第十三章 静定结构位移计算

整个截面对x轴惯性矩Ix=

A
y dA
2
o
x
任意截面dA对y轴惯性矩Iy=x2dA 整个截面对y轴惯性矩Iy= x 2dA
A

【例】计算矩形截面对图示X轴的惯性矩IX 【解】
IX
A
2 y y dA dA
2
h 2 h 2
y 2bdy b y 2dy
h by 2 3 h 2
y0
B
PL3 12EI
A
C
L
B
M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
P
【解题方法1】 （对） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 L L L2 ； y 5PL 2 2 2 8 6 y Cy EI 1 L 5PL EI 8 6
常见图形的面积和水平形心位置
【例题：补1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝ 常数。
P
A L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图
B
荷载作用下 M p图、单位荷载作用下 M图
2. 图乘法计算位移
P
【解】
A B L
PL
2
1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL 1 L PL 2 2 PL2 2L 1 y 1 3 By 2 EI EI
h C L 2 L 2 2L 3 C L 3
C h h 5L 8 3L 8
等腰三角形 ω ＝ Lh 2 (a )
直角三角形 ω ＝ Lh 2 (b )
2Lh 二次抛物线 ω ＝ 3 (c)
h C L 2 L 2 h 3L 4 C L 4
二次抛物线 ω ＝2Lh 3 (d)
二次抛物线 ω ＝Lh 3 (e)
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
2L y1 3
y2 L
（同侧）
（同侧）
y2
L
L
y1
1
B
L
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
3 1 PL2 2L 4 PL ( PL2 L) EI 2 3 3EI
A L M图
M p图
5L L PL2 （同侧） 2L y 3 ω 3 L PL ； y3 3 2 2 L y 4C B 3L ２ ω4 L PL PL ； y4 （同侧） 2 y5 2L y L2 ２ ω 5 L 2PL 2PL ； y 5 2L （同侧）
By 1 (1y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 ) EI
C L
B
C A B L PL PL2 L 1 L L 2 ； y 2 （同侧） 2 2 4 2 2 4 Mp 图 L 2 1 L PL PL y 0 2 3 ；3 1 2 2 2 8 y1 y2 y3=0 1 Cy (1y 1 2 y 2 3 y 3 ) C A B EI L 1 PL2 L PL2 L PL2 5PL3 M图 ( 0) EI 8 3 4 4 4 48EI
1 qa 3 2a EI 1 2 3
1
qa2 2
I2=∞
ω3
ω2
D
qa2 qa2
I1
A
I1
B
1
y3
C
M p图
y2
D
a a
y4 0
A M图 B
y1
qa 4 3EI 1
3
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2 b
dy y
bh 3 12
可查表：P271页表附1-1
形心（P268）
XC
YC
y xA xc C yc o x dA yA
xdA
A
A

A
ydA A
xdA — 截面对面对y轴的
A
ydA — 截面对x轴的静矩
A
均质等厚薄板，其形心位置与重心重合（查表附录二）
P
图乘法公式：
A L
PL C ω A L Mp 图
B
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
P B
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm ）；
4
L y0 A L M图
A
Mq 图 1
y0
C L 4
y0
B
5qL 384EI
4
M图
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 规则： 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线 图时，应分段进行图乘。
【例题3】用图乘法计算图示悬臂梁中点C的位移，EI＝常数。
P A C L B
课本给了两种解题方法，其中一种方法是错的。
XC
x 0.2m 0.2m 0.2m
A x
i 1 i
n
ci
A
A1x c1 A 2 x c 2 0.6 0.12 0 0.2 0.4 0 0.6 0.12 0.2 0.4 A

