线性代数期末试题A
线性代数试题A及答案
线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
12-13-1《线性代数试卷A》第一学期期末考试试卷
河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（ ）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有 ．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。
线性代数期末考试试题A及解答
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故 可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为 为正交矩阵且 ， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六 证明题
1、若 阶矩阵 满足 ，求证 可逆，并求 。
2、设五阶正交矩阵 满足 ，求证：矩阵 的秩 。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2； 与 。
3、 ； 。4、 。
5、 6、 。
7、0； 。8、 ；2； 。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故 时， ，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为： ，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为 （ ， 为任意常数）…（12分）
四、 ，
得到 的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组 ，当 为何值时 能与对角形矩阵相似，求参数 的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵 。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换 以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵 的行列式 则 ， ， 的列向量组线性关。
中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷
一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 12,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = .二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( ).中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α36.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.3.(8分)设矩阵 A=(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A∗X=A−1+2X，其中 A∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X.4.(6分)已知 R2的两组基α1=(1,−1)T，α2=(1,0)T； β1=(1,2)T，β2=(3,5)T.(1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T，求 γ 在基 β1,β2下的坐标.四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32+2x1x2+4x1x3−4x2x3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=解：AA ∗=|A |I ，则 |4AA ∗|=|4|A |I |=|2I |=23=8；2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 解：A 8=AA ⋯A ⏟ 8个=(PΛQ)(PΛQ)⋯(PΛQ)(PΛQ)⏟8个=P Λ(QP)Λ(Q ⋯P)Λ(QP)Λ⏟ Q 8个Λ，已知 QP =I=PΛ8Q =(2312)(1800(−1)8)(2−3−12) =(2312)(2−3−12)=(1001)=I .3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 解：r (A )=2⟹{a ≠0且 a ≠1|A |=|1a a a 1a a a 1|=0⟹a =− 12.4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 解： r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量. Ax =b 的一般解 x =x 0+kξ：① x 0 可取 η3=(1,2,3,4)T ；②取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T ； 于是，Ax =b 的一般解 x =(1,2,3,4)T +k(1,0,−1,−2)T .答案5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 1 2,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=解：A ~ B ⟹B 的特征值也为 1 2, 1 3, 14 ⟹B −1 的特征值为 2,3,4；B −1−I 的特征值为2−1，3−1，4−1，即1，2，3； 则 |B −1−I |=1∙2∙3=6. 6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = . 解：矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−a −40λ−5|=(λ−1)2(λ−6),则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6；A 可对角化，则对特征值 λ1=λ2=1，齐次线性方程组 (I −A)x =0 的 基础解系包含的向量个数为 2=3−r (I −A )⟹r (I −A )=1； 特征矩阵 (I −A )=(−10−1−30−a −40−4)，则方法1：特征矩阵(I −A )初等行变换⇒ (101003−a 000)从而 3−a =0⟹a =3； 方法2：(I −A ) 的任一2阶子式为 0⟹|−1−1−3−a|=0⟹a =3. 二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( A ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( C ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解解：AB 是 3×3 矩阵，BA 是 4×4 矩阵，r (BA )≤r (A )≤3<4，则 BAx =0 必有非零解.3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( B ).A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 解：A r 1↔r 2⇒ B ，则 B =E 13A ，于是 B −1=(E 13A)−1=A −1E 13−1=A −1E 13. 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( B ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似解：{A 是3阶实对称矩阵 r (A )=1⟹|A |=0⟹0是 A 的2重特征值，即 λ1=λ2=0；A 的各行元素之和是3，则 3是 A 的特征值，即 λ3=3； 则 A 与B 有相同的正惯性指数1，相同的负惯性指数0； 则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同. 5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( D ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α3解：(α1−α2)+(α2−α3)−(α1−α3)=0.6.