第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元刚度矩阵的计算-回复
单元刚度矩阵的计算-回复首先，我们需要了解刚度是什么。
刚度是指材料抵抗形变的性质。
在结构中，它表示了结构单元（如梁或柱）受到外部力作用时的形变反应。
刚度可以用它对这些力的反应程度来测量。
计算单元刚度矩阵的第一步是建立结构单元的局部坐标系。
局部坐标系是以结构单元自身为参考的坐标系，用于描述结构单元的几何特征和材料性质。
接下来，需要确定结构单元的几何特征和材料性质。
这包括结构单元的长度、截面形状、材料弹性模量等。
这些参数将用于计算结构单元的刚度。
然后，需要建立结构单元的位移-应变关系。
位移-应变关系是描述结构单元变形特征的方程。
它可以通过应变能原理或力平衡方程得到。
接下来，可以使用有限元分析方法推导出结构单元的刚度矩阵。
有限元分析方法将连续的结构分割为离散的有限单元，然后对每个单元进行力学分析。
在计算单元刚度矩阵时，可以使用单元的位移-应变关系和材料性质来推导出刚度矩阵的公式。
最后，根据结构单元的连通性和边界条件，可以将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
这样可以得到整个结构的刚度参数。
计算单元刚度矩阵的过程中，还需要注意以下几个问题：1.确保结构单元的局部坐标系的选择是合理的，以便正确描述结构单元的几何特征。
2.确保位移-应变关系的推导是准确的，可以选择适当的理论或公式来得到位移-应变关系。
3.在有限元分析方法中，需要选择适当的数值方法和积分方法来计算刚度矩阵。
4.在组装整个结构的刚度矩阵时，需要正确处理结构单元之间的连通性和边界条件。
总之，单元刚度矩阵的计算是一个繁琐而重要的任务。
它需要合理的坐标系选择、准确的位移-应变关系、适当的数值方法和正确的组装过程。
通过计算出单元的刚度矩阵，可以通过有限元分析方法分析结构的静力性能。
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限元方法 第二章 矩阵位移法概述
{F e } [K e ]{δ e } 表达的杆端力和杆端位移的关系，对
应于一个完全的自由单元，没有任何支承约束，可以 有任意的刚体位移。 (3) 位置无关性 局部坐标系中的单元刚度矩阵 [K ]，只与单元的几何形 状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。
e
矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。
u j 1 v j 1 j 1
EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI l3 l2 6 EI 4 EI 2 l l 66 0 0
理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ；
计算手段：计算机
二、矩阵位移法的思路 ：
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端 位移的关系。 2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移 的关系。 任务 意义
单元 分析 建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
(2) 连续梁单元
若把连续梁两支座间的一跨取 作单元，杆端位移条件为： u1e 0， v1e 0，u 2e 0 ， v2e 0 。
杆端位移向量与单元杆端力向量为:
其中
ui 1
vi 1 i 1
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
u j 1 v j 1 j 1
EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI l3 l2 6 EI 4 EI 2 l l 66 0 0
02-04 单元刚度矩阵
1§2-4 单元刚度矩阵第四步：利用平衡方程，建立节点力和节点位移之间的关系，即用单元节点位移表示节点力。
上节己给出了用节点位移表示单元应力和应变。
本节来推导单元节点力和节点位移之间的关系。
一、 节点力和节点位移间的关系节点力是指弹性体离散化之后，外载、约束和其他单元通过节点作用在某一单元上的力。
对于己从整体结构中取出来的单元来说，作用在其上的节点力就是外力。
这些节点力在单元内部会引起相应的应力。
当整体处于平衡状态时，单元在节点力作用下也处于平衡状态。
在平面问题中节点力有二个分量，分别用U 和V 加节点号下标表示该节点水平和垂直节点力分量(有时还再加单元号上标表示该单元上的节点力)。
节点力的方向以节点对单元的力沿坐标正方向为正，反之为负。
对三节点三角形单元来讲，共有六个节点力分量(如图2-11所示)。
