沪教版-九年级(初三)数学-圆与正多边形讲义-圆的概念及性质复习讲义教案
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节课主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
教材通过实例引导学生探究正多边形的对称性，进而引入圆的概念，并通过实践活动让学生理解圆的生成和特点。
本节课的内容是学生对平面几何知识的进一步拓展，为后续学习圆的方程和圆与圆的位置关系等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多边形的性质，对图形的对称性有一定的了解。
但他们对圆的概念和性质还不够熟悉，对正多边形与圆的关系认识不足。
因此，在教学过程中，教师需要通过直观的图形和实践活动，帮助学生建立正多边形与圆的联系，提高他们的空间想象能力。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，掌握正多边形的对称性。
2.认识圆的概念，理解圆的生成和特点。
3.掌握正多边形与圆的关系，能运用相关知识解决实际问题。
4.培养学生的空间想象能力、合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质和与圆的关系。
2.难点：圆的概念的理解和圆的生成过程。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物模型和动画展示，让学生直观地理解正多边形和圆的特点。
2.运用问题驱动法，引导学生主动探究正多边形与圆的关系，培养学生的思维能力。
3.采用合作学习法，鼓励学生分组讨论和实践，提高学生的合作交流能力。
4.利用练习法，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备正多边形的实物模型和动画展示。
2.准备圆的实物模型和动画展示。
3.准备相关的练习题和实践活动材料。
4.准备黑板和投影仪。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型和动画展示，引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）a.讲解正多边形的定义和性质，通过实例展示正多边形的对称性。
b.引入圆的概念，讲解圆的生成过程和特点。
3.操练（10分钟）a.学生分组讨论，探究正多边形与圆的关系。
沪教版数学九年级下册27.3《正多边形与圆》教学设计1
沪教版数学九年级下册27.3《正多边形与圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形与圆》是沪教版数学九年级下册第27.3节的内容。
本节主要让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，特别是正多边形与圆的关系。
教材通过引入正多边形和圆的概念，引导学生探索和发现正多边形与圆的内在联系，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似多边形的性质，对图形的变换有一定的了解。
但正多边形与圆的关系可能对学生来说较为抽象，需要通过具体的实例和操作来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质。
2.掌握正多边形与圆的关系，能运用正多边形与圆的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形与圆的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现正多边形与圆的内在联系。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片展示正多边形与圆的性质，增强学生的直观感受。
3.学生进行小组讨论和动手操作，提高学生的合作能力和动手能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正多边形和圆的图片或模型。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些正多边形和圆的图片，引导学生关注正多边形与圆的形状，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，引导学生理解正多边形的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和动手操作，发现正多边形与圆的关系。
可以学生进行小组讨论，分享各自的发现。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用正多边形与圆的性质进行解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考正多边形与圆在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等，培养学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调正多边形与圆的关系。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
九年级学生在学习本章节之前，已经掌握了多边形的性质、三角形和四边形的分类、圆的基本概念等基础知识。在此基础上，学生对正多边形与圆的关系已有一定的了解，但可能对正多边形的性质和计算方法掌握不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际问题相结合的能力。因此，在教学过程中，应注重以下方面：
4.鼓励学生相互交流、讨论，共同解决练习中的问题，提高学生解决问题的能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生对本节课的内容进行总结，分享学习收获。
2.教师强调本节课的重点知识，对难点进行梳理，帮助学生巩固记忆。
3.提问学生，检查他们对正多边形与圆的性质、计算方法的掌握情况。
4.布置课后作业，要求学生在课后独立完成，巩固所学知识。
设计意图：激发学生的自主学习兴趣，为下一节课的学习做好铺垫。
4.分层次作业设计：
-对于基础薄弱的学生，设计一些简单易懂的题目，帮助他们巩固基本概念；
