第十三章 静定结构位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
建筑力学静定结构位移计算
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
13、静定结构位移计算
§13-3 结构位移计算的一般公式
___
P2 K
P 1
R1
P1
K
实际位移状态
c2
c1
K
M , N , Q , Rk
R2
虚设单位力状态
结构位移计算的一般步骤： (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加虚设单位力； (2) 求虚设单位力状态下的内力及反力 M , N , Q , Rk 的表达式；
A
B
§13-4 荷载作用下的位移计算
例13.2 求ΔCV ，EA=const。 解：1、虚设单位力状态。 P D
2P
P
P
0 0
(NP ) E
P
a
2、求 N 和 N P 。(标示于图中) 3、代入桁架的位移计算公式：A
2P
P
B
C
NNP 4a P P ΔCV l EA 1 1 2 ) ( 2 P ) 2a ( 1) ( P ) 2a 2 P 2a ( EA 2 2 (N ) 1 42 2 Pa 2 2 2 EA 2 2 2 2 6.83 2 Pa ___ EA 1/2 1/2
h
*
l
1 xc l 2
27
§13-5 图乘法
标准三次抛物线
三. 不同结构形式Δ公式的具体应用 梁、刚架： Δ
桁架：Δ
MM P ds EI
NNP l EA
一般情况： Δ 拱
MM P ds EI
Δ 扁平拱：
组合结构： Δ
MMP ds EI
NNP ds EA
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
静定结构的位移计算概述
1. 验算结构的刚度
在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外， 还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求， 即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构在 使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中， 梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200， 否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。
2. 为计算超静定结构打基础
本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算 问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比 例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加， 而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完全 消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力与 应变的关系符合胡克定律。
建筑力学
谢谢观看！
例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如
ΔAH
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图中虚线所示的变形。
F
A
ΔBH
B
F
A
B
AB
A、B两点的水平位移分别为ΔAH和ΔBH，它们之
和为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面的转角分别为 和A ，它B们 之和为 AB A ，称B为A、B两个截面的相对角
F CV
CH
CV
C
CH
（b）
还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向 的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移， 分别用ΔCH和ΔCV表示，几何关系如图（b）所示，
图中的 为截面C C的转角，称为截面C的角位移，上
述线位移和角位移统称为绝对位移。
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相
对位移。
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如 图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动 了一段距离C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
静定结构的位移计算
AB段： BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
MP=
3. 代入公式（12-4）得
△Ay=
qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI
()
5
结构在荷载作用下的位移计算——图乘法
图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。
t1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 P1 K′
k
c3 K
ds
k
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
N k、 k、 k Q M
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
利用虚功原理
外力虚功 内力虚功 可得
T= W=
=
3
12.4 结构在荷载作用下的位移计算
2. 讨 论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：
9.1静定结构的位移计算 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素