用列阵表示为：{}[][]eTTT TTijm iijj m m F F F F U V UV U V ==； {}[] (Ti i i F U V i ,j ,m= (2-24) 1． 虚位移原理为了推导单元的节点力与单元节点位移之间的关系，要用到虚位移原理。
2． 节点力和节点位移间的关系虚位移原理在一处于平衡状态的单元上的数学描述为：单元上节点力(外力)在某一虚位移上所作的虚功应等于单元应力(内力)在相应虚应变上所作的虚功。
设单元节点处的虚位移为{}**********()()()eTTTTTii j m iijjmm u v u v u v δδδδ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦；{}*iδ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧**i i v u (i,j,m ) (2-25) 采用和真实位移相同的位移模式，则单元内各点的虚位移为[]eTN vuf }]{[}{****δ== (a)相应虚应变为{}[]{}εδ**=B e(b)2 于是虚功方程可写成{}{}⎰⎰=eT e T e ytx F d d }{)}({**σεδ (2-26)将(b)式及(2-18)式代入上式，得[]{}[][]{}({}){}()d d **δδδe T eeTeeF B D B x yt =⎰⎰根据矩阵乘法逆序法则，上式可以写成[][][]{}({}){}({})d d **δδδeTeeTTeeF B D B x yt =⎰⎰由于列阵{}e*δ中的元素是常量，即与单元内点的位置坐标x ，y 无关，上式右边的T e )}({*δ可以提到积分号前面去。
单元类型及单元刚度矩阵课件
面积单元的刚度矩阵可以通过解析方 法或数值方法计算得到。
它具有四个节点，每个节点具有三个 自由度：x、y和z方向的位移。
体积单元
体积单元是一种几何 形状，通常用于模拟 结构中的三维实体或 区域。
体积单元的刚度矩阵 可以通过解析方法或 数值方法计算得到。
它具有八个节点，每 个节点具有三个自由 度：x、y、z方向的 位移。
移。
线性单元的刚度矩阵可以通过解 析方法或数值方法计算得到。
角点单元
角点单元是一种特殊类型的线 性单元，通常用于模拟结构中 的角点或连接两个线性单元的 节点。
它具有三个自由度：x、y和z方 向的位移。
角点单元的刚度矩阵可以通过 解析方法或数值方法计算得到。
面积单元
面积单元是一种几何形状，通常用于 模拟结构中的平面区域或曲面上的小 区域。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文， 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终 呈现发布的良好效果单击此4*25}
通过稳定性分析，可以评估结构的承载安全性和预防 失稳的措施。
PART 04
单元类型选择与注意事项
选择依据
计算精度
根据模型精度要求选择合适的单 元类型，例如，对于复杂形状或 精细结构，应选择高阶单元以提
2023 WORK SUMMARY
单元类型及单元刚度 矩阵课件
REPORTING
CATALOGUE
• 单元类型介绍 • 单元刚度矩阵
PART 01
单元类型介绍
线性单元
线性单元是一种简单的几何形状， 通常用于模拟结构中的直线段或 平面区域。
它具有两个节点，每个节点具有 三个自由度：x、y和z方向的位
第二章 刚度矩阵法
x lx mx nx x
y
l
y
my
n
y
y
z lz mz nz z
lx mx nx
T l y
my
n
y
lz mz nz
T
§2.5 基本步骤
•单元刚度矩阵的建立：
K e e f e f TF
K eTe TFe
T T K eTe F e Κe T T K eT Κee F e
x y z T
平面刚架
f x f y M z T
x y z T
空间刚架
f x f y f z M x M y M z x y z x y z
平面板架
f z M x M y T
z x y T
§2.2 位移模式
位移模式是建立起单元内任一点位移与节点之 间的关系 •轴向变形 •扭转变形 •弯曲变形
BT DBdV f
V
*T
*T
BT DBdV f
V
*T
*T
BT DBdV f V
BT DBdV f
V
BT DBdV f
V
K f
K BT DBdV V
§2.4 坐标变换
Z Y’
Z’ X
Y X’
x y z T
x y z T
x x cos(x, x' ) y cos(x, y' ) z cos(x, z' )
•轴向变形
ux a bx
I
J
ix a bx a jx a bL
i
b jx ix
L
L
ΔL
j L
ux
ix
jx
ix
L
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵
y
EA l EA l
x
平面梁单元的单元刚度矩阵
ui=1 vi =1 θi=1 uj=1 vj=1 θj=1
ui=1
