(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
大学高数下册试题及答案,第7章(共7页)
大学高数下册试题及答案,第7章第七章多元函数微分学作业1多元函数 1．填空题已知函数，则；的定义域是；的定义域是；函数的连续范围是全平面；函数在处间断. 2．求下列极限；解：. 解：由于。
故 3．讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4．证明在点分别对于每个自变量或都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2偏导数 1．填空题设，则；设，则；设，则；曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2．设。
证明. 证:因为所以3. 设，求，. 解从而4．设，证明.解：因为所以 5．设函数. 试求的偏导函数；解：当，当，考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续作业3全微分及其应用 1．填空题在点处偏导数存在是在该点可微的必要条件；函数在点处，当时有全增量，全微分；设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；在点处的； ,则； ,则； ,则. 2．证明：在点处连续，与存在，但在处不可微. 证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.3．设函数试证：函数在点处是可微的；证：因为又所以函数在点处是可微的函数在点处不连续. 证：当不存在，故在点处不连续作业4 多元复合函数的求导法则 1．填空题设，则；设，则；设，则；设，则. 2．求下列函数的偏导数设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：设，其中均可微，求和. 解：因为从而所以 3．验证下列各式设，其中可微，则；证：因为所以设，其中可微，则. 证：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为从而左边作业5隐函数求导法 1．填空题已知，则；已知，则；已知，则；已知，则；已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2．设其中具有二阶连续偏导数，求．解：3．求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知4．设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为。
高数下册各章总复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。
（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充 分条件。
（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条件。
（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充 分条件。
8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。
解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<=2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。
证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。
(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
多元函数微分法和应用期末复习题高等数学(下册)(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 BA.-1B.0C.1D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD. 18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）. (A)14(B) 14- (C) 12(D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy yx 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2- （C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin xy ； )B ( e e sin xxy +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy - 34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
多元函数微分学复习习题及答案
欢迎阅读第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于 ；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则 （ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）； （C ）； （D ）-1414-12127、若，则 （ C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点； （B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。
P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。
答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。
答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。
答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。
答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。
答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。
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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
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第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。
多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
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第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ） （A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
A. 538. 函数 z = xy + 50第八章 偏导数与全微分参考答案第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若 u=u(x, y)是可微函数，且 u ( x,y) y = x 2 = 1,1 1A.-B.C. -1D. 122∂u ∂x y = x 2= x, 则∂u∂y y = x 2 = [A ]2.函数 z = x 2 + y 2 - 6x + 2 y + 6 [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数 f (x, y )在点 (x , y 0) 处的两个偏导数 f (x , y ), f x 0 0y (x , y )存在是函数 f 在0 0该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设 u= x 2 +2 y 2+3 z 2 +xy+3x-2y-6z 在点 O(0, 0, 0)指向点 A(1, 1, 1)方向的导数5 3 5 3 5 3 B. -C.D.-66335. 函数 z = x 3 + y 3 - 3xy [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数 f (x, y )在点 (x , y)处可微是 f (x, y )在该点连续的[ A ]0 0A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件∂u∂l= [ D ]7. 已知 y - ε sin y - x = 0(0 < ε < 1) , 则 dy dx= [ B ]A. 1 + ε cos yB. 1 1C. 1 - ε cos yD.1 - ε cos y 1 + ε cos y20 + （x>0，y>0）[ D ] x yA. 在点(2, 5)处取极大值B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值-1-C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t,y=-t2,z=t3所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有[B]A.1条B.2条C.3条D.不存在11．设f(x,y)=xy x y，则f(,)=B y2-x2y xA.xyy4-x2 B.x2y2x2+y2y2-x2C.D.y4-x4y4-x4y4-x412．为使二元函数f(x,y)=为B x+yx-y沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择A.x x x2x=y B.=y C.=y D.=y 432313．设函数z=f(x,y)满足∂2z∂y2=2，且f(x,1)=x+2，f'(x,1)=x+1，则f(x,y)=ByA.y2+(x+1)y+2B.y2+(x-1)y+2C.y2+(x-1)y-2D.y2+(x+1)y-2 14．设f(x,y)=3x+2y，则f(x y,f(x,y))=CA.3xy+4x+4yB.xy+x+2yC.3xy+6x+4yD.3xy+4x+6y15．为使二元函数f(x,y)=xy2x2+y2在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为BA.-1B.0C.1D.16．已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f(x,y)∂f(x,y)+=C ∂x∂yA.2x-2yB.2x+2yC.x+yD.x-yy 17．若f()=x x2+y2x(x>0)，则f(x)=BA.x2-1B.x2+1C.∂z∂z 18．若z=y x，则在点D处有=∂y∂x x2+1x D.xx2-1A.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.