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( A ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32解：P T AP =P −1AP =(21−1)，P =(α1,α2,α3)则有 {Aα1=2α1 Aα2=1α2 Aα3=−α3⟹A(−α3)=(−1)(−α3)；又 Q =(α1,−α3,α2)，于是 Q T AQ = Q −1AQ =(2−11)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准形为 2y 12−y 22+y 32. 三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 解：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| c 1+c 2+⋯+c n+1|0a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n|=(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n . 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(−1−10−211−12412115−145−17−5)r 4−2r 3r 3−2r 2⇒ r 2+r 1(−1−10−210−222203−3−3−303−3−3−3) r 4−r 3 ⇒ r 2+r 3(−1−10−2101−1−1−103−3−3−300000)r 3−3r 2 ⇒ r 1+r 2(−10−1−3001−1−1−10000000000)r 1∙(−1)⇒ (101301−1−1−10000000000)，①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=2；②α1,α2 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③对向量 α3,α4,α5，有{α3=α1−α2α4=3α1−α2α5=−α2.3.(8分)设矩阵 A =(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I ⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=2，则 |A |I −2A =(0−2−400−2222)=2(0−1−200−1111)=2B ，这里 B =(0−1−200−1111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1由 (B,I )=(0−1−200−1111 1000 1 0001) 初等行变换⇒ (1000 10001 1−11−1 200−10)=(I,B −1)，得 B −1=(1−11−1 200−10)； 于是 X = 12(1−11−1 200−10).4.(6分)已知 R 2的两组基α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ； β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T . (1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A ；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T ，求 γ 在基 β1,β2下的坐标. 解：(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10)，B 2=(β1,β2)=(12 35)，因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ，即 B 1A =B 2，解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法：已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T ， 设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2， 方法1：因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1)；又有 γ=B 2γB 2，则求解该方程组(B2,γ)=(1235|0−1)初等行变换⇒(11|−31),则 γ 在基 B2下的坐标向量 γB2=(−31)；方法2：因为AγB2=γB1，求解该非齐次线性方程组(A,γB1)=(−23−58|1−1)初等行变换⇒(11|−31)=(I,γB2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB2=(−31).四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.证：设 kβ+k1( β+α1)+k2(β+α2)+⋯+k p(β+αp)=0，整理得 (k+k1+⋯+k p)β+k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，(*)等式两边左乘矩阵 A 得：(k+k1+⋯+k p)Aβ+k1Aα1+k2Aα2+⋯+k p Aαp=0，已知 Aαi=0，i=1,⋯,p，则有 (k+k1+⋯+k p)Aβ=0，而 Aβ≠0，所以有 k+k1+⋯+k p=0，则(*)式变为 k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，因为 α1,α2,⋯,αp是基础解系，则 α1,α2,⋯,αp线性无关，于是 k1=k2=⋯=k p=0，从而 k=0；即 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.解：系数矩阵 A =(11a 1a 1a 11)，b =(11−2)；又 |A |=|11a1a 1a 11|=−(a −1)2(a +2)(1)当 |A |≠0，即当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；(2)当 a =1 时，增广矩阵(A,b )=(111111111|11−2)初等行变换⇒ (111000000|10−3)方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；(3)当 a =−2 时，增广矩阵(A,b )=(11−21−21−211|11−2)初等行变换⇒ (10−101−1000|100)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，①令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(1,0,0)T ； ②令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(100)+k (111)，k 任意；综上，{当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；当 a =1 时，方程组无解；当 a =−2 时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q ；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)A 的所有特征值之和为 12，即 5+5+c =12，得 c =2；从而 A =(51215−22−22).(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，则 A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)Tξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T；③记矩阵 Q=(η1,η2,η3)=(√2√3√6√2√3√6√3√6)，则 Q 为正交阵，且使得 Q T AQ=Q−1AQ=Λ=(66)④令 x=(x1,x2,x3)T，y=(y1,y2,y3)T，做正交变换 x=Qy，原二次型就化成标准形 x T Ax=y T(Q T AQ)y=6y12+6y22.(3)二次型的正惯性指数为2，负惯性指数为0；则二次型的规范形为：z12+z22.(4)二次型 f(x1,x2,x3)的正惯性指数为2，不是正定二次型.。
2007-2008-2线性代数期末试卷(A)参考答案