y vi
1 6EI l2
ui
1
l
6EI l2 12EI l3 12EI l3
Ni
x
EA l
0
12 EI l3
0
− 6 EI l2
− EA l
0
0
vi=1
l
4EI l
Qi
x
6EI l2
0 0
第三节 单元刚度方程和单元 刚度矩阵
单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚 度方程反映出来的， 度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中 每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的 每个刚度系数的物理意义， 刚度矩阵。 刚度矩阵。
（1）单元刚度方程
单元的刚度方程：
F ( e ) = K ( e )δ( e ) 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移δ(e)与杆端力F(e) 之间的关系. 之间的关系 称为单元刚度矩阵 单元刚度矩阵。 其中矩阵K(e) 称为 单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是一 个方阵. 它的阶数和内容视单元而定。 个方阵 它的阶数和内容视单元而定 。如杆端位移 δ(e) 阶向量， 方阵。 阶向量 方阵 和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。
l
y
3EI l
0 0
− EA l
0 0
EA l
θi=1
3EI l2
0i
1 3EI l2
Mi
Nj
l
− 3EI l2
3EI l
3EI l2
第二章 有限元法的直接刚度法
Qi
=[Qi Mi ]
T
=[ fi θi ]
T
Mi
f-挠度（上为正）θ-转角（逆时针为正）； Fy-外部集中力Mz-外部扭矩
qj f j
i e j
qi fi
mi θi
单元特性－ 每个单元２个节点，每个
X’
mj θ
j
节点２个位移即２个自由度。则每个单元共 ４个自由度
节点力－单元与节点之间的作用力 pi=
l2 l
kjj -6EA 4EA
l2 l
l
3
l
2
e 单元刚度矩阵[K] 的子矩阵块[ k i j ] 表示: 当 j 节点发生
单位位移，且其他节点位移为０时，对应于 i 节点的节点力
2.1.4
直梁总体刚度矩阵
有限元法是把一个连续体，简化为由有限个离散单元 组合而成的等效离散模型进行求解的。
F A B C M D
i
e
j
X’
单元
2.1.1
划分单元
划分单元的原则: 杆件的交点、界面变化处、支撑点 和自由端、集中载荷处、欲求位移 处、单元大小尽量一致。
2.1.2 直梁节点位移，力与载荷
Y
Qi f i
Mi θi
Fy 1 ① Mz 2 ② 3 ③ 4 X
节点载荷 －节点处所受的外力
节点位移δi=
y’
fi θi
Qi=
内力Q-剪力M-弯矩
qi
mi
=[ qi mi ]
T
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。 y C w C1
P
x
单元刚度矩阵的计算 -回复
单元刚度矩阵的计算 -回复
单元刚度矩阵的计算是有一定复杂性的，需要根据具体的有限元模型及载荷情况进行计算。
一般来说，单元刚度矩阵的计算可以分为两步：建立单元刚度矩阵的方程式，以及求解方程式得到刚度矩阵。
建立单元刚度矩阵的方程式需要先利用有限元理论对结构进行离散化，将结构分割成若干个单元。
然后，在每个单元内分别建立单元刚度矩阵的方程式，考虑到每个单元都具有规律性，所以可以先建立一个一般的单元刚度矩阵的方程式，然后通过坐标变换等方法转化为特定单元中的方程式。
具体地讲，单元刚度矩阵的计算可以采用有限元理论中的形函数方法，通过利用形函数和单元的积分关系来求解单元刚度矩阵。
在具体实现中，可以考虑使用数值积分方法，如高斯积分等。
通过将形函数和数值积分方法代入单元刚度矩阵方程式，即可得到单元刚度矩阵的表达式。
求解方程式得到刚度矩阵时，可以采用线性方程组求解的方法，如高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法等。
求解得到的刚
度矩阵可以用于后续分析计算中。
总之，单元刚度矩阵的计算需要综合运用有限元理论、数值分析方法和线性方程组求解方法等知识，同时也需根据具体情况做出适当的假设和近似，才能得到合理可靠的结果。
常用单元的刚度矩阵
rur r u r =-+=πππεθ22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。