(e,e)20.函数f(x,y)=⎨11x sin+y sin,xy≠0y x4(C)(D)-119．设z=x y2，则下列结论正确的是AA.∂2z∂2z∂2z∂2z -=0B.->0∂x∂y∂y∂x∂x∂y∂y∂xC.∂2z∂2z-<0 D.两者大小无法确定∂x∂y∂y∂x⎧0,xy=0⎪⎪⎩，则极限lim f(x,y)（C）.x→0y→0(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函数z=xy在点(0,0)(D).(A)有极大值(B)有极小值(C)不是驻点(D)无极值22.二元函数z=x2+y2在原点(0,0)处（A）.(A)连续，但偏导不存在(B)可微(C)偏导存在，但不连续(D)偏导存在，但不可微23．设u=f(r)，而r=x2+y2+z2，f(r)具有二阶连续导数，则（B）.12(A)f''(r)+f'(r)(B)f''(r)+f'(r)r r 1112f''(r)+f'(r)(D)f''(r)+f'(r) (C)r2r r2r ∂2u∂2u∂2u++∂x2∂y2∂z2=24．函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点偏导存在的（D）.00(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件25．函数z=1-x2-y2的极大值点是（D）.(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26．设f(x,y)=arcsin yx，则f'(2,1)=（B）.x(A)14(B)-112227．极限limx→0x2yx4+y2（B）.∂x 0z = u 2ln v , u =xy , v = xy, 则 x 22 x x（D ） y 232．设f ( x , y) =xy(A) f x, ⎪ = f ( x , y) ；(B) f ( x + y , x - y) = f ( x , y) ；33．设 z = e x cos y ，则 ∂2z34．已知 f ( x + y , x - y) = x 2- y2 ，则∂f第八章 偏导数与全微分参考答案(A) 等于 0(B) 不存在(C) 等于 12(D) 存在且不等于 0 及 1228． z = f ( x , y) 若在点 P ( x , y ) 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.0 0(A) f ( x , y) 在点 P 连续(B) z = f ( x , y ) 在点 x 连续0 0(C) dz = ∂z|⋅dx +P ∂z| ⋅dy (D) A,B,C 都不对 ∂y P 029. 设函数 z = x y ，则 d z =（ A ）．(A)． yx y -1d x + x y ln x d y (B)． yx y -1d x + x y d y(C)． x y d x + x y ln x d y(D)． yx y -1d x + x y ln y d y∂z 30. 已知∂y =（ C ）2 x 2 （A ） y 3ln xy + x2 y3 2 x 2 （B ） y 3 ln xy - x 2y 3- 2 x 2（C ） y3ln xy +31．函数 z = 1 - x 2 - y 2 的定义域是（ D）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1} （B.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≥ 1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≤ 1} x 2 + y 2 ，则下列式中正确的是（ C）；⎛ y ⎫ ⎝ x ⎭(C) f ( y , x) = f ( x , y) ；(D) f ( x ,- y) = f ( x , y)∂x ∂y = （D）；(A)e x sin y ； (B) e x + e x sin y ； (C) -e x cos y ； (D) -e x sin y∂x + ∂f ∂y = （ C ）；∂x⎛x,y⎫,lim f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)f(x+∆x,y)-f(x,y)lim∆x∆xf(x+∆x,y)-f(x,y)f(x+∆x,y)lim∆x∆x37.设由方程e-xyz=0确定的隐函数z=f(x,y),则(((A)2x+2y；(B)x-y；(C)2x-2y(D)x+y．35.设z=2x2+3xy-y2∂z=，则∂x∂y（B）（A）6（B）3（C）-2（D）2.36.设z=f(x,y)则∂z=⎝00⎭（B）0000000（A）∆x→0（B）∆x→0lim （C）∆x→0000000（D）∆x→0z∂z∂x=（B）z z y y （A）1+z（B）x(z-1)（C）x1+z)（D）x1-z)38.二次函数z=ln(4-x2-y2)+1x2+y2-1的定义域是（D）A.1＜x2+y2≤4；B.–1≤x2+y2＜4；C.–1≤x2+y2≤4；D.1＜x2+y2＜4。
多元函数微分法及其应用(全例题)
162 多元函数微分法及其应用（全例题）一、内容提要多元函数微分法是一元函数微分法的推广,有许多相似之处,学习时应注意对比,搞清异同. 1．基本概念与定理设函数)(P f U =，点P 可以是n ,,3,2,1 维的.当2≥n 时,称此函数为多元函数. ① 二元函数),(y x f z =在几何上表示空间一张曲面.② 二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的极限、连续、偏导数、全微分的定义及关系. 极限 A y x f yy x x =→→),(l i m 0：当,0,0>∃>∀δε 成立时，有 |),(| )()(02020εδρ<-<-+-=<A y x f y y x x注意 定义中的),(y x 是以任意方式趋于点),(00y x .连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→偏导数);(,),(),(lim),(000000000y y xy x f y x x f y x f xzx x P =∆-∆+==∂∂→∆固定)(,),(),(lim),(000000000x x yy x f y y x f y x f yzy y P =∆-∆+==∂∂→∆固定高阶偏导数 一阶偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数,称为函数),(y x f 的二阶偏导数.⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂x z x y x f x zxx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂x z y y x f y x z xy),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂y z x y x f x y z yx ),(2. 类似,可定义三阶以上的偏导数.可微 若全增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，则称),(y x f z =在点),(000y x P 可微.而y B x A ∆+∆为函数),(y x f z =在点),(000y x P 的全微分,记作y B x A z d y x∆+∆=),(00定理1 若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数),(y x f xy 及),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内),(y x f xy ),(y x f yx =.定理2 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微, 则必在该点连续.定理3 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微,则该函数在点),(y x 的两个一阶偏导数存在.定理4 若函数),(y x f z =在点),(y x 有一阶连续偏导数,则函数在该点可微. 且dy y x f dx y x f dz y x ),(+),(=2．多元函数的求导运算 多元复合函数求导① ).,(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===若则偏导数为:;xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂163② ).(),(),,(t y t x y x f z ψϕ===若则全导数为:.dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= ③ ).,(),,(),,,,(y x v y x u v u y x f z ψϕ===若则偏导数为 x v v f x u u f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂; .yvv f y u u f y f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 注意,x f x z ∂∂∂∂与yfy z ∂∂∂∂与的区别. )],(),,(,,[ y x y x y x f z x zψϕ=∂∂是在复合函数中视 y 为常量，对x 求导. ),,,( v u y x f z x f=∂∂是在四元函数中视y,u,v 为常量，对x 求导. )],(),,(,,[ y x y x y x f z y zψϕ=∂∂是在复合函数中视 x 为常量，对y 求导. ),,,( v u y x f z yf=∂∂是在四元函数中视x,u,v 为常量，对y 求导. 隐函数求导① ),(0),,(y x z z z y x F ==确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件,则;z x F F x z -=∂∂ .zy F F y z-=∂∂ ② ),(),( 0),,(0),,(x y y x z z z y x G z y x F ==⎩⎨⎧==确定的隐函数由方程组则方程两边分别对x 求导,得到关于dxdzdx dy ,的方程组,解出即可. 3．应用 (1) 几何应用①空间曲线处的点在对应),,( )()()(:0000z y x M t t z t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧===Γωψϕ的切线与法平面方程. 切向量为 )}(),(),({000t t t ωψϕ'''= 切线方程)(00t x x ϕ'-)(00t y y ψ'-=)(00t z z ω'-= 法平面方程 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ ②空间曲面处上点),,(0),,(:000z y x M z y x F =∑的切平面与法线方程. 