力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为广义位移
图乘法
40kN 10kN 10kN/m 30 B 5 EI 3m 60 D 5 P2=1 C
B
3EI
D
C
B
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
MP=
3. 代入公式（12-4）得
△Ay=
qx 2 dx qL2 dx = (-x)(- 2 ) + (-L) (- 2 ) EI EI
()
5
结构在荷载作用下的位移计算——图乘法
图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。
t1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 P1 K′
k
c3 K
ds
k
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
N k、 k、 k Q M
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
利用虚功原理
外力虚功 内力虚功 可得
T= W=
=
3
12.4 结构在荷载作用下的位移计算
2. 讨 论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（12-4）可以简化：
9.1静定结构的位移计算 2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 （3）广义力及广义位移 作 功 的 两 因 素
力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力 位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为广义位移
图乘法
40kN 10kN 10kN/m 30 B 5 EI 3m 60 D 5 P2=1 C
B
3EI
D
C
B
结构力学 静定结构的位移计算1
N NP EA
ds
（4）梁和刚架结构（忽略轴向及剪切变形）
k
Ck 1 M MP EI
M MP EI ds
ds
（5）组合结构（忽略受弯杆件的轴向及剪切变形）
Rk C k 1
N NP EA
ds
5．应用例题 例1 试求等截面简支梁中点C的竖向位移Δ q x l C x
3m
C
3m
B
B M X M P X EI
8 1 EI dX
=
M=1 X
dX
4 0
X
32 EI
=0+
（正号表示位移方向与虚拟 力方向一致，顺时针）
三、图形相乘法
1 M MP EI ds
1．图乘法解决的问题 应用公式 1
R
k
Ck
M M EI 1 EI
ω=2Lh /3 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载）
h L/4
ω=Lh /3 3L/4
h ω=2Lh /3
5L/8
3L/8
标准二次抛物线 （悬臂梁承受均布荷载） 4）梯形图形的处理 a b =
标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载的半图）
a b
+
b
b = a
+ a
5）非标准二次抛物线的处理 b =a a 梯形
X 则，
CV M X M P X EI
EI
dX
X
=
=
4 0
2X X
dX +
4 0
8 4 EI
dX
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
静定结构的位移计算PPT
P
P
解：1.建立虚设状态，如图：
D
-P
E
2P 0 0 2P
d
2.分别求两种状态各杆轴力：
P
P
A
C
B
4d
P
P
3.由公式计算位移：
cv
NNPl EA
D
2 2
2 2
A1
2 1
2
-1
E
2 2
2 2
CP 1 B 2
1
2
2 [( 2 )( 2P) 2d 1 P 2d 0] (1)(P) 2d
EA 2
方向的线位移和沿力偶转向的角位
移或相对位移。
(b)
ф
P m
a 2
P P
第三节 计算结构位移的一般公式
一、虚功原理 外力虚功T＝内力虚功U 虚功原理的两种用法：
1）虚位移原理—虚设位移状态求实际力状态未知力
2）虚力原理—虚设力状态求实际位移状态未知位移
二、利用虚功原理计算结构的位移（单位荷载法） 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单
2
EA
2(2 2)Pd
()
EA
第五节 图乘法
一、适用条件： ①直杆；
②EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、图乘法公式：
＝ l
MM EI
p
dx
yc
EI
注意：①图乘必须满足三条件；
②yc坐标必须从直线图形中查找； ③二弯矩图在杆轴同侧，ωyc为正值；否则为负值；
例14-2 图示外伸梁，EI=常数，试求C点的竖向位移。
q
解：1）画实际状态弯矩图：
A
2）建立虚设状态并作其弯矩图：
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
第十三章位移法
回顾力法思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构； （2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的 变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知
杆端内力、位移的符号规定：
● 杆端弯矩: MAB表示AB杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正 （绕结点逆时针为正）
则上式可写成:
r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0
这就是位移法的基本方程。 物理意义：基本结构在结点位移和荷载共同作用下， 每一个附加约束中的附加反力矩或反力都应等于零。
为计算系数和自由项，绘出基本结构在 Z1 1、Z 2 1
以及载荷作用下的弯矩图 M 1、M 2和MP图
二、支座移动引起的杆端弯矩和剪力
