2.1.1_平面(说课教案)
2.1.1平面的教学设计.doc
2.1.1平面的教学设计一、教材分析本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。
平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。
这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。
二、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
三、教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识目标】1）掌握平面的概念、画法、表示方法；（（2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面；（3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。
【能力目标】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。
【情感目标】让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。
四、教学的重点难点重点：1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
五、教法与学法本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。
因此，1 、教法上应注意：（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性；（2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；（3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。
2.1.1平面的教学设计.doc
2.1.1平面的教学设计一、教材分析本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。
平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。
这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。
二、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
三、教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识目标】1）掌握平面的概念、画法、表示方法；（（2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面；（3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。
【能力目标】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。
【情感目标】让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。
四、教学的重点难点重点：1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
五、教法与学法本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。
因此，1 、教法上应注意：（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性；（2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；（3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。
高中数学 (2.1.1 平面)示范教案 新人教A版必修2
第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1.1 平面约1课时2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系约1课时2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系约1课时2.1.4 平面与平面之间的位置关系约1课时2.2.1 直线与平面平行的判定约1课时2.2.3 直线与平面平行的性质约1课时2.2.2平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质约1课时2.2.42.3.1 直线与平面垂直的判定约1课时2.3.2 平面与平面垂直的判定约1课时2.3.3 直线与平面垂直的性质约1课时2.3.4 平面与平面垂直的性质约1课时本章复习约1课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表： 点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C. 于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC ，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P，且AB⊂β,∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，图20∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例.。
(人教版)高中数学必修二《2、1、1 平面》教学设计
2。
１．1 平面东莞市南城中学陈立１。
内容与内容解析（1）内容《2。
1.１平面》就是人教A版《数学》必修二得第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容就是平面得描述性概念及三个公理。
（２)内容解析平面就是最基本得几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。
平面得基本性质即公理1、公理２、公理3，就是研究立体图形得理论基础,也就是进一步推理得出发点与根据。
其中公理可以用来判断直线或者点就是否在平面内；公理用来确定一个平面,判断两平面重合，或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点得问题。
平面得基本性质在高考中一般以选择与填空题型为主。
学生在第一章得学习过程中，经历了对立体图形得整体把握,这节课以学生熟知得长方体为载体，引出本节课得主要内容，拓展学生已有得平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此,本节课得教学重点就是使学生了解平面得描述性概念,了解平面得表示方法与画法;理解平面得基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间得关系。
2。
目标与目标解析(１)目标根据本节课得教学内容、特点及教学大纲对学生得要求,结合学生现有得知识水平与理解水平,确定本节课得教学目标如下:①了解平面得描述性概念;②了解平面得表示方法与基本画法；③理解公理1、公理２、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间得关系。
⑤感知数学语言得美，激发学习兴趣.（2)目标解析通过学生熟知得正方体、生活中得实例使学生对平面有感性得、初步得认识,借助学生已有得直线得描述性概念,通过类比让学生体验获得平面得描述性概念得思维过程。
在学生了解平面得描述性概念以后，首先给出平面得表示方法，然后类比画直线得方式，从“直观性”角度给出平面得画法。
尽管平面得描述性概念、平面得表示方法与基本画法这些内容不难，但就是要让学生理解这些知识得本质还就是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此,将这些内容定位为了解.平面得三个公理，就是本节课得重点内容，要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。
(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计
(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计2.1.1 平面东莞市南城中学陈立1．内容和内容解析（1）内容《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。
（2）内容解析平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。
平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。
其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。
平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。
学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。
2．目标和目标解析（1）目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下：①了解平面的描述性概念；②了解平面的表示方法和基本画法；③理解公理1、公理2、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。
⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。
（2）目标解析通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。
在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。
尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。
高中数学必修二2.1.1平面教案新人教A版必修2
点 A 在平面 α 外（或平面 α 不经过点 A）
图5 A∈ａ Aa A∈ α
Aα
元素与 集合间 的关系
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内
( 图 7) ，直线上有两个点在平面内，则直线全
部落在平面内 . 例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1.1 平面
一、教材分析
平面是最基本的几何概念 , 教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例 , 对它只是加以描述而不定义 . 立
体几何中的平面又不同于上面的例子 , 是上面例子的抽象和概括 , 它的特征是无限延展性 . 为了更准确地理
.
公理 1： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
.
2
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图
6）描述 .
空间图形的基本元素是点、直线、平面 . 从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、
平面看成是点的集合， 因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外， 还可借用集合中的符号语言来表示 .
的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题
.
（二）推进新课、新知探究、提出问题 ①怎样理解平面这一最基本的几何概念 ; ②平面的画法与表示方法 ; ③如何描述点与直线、平面的位置关系？ ④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面
1
内？
解平面 , 教材重点介绍了平面的基本性质 , 即教科书中的三个公理 , 这也是本节的重点 . 另外 , 本节还应充分
高中数学 (2.1.1 平面)示范教案 新人教A版必修2.doc
第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：如图16所示，连接CB ， ∵C∈β,B∈β,∴直线CB ⊂β.图16∵直线CB ⊂平面ABC ，∴β∩平面ABC=直线CB. 设直线CB 与直线EF 交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC. ∵A∈α,A∈平面ABC ， ∴α∩平面ABC=直线AD. 变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ， 它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ， ∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线. (2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N,∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm.点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β. 又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l, 同理可证：Q ∈l,R ∈l, ∴P、Q 、R 三点共线. 变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行. 求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行, ∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ， 则P ∈l 1⊂α,P ∈l 2⊂γ, ∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. 知能训练画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC ，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C 的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例.。
2.1.1 平面教案
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1课时五、教学过程（一）导入新课思路1.初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形？三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。
平面内基本图形：点、线思路2.高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形？棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
空间中基本图形：点、线、面（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念；②平面的画法与表示方法；③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示；⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性.②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图1.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2.图1 图2平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图4）.图3 图4③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）A∈a元素与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）A∉a点A在平面α内（或平面α经过点A）A∈α点A在平面α外（或平面α不经过点A）A∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图5）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图5 图6请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图6）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图7）.图7公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图8），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图8公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据（三）应用示例思路1例1 如图9，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图9活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.例2：求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内(共面问题)已知: AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证:直线AB、BC、AC共面.证明：∵AB ∩AC=A ∴AB 和AC 确定一平面a,,B AB C AC BC ααα∈⊂∈⊂∴⊂Q ∴直线AB 、BC 、AC 共面于α。
教学设计9：2.1.1 平 面
2.1.1平面【课标要求】1．了解平面的概念及表示方法．2．理解平面的公理1，公理2，公理3.3．会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．【核心扫描】1．空间直线、平面的位置关系．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(易混点)【新知探究】新知导学1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.温馨提示：(1)“平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直线”、“集合”等概念一样)；(2)平面的特征：①理想性：绝对的平直且能无限延长；②不可测度性：无大小(无限大)、无厚薄(无限薄)．2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系：文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α、β相交于直线lα∩β＝l温馨提示：(1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用几何语言．例如，A ∈α读作“点A在平面α内”；a⊂α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．(2)几何符号的用法：原则上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合符号略有差异．例如：不再用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而简记为a∩b＝A，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．3．平面的基本性质及作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公P∈α，且P∈β⇒α∩β一是判断两个平面相交的依据；二温馨提示：(1)公理2、公理3的“有且只有”含义要理解准确，“有”是存在，“只有”表示唯一，“有且只有”是存在且唯一，与“确定”意义相同．(2)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(3)公理2及其推论是确定平面的依据，提供了把空间问题转化为平面问题的条件．【互动探究】探究点1立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区别？提示(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；(2)平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，无大小，无面积，它可以无限延展，没有边界．探究点2 (1)已知l⊄α，则l∩α＝∅一定成立吗？(2)已知A∈l⊄α，则点A与平面α有什么关系？提示(1)不一定成立．当l与α平行时成立；当l与α相交时不成立．(2)A∈α或A∉α.当l∩α＝∅时，A∉α；当l∩α≠∅时，若l∩α＝A，则A∈α，否则A∉α.探究点3 “线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确，为什么？提示不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段上的A、B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内(公理1).【题型探究】类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.[思路探索]根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系画图．解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)图(1)图(2)(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)．[规律方法](1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【活学活用1】将下列符号语言转化为图形语言．(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解(1)(2)类型二点线共面问题【例2】证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．[思路探索]证明多线共面，一般先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面内．已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证明法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[规律方法]解决点线共面问题的基本方法是纳入法和同一法：【活学活用2】已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公里2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．类型三点共线问题【例3】如图所示，在空间四边形(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[思路探索] 证明点P在平面ABD与平面CBD的交线上证明由于EF，GH交于一点P，又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．[规律方法]首先找出两个平面的交线，然后证明若干点都是这两个平面的公共点，根据公理3可推知这些点都在交线上，即若干点共线．【活学活用3】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．类型四线共点问题【例4】如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[思路探索] 由比例式可得出GE∥HF(四点共面)、GH与EF相交，再论证交点在BD上．证明因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面，所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．[规律方法]证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．【活学活用4】三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点．已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行．求证：l1、l2、l3相交于一点．证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1、l2、l3相交于一点P.方法技巧分类讨论思想在立体几何中的应用分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则，证明线共面时，要对所有情形逐一讨论，最后归纳总结得出结论．【示例】两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[思路分析]分四线共点，三线共点，无三线共点的三种情形讨论．解(1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，但A∉d，如图(1)所示：∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α，∵A，E∈α，A，E∈a，∴a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.∴a，b，c，d在同一平面α内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图(2)所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，∴c⊂α，同理可证d⊂α.∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．[题后反思] 分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到引起讨论的原因，确定分类的标准，多级分类讨论时，注意分类的层次.【课堂达标】1．下列命题中正确的个数是()．①一个平面长4米，宽2米；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．A．0 B．1 C．2 D．3解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对．答案A2．下列说法正确的是()．A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面解析不共线三点确定一个平面，A错误；一条直线和此直线外一点确定一个平面，B错误；空间四边形(四个顶点不共面)不是平面图形，C错误；两条相交直线确定一个平面，D正确．答案D3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是________．解析对于不共线四点：当三点共线时确定一个平面；当三点不共线时，可确定一个平面或四个平面答案1或44．下列语句是对平面的描述：①平面是绝对平的且是无限延展的②一个平面将无限的空间分成两部分③平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集④平面可以用梯形、圆来表示其中正确的序号是________．解析根据平面的概念和特征①②③都是从不同的角度对平面的描述，因此都是正确的．平面可以用封闭的平面图形来表示，④也正确．答案①②③④5．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.【课堂小结】1．理解平面的特征，能正确的画出图形，用符号语言准确表示点、线、面的位置关系．2．充分认识三个公理及公理2三个推论的作用．3．掌握证明点线共面、点共线、线共点的方法.。
高中数学人教A版必修二2.1.1【教学设计】《平面》
《平面》平面是最基本的几何概念，教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例，对它只是加以描述而不定义。
立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。
为了更准确地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书中的三个公理，这也是本节的重点。
另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。
【知识与能力目标】（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
【过程与方法目标】（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。
【情感态度价值观目标】使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
【教学重点】掌握平面的基本性质及作用、三种数学语言的转换与翻译。
【教学难点】用三个公理证明共点、共线、共面问题。
多媒体课件。
（一）导入新课观察平静的水面、教师的地面等图片，它们都给我们怎样的形象？（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念；②平面的画法与表示方法；③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示。
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。
讨论结果：①平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
②平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2。
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍。
人教高一数学教学设计之《2.1.1平面》
人教高一数学教学设计之《2.1.1平面》一. 教材分析人教高一数学《2.1.1平面》这一节的主要内容是介绍平面的基本概念和性质。
平面是几何学中的基础概念之一，对于学生来说，理解平面的定义、性质和表示方法是学好几何学的前提。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握平面的基本知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析高一学生已经具备了一些基础的数学知识，对于一些简单的几何概念有一定的了解。
但是，对于平面的定义和性质，他们可能还没有完全理解，需要通过实例和练习来进一步掌握。
同时，学生可能对于一些抽象的概念感到困惑，需要教师通过生动的讲解和形象的图示来帮助他们理解。
三. 教学目标1.了解平面的定义和性质。
2.能够运用平面的知识解决一些实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平面的定义和性质。
2.难点：平面的表示方法和平面方程的推导。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解平面的概念。
2.使用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解平面的性质。
3.通过例题和练习题，让学生巩固所学的知识，并能够运用到实际问题中。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.平面模型和实物模型。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一些实际问题，如“为什么我们在平面地图上可以找到我们的位置？”，引导学生思考平面的概念。
然后，展示一些平面模型和实物模型，让学生直观地感受平面的性质。
2.呈现（10分钟）介绍平面的定义和性质，通过讲解和图示，让学生理解平面的基本概念。
强调平面的无限延展性和平面上点的坐标表示方法。
3.操练（15分钟）让学生通过一些例题和练习题，运用平面的知识解决实际问题。
教师可以给予一定的指导，帮助学生理解和掌握平面的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些巩固题，让学生进一步加深对平面概念的理解。
教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们克服困难。
教学设计6：2.1.1 平面
2.1.1 平面问题导学一、三种语言的转换活动与探究1(1)说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．迁移与应用1．如图所示的点、线、面的位置关系用符号语言表示为________________．2．用符号语言表示“三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β交于P A，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC”，并画出图形．名师点睛在立体几何中，符号“∈”和“∉”表示点与直线、点与平面的关系；符号“∩”表示直线与直线或直线与平面相交；符号“⊂”和“⊄”表示直线与平面的关系．虽然借用集合中的符号表示点、线、面的位置关系，但在读时仍用几何语言．二、点线共面问题活动与探究2过直线l外一点P引两条直线P A，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线P A，PB，l共面．迁移与应用1．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是()A．1 B．2 C．3 D．1或32．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交．求证：直线a，b，l共面．名师点睛(1)证明多点、多线共面时，可先由部分点线确定一个平面，再由公理1证明其他点线也在这个平面内．(2)两条相交直线确定一个平面，两条平行直线也确定一个平面．三、证明多点共线问题活动与探究3如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB上的点，H，F分别为AD，CD上的点，GH与EF交于点O．求证：B，D，O在同一条直线上．迁移与应用1．已知平面α∩平面β＝l，点P∈α，P∈β，则点P与直线l的关系是__________．2．如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．名师点睛证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，这是证明多点共线的基本思路与方法．四、证明多线共点活动与探究4已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．迁移与应用如图，已知平面α，β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．名师点睛证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，所以三线共点．当堂检测1．下列说法中正确的个数为()①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1 B．2C．3 D．42．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N3．在空间中，下列命题不正确的是()A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若A既在平面α内，又在平面β内，且α与β交于b，则A在b上D．任意三点能确定一个平面4．已知平面α∩β＝l，△ABC的三边中，AB⊂α，AC⊂β，则顶点A与直线l的位置关系是__________．5．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__________．答案：【问题导学】活动与探究1思路分析：利用三种语言的关系解答．解：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．(2)图示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l．迁移与应用1．α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l2．解：α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，P A∩PB∩PC＝P．图形如图所示．活动与探究2思路分析：根据条件P，A，B确定一个平面，再证直线l，P A，PB在这个平面内．证明：如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α．∴P∈α，A∈α，B∈α．∴P A⊂α，PB⊂α．又A∈l，B∈l，∴l⊂α．∴P A，PB，l共面．迁移与应用1．D2．证明：∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，记为α，如图．设a∩l＝A，b∩l＝B，则A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α．∴l⊂α．∴直线a，b，l共面．活动与探究3思路分析：本例是一个证明三点共线的问题，根据题意只需证明点O在直线BD上．而BD是平面ABD与平面BCD的交线，因而只需证明点O在平面ABD内，也在平面BCD内即可．证明：∵GH∩EF＝O，∴O∈GH，O∈EF．又GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O ∈平面ABD，O∈平面BCD．∴点O在平面ABD与平面BCD的交线上．又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD．∴B，D，O在同一条直线上．迁移与应用1．P∈l2．证明：∵AB∩α＝P，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC，P∈α，∴P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，Q和R均在这条交线上．∴P，Q，R 三点共线．活动与探究4思路分析：先由a，b共面且不平行，得a与b相交，设交于点P，再证明交点P在c上，即证明P∈α，P∈β．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．又由于直线a和b不平行，∴a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P．∴a，b，c三条直线相交于同一点．迁移与应用证明：∵四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，∴延长AB，DC，设交于点O．则O∈AB，O∈CD．∵AB⊂α，CD⊂β．∴O∈α，O∈β．∵α∩β＝l，∴O∈l．∴AB，CD，l共点．【当堂检测】1．C2．A3．D4．A∈l5．P∈l。
教案高一数学人教版必修二 2.1.1平面
双峰一中高一数学必修二教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；（
的直观图（（
思考3:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，
锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的
思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？
(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.
说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如
思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?
思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线
置关系如何？由此可得什么结论？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内
思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l β= ，
有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据,l P αβ=且
（1）平面的概念、画法、表示方法；
（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关。
高中数学2.1.1平面教案
平面教学目标1 、正确理解平面的几何概念，掌握平面的根本性质；2 、熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，熟练点线面关系符号语言的书写，会解决一些简单的几何问题 .3 、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质 .教学重难点重点： 1 ．掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示理解平面的无限延展性．2 ．平面根本性质的三条公理及其作用．难点：1 ．理解平面的无限延展性；2 ．集合概念的符号语言的正确使用教学过程一、情景引入图片展示，观察图片共同点二、讲解新课1 ．平面的两个特征：①无限延展；②平的 ( 没有厚度 )平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最根本的属性一个平面把空间分成两局部，一条直线把平面分成两局部2 ．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面( 1 ) 一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成 45 ，横边画成邻边的 2 倍长，如图 1 ( 1 ) ．( 2 ) 直线与平面相交，如图 1 ( 2 ) 、 ( 3 ) ；( 3 ) 两个相交平面：画两个相交平面时，假设一个平面的一局部被另一个平面遮住，应把被遮住局部的线段画成虚线或不画 ( 如图 2 ) ．3 平面的画法及其表示方法：( 1 ) 在立体几何中，常用平行四边形表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45 °，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一局部被另一个平面遮住时，应把被遮住的局部画成虚线或不画．( 2 ) 一般用一个希腊字母α、β、γ、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面 AC 等．4 ．空间图形是由点、线、面组成的：空间图形的根本元素是点、直线、平面。
点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示．点、线、面的根本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言 ( 读法 )点在直线上点不在直线上点 在平面 内点 不在平面 内直线 、 交于 点直线 在平面 内直线 与平面 无公共点直线 与平面 交于点平面 、 相交于直线注意： 集合中 “ ∈ 〞 的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ 〞和“∩〞的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． ( 平面 α 外的直线 a ) 表示 ( 平面 α 外的直线 a ) 表示或．5 、平面的根本性质探究一：如果直线 l 与平面α有一个公点，线 l 是否在平面α内？有两个公共点呢？公理 1 ： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．符号语言： ．或者：∵ ，∴应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：探究二：过空间中一点可以做几个平面？两点呢？两点呢？公理 2 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
2_1_1 平面教案
2.1.1 平面一、教学目标：利用生活中的实物对平面实行描绘，掌握平面的表示法及水平放置的直观图，掌握平面的基本性质及作用.二、教学重点、难点重点：平面的概念及表示，平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与使用.三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板.四、教学设想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流，与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）D CαAB平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也能够用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
假设几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面能够看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α点B 在平面α外，记作：B α2.1-43、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，能够看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（教师引导学生阅读教材相关内容，并加以解析）.符号表示为A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.师：生活中，我们看到三脚架能够牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2. α β α β ·B ·A α LA · α ·B公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
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《点、直线、平面之间的位置关系--- 平面》说课稿
一、说教材
1.教材的地位和作用
本节课是高一数学必修2第二章第一节《点、直线、平面之间的位置关系》第一课时内容，是由初中平面几何进入高中立体几何的第一课，承上启下，也是高中立体几何模块中的理论基础。
2.知识目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
3.教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
如何突出重点：①对比初中平面几何知识，紧扣概念，公理；②几何作图时，用不同颜色的粉笔表示不同的元素进行区分；③多联系实际；④鼓励学生自己多实践，多操作
难点：平面基本性质的掌握与运用。
突破难点：①多对比初中平面几何知识，紧扣概念，公理；②阐述清楚公理体系建立的来龙去脉；
③教师多演示，学生多动手，最后多总结。
二、说教法
1.教学方法：
（1）对于平面的基本概念，采用类比与实例相结合的教学方式；
（2）对于平面的表示方法，采取讲练结合法；
（3）对于三个公理，采取讲授法和演示法。
2.学法：学生通过联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
D C
B
A
α 3.教学用具：多媒体 三、说教学过程
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板面、桌面、活动室地面，海面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）探究新知 1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
【跟踪练习】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚 ②有一个平面的长是50m ，宽是20m ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学 概念. 其中正确的命题是__________.(通过做此练习加深对平面的理解) 2、平面的画法及表示
引导学生观察教室里的桌面、黑板面得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）
课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α点B 在平面α外，记作：B α
2.1-4
3、平面的基本性质
引导学生回答P41的思考题以及把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上的事实，引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
·A
·B
符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使ααα∈∈∈C B A ,,
公理2作用：确定一个平面的依据。
引导学生回答P42的思考题，并观察长方体，让学生理解两个平面的交线的含义。
从而归纳出公理3.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：l P l P P ∈=⋂⇒∈∈且且,,βαβα 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 典型例题 教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
（三）课堂练习：（投影展示）
（四）课时小结：（师生互动，共同归纳） 本节课我们学习了哪些知识？ （五）作业布置
（1）课本P51 习题2.1 A 1,2 B 组 2 板书设计 §2.1.1 平面 1. 平面的概念 2. 平面的画法、表示
3. 点、线、面位置关系表示 平面的
基
本
性
质
L
·
B
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
· α
L
β
4.。