法向量为 ),,({000z y x F x =),,(,000z y x F y )},,(,000z y x F z切平面方程 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程),,(0000z y x F x x x -),,(0000z y x F y y y -=),,(0000z y x F z z z -=对于曲面0),(),,( ),,(=-==z y x f z y x F y x f z 可表示为. (2) 函数极值定理6 (必要条件) 设函数),(),(00y x M y x f z 在点=有偏导数并取得极值，则164 ,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y定理7（充分条件）设函数),(),(00y x M y x f z 在点=某邻域内连续并有一阶及二阶连续偏导数，且,0),(00=y x f x .0),(,00=y x f y 记,),(00A y x f xx =,),(00B y x f xy =,),(00C y x f yy = 则当02>-B AC 时，有极值，且⎩⎨⎧><有极小值有极大值,0,0A A ；当02<-B AC 时，无极值；当02=-B AC 时，情况不定. 多元函数的条件极值求函数),,(z y x f u =在满足条件:0),,(,0),,(==z y x z y x ψϕ下的条件极值. 构造拉格朗日函数),,(),,(),,(),,(z y x z y x z y x f z y x F μψλϕ++= 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====0),,(0),,(0),,(0),,(0),,(z y x z y x z y x F z y x F z y x F z y x ψϕ 得可能极值点(x,y,z ).再进一步讨论极值点的充分性.许多情况下可借助于问题的实际意义来判定.二、例题解析1. 多元函数的基本概念例8.1求下列各函数的定义域 （1） z=y x -; （2） z=ln )(x y -+221yx x --;（3） 22arccosyx z u +=分析 二元函数的定义域一般是平面区域，三元函数的定义域一般是空间区域.这些点集可用使函数有定义的自变量所应满足的不等式或不等式组表示.解 (1) 0≥y 且 0≥-y x ,即 y x ≥，得 D=(){}y x y y x ≥≥,0|,（2）⎪⎩⎪⎨⎧>--≥>-010,022y x x x y得 {}1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D .（3） 022≠+y x 且22yx z +1≤得 {}0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D例8.2 设⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -,求),(y x f .解（方法 一）令,u y x =+xy =v ,则有 x =v u +1,v uv y +=1165由原式 f⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x ,=22y x - 知 ()v u f ,=21⎪⎭⎫ ⎝⎛+v u 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-v uv =v v u +-1)1(2 故 ),(y x f =yy x +-1)1(2 (y 1-≠)（方法二）因⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -=))((y x y x -+=yx yx y x +-+.)(2=()x y x y y x +-+112故 ),(y x f =yyx +-⋅112. (1-≠y ) 例8.3 求下列各极限:（1） 10lim→→y x 221y x xy +- ； （2） xyxy y x 42lim0+-→→ ； （3） yxy y x sin lim 02→→ ； （4） 22)()cos(1lim 222200y x y x ey x y x ++-→→.分析 求多元函数的极限可利用多元函数的连续性及一元函数求极限的一些方法.解 （1） 用函数的连续性.10lim →→y x 221y x xy +-=1001+-=1 . （2）用一元函数求极限的方法(分子有理化).xyxy y x 42lim+-→→=)42()4(4lim0+++-→→xy xy xy y x =421lim0++-→→xy y x =41-. (3) 用一元函数的重要极限.yxy y x sin lim 02→→=221sin lim 02=⋅=⋅→→x xy xyy x .(4)()()=++-→→22222200cos 1limyxy x e y xy x 22422sin2lim 2222222200y x y x e y x y x y x +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→.0021=⋅= 例8.4 证明极限 ()222220limy x y x y x y x -+→→不存在.分析 因为二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 00存在，是指),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P 时，函数都无限接近某常数A .所以，证明极限不存在，只要P 以某一特殊方式趋于0P 时，函数不趋于某一确定值;或以两种不同方式趋于0P 时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在.证（方法一） 若点),(y x P 沿直线x y =趋于()0,0，则()1limlim440222220==-+→=→xx y x y x y x x xy x ；若点),(y x P 沿直线x y 2=趋于)0,0(，则.044lim)(lim24402222220=+=-+→=→xx x y x y x y x x xy x 所以极限不存在.166 （方法二） 若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则22424222220)1(lim)(lim2x k x k x k y x y x y x x kxy x -+=-+→=→22220)1(lim2k x k x k x -+=→⎩⎨⎧≠==1,01,1k k 所以极限不存在. 例8.5 设=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0,00,222222y x y x y x xy证明),(y x f 在)0,0( 处不连续，但两个一阶偏导数存在.证 0)0,0(=f ， 当()y x ,沿直线kx y =趋于)0,0(时2222201lim),(lim kk xk x kx y x f x kxy x +=+=→=→当k 取不同值时，极限值不同.故),(lim 00y x f y x →→不存在.所以),(y x f 在)0,0(处不连续.但根据偏导数的定义知000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x ；000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f y y y . 所以),(y x f 在)0,0(处两个一阶偏导数存在.本例说明，对于多元函数，偏导数存在未必连续.例8.6 证明：函数22y x z +=在)0,0(处连续，但两个一阶偏导数不存在.证 因)0,0(在),(y x f 的定义域内，所以),(y x f 在)0,0(处连续. 又因||)0,(2x x x f ==在0=x 处不可导，所以)0,0('x f 不存在； 同样||),0(2y y y f ==在0=y 处不可导，所以)0,0('y f 不存在.例8.7 设||),(xy y x f z ==,证明),(y x f 在)0,0(处一阶偏导数存在，但不可微. 分析 要证函数),(y x f 在)0,0(处是否可微,只须检验极限:[]ρρyf x f z y x ∆+∆-∆→)0,0()0,0(lim''0是否为0， 其中22)()(y x ∆+∆=ρ. 若极限为0,则函数),(y x f 在)0,0(处可微,否则不可微.证 因,0),0(,0)0,(==y f x f 由定义知0)0,0(,0)0,0(''==y x f f 但 ()()[]()()2222''||||0,00,0y x y x yx y x yf x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆-∆ρ当())0,0(,→∆∆y x 时，上式极限不存在.(取路径x k y ∆=∆) 因此，),(y x f 在)0,0(处不可微. 2. 多元函数微分法例8.8 求下列函数的偏导数 （1）()y xy z +=1;（2） zy x u =;（3） z y x u )arctan(-=.分析 多元函数对其中一个变量求偏导时，只需将其余变量视为常量，利用一元函数的求导公式或求导法则求导即可.解 （1） .)1(.)1(121--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂=∂∂++xy x y xy e e y y z xy y xy y 1.)1ln(1ln 1ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln()1(167（2） ,1-=∂∂z y x z y x u ,ln 11ln x x zz x x y u z yz y =⋅⋅=∂∂ .ln ln 22x x z y z y x x z u z yz y -=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=∂∂(3) ()()z z y x y x z x u 211-+-=∂∂-; ()()zz y x y x z y u 211-+--=∂∂-; ()()()z zy x y x y x z u 21ln -+--=∂∂. 例8.9 设,arcsin)1(),(yxy x y x f -+=求).1,(x f x 分析 本题是求函数),(y x f 在点)1,(x 处关于x 的偏导数，由定义知,固定,1=y x x f =)1,(,再对x 求导即可.解 因x x f =)1,(，所以 .1)1,(=x f x例8.10 (1)设xy z =，求 22x z ∂∂；22yz∂∂；y x z∂∂∂2.(2)设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数,求y x z ∂∂∂2.(98年考研题)解 (1),ln y y xzx =∂∂ .1-⋅=∂∂x y x y z y y x z x x z x 222ln ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂, ()2221--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x y x x y z y y z ； ().1ln 1ln 112+=⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂--y x y y y y xy x z y y x z x x x (2) x z ∂∂),()()(12y x y xy f x y xy f x+'+'+-=ϕ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y y x z 2 )()()()(1)(2y x y y x xy f x x y xy f x xy f xx +''++'+''+'+'-=ϕϕ).