-对于中等水平的学生，设计一些稍有难度的题目，提高他们的解题能力；
-对于优秀生，设计一些拓展题，鼓励他们深入探究正多边形与圆的性质。
设计意图：关注学生的个体差异，使每个学生都能在作业中找到适合自己的难度，提高作业的实效性。
设计意图：通过练习题，使学生巩固正多边形的性质、计算方法以及与圆的关系。
2.请学生选择一个生活中的正多边形实例，分析其性质，并运用所学知识解决相关问题。
设计意图：培养学生观察生活、发现数学问题的能力，提高学生将数学知识应用于实际问题的水平。
3.请学生预习下一节课的内容，提前了解正多边形的内切圆和外接圆的性质。
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆教案新版沪科版
24.6 正多边形与圆二、师生互动，探究新知师：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，证明你的结论•如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论•将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n边形•[教师根据学生的回答进行引导、补充和总结•]师：以五边形为例，引导学生证明•已知：如图，点A B、C、D E在o O上，且A B =Be = C D = DE = E A.求证：五边形ABCD是O O的内接正五边形•证明：（1）由A B = Be = C D = D E = ?A，得________ = _________ = _________ =•••B CE = C DA = 3A B，AZ i = z 2.让学生通过等分圆后，观察得出结论，体现一种研究方法一一由特殊推广到一般•同理可得/ 2=Z 3=Z 4=Z 5.又因为顶点A、B CD E都在O O上，所以五边形ABCD是O 0的内接正五边形.生：思考完成填空•师：将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形吗？用课件出示下列证明.已知：如图，点A B、C D E在O 0上,且A B=Be = C D = D E = E A,TP PQ QR RSST分别是以点A B、C、D E为切点的O 0 的切线•求证：五边形PQRS是O 0的外接正五边形.证明：连接OA OB OC则/ OAB=Z OB= / OB=Z OCB•/ TP PQ QF分别是以点A、B、C为切点的O0的切线，•••/ 0AP=Z 0BP=Z 0B(=Z 0CQ•••/ PAB=Z PBA=Z QBC=Z QCB又••• A B = Be , ••• AB= BC• △ PAB 也厶QBC•••/ P=Z Q PQ= 2PA同理可得/ Q=Z R=Z S=Z T,QF= RS= ST= TP= 2PA•••五边形PQRS的各边都与O 0相切，•••五边形PQRS是O 0的外切正五边形.生：观察理解证明过程，得出结论.将一个圆分成n等份，经过各分点作圆的切线，以相邻I教学小结I【板书设计】正多边形与圆1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形•2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形24.6 正多边形与圆第2课时正多边形的性质生：思考回答师：（1）正方形有外接圆吗？若有，外接圆的圆心在哪？（正方形对角线的交点.）⑵ 根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？生：小组讨论回答•接OA OB OC OD 0E•/ OB= OC •••/ 1 = Z 2.又•••/ ABC=Z BCD•/ 3=Z 4.•/ AB= DC ODC• OA= OD 即点D在O O上.同理，点E在O O上.所以正五边形ABCD有一个外接圆O O. 因为正五边形ABCD的各边是O O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距（OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCD还有一个以O为圆心的内切圆.师：引导学生归纳.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线采用开展活动，小组讨论的方法，培养学生互助，协作的精神，通过引导学生自主合作，探究验证，培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径•其他两个顶点到圆心的距离都等于半径•正五边形的各顶点共圆•正五边形有外接圆•圆心到各边的距离相等•正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心,半径是圆心到任意一边的距离•照此法证明，正六边形、正七边形、…、正n 边形都有一个外接圆和内切圆•定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆• 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距•正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等•正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角•正n边形的每个中心角都等于---------- •n师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心•边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心• 师：讲解例题•例求边长为a的正六边形的周长和面积•五、布置作业，巩固提升 教材习题24.6第4〜8题.I 教学小结I正多边形的性质巩固认识，提高应用水平【板书设计】 ,并且这两个圆是同心。
沪科版九年级数学下册教学设计：24.6正多边形与圆(2份打包)
沪科版九年级数学下册教学设计：24.6正多边形与圆 (2份打包)一. 教材分析《沪科版九年级数学下册》第24.6节主要介绍正多边形与圆的关系。
