻辑思维和创新能力。
通过学习数学方法论，学生可以更好地掌握数学的本质和应用，提高解决实际问题的能力。
同时，数学方法论的教学也有助于提升教师的专业素养和教学水平，促进数学教学的发展和进步。
数学方法论与数学文化专题探析
数学方法论与数学文化专题探析一、数学方法论1、数学方法论的定义数学方法论指的是以数学的思维的方式，用运算和逻辑把抽象的概念和实际问题连接起来，把实际问题转化为数学模型，再采用数学方法来解决这些问题，以实现关联和改善的方法和论点，以达到良好的解决目标。
它使用正确的逻辑推理、注意事项和数学技能来解决数学难题，不仅是数学实践和实用目的，更重要的是从数学问题中开发思维能力和分析问题能力。
2、数学方法论的本质从本质上讲，数学方法论实质上是一种模型化思维，即把一切客观问题都用一种数学模型来描述，然后根据模型的关系去处理。
在解决问题的过程中，必须参照计算技术的要求，从该问题各方面出发，充分分析、权衡，确定数学模型结构，用计算机模拟计算结果，定位出正确答案。
3、数学方法论的应用数学方法论广泛应用于科学研究和工程设计中。
在科学研究中，它可以帮助人们研究复杂的物理过程；在工程设计中，它可以帮助工程师们解决复杂的计算问题和设计实际的设备系统。
更重要的是，它可以帮助人们通过分析物理过程，对特定问题提出有用的解决方案，为后续解决问题提供有用的建议。
二、数学文化1、数学文化的概念数学文化是指跨越时空，汇集众多国家、民族的文化数学思想，系统化地分析历史发展趋势与根源，以及挖掘创新数学理论与技术的数学文化研究的总称。
它包括对过去的发展历史、当代的科学研究和数学实践的研究，以及未来发展的探究等。
2、数学文化的特点数学文化具有以下特点：首先，数学文化是历史性的，它是不断发展和传承的过程；其次，它是一种跨学科性的研究，它将数学、物理学、化学等融为一体；其次，它是一种系统研究，它考虑数学科学在不同领域内的多样性；最后，它也是一种创新性的研究，它探索新的理论与技术，并将其应用于实践。
3、数学文化的应用数学文化广泛应用于科学、技术、社会及人类生活的各个方面。
它有助于提高人们科学素养和创新能力，帮助人们更好地理解数学科学；它还帮助人们搭建模型，建立完整的概念体系，帮助人们深入了解和洞察复杂的系统和关系，并发挥数学解决复杂问题的助力，指导未来社会的发展和变革。
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1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。
概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。
2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称
3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。
4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律
5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题
6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾
7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法
8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式
数学问题在数学发展以及数学教育的意义
（一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。
”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。
以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。
希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。
”
由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。
但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。
只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。
正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。
古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。
早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。
成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。
《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。
它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。
（二）数学问题的类型及其数学教育价值
由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。
1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。
21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。
随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。
任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。
数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。
数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。
将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。
非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。
因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。
培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。
“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
”[2](1)
2.探究性问题。
通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。
这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。
“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。
教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。
”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的过程。
例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。
通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。
3.开放性问题。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。
[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。
例如，在△ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin
B ，成等差数列，等等。
[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。