原结构
基本结构
2EI
X1
l
A
6EI
X2
l2 A
用力法求解单跨超静定梁
11X1 12 X 2 1C A 21X1 22 X 2 2C B
11
1 EI
l 2
2 3
l 3EI
22
12
1 EI
l 2
1 3
l 6EI
21
1C
l
2C
l 3EI
X1
1
0
12i
l2
r22=15i/l2
↽ ⇁ 2 r22 1
132ii
P
l2
2
R2P=-P/2
⇁2 R2P
：
r11 r11=7i
r12 r12=-6i/l2
R1P R1P=Pl/8
静定结构的位移计算
= 0.0044m = 0.44cm()
实际位移状态
虚设力状态
返回
返回
作业： 第77页 4-1（a）、（b）、4-2
返回
休息一下
返回
⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
MMP
EI
dx
=
1 EI
( AP1 y1
AP2 y2
AP3 y3 )
两个梯形相乘时，不必找出梯形的 形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
返回
几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
l
A=hl/2
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。
三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。
四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？
返回
返回
§4—1 结构位移和虚功的概念 §4—2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4—3 静定结构由荷载引起的位移 §4—4 图乘法 §4—5 互等定理
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y0
B
PL3 12EI
A
C
L
B
M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
P
【解题方法1】 （对） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 L L L2 ； y 5PL 2 2 2 8 6 y Cy EI 1 L 5PL EI 8 6
整个截面对x轴惯性矩Ix=
A
y dA
2
o
x
任意截面dA对y轴惯性矩Iy=x2dA 整个截面对y轴惯性矩Iy= x 2dA
A
【例】计算矩形截面对图示X轴的惯性矩IX 【解】
IX
A
2 y y dA dA
2
h 2 h 2
y 2bdy b y 2dy
h by 2 3 h 2
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
y1 0
y2
L 2
（同侧）
y1 0
B
1
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
y2
L
3 PL 1 PL2 L ( 0 PL2 ) 2EI EI 2 2
A L M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
常见图形的面积和水平形心位置
【例题：补1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝ 常数。
P
A L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图
B
荷载作用下 M p图、单位荷载作用下 M图
2. 图乘法计算位移
P
【解】
A B L
PL
2
1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL 1 L PL 2 2 PL2 2L 1 y 1 3 By 2 EI EI
3
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2 b
dy y
bh 3 12
可查表：P271页表附1-1
形心（P268）
XC
YC
y xA xc C yc o x dA yA
xdA
A
A
A
ydA A
xdA — 截面对面对y轴的
A
ydA — 截面对x轴的静矩
A
均质等厚薄板，其形心位置与重心重合（查表附录二）
当截面有几个简单图形（矩形、圆心）组成时，组合截
面的形心位置按以下公式计算：
y
i ci
i ci
0.12m
XC
A x
i 1
n
y2
A A Ai — 第i个截面面积
； YC
A y
i 1
n
Ⅰ
C1 C
0.4m
Ⅱ
C2
yc
y1
Xc i — 第i个截面形心位置的 x坐标
Yc i — 第i个截面形心位置的 y坐标
C q A 4a 3 B D
qa2 2 qa2 2
a
qa2 qa2
C
I2=∞
D
Rbx=qa
I1
A M p图
I1
B
3qa 3qa Ray=- 8 Rby= 8 在外力作用下支座反力
1
C
D
a
a 1 C D a
A 4a 3
B
Rbx=1
3a 3a Rby= Ray=- 4 4 在C点单位力作用受力图
A M图
第十三章 静定结构位移计算
内容： 图乘法计算位移
B P
Δ By
P B A L
Δ Bx
Δ By
L
A L
1/· 100
图乘法公式：
.y 0 EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
P
图乘法公式：
A L
PL C ω A L Mp 图
B
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
P B
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm ）；
4
L y0 A L M图
A
Mq 图 1
y0
C L 4
y0
B
5qL 384EI
4
M图
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 规则： 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线 图时，应分段进行图乘。