0
0.323(m)
YC
A y
i 1 i
n
ci
A
A1 y c1 A 2 y c 2 0.6 0.12 0.56 0.2 0.4 0.2 A 0.6 0.12 0.2 0.4
q
【解】
1.绘制 Mq图、M图
A
qL2 2
L
B
2.图乘法计算位移
1 qL2 qL3 1 L 3 2 6
3L y1 4
ω1
A L Mq图
L 1 y1 A L M图 B
B
By
1 qL3 3L 1 y 1 EI 6 4 EI
qL 8EI
4
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负； 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线。
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
y1 0
y2
L 2
（同侧）
y1 0
B
1
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
y2
L
3 PL 1 PL2 L ( 0 PL2 ) 2EI EI 2 2
A L M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
ω3
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
【例题：补2】求图示静定刚架B点的竖向位移。EI＝常数
P B
L
A L
PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL2 1 L PL ； 2 2
P C ω1 B
2 2L y1 L 3 3
A
L Mp 图
L 1 y1 A L M图 B
PL3 3EI
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 注意：
2、Mp图、M图均为直线图时， 、y计算图形可互换。
【例题1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝常数。
q A B
L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图 2. 图乘法计算位移
第十三章 静定结构位移计算
内容： 图乘法计算位移
B P
Δ By
P B A L
Δ Bx
Δ By
L
A L
1/· 100
图乘法公式：
.y 0 EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
C q A 4a 3 B D
qa2 2 qa2 2
a
qa2 qa2
C
I2=∞
D
Rbx=qa
I1
A M p图
I1
B
3qa 3qa Ray=- 8 Rby= 8 在外力作用下支座反力
1
C
D
a
a 1 C D a
A 4a 3
B
Rbx=1
3a 3a Rby= Ray=- 4 4 在C点单位力作用受力图
A M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
L
【例题：补3】求图示静定刚架B点的水平位移。EI＝常数
P B
L
A L
PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL2 1 L PL ； 2 2
2
A
PL
C L
B
（同侧）
y A C L B
Mp 图
L 2 1
ω
A C L B
5PL3 48EI
M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
P
【补：解题方法3】 （对） 1.绘制 M P图、M图
A
2.图乘法计算位移 PL 2 L L 1 L PL PL 1 ；y 1 （同侧） ω1 3 2 3 2 2 2 8 ω2
A L D
y1
1
E
1 PL2 2L PL2 5L 3L 2 2 ( PL L PL 2PL2 2L) EI 2 3 2 3 2
M图
23PL3 3 EI
【习题13-6】求图示刚架D点的竖向位移。
C q
I2=∞ D I1
B 4a 3
a
I1
A
【解】 1.绘制 M P图、M图 （先支座反力，再弯矩图）
L
L
【习题13-1】求图示刚架自由端E点的竖向位移。EI＝常数。
B
C
L
A L
P D L E
2PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
ω3 B ω4
PL C
2PL
ω5
A PL D
ω 2 PL 1
P E
2L 1 PL2 （同侧） 1 L PL ； y1 2 2 3 y 2 L （同侧） ω 2 PL L PL2；
当截面有几个简单图形（矩形、圆心）组成时，组合截
面的形心位置按以下公式计算：
y
i ci
i ci
0.12m
XC
A x
i 1
n
y2
A A Ai — 第i个截面面积
； YC
A y
i 1
n
Ⅰ
C1 C
0.4m
Ⅱ
C2
yc
y1
Xc i — 第i个截面形心位置的 x坐标
Yc i — 第i个截面形心位置的 y坐标
单位力 1
B
图乘法公式：
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
截面惯性矩（P269）
y x y dA
任意截面dA对X轴惯性矩Ix=y2dA
B
【解】 qa2 2ω C 1.绘制 M P图、M图 （先支座反力，再弯矩图） 4 2.图乘法计算位移
Cx y y y y 1 1 2 2 3 3 4 4 EI 1 EI 2 EI 2 EI 1 1y 1 2 y 2 3 y 3 4 0 EI 1 EI 1 1y 1 EI 1
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
P
图乘法公式：
A L
PL C ω A L Mp 图
B
.y 0 EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
P B
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
P
【解题方法1】 （错） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
A
PL
C L
B
1 PL2 1 L L ω L PL ；y 0 （同侧） A C 2 2 3 2 6 L L y 0 3 Cy EI Mp 图 2 L 1 PL L 2 1 EI 2 6
【例题2】用图乘法计算图示简支梁在均布荷载作用下中点C的挠 度，EI＝常数。
q A C L B
q
【解】
1.绘制 Mq图、M图
A
C L
B
A
ω
C
ω
B
2.图乘法计算位移
2 L qL qL y 5 L 5L ； 0 8 4 32 3 2 8 24
2 3
qL2 8
Байду номын сангаасBy
y0 2 qL3 5L 2 EI EI 24 32