()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ例8.11 求下列函数的全微分: （1） ;22y x y z +=（2） yz x u =.解 (1) 因为()();22123222322yxxyyxxy x z +-=+⋅⋅-=∂∂168 ().2223222222222yxx y x y x y y y x yz+=++⋅-+=∂∂所以 ()()2322y x xdy ydx x dy y zdx x z dz ++-=∂∂+∂∂=. )2(因为 1-⋅=∂∂yz x yz x u ；z x x yu yz ⋅⋅=∂∂ln ；y x x z uyz ⋅⋅=∂∂ln 所以 dz zu dy yu dx xu du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln 1xdz x y xdy x z dx x yz yz yz yz ⋅+⋅+⋅=-3 多元复合函数求导例8.12 求下列函数的偏导数或全导数.(1) ,ln 2v u z = ,yxu = ,23y x v -= 求 x z ∂∂；.y z ∂∂ (2) ),arcsin(y x z -= ,3t x = ,43t y =求 .dt dz分析 多元复合函数求导时，先画出复合线路图，再按图写出求导公式.这种方法对复杂的复合情形尤为有利.解（1）x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u)23ln(22y x y x -=)2(ln 222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂v u y x v u y vv z y u u z y z 3ln(232x y x --= ()2dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--=.)43(1)41(3232t t t ---=例8.13 设f 具有一阶连续偏导，),,(22xy e y x f u -=求xu∂∂；.y u ∂∂ 说明 抽象函数求偏导时一定要设中间变量.解 令.,22xy e t y x s =-=则),(t s f u =y e tf x s fx t t f x s s f x u xy ⋅⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2 .2'2'1f ye xf xy += x e tf y s f y t t f y s s f y u xy ⋅⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2( .2'2'1f xe yf xy +-= 例8.14 设f 具有二阶连续偏导数，,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x xy f z 求.,,22222y z y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂分析 求多元函数的高阶偏导数，关键在于牢记多元复合函数的各阶偏导数仍是与原来函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自变量为自变量的多元复合函数.高阶偏导数可采用简便记法，如'2'1,f f 分别表示f 对第一、第二中间变量的偏导数，"12f 表示f 先对第一、再对第二中间变量的二阶混合偏导数.当高阶偏导数连续时，应将混合偏导数并项.解 令 ,,yxv xy u ==则).,(v u f z =.1'2'1yf y f x v v f x u u f x z ⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂169.2'2'1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂y x f x f yv v f y u u f y z x f y x f y f y f y x x z∂∂⋅+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂'2'1'2'12211 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=x v v f x u u f y x v v f x u u f y '2'2'1'11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅=y f y f y y f y f y 111"22"21"12"11 .12"222"12"112f y f f y ++= y f y f y y f y f f y f y y y x z ∂∂+-∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂'2'22'1'1'2'12111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+=y v v f y u u f y f y y v v f y u u f y f '2'2'22'1'1'111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅+=2"22"21'222"12"11'111y x f x f y f y y x f x f y f .1"223"11'22'1f y x xyf f y f -+-= y f y x f y x y f x f y x f x y y z∂∂⋅-⋅+∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂'22'23'1'22'1222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=y v v f y u u f y x f y x y v v f y u u f x '2'22'23'1'12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅="222"212'23"122"112f y x x f y x f y x f y x x f x .22'23"2242"1222"112f y x f y x f y x f x ⋅+⋅+⋅-⋅= 常见错解 ,01'2'122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂f y f y x x z.11'22'1'2'12f y f f y f y y y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂ .2'23'22'122f y x f y x f x y y z ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂ 错误的原因是把'2'1,f f 误认为常量. 例8.15 设,),,,(yxe u y x u f z ==其中f具有二阶连续偏导，求.2yx z∂∂∂ 分析 对抽象的多元复合函数求二阶偏导,首先要搞清楚函数的结构.解 '2'1f e f xf x u u f x z y +⋅=∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)('2'12f e f yy x z y +⋅∂∂=∂∂∂y f y f e f e y y ∂∂+∂∂⋅+⋅='2'1'1)()("23"21"13"11'1f xe f f xe f e f e y y y y +⋅++⋅⋅+⋅=."23"21"13"112'1f f xe f e f xe f e y y y y +⋅+⋅+⋅+⋅=4 隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变量求导，确定哪些是自变量,哪些变量函数.例8.16 设),cos(2yz x x +=求.zy∂∂分析 由题目要求知，方程确定隐函数),(z x y y =，即y 是z x ,的函数. 解（方法一）(两边求导法) 方程两边对z 求偏导，得170 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⋅+-=z y z y yz x )sin(02 所以 .zy z y -=∂∂ （方法二）(公式法) 设F 0)cos(),,(2=-+=x yz x z y x . .)sin( ,)sin(22y yz x F z yz x F z y ⋅+-=⋅+-= 所以.zyF F z y y z -=-=∂∂ 例8.17 设,ln y z z x =求.,yzx z ∂∂∂∂ 解（方法一） 设.ln ),,(yzz x z y x F -=则 ,1 ,12yy z z y F z F y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-== .122z z x z z x F z +-=--=所以 .12z x z zz x z F F x z zx +=+--=-=∂∂ .)(122z x y z z z x y F F y z z y +=+--=-=∂∂ （方法二）等式两边对x 求偏导，得,2y x zz y z x z x z ∂∂⋅=∂∂⋅- 得 ,z x z x z +=∂∂等式两边对y 求偏导，得,22yzy yzz y y z z x -⋅∂∂⋅=∂∂⋅-得.)(2z x y z y z +=∂∂ （方法三） 原方程化为)ln (y nz z x -=，令 )ln (ln ),,(y z z x z y x F --=. 则.11ln 111ln 1z x zz x y z y z F F x zzx +=+=+=---=-=∂∂ .)(ln11ln 2z x y z y z y zy z y z F F y z z y +=+=---=-=∂∂注 用隐函数求导公式求x F 时，要视z y ,为常数，同样求z y F F ,时,要分别把z x ,及y x ,看成常数.而在等式两边对x 或y 求偏导时(方法二)，应视z 为y x ,的函数，不能把z 看成常数.例8.18 设333a xyz z =-，求yx z ∂∂∂2.分析 求隐函数的高阶偏数，一般都用隐函数求导公式求一阶偏导数，再用复合函数求导法求二阶及二阶以上的偏导数.解 设(),3,,33a xyz z z y x F --=则有 ,3yz F x -= xz F y 3-=， xy z F z 332-=.xy z yz xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333 .2xy z xzF F y z zy -=-=∂∂171()22222)(2xy z x y z z yz xy z y z y z xy z yz y y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂ ()22222)(2xy z x xy z xz z yz xy z xy z xz y z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+= 322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 例8.19 设),(),,(),,(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明：.