【例题3】用图乘法计算图示悬臂梁中点C的位移，EI＝常数。
P A C L B
课本给了两种解题方法，其中一种方法是错的。
P C ω1 B
2 2L y1 L 3 3
A
L Mp 图
L 1 y1 A L M图 B
PL3 3EI
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 注意：
2、Mp图、M图均为直线图时， 、y计算图形可互换。
【例题1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝常数。
q A B
L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图 2. 图乘法计算位移
B
【解】 qa2 2ω C 1.绘制 M P图、M图 （先支座反力，再弯矩图） 4 2.图乘法计算位移
Cx y y y y 1 1 2 2 3 3 4 4 EI 1 EI 2 EI 2 EI 1 1y 1 2 y 2 3 y 3 4 0 EI 1 EI 1 1y 1 EI 1
L
L
【习题13-1】求图示刚架自由端E点的竖向位移。EI＝常数。
B
C
L
A L
P D L E
2PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
ω3 B ω4
PL C
2PL
ω5
A PL D
ω 2 PL 1
P E
2L 1 PL2 （同侧） 1 L PL ； y1 2 2 3 y 2 L （同侧） ω 2 PL L PL2；
M p图
5L L PL2 （同侧） 2L y 3 ω 3 L PL ； y3 3 2 2 L y 4C B 3L ２ ω4 L PL PL ； y4 （同侧） 2 y5 2L y L2 ２ ω 5 L 2PL 2PL ； y 5 2L （同侧）
By 1 (1y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 ) EI
单位力 1
B
图乘法公式：
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
截面惯性矩（P269）
y x y dA
任意截面dA对X轴惯性矩Ix=y2dA
【例题2】用图乘法计算图示简支梁在均布荷载作用下中点C的挠 度，EI＝常数。
q A C L B
q
【解】
1.绘制 Mq图、M图
A
C L
B
A
ω
C
ω
B
2.图乘法计算位移
2 L qL qL y 5 L 5L ； 0 8 4 32 3 2 8 24
2 3
qL2 8
By
y0 2 qL3 5L 2 EI EI 24 32
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
2L y1 3
y2 L
（同侧）
（同侧）
y2
L
L
y1
1
B
L
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
3 1 PL2 2L 4 PL ( PL2 L) EI 2 3 3EI
A L M图
ω3
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
【例题：补2】求图示静定刚架B点的竖向位移。EI＝常数
P B
L
A L
PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL2 1 L PL ； 2 2
P
【解题方法1】 （错） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
A
PL
C L
B
1 PL2 1 L L ω L PL ；y 0 （同侧） A C 2 2 3 2 6 L L y 0 3 Cy EI Mp 图 2 L 1 PL L 2 1 EI 2 6
XC
x 0.2m 0.2m 0.2m
A x
i 1 i
n
ci
A
A1x c1 A 2 x c 2 0.6 0.12 0 0.2 0.4 0 0.6 0.12 0.2 0.4 A
0
0.323(m)
YC
A y
i 1 i
n
ci
A
A1 y c1 A 2 y c 2 0.6 0.12 0.56 0.2 0.4 0.2 A 0.6 0.12 0.2 0.4
B
PL3 12EI
A
C
L
B
M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
P
【解题方法1】 （对） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 L L L2 ； y 5PL 2 2 2 8 6 y Cy EI 1 L 5PL EI 8 6
整个截面对x轴惯性矩Ix=
A
y dA
2
o
x
任意截面dA对y轴惯性矩Iy=x2dA 整个截面对y轴惯性矩Iy= x 2dA
A
【例】计算矩形截面对图示X轴的惯性矩IX 【解】
IX
A
2 y y dA dA
2
h 2 h 2
y 2bdy b y 2dy
h by 2 3 h 2
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
y1 0
y2
L 2
（同侧）
y1 0
B
1
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
y2
L
3 PL 1 PL2 L ( 0 PL2 ) 2EI EI 2 2
A L M图
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
常见图形的面积和水平形心位置
【例题：补1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝ 常数。
P
A L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图
B
荷载作用下 M p图、单位荷载作用下 M图
2. 图乘法计算位移
P
【解】
A B L
PL
2
1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL 1 L PL 2 2 PL2 2L 1 y 1 3 By 2 EI EI
3
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2 b