2008年春线性代数期末试卷(A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.B A ,为n 阶矩阵，满足0=AB ，则必有（ C ）A. 0A = 或 0B =;B. 0A B +=;C. 0A = 或 0B =;D. 0A B +=.2. 关于矩阵下列说法正确的是（ B ）A. 若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，;AB BA =B. 若A 可逆，则T A 也可逆；C. 若A 可逆，B 也可逆，则A B ±也可逆；D. 若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆；3. 已知21)(,)(r B R r A R ==，则)(AB R 为（ D ）A. 12();R AB r r =⨯B. 12();R AB r r =+C. 21();R AB r r ≤-D. 12()min(,);R AB r r ≤。
4. 已知12,,,n ααα 线性无关，则（ C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++ 必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++ 线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++ 线性相关；D. 以上都不对。
5. 实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t （ B ）时，其秩为2 A. 0; B. 1;C. 2;D. 3. 二、填空题（每小题3分，共15分）6．设A 为矩阵，B 为44⨯矩阵，且A ＝1，2=B ，则=A B 87．设矩阵112212433A -⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，则()1A -*=112212433-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭8．矩阵1213001224181200A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭的秩＝ 39．若21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα的最大无关组为212,αα10．设A 为实对称矩阵，T )3,1,1(1=α与T a ),5,4(2=α分别属于A 的相异特征值为12λλ，的特征向量，则=a -3三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式2151130602121476D ---=-- 解： 07513751313062120212771207712D ----==----- ……………………………………..… .(5分) 3533301072772---=--=----…………… ………………………… ………..(8分) ＝27……………………………………………………………………….(10分)12．解矩阵方程X B AX +=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=021531201,201301012B A 。
复旦大学《线性代数I》2017-2018学年第一学期期末考试试卷A卷
2有惟一解，无解，
x1 x2 x3 1
无穷多解？并求其通解 .
解：
1 x 3 1 2 y
1 2 0
2
x
2 2 y
0 2 3
x y3
即得
3
x
16
2
y
4 7
解：
B
Ab
1
1
1 1
0 1 2
r1 r3
r2 r1 r3 r1
1 0
1 1
1
1 1 1
0 0 0 0 0 0
得基础解系
1
0
1
=
1
,2
0
0
1
1
2
0
.1
,
2
已正交，单位化得
p1 =
1 2
0
,
p2
0
1
2
当
3
=
1 时，
A
E
2
0
2 2 0
0 1
03
0 0
1 0 0
0
1 0
,
x1 x3
x2 0
0
1
1
2
得基础解系
3
=
1
，单位化得
0
得分
4= 5，2，4, 10T ,求该向量组的秩以及一个最大无关组，并将其余向量用该最大
无关组线性表示.
解：
1 1 3 5
1 1 3 5
1,
2,
3,
4
2 0
4 2
3 1
2 4
r2 2 r1
r4 2r1
0 0
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2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准
A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
复旦大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷
复旦大学考试试卷2018——2019学年第二学期时间：100分钟《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3f x x =-，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 4 0 1A ，则)(A f =.2、设B A ,为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使成立，则称A 与B 相似．3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是.4、已知二次型()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=，则二次型f 对应的矩阵A =.5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T A E A AA E <+==(其中E 是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵*A 必有一个特征值为.二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式A =3，则*A =（）.（A ）81.（B ）27.（C ）12.（D ）9.2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（）。
（A ）A 与B 相似.（B ）A =B .（C ）B A ≠，但0||=-B A .（D ）A 与B 不一定相似，但||||B A =.3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A ）A 可逆.（B ）1-A 也是正定矩阵.（C ）0||>A .（D ）A 的所有元素全为正.4、若n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位阵，则（）.（A ）()()R A R A E n +->.（B ）()()R A R A E n +-<.（C ）()()R A R A E n +-=.（D ）无法比较()()R A R A E n +-与的大小.5、设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A ）123ααα，，.（B ）124ααα，，.（C ）134ααα，，.（D ）234ααα，，.三（本题满分10分）计算n （2n ≥）阶行列式n xa a a x a D aax=，n D 的主对角线上的元素都为x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠.四（本题满分10分）设3阶矩阵,A B 满足关系：1100216,041007A BA A BA A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且,求矩阵B .五（本题满分10分）设方阵A 满足220A A E --=(其中E 是单位矩阵)，求11,(2)A A E --+.六（本题满分12分）已知向量组A ：11412α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31541α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，43670α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A ααββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵000010002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，（1）求,αβ；（2）求正交矩阵P ,使1P AP B -=.