将应变写成向量的形式，那么{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ϕε=其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=ij jikiikjkkj ji ik kj k j i ijkjjkz r z r z rr r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为[])(1θσσσε+-=z r r u E [])(1z r u E σσσεθθ+-=[])(1θσσσε+-=r z z u Erz rz Er τμ)1(2+=所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=弹性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμμμED 4.单元刚度矩阵[])(e k与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(在柱面坐标系中，drdz dV π2=将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(，那么[][][][]rdrdz B D B k T e ⎰⎰=π2)(即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。
与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素〔如rz r N i ),(等〕是坐标r 、z 的函数，不是常量。
(完整)结构力学(二) 教案
第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。
它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。
1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。
为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。
只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。
(a)(b)2。
结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。
对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。
结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。
第2章6_结构刚度方程和总刚度矩阵
第2章6_结构刚度方程和总刚度矩阵结构刚度方程和总刚度矩阵是结构力学中非常重要的概念，它们用于描述和计算结构的刚度性能。
本文将介绍结构刚度方程和总刚度矩阵的概念和计算方法。
一、结构刚度方程结构刚度方程是描述结构在外力作用下的平衡条件，它是求解结构的基本方程之一、结构刚度方程可以通过两种方法求解：力法和位移法。
力法是通过约束方程求解结构的内力和位移，而位移法是通过位移方程求解结构的内力和位移。
力法是求解结构刚度方程的传统方法，它是通过平衡条件来建立结构刚度方程。
假设一个结构有n个节点和m个单元，每个节点都有3个自由度（x、y和z方向的位移），那么这个结构的刚度方程可以表示为：[K]{u}={F}其中，[K]是结构的刚度矩阵，{u}是结构的位移矢量，{F}是结构的外力矢量。
结构的刚度矩阵可以通过单元刚度矩阵的叠加得到，单元刚度矩阵是由单元几何形状和材料性质决定的。
结构的外力矢量可以由结构上的荷载和边界条件决定。
位移法是通过位移方程求解结构的刚度方程。
位移法是一种更简便的方法，它通过位移方程建立结构的刚度方程。
位移法假设结构的每个节点位移已知，然后通过位移反推出结构的内力。
结构的刚度方程可以表示为：{F}=[K]{u}其中，{F}是结构的外力矢量，[K]是结构的总刚度矩阵，{u}是结构的位移矢量。
位移法的优势是简化了计算，但需要提前知道结构的位移，这可能对一些实际案例不适用。
总刚度矩阵是结构的刚度矩阵的简化形式。
它是一个方阵，其对角线上是结构中各个节点自由度的刚度系数之和，非对角线上是结构中各个单元的耦合刚度系数。
总刚度矩阵可以用以下公式计算：[K]=\sum[K_i]其中，[K_i]是第i个单元的刚度矩阵。
总刚度矩阵的计算方法主要有两种：组装法和单元刚度法。
组装法是将单元的刚度矩阵按照节点的自由度进行组装。
对于一个结构来说，将所有单元的刚度矩阵组装起来就得到了总刚度矩阵。
单元刚度法是将每个单元的刚度矩阵相加，得到总刚度矩阵。
第二章 有限元法的直接刚度法
p22 p32
EI l3
K
2 22
K322
K
2 23
K323
23
（2-26）
a13 a23 a33 a43
12EI
a14 a24 a34 a44
l3
6EI
l2
12EI
l3
6EI
6EI l2 4EI
l 6EI l2 2EI
12 l
EI
3
6EI l2
12EI
l3
6EI
6EI
l2
2EI
l
6EI
单元自由度：W e rwi 此值决定了单刚矩阵的阶数ke