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证 因,x y F F y x -=∂∂ ,y z F F z y -=∂∂ .z x F F x z -=∂∂所以 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F x z z y y x 注 偏导数yxz y x z ∂∂∂∂∂∂,,均是一个整体记号，不能看作分子与分母之商.例8.20 设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足方程.c yzb x z a=∂∂+∂∂ 分析 将Φ看成以z y x ,,为自变量的复合函数，中间变量为,,bz cy v az cx u -=-=由复合函数求导法则求出;,,z y x ΦΦΦ再由隐函数求导公式求出.,yzx z ∂∂∂∂解 . , ,0),(bz cy v az cx u v u -=-==Φ;;'2'1Φ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=ΦΦ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=Φc y v v c xu u y x'2'1Φ-Φ-=∂∂⋅∂Φ∂+∂∂⋅∂Φ∂=Φb a zv v z u u z'2'1'1'2'1'1Φ+ΦΦ=Φ-Φ-Φ-=ΦΦ-=∂∂b a c b a c x zz x .'2'1'2Φ+ΦΦ=ΦΦ-=∂∂b a c y zz y 所以 .'2'1'2'1c b a bc ac y z b x z a =Φ+ΦΦ+Φ=∂∂+∂∂ 例8.21 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.(1) 设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=203222222z y x yx z 求 .,dx dz dx dy(2) 设⎩⎨⎧=+=0),,()(z y x F y x xf z ,其中F f ,分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 .dx dz（3）设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u 其中g f ,具有一阶连续偏导数，172 求.,xv x u ∂∂∂∂ 分析 由三个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个一元函数,即其中两个变量是第三个变量的一元函数,如(1)、（2）, dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组完成. 由四个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个二元函数,即其中两个变量确定为另两个变量的二元函数,如(3), x v x u ∂∂∂∂,可通过解关于xvx u ∂∂∂∂,的线性方程组完成. 解（1）此方程组可确定两个一元隐函数),(x y y =)(x z z =.方程两边对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅+⋅+=064222dx dz z dx dy y x dxdy y x dx dz 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-x dx dz z dx dy y x dx dzdx dy y 3222 在0263212≠+=-=y yz zy y J 条件下，有()();132162663121++-=+--=---=z y z x y yz x xz z x x J dx dy .132622221+=+=--=z xy yz xy x y x y J dx dz （2）方程两边对x 求导,z y ,为x 的一元函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'++=0)1(dx dz F dx dy F F f dxdy x f dx dzz y x 整理得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+'+=+'-x z y F dxdzF dxdy F f x f dxdzf dx dy x解得 )0(,)(≠'+'+'-'+=z y z y x y F f x F Ff x F Ff x F f x f dx dz （3）此方程组确定两个二元函数：),,(y x u u = ).,(y x v v = 方程两边对x 求偏导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂∂⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂.21'2'1'2'1x v vy g x u g x v x v f x u x u f x u 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-+∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂-'1'2'1'1'2'1)12()1(g x v vyg x u g uf xv f x u xf 在 0)12)(1(121'1'2'2'1'2'1'2'1≠⋅---=--=g f yvg xf yvg g f xf J 条件下， ;)12)(1()12(121'1'2'2'1'1'2'2'1'2'1'2'1g f yvg xf g f yvg uf yvg g f uf J x u ⋅---⋅---=--=∂∂ ()()()'1'2'2'1'1'1'1'1'1'1'1121111g f yvg xf uf xf g g g uf xf J x v ⋅----+=--=∂∂ 5 微分法的应用例8.22 求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点⎪⎭⎫⎝⎛-22,1,12π处的切线及法平面方程.173解 该点对应参数,20π=t切向量为 {}{}2,1,1)(),(),(0'0'0'==→t z t y t x T 所求切线方程为 22211112-=-=+-z y x π法平面方程为 0)22(2)1(12=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-z y x π即 .422+=++πz y x 例8.23 求曲线32,,t z t y t x ===上的点，使在该点的切线平行于平面 .42=++z y x解 曲线的切向量为 {},3,2,12t t T =→平面42=++z y x 的法向量为 {}.1,2,1=→n 由题意知→→⊥n T ,即.0=⋅→→n T 亦即,03412=++t t 得 ,31,121-=-=t t 则所求点坐标为 )1,1,1(--和.271,91,31⎪⎭⎫⎝⎛--例8.24(1)求曲面2132222=++z y x 在点)2,2,1(-的法线方程； （2）求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.（1）解 设,02132),,(222=-++=z y x z y x F 则,2)2,2,1(=-x F ,8)2,2,1(-=-y F ,12)2,2,1(=-z F 故所求的法线方程为624211-=-+=-z y x （2）分析 根据已知条件，先求出切点坐标.解 设,012),,(222=-++=z y x z y x F 法向量为 {}z y x n 2,4,2=→已知平面的法向量为{},2,1,11-=→n 由已知条件知 221412zy x =-= 即z y z x 41,21-==，将其代入椭球面方程.01422222=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z 得,1122±=z 于是切点为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1122,11221,1121M ，，，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1122112211122M 切平面方程为 02112=-+-z y x 和.02112=++-z y x 例8.25 在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出这法线的方程.解 令().0,,=-=z xy z y x F 法向量为{}.1,,-=→x y n 已知平面法向量为{},1,3,11=→n 由题意知，→n ∥→1n ，即 1131-==x y .3,1,3=-=-=∴z y x 即所求点为)3,1,3(--，法线方程为 .133113-=+=+z y x 例8.26 试证曲面 a z y x =++ (0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证 ,0),,(=-++=a z y x z y x F 则法向量为 .21,21,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→z y x n曲面上任一点),,(000z y x M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x174 即a z y x z z y y x x =++=++0000,化为截距式得，10=++az z ay y ax x所以，截距之和为.000a a a az ay ax =⋅=++例8.27求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点()2,1,5到点)14,4,9(的方向的方向导数. 解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l .131691234||222==++=→l1312cos ,133cos ,134cos ===γβα1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以. ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 例8.29 求函数())4)(6(,22y y x x y x f --=的极值.解 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0)24)(6(0)4)(26(2'2'y x x f y y x f yx ，得驻点(0,0),(6,0),(0,4),(6,4),(3,2). 又 )24)(26(),4(2""y x f B y y f A xy xx --==--==，),6(2"x x f C yy --==列表常见错解 求得驻点()()()()().2,3,4,6,4,0,0,6,0,0后直接断定在这些点处取得极值.实际上,驻点未必是极值点.例8.30 在xoy 面上求一点，使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.分析 本题是无条件极值问题.