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩（1）证明：若1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，则此方程组无解.（2）设13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠），且已知1β，2β是该方程组的两个解，其中1(1, 1, 1)T β=-，2(1, 1, 1)T β=-，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2 08 6⎛⎫ ⎪⎝⎭；2、1P AP B -=；3、()(,)R A R A b n ==；4、513153333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；5、43二、选择题（每小题3分，共15分）BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n -列都加到第1列，得(1)(1)(1)n x n a a a x n ax aD x n a a x+-+-=+-xaa x a a a n x a n x c111])1([])1([1-+===-+÷])1([)(0101001])1([1)()()(1223a n x a x ax ax a n x n c a c c a c c a c nn -+-=---+====--+-+-+.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161B A E ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022A E A EA A E A E A -----=⇒=⇒=.22212112()202(2)()(4A E A A E A E A A E A A ------=⇒+=⇒+===）或34E A-六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：1213101141560112134700002110000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，12()2,,R A αα=为所求的一个最大线性无关组，且312412,2αααααα=-+=-+.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，故得A 的特征值为1230,1,2λλλ===，从而有0010E A E A ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，由此解得0α=，β=0.（2）对于10λ=，解()00E A X ⋅-=，得特征向量101-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210211p ；对于21λ=，解()0E A X -=，得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ；对于32λ=，解()20E A X -=，得特征向量为101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p 令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，则P 为正交阵，且使1P AP B -=.八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11ji i j a a a a a a B aa a a a a aa≤<≤==-∏由于1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，知||0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解.（2）13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠）时，方程组变为23123231232312323123x kx k x k x kx k x k x kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩即2312323123x kx k x k x kx k x k⎧++=⎨-+=-⎩因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21(2, 0, 2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
2022年线性代数期末考试卷试题及答案2套
,考试作弊将带来严重后果！期末考试《 线性代数》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共30分）。
．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=12-,则*A = 【 】 A. 14-B. 14C. 1-D. 1 设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(21∑=n inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案
2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、 （8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次 为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
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⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分） 证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3， 得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示， 设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。
2．已知为四维列向量组，且行列式 ，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。
s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。
A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题 号一二三总 分总分人复分人得 分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。
111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
《线性代数》期末试卷A(含答案)
《线性代数》期末试卷 (综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1. 如果矩阵1232636A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭正定，则x 的取值范围是( 9x > ).2. 设3阶方阵11133112k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若存在3阶非零方阵B ，使得=0AB ，则k =( 3- )，方阵B 的秩()R =B ( 1 )，=B ( 0 ).3. 行列式10010010a bab a b ab a b aba b++=++( 432234a a b a b ab b ++++ ).4. 已知线性方程组()12312312321232320x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩无解，则=a ( -1 ).5. 设3阶方阵A 相似于方阵B ，若A 有特征值1,1,2,-，则+=B E ( -4 ).6. 已知123,,ααα线性相关，而234,,ααα线性无关，则1234,,,αααα中 (4α )不能用另外3个向量线性表示.7. 