dy y
bh 3 12
可查表：P271页表附1-1
形心（P268）
XC
YC
y xA xc C yc o x dA yA
xdA
A
A
A
ydA A
xdA — 截面对面对y轴的
A
ydA — 截面对x轴的静矩
A
均质等厚薄板，其形心位置与重心重合（查表附录二）
当截面有几个简单图形（矩形、圆心）组成时，组合截
面的形心位置按以下公式计算：
y
i ci
i ci
0.12m
XC
A x
i 1
n
y2
A A Ai — 第i个截面面积
； YC
A y
i 1
n
Ⅰ
C1 C
0.4m
Ⅱ
C2
yc
y1
Xc i — 第i个截面形心位置的 x坐标
Yc i — 第i个截面形心位置的 y坐标
C q A 4a 3 B D
qa2 2 qa2 2
a
qa2 qa2
C
I2=∞
D
Rbx=qa
I1
A M p图
I1
B
3qa 3qa Ray=- 8 Rby= 8 在外力作用下支座反力
1
C
D
a
a 1 C D a
A 4a 3
B
Rbx=1
3a 3a Rby= Ray=- 4 4 在C点单位力作用受力图
A M图
第十三章 静定结构位移计算
内容： 图乘法计算位移
B P
Δ By
P B A L
Δ Bx
Δ By
L
A L
1/· 100
图乘法公式：
.y 0 EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
P
图乘法公式：
A L
PL C ω A L Mp 图
B
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
P B
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm ）；
4
L y0 A L M图
A
Mq 图 1
y0
C L 4
y0
B
5qL 384EI
4
M图
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 规则： 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线 图时，应分段进行图乘。
【例题3】用图乘法计算图示悬臂梁中点C的位移，EI＝常数。
P A C L B
课本给了两种解题方法，其中一种方法是错的。
P C ω1 B
2 2L y1 L 3 3
A
L Mp 图
L 1 y1 A L M图 B
PL3 3EI
1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 注意：
2、Mp图、M图均为直线图时， 、y计算图形可互换。
【例题1】用图乘法计算图示悬臂梁上B点的垂直位移，EI＝常数。
q A B
L
解题步骤(2步): 1. 绘制 Mp图、M图 2. 图乘法计算位移
B
【解】 qa2 2ω C 1.绘制 M P图、M图 （先支座反力，再弯矩图） 4 2.图乘法计算位移
Cx y y y y 1 1 2 2 3 3 4 4 EI 1 EI 2 EI 2 EI 1 1y 1 2 y 2 3 y 3 4 0 EI 1 EI 1 1y 1 EI 1
L
L
【习题13-1】求图示刚架自由端E点的竖向位移。EI＝常数。
B
C
L
A L
P D L E
2PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
ω3 B ω4
PL C
2PL
ω5
A PL D
ω 2 PL 1
P E
2L 1 PL2 （同侧） 1 L PL ； y1 2 2 3 y 2 L （同侧） ω 2 PL L PL2；
M p图
5L L PL2 （同侧） 2L y 3 ω 3 L PL ； y3 3 2 2 L y 4C B 3L ２ ω4 L PL PL ； y4 （同侧） 2 y5 2L y L2 ２ ω 5 L 2PL 2PL ； y 5 2L （同侧）
By 1 (1y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 ) EI
单位力 1
B
图乘法公式：
ω.y 0 ΔΣ EI
- 是弯矩图 M（或 M）的面积； P
y 0 - 是弯矩图 M （或 M）的形心对应的 M（或M P）的纵坐标； P
E - 弹性模量（比例系数） （MP a）；
I - 截面惯性距（ mm 4 ）；
截面惯性矩（P269）
y x y dA
任意截面dA对X轴惯性矩Ix=y2dA
【例题2】用图乘法计算图示简支梁在均布荷载作用下中点C的挠 度，EI＝常数。
q A C L B
q
【解】
1.绘制 Mq图、M图
A
C L
B
A
ω
C
ω
B
2.图乘法计算位移
2 L qL qL y 5 L 5L ； 0 8 4 32 3 2 8 24
2 3
qL2 8
By
y0 2 qL3 5L 2 EI EI 24 32
2 L PL PL2；
1 2
A L M p图
P B
PL
2L y1 3
y2 L
（同侧）
（同侧）
y2
L
L
y1
1
B
L
By
1 (1y 1 2 y 2 ) EI
3 1 PL2 2L 4 PL ( PL2 L) EI 2 3 3EI
A L M图
ω3
规则： 1、同侧相乘为正，异侧相乘为负 2、取y0的图必须是直线图，不能是曲线或折线图，是折线图时，应分 段进行图乘。
【例题：补2】求图示静定刚架B点的竖向位移。EI＝常数
P B
L
A L
PL
【解】 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
1 PL2 1 L PL ； 2 2
P
【解题方法1】 （错） 1.绘制 M P图、M图 2.图乘法计算位移
A
PL
C L
B
1 PL2 1 L L ω L PL ；y 0 （同侧） A C 2 2 3 2 6 L L y 0 3 Cy EI Mp 图 2 L 1 PL L 2 1 EI 2 6
XC
x 0.2m 0.2m 0.2m
A x
i 1 i
n
ci
A
A1x c1 A 2 x c 2 0.6 0.12 0 0.2 0.4 0 0.6 0.12 0.2 0.4 A
0
0.323(m)
YC
A y
i 1 i
n
ci
A
A1 y c1 A 2 y c 2 0.6 0.12 0.56 0.2 0.4 0.2 A 0.6 0.12 0.2 0.4