解 设所求点的坐标为),(y x ，则此点到0,0==y x 及0162=-+y x 的距离分别为 |||,|y x 及,21|162|2+-+y x而距离平方和为 5)162(222-+++=y x y x z由 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂01625420162522y x y yz y x x x z ， 即⎩⎨⎧=-+=-+03292083y x y x 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51658y x ，得唯一驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛516,58， 由由题意知，到三直线距离平方和最小的点一定存在，故⎪⎭⎫⎝⎛516,58即是.例8.31 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.分析 本题是条件极值问题.175解 设椭圆上点的坐标为),,(z y x ，则原点到椭圆上这一点的距离平方为 ,2222z y x d ++=其中z y x ,,要同时满足.1,22=+++=z y x y x z 令拉格朗日函数： )1()(),,(2221222-+++--+++=z y x y x z z y x z y x F λλ由方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++==+-==+-=10202202222212121z y x zy x z F y y F x x F z y x λλλλλλ 解得 32,231 =±-==z y x由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，而恰好找到两个可能极值点，所以距离最大值和最小值在这两点处取得.因 .359)32(2312222222 =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛±-⋅=++=z y x d 所以 3591+=d 为最长距离，3592-=d 为最短距离.6 综合题例8.32 求 2222lim y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→解 因为x xy y x ,222≥+>0，y >0.所以 0<,2122≤+y x xy 0<22222122y x y x y x xy ⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+又因 02122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→y x y x lim ，所以 2222y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→lim 0=.例8.33 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，求).,(),,(y x f y x f y x解 当022≠+y x 时，()22222222222222223222222)()()(2)(,)(2)(2)(2),(y x y x x y x yy x y x x y x f y x xy y x xy x y x xy y x f y x +-=+⋅-+=+=+⋅-+=当022=+y x 时，0lim )0,0(),0(lim )0,0(00lim )0,0()0,(lim)0,0(0000=∆-=∆-∆==∆-=∆-∆=→∆→∆→∆→∆y y f y f f x xf x f f y y y x x x则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(2),(22222223y x y x y x xy y x f x176 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,)()(),(2222222222y x y x y x y x x y x f y例8.34 函数,)0,(,1)0,(,2),,('22x x f x f yf y x f z y ===∂∂=求).,(y x f解 ,222=∂∂y f两边对y 积分得+=∂∂y yf2).(x ϕ 由条件x x f y =)0,('得.)(x x =ϕ即 x y y x f y +=2),(' 两边再对y 积分，得 )(),(2x xy y y x f ψ++=. 由条件1)0,(=x f 知,1)(=x ψ所以.1),(2++=xy x y x f例8.35 设,⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x y g x y x f y u 其中g f ,均有二阶连续导数，求 .222y x u y x u x ∂∂∂+∂∂ 分析 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x f 可视为由y xt t f =),(复合而成的复合函数， f 对t 的一阶、二阶导数可分别简记为.,"'f f 即 .1'''y f x t f f x ⋅=∂∂⋅=对⎪⎭⎫⎝⎛x y g 也类似. 解x g x g x f y x u ∂∂⋅++∂∂⋅=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅++⋅⋅=2''1x y g x g y f y .''g x y g f ⋅-+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+∂∂=∂∂''22g x y g f x x u⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅''⋅-'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'+⋅''=2221x y g x y g x y x y g y f g x y f y''⋅+''⋅=321 x g x g x y g x y x f y x u 111'"'2"2⋅-⋅⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂∂"2"2g x y f y x ⋅-⋅-= 所以 .01"2"2"32"222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=∂∂∂+∂∂g x yf y x yg x y f y x y x uy x ux 例8.36 设z 是由方程ze z y x =-+所确定的y x ,的函数，求.2yx z∂∂∂ 解 令z z y x z e F F F e z y x z y x F --===--+=1,1,1,),,(.)1()1(11.11,1111322z zz z z zz y zz z x e e e y z e e y y x z e F F y z e e F F x z +-=+∂∂⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂+=-=∂∂+=---=-=∂∂ 例8.37 设),(y x z z =由方程0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x z y y zx F 所确定，且()v F u,具有连续偏导数 ，则.yzy x z x xy z ∂∂⋅+∂∂⋅+=177证明 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=2'2'1x z F F F x ='1F -'22F xz⋅； .1111;'2'1'2'1'12'2'22'1F xF y x F y F F F y z F F y z F F z y ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅= .11,11'2'1'22'1'2'1'12'2'2'1'1'2'2'1'22'1yxyF xF F y zF F xF y F y z F F F y z yF xF xyF F x yz F xF y F x z F F F x z z y z x ⋅+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂ 所以 ''''''''2122121122yF xF F xy xzF yF xF yF x yzF xy y zy x z x xy +-++-+=∂∂+∂∂+()().'2'1'2'1'2'1z xy z xy yF xF yF xF xy yF xF z xy =-+=++-++=例8.38 设函数),(u f z =方程dt t p u u x y⎰+=)()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ连续且可微，1)('≠u ϕ求.)()(yz x p x z y p ∂∂+∂∂ 解 yuu f y z x u u f x z u f z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂=)( ,)(),(''， 方程两边对x 求偏导，得)()('x p x u u x u +∂∂=∂∂ϕ，即 .)(1)('u x p x u ϕ-=∂∂ 所以.)()()(''u x p u f x z ϕ-⋅=∂∂1 方程两边对y 求偏导，得)()('y p y u u y u -∂∂⋅=∂∂ϕ，即 .)(1)('u y p y u ϕ--=∂∂ 所以).()()(''u f u y p y z ⋅--=∂∂ϕ1 故 y z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(.0)()(1)()()()(1)()(''''=⋅--⋅+⋅-⋅=u f u y p x p u f u x p y p ϕϕ 例8.39求抛物面22y x z +=的一个切平面，使切平面与直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 垂直.解 已知直线方向向量 {}.1,2,2210201--==→→→→kj ia 抛物面在点()z y x ,,处切平面的法向量为: {}1,2,2-=→y x n .由题意知，→a ∥.→n 即 112222-=-=-y x 得211===z y x ,, 切点为 ).2,1,1( 所求切平面方程为 ,0)2()1(2)1(2=-+----z y x即 .0222=++--z y x例8.40 求球面6222=++z y x 与抛物面22y x z +=的交线在点()2,1,1处的切线方程.178 分析 本题主要是求切向量.因方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==++222226y x z z y x 确定了交线⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z x y x x ψϕ .所以可用方程两边对x 求导的方法，解含有dxdzdx dy ,的方程组.