如果123,,ξξξ是向量组A 的极大无关组，则：( A )也是向量组A 的极大无关组. （A ）122331,,ξξξξξξ+++ （B ）1223321,,2ξξξξξξξ++++ （C ）1213321,,23ξξξξξξξ++++ （D ）1323321,,32ξξξξξξξ++++ 8. 123,,,αααβ线性无关,而123,,,αααγ线性相关,则( D ).(A) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (B) 123,,,αααβγ+c 线性无关. (C) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (D)123,,,αααβγ+c 线性无关.二、 (本题满分10分) 已知矩阵430210001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，3阶方阵B 满足()1*--=-B E A E ，求1-B . 解:()()()()1*---=--B E B E B E A E ，()()**---=B A E E A E E ，()**-=B A E A ，()**-=B A A EA A A ，()-=B A E A A E ，又2=A ，于是()22-=B E A E ，()122-=BE A E ，从而 ()131021112102223002-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B E A E A =。
线性代数A及答案
2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷 ）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。
每小题3分。
）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（ ）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（ ）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。
线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （A卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A)40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解；(B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
√√5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C)111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量.则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
工大线性代数期末试卷及参考答案(A)
学院： 专业：班级：姓名： 学号：,,s α线性表示，则下列结论中正确的 2,,s k k 使等式s s k α+成立。
存在一组全为零的数12,,,,s k k k 使等式11s s k α+成立； 2,,,s k k 使等式1s s k k βαα=+成立； 的线性表达式唯一。
的特征值为1,1,2,-则矩阵2A E ++的特征值为1,3,7; C. 1,1,2-; 1,0,3-.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131D =中元素ij a 的代数余子式， 则11122122A A A A =7．设4阶方阵520021000012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则1A -=8．设线性方程组1231231232202020x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解，则λ=9．已知向量组123(3,2,0,1),(3,0,,0),(1,2,4,1)ααλα===--的秩为2，则λ=10．设n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ，则kA （k 为常数）的特征值为三、计算n 阶行列式（本题14分）11. 211112111112n D =四、证明题（每小题8分，共16分）12．已知对于n 阶方阵A ，存在自然数k ，使得0k A =，试证明矩阵E A -可逆，并写出其逆矩阵的表达式。
13. 设向量组12:,,,L A ααα和向量组12:,,,,S B βββ的秩分别为p 和q ，试证明：若A 可由B 线性表示，则p q ≤。
五、解矩阵方程（14分）14．设412221311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求X 使AX B =.六、解答题（每小题10分，共20分）15. 设11,11A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭121101B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭， 求AB .16. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合。
线性代数课程期末考试试卷(A卷)1
信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、 客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。
( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。
( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。
( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。
(B) 的所有的特征值均为正值。
A (C) 是不可逆矩阵。
A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。
0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。
0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。
(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。
n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。
)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。
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山东财政学院2006—2007学年第一学期期末考试《线性代数》试卷(A)（考试时间为120分钟）（将答案写在答题纸上）一、填空题（每空2分，共20分）1、设3阶矩阵()()123123,,,,,A B αααβαα==，且3,5,A B ==-则A B += .2、设n 阶矩阵A 满足232100,A A E +-=则()12A E --= .3、设,A B 均为可逆矩阵，则分块矩阵0可逆，且1D-= .4、设()10,0,1,2,1A αβαβ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭，则()r A = .5、设112204,32A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若存在3阶非零方阵B ，满足0AB =，则t = .6、写出向量组1231332,2,105117ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个极大无关组 .7、设向量组A 的秩为1r ，向量组B 的秩为2r ，且向量组A 可由向量组B 线性表出，则1r 与2r 的关系为 .8、设20003101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与400020002B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则x ＝ 。