结构自由度： Ws nwi 此值决定了求解问题规 模即：k 的阶数
杆件结构的节点可按以下原则选取：
– 杆件的交点一定要选为节点。 – 阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 – 支承点和自由端要取为节点。 – 集中载荷作用处要取为节点。 – 欲求位移的点要取为节点。 – 单元长度不要相差太多。
• 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特 性和物理特性的最小结构域。简言之，将连 续体用假想的线或面分割成有限个部分，各 部分之间用有限个点相连。本书中，两个节 点之间的杆件构成一个单元。
• 节点：单元与单元间的连接点。 • 节点位移：结构在受力变形过程中节点位置
的改变。分为线位移与角位移，单元类型不 同，节点位移不同。 • 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用 力。 • 节点载荷：作用于节点上的外载。节点载荷 包括直接作用在节点上的外载荷和等效移置 到节点上的载荷。
刚度矩阵法
x y z T
x y z T
空间刚架 f x f y f z M x M y M z x y z x y z
平面板架
f z M x M y T
z x y T
§2.2 位移模式
位移模式是建立起单元内任一点位 移与节点之间的关系 •轴向变形 •扭转变形 •弯曲变形
总刚度方程的建立：
Κee F e
Κ F
Κ Κe
•单元刚度矩阵的建立 •引入边界条件 •求解刚度方程组 •求解应力
y x cos(y, x' ) y cos(y, y' ) z cos(y, z' ) z x cos(z, x' ) y cos(z, y' ) z cos(z, z' )
lx cos(x, x' ), mx cos(x' , y), nx cos(x' , z)
ly cos(x, y' ),my cos(y' , y),ny cos(y' , z) lz cos(x, z ' ), mz cos(z ' , y), nz cos(z ' , z)
x lx mx nx x
y
l
y
my
n
y
y
z lz mz nz z
lx mx nx
T l y
my
n
y
lz mz nz
T
§2.5 基本步骤
•单元刚度矩阵的建立：
K e e f e f TF
K eTe TFe
T T K eTe F e Κe T T K eT Κee F e
*T
BT DBdV f
单元刚度矩阵推导步骤
单元刚度矩阵推导步骤单元刚度矩阵是在有限元分析中用于描述单元位移与力的关系的矩阵。
它是由单元的物理和几何性质计算得出的。
下面将详细介绍单元刚度矩阵的推导步骤。
1. 选择单元类型和材料模型首先，需要选择单元类型和材料模型。
不同的单元类型具有不同的形状和自由度，而材料模型则描述了材料的物理性质。
这些因素将影响最终的单元刚度矩阵。
2. 定义单元的几何形状和尺寸接下来，需要定义单元的几何形状和尺寸。
这通常涉及选择节点（或顶点）的位置，并确定单元的尺寸和形状。
这些信息将用于计算单元刚度矩阵。
3. 建立局部坐标系为了计算单元刚度矩阵，需要建立一个局部坐标系。
这个坐标系将用于描述单元内力和位移的关系。
通常，局部坐标系的原点设在单元的中心，x轴沿单元的长度方向，y轴沿宽度方向（对于矩形单元），z轴则垂直于xy平面。
4. 确定单元的物理性质单元刚度矩阵还取决于单元的物理性质，如弹性模量、泊松比、密度等。
这些性质将用于计算单元刚度矩阵中的元素。
5. 建立平衡方程根据弹性力学的平衡方程，可以建立单元的平衡方程。
对于一个三维单元，平衡方程可以表示为：[F] = [B] * [u]其中，[F]是作用在单元上的力向量，[u]是位移向量，[B]是应变-位移矩阵（或称为应变矩阵）。
该矩阵包含了由于位移引起的应变信息。
6. 计算应变-位移矩阵根据几何形状和尺寸，可以计算应变-位移矩阵[B]。
该矩阵描述了位移如何引起应变的变化。
对于三维单元，应变-位移矩阵通常具有以下形式：[B] = [B1 B2 B3; B4 B5 B6; B7 B8 B9]其中，B1-9是应变-位移矩阵的元素。
这些元素可以通过几何关系和物理性质计算得出。
7. 建立单元刚度矩阵使用弹性力学的公式，可以将平衡方程重写为：[K] * [u] = [F]其中，[K]是单元刚度矩阵，它描述了力和位移之间的关系。
通过将应变-位移矩阵[B]和弹性模量等物理性质代入公式中，可以计算出单元刚度矩阵[K]。
单元刚度矩阵
y Ni =1 i
j
m x
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29
性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的 值等于0。对于本单元，有:
u ( x , y ) N i u i N j u j N m u m( x , y ) N ii N jj N m m