从而得切向量 ()(){}.,,10'0'x x T ψϕ=→解 在方程22222,6y x z z y x +==++两边分别对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==++dx dy y x dx dz dx dz z dx dy y x 220222 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+xdxdz dx dy y x dx dz z dx dy y 22 解得 ,0 ,22=--+=dx dz yz y xz x dx dy所以 ()().0 ,12,1,12,1,1=-=dxdzdx dy 切向量{}0,1,1-=→T ， 所求切线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=---=-021111z y x , 即⎩⎨⎧==-+202z y x .三、自测试题(时间:120分钟,满分:100分)(一) 填空题(每小题3分,共15分) 1. 函数)1ln()arccos(22y x y x z --++= 的定义域是 .2. 设y xu arctan =, 则=du .3. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==4422y x z y 在点M )5,4,2(处的切线方程是 .4. =++→→2201)ln(lim y x e x y y x .5. 函数22324y xy x x z -+-=的驻点为 ；极值点为 . (二) 选择题(每小题3分,共15分)1.函数),(y x f 在点),(00y x 处可微,是),(y x f 在),(00y x 可导的() ()A 充要条件；()B 充分条件；()C 必要条件；()D 以上都不对.2. 函数22y xy x z +-=在点()1,1处沿⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,41l 的方向导数().()A 最大；()B 最小；()C 1； ()D 0.3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(,2222y x y x yx y x y x f 则()=0,0'y f()A 0 ；()B 1 ；()C 2；()D .1-4. 椭球面163222=++z y x 上点()3,2,1--处的切平面与平面1=z 的夹角为( ).()A 4π；()B 167arccos ;()C 227arccos ;()D 223arccos .1795. 设,23z xy u -=点M )1,2,1(-，则). (=M gradu()A {}2,4,2；()B {}3,4,2--；()C 62；()D 63.(三) 计算下列各题(每小题12分,共48分)1 设z y x u =，求.,,z uy u x u ∂∂∂∂∂∂2. 设)sin()arctan(z x e y x u xy z +⋅+-=求.du3.设方程1=++zx yz xy 确定隐函数),(y x z z =,求.22y z ∂∂4.设),(22xye y xf z -=，求.22xz ∂∂ (f 具有二阶连续偏导).(四) 求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面与法线方程.(10分)(五) 设一矩形的周长为2.现让它绕其一边旋转,求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.(12分)参考答案(一) }111|),.{(122<+≤+≤-y x y x y x 且;).0,0();2,2(),0,0.(5 ;2ln .4 ;403.3 ;.222⎩⎨⎧==+-+-y z x y x xdyydx (二) ..5 ;.4 ;.3 ;.2 ;.1B D A A B(三) ;.11-=∂∂z y z x y x u ;ln 1x z x y y uz y z -=∂∂.ln ln y x x y z u z y z =∂∂ dx z x e z x y e y x y x z du xyxy zz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-+-=-）（cos )sin()(1)(.221 dy z x x e y x y x z xy z z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+-)sin()(1)(21 .)cos()(1)ln()(2dz z x e y x y x y x xyzz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+ .)()(2.3222y x z x yz ++=∂∂.442.422221211222122f e y f xye f x f e y f xz xy xy xy ''+''+''+'+'=∂∂ (四) 切平面方程为:.04-2=+y x 法线方程为: ⎩⎨⎧==--0032z y x(五) 矩形面积为:;92=s 最大体积为:.274π=V。
（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。
14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。
15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。
多元函数微积分复习试题.doc
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微分的( B )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .2 ．设函数 f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可偏导的（ D )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .3．函数f x, y在点x0, y0 处偏导数存在是函数在该点可微分的( B ).(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .4 ．对于二元函数z f (x, y) , 下列结论正确的是 ( C ).A. 若lim A , 则必有 lim f (x, y) A 且有 lim f (x, y) A;x x0 x x y y0 0y y0B. 若在( x0, y0)处z和z都存在 , 则在点 (x0 , y0 ) 处 z f ( x, y) 可微; x yC. 若在( x0, y0)处z和z存在且连续 , 则在点 ( x0 , y0 ) 处 z f (x, y) 可微; x yD. 若 2 z 和2z都存在 , 则. 2 z 2 z .x2 y2 x2 y25．二元函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足关系( C ).A.可微 ( 指全微分存在 ) 可导 ( 指偏导数存在 ) 连续 ;B.可微可导连续;C.可微可导 , 或可微连续 , 但可导不一定连续 ;D.可导连续 , 但可导不一定可微 .r r1,2, 1 rr（ A ）6. 向量 a 3, 1, 2 , b ，则 a gb(A) 3 (B) 3 (C) 2 (D) 25．已知三点 M （1， 2， 1），A （2，1，1），B （2，1， 2） ，则 MA? AB =（ C）(A) -1 ； (B) 1 ； (C) 0 ； (D) 2 ；6．已知三点 M （0，1，1）， A （ 2， 2， 1），B （2，1，3） ，则 | MA AB |=（ B ）(A) 2;(B)2 2 ;(C)2 ;(D)-2;7 ．设 D 为园域 x 2 y 22ax (a0) , 化积分F (x, y)d 为二次积分的正确方法D是_____D____.A.2 a aB.2a 2 a x2dxf ( x, y)dy2 dxf (x, y)dyaC.a 2 acos f ( cos ,sin ) ddaD.2d2a cos f ( cos , sin ) d23 ln x 8．设 Idx1f (x, y)dy , 改变积分次序 , 则 I______.Bln3 dy eyB. ln3 A. f (x, y)dxdy 00 ln3 dy3 D.3C.f ( x, y)dxdy3e yln x f ( x, y)dx f ( x, y)dx19． 二次积分2 dcos f (cos , sin) d可以写成 ___________. D1dyy y2f (x, y)dxB.1 1 y 2A. 0 dy f ( x, y) dx0 01dx1D.1 dxx x2C.f ( x, y)dyf (x, y)dy10 ．设是由曲面 x 2 y 2 2z 及 z 2 所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分If ( x, y, z) dxdy dz 表示为三次积分， I ________.C2A ．2 1 2f ( cos , sin , z) dzdd222B.2 f ( cos ,sin, z) dz0 ddC ．2d 2 2f ( cos, sin , z)dz0 d22D ．2 d 22 cos , sin , z ) dz0 df (11．设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : xa, cy d ，则 P x, y dx（ C）L（ A ） a （B ） c（C ） 0（D ） d12．设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : ya, cx d ，则 P x, y dy（ C）L（ A ） a （B ） c（C ） 0（D ） d13．设有级数u n , 则 lim u n0 是级数收敛的（ D）n 1n(A) 充分条件； (B)充分必要条件；(C)既不充分也不必要条件；(D)必要条件 ;14．幂级数nx n 的收径半径 R =（ D）n 1(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115．幂级数1 x n 的收敛半径 R （ A）n 1n(A) 1(B) 0(C) 2(D) 316 ． 若幂级数a n x n 的收敛半径为 R ，则a n x n 2 的收敛半径为（ A）n 0n 0(A) R(B)R 2(C)R(D)无法求得17.若 lim u0, 则级数u n ()Dn nn 1A. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D.可能收敛也可能发散18. 若u n为正项级数, 则(B)n 1A. 若 lim u n 0 , 则u n收敛B. 若u n收敛, 则u n2收敛n n 1 n 1 n 1C. 若u n2,则u n也收敛D. 若u n发散, 则 lim u n 0n 1 n 1 n 1 n19.设幂级数C n x n在点x3处收敛 ,则该级数在点x 1 处( A )n 1A.绝对收敛B. 条件收敛C.发散D.敛散性不定20. 级数sin nx, 则该级数 ( B )( x 0)n 1n!A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设f ( x, y) sin x ( y 1)ln( x2 y 2 ) ，则 f x (0,1) ___1___.2．设f x, y cos x y 1 ln x 2 y2，则 f x' ( 0,1) =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是f x, y dxdy f cos , sin d dD D4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是f x, y, z dxdydz f cos , sin , z d d dz5 ．柱面坐标下的体积元素dv d d d z6 ．设积分区域D : x2 y 2 a2, 且 dxdy 9 , 则a 3 。