9、设三阶矩阵A 的特征值为111,,234，则1A E --= . 10、已知矩阵2202301A t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵，则t 的取值范围是 .二、选择题（每题2分，共10分）1、设,A B 均为n 阶可逆矩阵（1n >），k 为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） (A) ()111A B A B ---+=+ (B) ()111AB A B ---=(C) ()()det det kA k A = (D) ()()()111TTTAB A B ---⎡⎤=⎣⎦2、齐次线性方程组0m n A X ⨯=有非零解的充要条件是（ ） (A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性无关 (D) A 的行向量组线性无关3、设A 为m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组，则下列结论中正确的是（ ）(A) 若0AX =仅有零解，则AX B =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解，则AX B =有无穷多个解 (C) 若AX B =有无穷多个解，则0AX =有非零解 (D) 若AX B =有无穷多个解，则0AX =仅有零解 4、下列矩阵可相似于对角矩阵的是（ ）(A) 120010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(B)102020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 120020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)111010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5、二次型()222123123121323,,43428f x x x x x x x x x x x x =++-++的秩等于（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 三、判断题（每题2分，共10分）1、设,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =，则必有0A =或0B =.（ ）2、若向量s α不能由121,,,s ααα- 线性表出，则向量组12,,,s ααα 线性无关. （ ）3、等价的向量组有相同的秩.（ ）4、实矩阵的特征值必为实数.（ ）5、设n 阶矩阵A B ，则,A B 有相同的特征矩阵.（ ） 四、计算题 （每题10分，共50分）1、计算行列式123123123123n tnt n D t n n t++=++ 2、已知01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，满足矩阵方程AX B X +=，求矩阵X .3、设线性方程组123123123322ax x x a x ax x x x ax ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，确定当a 为何值时，线性方程组有无穷多个解，此时，用导出组的基础解系表示方程组的全部解. 4、设三阶实对称矩阵A 的特征值为121,1λλ=-=（二重），对应于1λ的特征向量1011α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 对应于特征值1的特征向量 （2）求A（3）求11A5、用正交变换法将二次型()2212313121323,,33484f x x x x x x x x x x x =++++化为标准形，并写出所作的线性替换.五、证明题（每题5分，共10分）1、设向量组12,,s ααα 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，向量β不是方程组0AX =的解，即0A β≠，试证向量组1,ββα+，2,s βαβα++ ，线性无关.2、如果A 为正交矩阵，证明*A 也为正交矩阵。
山东财政学院2007—2008学年第一学期《线性代数》试卷(A)（考试时间为120分钟）系部__________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________（将答案写在答题纸上）一、填空题（每题2分，共20分）1、设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2，3，其余子式分别为1，2，1，则D = .2、设A 为三阶矩阵，且det 2A =，若将A 按列分块为()123,,A ααα=，令()1321,2,B αααα=+，则B = .3、矩阵111011001A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩()r A = .4、设*A 是3阶矩阵A 的伴随矩阵，2A =，则*A = .5、三元齐次线性方程组0AX =的基础解系含有一个向量，则()r A = .6、若向量组123212,,1101a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，则a = .7、已知12,ηη均为非齐次线性方程组AX b =的解，若线性组合1122c c ηη+也是它的一个解，则12,c c 应满足关系式 .8、设向量12111,001αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均为矩阵A 的对应于特征值2λ=的特征向量，12,βαα=-则向量A β= . 9、若3阶方阵A 的特征值为1,2,3，则A = .10、设A 为n 阶方阵，20E A -=，则A 必有一个特征值为 . 二、选择题（每题2分，共10分）1、设,,A B C 均为n 阶方阵，,AB BA AC CA ==，则ABC = (A) ACB (B) CBA (C) BCA (D) CAB2、设A 可逆，则下列说法错误的是(A) 0A ≠ (B) 存在矩阵B ，使得AB E = (C) A 相似于对角矩阵 (D) 齐次线性方程组0AX =仅有零解 3、设A 是4阶矩阵，且0A =，则下列说法正确的是 (A) A 中至少有一行向量是其余行向量的线性组合 (B) A 中每一行向量均是其余行向量的线性组合 (C) A 中必有一行是零向量 (D) A 的列向量组线性无关4、若n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则(A) A 与B 相似 (B) ,A B ≠ 但0A B -=(C) A B = (D) A 与B 不一定相似，但A B =5、若矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x =(A) -1 (B) 0 (C)1 (D) 2三、判断题（每题2分，共10分）1、A 与B 均为n 阶方阵，则()222AB A B =。
（ ）2、A 与B 均为n 阶方阵，若0AB =，则0A =或B =0。
（ ）3、等价的向量组有相同的秩。
（ ）4、n 阶矩阵A 可对角化，则A 必有n 个互不相同的特征值。
（ ）5、若β可由向量组12,,,s ααα 线性表出，则向量组12,,,,s βααα 线性相关.（ ）四、计算题（每题10分，共50分）1、求行列式,,A B C ，其中A 与B 均为n 阶方阵1111001110200,,011100xx A A B C B x n +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2、已知AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，求X .3、已知向量组123412340111,,,13030731αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出。
4、已知线性方程组1234123412342202132x x x x x x x x x x x x a+--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩有无穷多个解，求a 并用导出组的基础解系表示方程组的全部解.5、设矩阵111111111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵Q ，使1Q AQ -为对角矩阵.五、证明题（每题5分，共10分）1、已知向量组123,,ααα线性无关，证明向量组12,αα+23,αα+31αα+线性无关.2、设λ是矩阵A 的一个特征值，证明2λ是2A 的一个特征值.。