{}[x y xy]T（2-4）
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{}ux
y
uyxT
（2-6）
8
7、物理方程矩阵式
对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可 表示为：
xy
xy
E
12
1
0
对 1 0
1称 2xyxy
（2-7）
式中 E、——弹性模量、泊松比。
上式可简写为
2021/3/10
{}[D]{}
（29-8）
轴向受力状态下轴向杆端力同轴向杆端位移之间的关系如图1abc2弯曲受力状态下杆端剪力及杆端弯矩同垂直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系两端固定的单跨超静定梁ab在无外荷载的作用时其位移法的转角位移方程为图2d如果把该梁视矩阵位移法的一般单元使其a两端分别同一般单元的始端和末端j对应
有限元思路框图
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u
x xa 2,
v y ya 6,
xya 3a 5
15
3、选取位移函数应考虑的问题
（1）单元有几个位移函数
单元中任意一点有几个位移分量就有几个位移函数。 本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；
（2）位移函数是坐标的函数
本单元的坐标系为：X、Y；
（3）位移函数中待定常数个数
y
vm um
m
vj
vi
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• 如：单元刚度矩阵中第i列的元素表示第i号位移为一单位 值(ui=1，其它为0) 时引起的六个杆端力。单元刚度矩阵中 的每一个元素称为刚度系数， 刚度系数表示一个力。 • 矩阵中第r行s列的元素krs，表示第s号位移为一单位值时引 起沿第r个杆端力。由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以单元 刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可由结 构力学中位移法的刚度方程中获得。
EA 0 EA 0 0 l l 3 EI 3 EI 3 EI 0 0 3 2 3 l l l (e) EA 0 0 0 K EA l l 3 EI 3 EI 3 EI 0 3 0 3 2 l l l 3EI 3EI 0 3EI 0 2 2 l l l
单元刚度矩阵物理意义
利用矩阵乘法,展开可得：
F1 k11u1 k12u 2 k13u3 k14u 4 k15u5 k16u6 F2 k 21u1 k 22u2 k 23u3 k 24 u4 k 25u5 k 26u6 F3 k31u1 k32u2 k33u3 k34u4 k35u5 k36u6 F4 k 41u1 k 42u2 k 43u3 k 44 u4 k 45u5 k 46u6 F5 k51u1 k52u2 k53u3 k54u 4 k55u5 k56u6 F6 k 61u1 k 62u 2 k 63u3 k 64u 4 k 65u5 k 66u6
F1 k11 F k 2 21 F3 k31 F4 k 41 F5 k51 F6 k61 k12 k 22 k32 k 42 k52 k62 k13 k 23 k33 k 43 k53 k63 k14 k 24 k34 k 44 k54 k64 k15 k 25 k35 k 45 k55 k65 k16 u1 u k 26 2 k36 u3 k 46 u4 k56 u5 k66 u6
y u j (2) 平面桁架单元 l
i
FNi
i
FNj
x
• 平面桁架单元只有轴向变形, 杆端力也只有轴力；
y
FNi
y
FNj
i ui l j
x
FN i
j i l
FNj
x
uj
单元的杆端力向量可表示为: F(e)={FNi 0 FNj 0 } T y 单元杆端位移向量可表示为 ：δ(e)={ui vi uj vj } T x Fi j Fj 根据单元刚度矩阵的物理意义, 由 u FNl FN EA u 得单 EA l uj i 元的刚度方程为 : l
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2
平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为:
EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 6EI 2 l 4EI l 0 6EI 2 l 2EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 6EI 2 l 2EI l 0 6EI 2 l 4EI l
ui=1
x x
vi =1
θi=1
uj=1
vj=1
vi=1
Ni
EA l
0
3EI l3
0