(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B)(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
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第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 BA.-1B.0C.1D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD. 18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）. (A)14(B) 14- (C) 12(D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy yx 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2- （C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin xxy +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
39. ),(y x f 在点),(y x 处的偏导数),(y x f x 和),(y x f y 连续是),(y x f 可微分的（ B ） A.充分必要条件； B.充分非必要条件； C.必要非充分条件； D.非充分又非必要条件。
40. 抛物面 22y x z +=上点P 处的切平面平行于平面 032=++-z y x ，则点P 的坐标是（ C ） A. )0,21,1(； B. )0,21,1(-； C. )45,21,1(-； D. )45,21,1( 41. 设 2yx ez xy+= ，则yz∂∂︱=)2,1(（ B ） A. 1+e ； B. 12+e ； C. 12+e ； D. 12-e 。
42. 设二元函数 2332339z x y x x y =-++- 的极小值点是（ A ）A.（1，0）；B.（1，2）；C.（-3，0）；D.（-3，2）43. 设()=∂∂=x uxy u 1,1 ,则（ B ）（A ）0 （B ）21（C ）-1 （D ）144. 设()y x f z ,=是由方程)sin(xyz xyz =决定的隐函数，则=∂∂x z （ D ） （A ）z x （B ）yz yz sin （C ）yz yz cos （D ）x z-45. 设()=∂∂+=y zx y e z xy 2,12 ,则( B )（A ）1+e （B ）12+e （C ）12+e （D ）12-e二、填空题 1.=++∞→→y y x y x)1(lim 22e2. 函数u=ln (222z y x ++)在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 92{1, 2, -2}3. =→→yxy y x )sin(lim 02 2 4. 已知)(xy f z =是可微函数，则=dz dy xy xf dx xy yf )()(''+ 5.24lim)0,0(),(-+→xy xyy x = 46．设r =，则2gradr ＝ 222xi y j zk ++r r r7．曲线1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩处的切线与Y 轴的正向夹角是 3π8．设222ln()r x y z =++，则gradr = 222222222222x y zi j k x y z x y z x y z++++++++r r r 9．函数33x yz x y+=+的间断点是 0x y += 10．函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)-的方向导数是 011. 函数()ln u xyz =的定义域是{}(,,)0,0,00,0,00,0,00,0,0x y z x y z x y z x y z x y z >>>><<<><<<>或或或12.二元函数221arcsin z x y=+的定义域是 2214x y ≤+≤ 13．函数223246u x y y x z =-++在原点沿方向{2,3,1}=l 的方向导数为14.函数ln(ln )z x y =⋅的定义域是{(,)|0,10,01}x y x y x y >><<<或 15.曲面3xe xy z ++=在点(0,1,2)处的法线方程为12201x y z --==16．极限00x y →→= 14-17．若(,)32f x y x y =+，则[,(,)]f xy f x y = 643x y xy ++ 18．设有函数(,,)yu x y z x z =，则(1,2,2)|du = 4dx dz + 19.函数221z x y =--的极大值点是 (0,0)20．设函数23,{u x l y z ==r 则方向导数()1,1,1u l∂=∂21．设函数()22,,zz f xy y x y∂=-=∂可微则122y xf f - 22．曲面222z y x =+上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 4230x y z ---= 23. 224y x z +=-在点P （0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程13021x y z --==-- 24、设xyx ez 22+=，则全微分dz= ()[]xdy dx y x e xyx++⋅+22225、设z=y x z y x n ∂∂∂+222),(121则= 222)(2y x xy +- 26、已知=∂∂+∂∂+=-yy x f x y x f y x y x xy f ),(),(,),(2222x y +27. xy xy y x 42lim0+-→→= 14-28. 已知z x y z =ln，则=∂∂x z x z z x z +=∂∂29. 已知xy z sin =,则=dz xydy x xydx y dz cos cos += 三、计算与证明1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求yx z∂∂∂2解：xz ∂∂=y f f ⋅+'2'1 yx z ∂∂∂2='2''22''12''11)(f xyf y x f f ++++2.求平面11043=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xoy 平面距离最短的点 解：设(x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数f (x, y, z)=z又设)1()11043(),,,,(22-++-+++=y x zy x z z y x L μλμλ 令：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==-++==+==+==+=)5(01)4(011043)3(0102)2(024)1(02322y x L zy x L z Ly L x L z y x μλλμλμλ(1) 与(2)相比，得：x y 43=， 代入(5), 得：54±=x ；相应的有：53±=y 从而得交线上的两点：)635,53,54(， )685,53,54(--其中：点)635,53,54(到xoy 平面的距离是635点)685,53,54(--到xoy 平面的距离是685比较得：所求点是)635,53,54(3.证明极限4220lim y x xy y x +→→不存在证明：当(x, y)沿着曲线2y =x 趋于(0, 0)时，4220lim y x xy y x +→→＝21lim 4440=+→y y y y 当(x, y)沿着曲线22y =x 趋于(0, 0)时，4220lim y x xy y x +→→＝5242lim 4440=+→y y y y 所以，极限4220lim y x xy y x +→→不存在4.设z=xf (xy, ye ), 求yx z∂∂∂2解：xz ∂∂=xy f f ⋅+'1 yx z ∂∂∂2=''12''112'2'12f xye yf x f e xf y y +++5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=42sint , 在点M(12-π, 1, 22)处的切线及法平面方程 解：因为't x =1-cost, 't y =sint, 't z =2cos 2t而点M(12-π, 1, 22)所对应的参数为t=2π点M 的切向量T ρ={1, 1, 2}故点M 处的切线方程为22211121-=-=-+z y x π点M 处法平面方程为: x+y+2z=42+π6. 求曲面3=+-xy z e z 在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程 解：令F(x, y, z)= 3-+-xy z e z则1,,'''-===xz y x e F x F y F故0)0,1,2(,2)0,1,2(,1)0,1,2('''===z y x F F F 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0点(2, 1, 0)处的法线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz 及梯度gradz 解：)cos(y x y xz+=∂∂， )cos()sin(y x y y x y z +++=∂∂ 故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dyg radz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y))8. 设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点M(1, -2, 5), 求a,b 之值解：点M 处曲面的法向量n={2x, 2y, -1}M ={2,-4,-1} 点M 处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面π之方程 由直线l 可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入π得: (5+a)x+4b+ab-2=0解得: a=-5, b=-29.设函数z=f (u, v), 则u, v 具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y, v=y x ， 求yx z∂∂∂2解：xz ∂∂='2'113f y f +y x z ∂∂∂2='22''122''223''111)32(6f y f y x y f y x f --+-10.66245(,)(0,0)lim ()x y x y x y →+是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。