2020高考数学 课后作业 3-2 利用导数研究函数的性质

3-2 利用导数研究函数的性质

1.(文)(2020·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′ (x)>1，则f(x)>x的解集是( )

A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[答案] C

[解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)．

(理)(2020·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

[答案] B

[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则

φ′(x)＝f′(x)－2>0.

∴φ(x)在R上是增函数．

又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，

∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，

∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.

2．(2020·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( )

A．5，－15 B．5，－4

C．－4，－15 D．5，－16

[答案] A

[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.

3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )

A.4

27

，0 B．0，

4

27

C．－4

27

，0 D．0，－

4

27

[答案] A

[解析] f ′(x )＝3x 2

－2px －q 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得

⎩

⎪⎨

⎪⎧

3－2p －q ＝01－p －q ＝0 解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

p ＝2

q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2

＋x

由f ′(x )＝3x 2

－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1

易得当x ＝13时f (x )取极大值4

27

当x ＝1时f (x )取极小值0.

(理)设函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )

A ．a ＝－12，b ＝0，c ＝－3

2

B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－3

2

C ．a ＝－12，b ＝0，c ＝3

2

D ．a ＝12，b ＝0，c ＝3

2

[答案] C

[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以由题意得

⎩⎪⎨⎪

⎧

f ′1＝0，f ′－1＝0.f －1＝－1，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

3a ＋2b ＋c ＝0，3a －2b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－1，

解得a ＝－12，b ＝0，c ＝3

2

.

4．(2020·青岛模拟)已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3

－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．±1 [答案] B

[解析] 由导函数与原函数的关系知，f (x )＝x 4

－2x 2

＋a (a 为常数)， ∵f (0)＝－5，∴a ＝－5，∴f (x )＝x 4

－2x 2

－5， 令f ′(x )＝4x 3

－4x ＝0得，x 1＝1，x 2＝0，x 3＝1， 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，

当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，

∴f (x )在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)上和(1，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得极大值5，故选B.

5．若函数f (x )＝x 3

－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )

A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3

B ．－3

C ．－2

D ．不存在这样的实数 [答案] B

[解析] 因为y ′＝3x 2

－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由

y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －

1<－2

6．(2020·陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2

－1的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨

⎧⎭

⎬⎫

1

f

n

的前n 项和为S n ，则S 2020的值为( ) A.2010

2011 B.1005

2011 C.4020

4021

D.2010

4021

[答案] D

[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，

∴f (x )＝4x 2

－1， ∴

1

f n

＝

14n 2

－1＝12n －1·1

2n ＋1

＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1

∴数列⎩⎨

⎧⎭

⎬⎫1f n

的前n 项和S n ＝

1f 1＋

1f 2＋…＋1f n ＝12⎝

⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫

13－15＋…＋

12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2n －1－12n ＋1

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，∴S 2020＝2010

4021

.