3EI l2
EA l
0
3EI l3
l l y y
3EI 3EI l l
Qi
x x
3EI 3EI l2 l2
0 0
EA l
0 0
EA l
θi=1
3EI 3EI l2 l2
0 0ii
1 1
Mi
Nj
v vjj
y
6EI l2
6EI 2 4EI l6EI l 0 1
l2
4EI l
x
l
6 EI l2
2 EI l
Nj
EA l
6EI l2
l
l
0
6EI l2
0
6 EI l2
0
12EI l3
0
6 EI l2
x
u l
12EI l3
j
1
y
vj
6EI l2
Qj
1
0 0
12EI l3
0 0
vj=1
x
6EI 12EI l2 3 l 12EI l3
1 1
l l
3EI 3EI l2 l2 3EI 3EI l3 l3
3EI l2
3EI l
3EI l2
0
3EI l3
0
3EI l2
0
3EI l3
vj=1
l l
3EI 3EI l3 l3
Qj
0
0
分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， 作用下，杆左右端 截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力。由此可得单 元的刚度方程：
vj
w
j
T
T
K ( e)
(6) 空间刚架单元
• 空间刚架单元每个节点具有应有6个自由度，即沿三个坐 标轴方向的线位移及分别绕三个坐标轴的转角 。杆端位 移和杆端力向量均为12阶。
单元的杆端力向量可表示为:
(e)
F FNi FQiy FQiz Mix Miy Miz FN j FQ jy FQ jz M jx M jy M jz
uj=1
x
EA l
y
6EI l2
l l
l
l
y
6EI l2
2EI EI l 6EI l x l2 EI uj 1 6EI l l2 uj 1 EA l
Mi
x
2EI l
y
12EI l3
0j 1
j
12EI l3
6EI l2
6EI l2
x 4 EI
0 0
EA l
6EI 12EI l2 l3
2EI l
若单元 i 端为刚结点， j 端为铰结点, 则单元刚度 矩阵为:
K (e)
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 2 l EA 0 l 0 3EI l3
0 3EI l2 3EI l 0 3EI l2
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 l2 EA 0 l 3 EI 0 3 l
则刚度矩阵：
1 0 (e) K 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 EA 0 l 0
（3）平面两端刚结点梁单元
• 平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力： 轴力、剪力和弯矩，单元的刚度方程为：
F
(e)
K δ
(e)
(e)
Mj
x
FN j FQj
l
平面梁单元的单元的刚度方程为:
EA 0 l 12EI N i 0 Q l3 i 6 EI 0 M i l2 EA N j 0 Qj l 12EI 0 M j l3 6 EI 0 l2 EA l 0 0 EA l 0 0 6 EI u 2 i l v 2 EI i i l u 0 j v j 6 EI l 2 j 4 EI l 0
N N
FNi EA 0 l 0 EA FNj l 0 0
0 EA 0 u i l 0 0 0 v i EA 0 u j 0 l v 0 0 0 j
K
(e)
• 单元刚度矩阵常用子块形式表示:
K (e )
(e ) K ii (e ) K ji (e ) K ij (e ) K jj
其中每个都是3×3的方阵，子块 K(e)ij表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。
（4）一端刚结点另一端铰结点 的梁单元
• 铰支端一般只有两个位移需计算. 铰结点的转角位移可认为 它是不独立的而不予考虑. 这样单元的杆端位移向量及杆端 力向量都只有五阶. 单元刚度矩阵为5×5:
E
F (e) K (e)δ(e)
如梁右端为铰结点，则：
δ
(e)
C
{ui
vi i u j
FQi Mi
v j}
FNj
T
A
B E
F FNi
EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Hale Waihona Puke (e) u0 0
FN j
0 0
vi
wi
uj
若单元 i 端为铰结点， j 端 为刚结点, 同样可建立起单 元刚度矩阵:
(5) 空间桁架单元
• 空间桁架单元每个节点具有x、y、z方向的三个位移分量。
单元的杆端力向量可表示为:
F
(e)
FN i
i
单元杆端位移向量可表示为 ： (e) (e) (e) 单元的刚度方程为： F K 根据单元刚度矩阵的物理意义得: