二元一次方程组竞赛经典题集(修改)

二元一次方程组竞赛题集

【点拨】 含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况． 对于x 、y 的方程组中，a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为已知数，且a 1与b 1、a 2与b 2都至少有一个不等于零，则 ①时，原方程组有惟一解；

②时，原方程组有无穷多组解； ③时，原方程组无解.

【例1】 k 、b 为何值时，方程组⎩⎨

⎧+-=+=2)13(x k y b kx y (1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?

2、已知关于x ，y 的方程组⎩⎨

⎧=+=+-b

y x y x a 5)1(当a ，b 满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无数解？ 3、已知方程组⎩

⎨⎧=+=-b ay x y x 91243有无穷多个解，试求a 、b 的值。

4、已知关于ｘ、ｙ的二元一次方程(a －1）x ＋（a ＋2）y －２a ＋５＝0，当a 每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，求这个公共解；并证明对于任何a 值，它都能使方程成立。

5、若方程组⎩⎨

⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧=-=1514y x ，求方程组⎩⎨⎧=+=+222111957957c y b x a c y b x a 的解。

6、 已知m 是整数，方程组⎩⎨

⎧=+=-26

6634my x y x 有整数解，求m 的值 7、已知xyz ≠0,且⎩

⎨⎧=-+=--0720634z y x z y x ，求2222

2275632z y x z y x ++-+的值

8、若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值是( )

A ．－1

B ．－5

C ．0

D ． 1

拓展提高：

1、已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.

2、解方程组

3、某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？

4、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.

5、某水果批发市场香蕉的价格如右表：

张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

6、用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

二元一次方程组竞赛题集（答案+解析）

【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.

【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.

（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.

（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.

（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.

把代入①，得，解得k=-4.

解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，

解法三：①+②，得5x-y=2k+11.

又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.

【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.

【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？

【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.

最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.

解：设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数. 依题意可得方程：2x+5y=33.

因为5y个位上的数只可能是０或５，

所以2x个位上数应为３或８.

又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：

由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少.

答：付款方式有３种，分别是：付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张

２元钱和１张５元钱. 其中第一种付款方式付出的张数最少.

【例3】解方程组

【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.

解：由①，得 y=4－mx，③

把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8，

解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，

即m＝时，方程无解，则原方程组无解.

当2－5m≠0，即m≠时，方程解为将代入③，得

故当m≠时，原方程组的解为

【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．

对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等

于零，则

①时，原方程组有惟一解；

②时，原方程组有无穷多组解；

③时，原方程组无解.