本节内容是在学生掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行学习的，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将能够理解正多边形与圆之间的联系，掌握正多边形的性质，并能运用相关知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于圆的基本概念和性质有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对于正多边形与圆的关系的理解存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，通过具体例子和实际操作，帮助学生理解和掌握相关知识。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，理解正多边形与圆的关系。
2.能够运用正多边形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形与圆的关系。
3.运用正多边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物模型和多媒体展示，帮助学生直观地理解正多边形与圆的关系。
2.采用问题驱动法，引导学生主动探究正多边形的性质，提高学生的自主学习能力。
3.采用合作交流法，让学生在小组合作中，共同探讨问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实物模型和多媒体课件。
2.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的正多边形和圆的例子，如足球、篮球、车轮等，引导学生关注正多边形与圆的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过实物模型和多媒体课件，呈现正多边形的定义和性质，引导学生直观地理解正多边形的特征。
同时，引导学生发现正多边形与圆的关系，让学生认识到正多边形可以看作是圆的内接多边形。
3.操练（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，巩固对正多边形性质的理解。
沪教版数学九年级下册27.3《正多边形与圆》教学设计3
沪教版数学九年级下册27.3《正多边形与圆》教学设计3一. 教材分析《正多边形与圆》是沪教版数学九年级下册第27.3节的内容，主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本知识的基础上进行学习的，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于圆的基本知识也有了一定的了解。
但是在学习本节内容时，学生可能对于正多边形的定义和性质以及与圆的关系有一定的困惑，需要教师进行详细的讲解和引导。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。
2.掌握正多边形与圆的关系。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形与圆的关系。
五. 教学方法1.讲授法：对于正多边形的定义和性质以及与圆的关系进行详细的讲解。
2.案例分析法：通过具体的例子，让学生更好地理解正多边形的性质和与圆的关系。
3.小组讨论法：让学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，进行教学展示。
2.教学案例：准备一些相关的教学案例，用于分析和讲解。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本知识，如圆的定义、性质等。
然后引入本节内容，询问学生对于正多边形有什么了解，从而引出正多边形的定义和性质。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，详细讲解正多边形的定义和性质，并通过动画展示正多边形的形状和特点。
同时，引导学生思考正多边形与圆的关系。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个正多边形，分析其性质并与圆进行联系。
然后各组汇报讨论结果，教师进行点评和讲解。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导。
5.拓展（10分钟）利用多媒体展示一些生活中的正多边形和圆的实例，如建筑物的形状、体育场的跑道等，让学生观察和分析，从而提高学生的实际应用能力。
九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系学案沪科版
24.6 正多边形与圆第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系［学习目标］1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念；2．理解并掌握正多边形的有关概念；3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.［学法指导］本节课的学习重点是理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，并能进行计算，学习难点是探索正多边形和圆的关系.［学习流程］一、导学自习1. 如果一个多边形的顶点都在圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 .2.各边，各角也的多边形叫做正多边形.思考：正多边形的定义中“各边，各角”是正多边形的两个特征，缺一不可.3.举例说出生活中常见的正多边形.二、研习展评活动1：思考：（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？（2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．证明：如图1，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.»»»»»,AB BC CD DE EA====Q______________________,∴（3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n（4）结论：正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的 .活动2：阅读教材，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？方法一、任何正n边形的作法：用量角器作一个等于的圆心角，再等分圆；方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法.（在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形）做一做：在右图2中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形．［当堂达标］1.如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°E AC DB O（图1）O（图2）（图5）2.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五等分点而得到(如图6),五角星的每一个角的度数为（）A. 30︒B. 35︒C. 36︒D. 37︒［课后作业］［学后反思］。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习正多边形和圆，可以帮助学生更深入地理解圆的性质，为后续学习圆的方程和应用打下基础。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究正多边形和圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及如何运用圆的性质解决实际问题，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过生动的实例和实际操作，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.理解正多边形的定义和性质。
2.掌握圆的性质，并能运用到实际问题中。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
4.引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.圆的性质及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
2.利用图形和实例，进行直观教学，帮助学生理解和记忆。
3.通过小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和实践能力。
4.运用数学软件和实物模型，展示正多边形和圆的动态变化，增强学生的直观感受。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和展示。
2.准备数学软件和实物模型，用于演示和操作。
3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些常见的正多边形和圆的图形，引导学生关注正多边形和圆的性质。
提问：你们对这些图形有什么观察和认识？2.呈现（10分钟）讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的关系。
展示圆的性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据正多边形和圆的性质，尝试解决一些实际问题。
沪教版数学九年级下册27.1《圆的基本性质》教学设计6
沪教版数学九年级下册27.1《圆的基本性质》教学设计6一. 教材分析《圆的基本性质》这一节主要是让学生掌握圆的基本概念、性质和运算。
教材通过实例和问题，引导学生探究圆的性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
本节课的内容为后续学习圆的方程、圆与圆的位置关系等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，他们对圆的概念和性质的认识可能还比较模糊，对圆的运算也可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动的实例和问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究圆的性质。
三. 教学目标1.了解圆的基本概念，掌握圆的性质。
2.能够运用圆的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的概念和性质。
2.圆的运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过生动实例引入圆的概念，引导学生探究圆的性质，利用小组合作学习，让学生在实践中掌握圆的运算。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.圆规、直尺、三角板等几何画图工具。
3.练习题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过一个实际问题引入圆的概念：在一条绳子的一端固定一个点，另一端旋转一周，得到的图形是什么？引导学生思考圆的定义和特点。
2. 呈现（15分钟）讲解圆的定义和性质，包括圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的周长、面积的计算公式。
通过实例和动画，展示圆的性质，让学生直观地感受圆的特征。
3. 操练（10分钟）让学生运用圆的性质解决实际问题，如：已知圆的半径和直径，求圆的周长和面积。
学生独立完成练习题，教师巡回指导。
4. 巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生探究圆的运算。
例如：两个圆的半径分别为r1和r2，求它们的周长和面积之和。
学生分组讨论，分享解题过程和答案。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考圆在实际生活中的应用，如自行车轮子、圆桌等。
九年级数学下册27.3.6正多边形与圆教案沪教版五四制
正多边形与圆正ｎ边形每个外角的度数是
．．．
，因而则的值为
【变式】如图是对称中心为点角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点，把这个正六边形的面积的所有可能的值是
第2题图第3题图第5题图
第6题图第9题图
6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠）梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）
A．36° B．42° C．45°
二、填空题
7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠
(1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等；
(2)请你证明各内角相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图②所示）是正七边形（不必写已知、求证）
(3)根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）。
九年级数学下册 26.8正多边形与圆教案 沪科版
26.8.正多边形与圆学习目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形学习重、难点啊重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形学习过程：一、情境创设观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？二、探索活动活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（注：各边相等与各角相等必须同时成立，否则不一定是正多边形，例如菱形、矩形等）活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
活动三探索正多边形的对称性正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
活动四利用直尺与圆规作特殊的正多边形1、作正四边形：在圆中作两条互相垂直的直径，依次连结四个端点所得图形（作正八边形）2、作正六边形：在圆中任作一条直径，再以两端点为圆心，相同的半径为半径作弧与圆相交，依次连结圆上的六个点所得图形（作正三角形与正十二边形）三、课堂练习练习五、课堂小结引导学生总结：1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
五、作业补充。
六、教后感。
沪教版九年级上册-圆的概念及基本性质,带答案
∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF
又∵ OE⊥AB，OF⊥CD
∴ AE= 1 AB，CF= 1 CD
2
2
∴ AE=CF
∴ AB=2AE，CD=2CF
∴ AB=CD
∴ AB = CD ，∠ AOB=∠ COD
热身练习
1．如果两个圆心角相等，那么（ D ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
备选例题 例 1、如图，已知 AB 为 O 的弦，从圆上任意一点 C 引弦 CD AB ，作 OCD 的平分线交 O 于点 P ， 联结 PA、PB 。求证 PA PB。 解： OP OC 1 2
2 3 1 3
创新三维学习法让您全面发展 6
CD / /OP CD AB OP AB
PA PB PA PB
C 90, B 30, BC 12cm 半圆 O 以 2cm/s 的速度从左向右运动能，在运动过程中，D、E 始终
在直线 BC 上。设运动时间为 t。当 t=0 时，半圆 O 在三角形 ABC的左侧，且 OC 8cm （1）当 t 为何值时，三角形 ABC的一边所
在直线与半圆 O 所在的直线第一次相切？
创新三维学习法让您全面发展 5
解：（1） A 在圆外， B 在圆上， D 在圆内
（2） R ＝1.5cm
（3） 3cm R 3cm
（4） 3 cm R 3cm且R 3cm 2
例 2、已知等边 ABC的边长为 a ，求这个三角形的外接圆半径的长。
解： OB a 2 3 a
23
3
例 3、如图，已知点 P 是圆外一点，PB 与圆相交于点 A、B，PD 与圆相交于 C、D，AB＝CD。 求证：（1）PO 平分∠ BPD；
沪教版数学九年级下册27.3《正多边形与圆》教学设计2
沪教版数学九年级下册27.3《正多边形与圆》教学设计2一. 教材分析《正多边形与圆》是沪教版数学九年级下册第27.3节的内容。
本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，以及了解正多边形与圆的密切联系。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究正多边形与圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对多边形、圆等概念有一定的了解。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，逐步理解和掌握正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。
2.掌握正多边形与圆的关系。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形与圆的关系。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导等方式，激发学生的思考，引导学生主动探究正多边形的性质和与圆的关系。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
3.动手实践：让学生通过实际操作，观察和总结正多边形的性质，增强学生的动手能力和观察能力。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于引导学生观察和思考。
2.准备正多边形的模板和画图工具，让学生进行实际操作。
3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些正多边形的图片，如正三角形、正方形、正五边形等，引导学生观察和思考，提问学生对正多边形的认识。
2.呈现（10分钟）给出正多边形的定义，解释正多边形的性质，如边相等、角相等等。
同时，引导学生思考正多边形与圆的关系，提问学生正多边形的中心是否是圆心。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，使用正多边形的模板和画图工具，画出一些正多边形，并观察和总结正多边形的性质。
(完整版)沪科版九年级(下)数学：24.2《圆的基本性质》教案
24.2.3圆的确定教材分析：“圆的确定”是沪科版初中数学教材九年级下册第24章《圆》的内容之一，它是在学生学习了圆的基本性质等相关知识之后的延续学习，也为后面深入学习圆周角定理等相关内容奠定基础。
其重点内容是“过不在同一直线上三个点作圆”和反证法，本节课的学习，对于培养学生规范地操作技能、探索问题能力及条理地思维能力具有重要作用。
从解决问题的思想方法来看，渗透了分类讨论、类比、化归等数学思想方法。
所以本课时无论从知识性还是思想性来讲，在教学中都占有重要的地位，起着承上启下的作用。
学情分析：学生已经学习了确定圆的条件是圆心和半径，还学习了线段的垂直平分线的性质、判定和画法，这些知识的学习会为本节课的学习打下良好的基础。
而作一个符合要求的圆，发现圆心的分布规律是学生不易发现的，因此会产生一定的思维障碍，另外在圆心的找取上，由于学生不能建立圆与垂直平分线两者之间的关联而产生知识生成的困难；用反证法证明命题时，学生在运用反证法证明命题的过程中，可能会存在很大的困难。
大多数的学生在遇到困难懒于思索，在课堂活动中习惯性充当旁观者，而不是积极主动的探究者。
教学目标：知识技能目标：1、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及相关知识。
3、理解和掌握反证法的证明方法。
数学思考与问题解决目标：1、经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程和三角形的外心的性质、培养学生的探索能力。
2、通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
3、经历用反证法证明命题成立的方法，体会辩证的数学方法。
情感态度价值观1、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
2、感知数学来源于生活并服务于生活，树立探究数学问题的意识，通过问题解决过程中的相互合作和独立思考能力，体验成功的喜悦。
教学重点：1、过不在同一条直线上的三个点作圆的方法及其运用。
沪科版九年级下册数学教案第24章圆24.6正多边形与圆
2019 年沪科版九年级下册数学教课设计2 正多边形与圆课正多边形与圆课时 1 课时上课时间题1.知识与技术认识正多边形与圆的关系 ,认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角等观点;能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题,也会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形 .教学 2.过程与方法目学生在商讨正多边形和圆的关系的学习过程中 ,领会到要擅长发现问题、解标决问题 ,发展学生的察看、比较、剖析、归纳及归纳的逻辑思想能力 .3.感情、态度与价值观经过本节知识的学习 ,体验数学与生活的密切相连 ,感觉圆的对称美 ,正多边形与圆的和睦美 ,进而更为热爱生活 ,爱惜生命 .教学要点 :探究正多边形与圆的关系 ,正多边形的观点 ,并能进行有关计算 .重难点 :对正多边形与圆的关系的探究 .难点教课活动设计二次设计问题 1:察看下边多边形 ,找出它们的边、角有什么特色 ?课堂导入问题 2:观看大屏幕上这些漂亮的图案,都是在平时生活中我们常常能看到的 .你能从这些图案中找出正多边形来吗?活动 1:理解正多边形的定义问题 1:什么叫正多边形 ?探索问题 2:矩形是正多边形吗 ?为何 ?菱形是正多边形吗 ?为何 ?新【教师重申】判断一个多边形是不是正多边形 ,一定同时具备知两个条件 :合(1)各边相等 ;(2)各角相等 .两者缺一不行 .作探问题 3:正三角形、正方形、正五边形、正六边形都是轴对称图究形吗 ?都是中心对称图形吗 ?【教师重申】正 n 边形都是轴对称图形 ,都有 n 条对称轴 ,且只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形 .活动 2:正多边形的有关观点及性质类比圆的有关观点 ,察看下边的图 ,你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗?探索新知合作探究活动 3:正多边形的有关计算填一填 :如图 ,已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF,回答下面问题 :(1) 它的中心角等于 度;(2)OCBC(填“ >”“<”或“ =”);(3) △OBC 是什么三角形 ?(4) 圆内接正六边形的面积是△ OBC 面积的 倍;(5) 圆内接正 n 边形面积公式 :正 n 边形的面积 =.【教师指导】归纳小结 :以发问的方式总结本节课的收获 (观点、关系、方法等进行整理回首 )当 1.已知一个正多边形的每个内角均为 108° ,则它的中心角为堂 度.训 2.已知正六边形 ABCDEF 的半径是 R,求正六边形的边长 a 和练 面积S. 板书设计正多边形与圆教课反省第3页/共3页。
九年级数学下册 第24章 圆 24.6 正多边形与圆教案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级下
word24.6 正多边形与圆第1课时正多边形与圆┃教学过程设计┃二、师生互动,探究新知师：将一个圆分成五等份,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是正五边形吗？如果是,证明你的结论.如果是六、七……等份呢？n等份,依次连接各分点得到一个正n边形. [教师根据学生的回答进行引导、补充和总结.]师：以五边形为例,引导学生证明.已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上,且AB ＝BC＝CD＝DE＝EA.求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. 证明：(1)由AB＝BC＝CD＝DE＝EA,得________＝________＝________＝________＝________.∵BCE＝CDA＝3AB,∴∠1＝∠2.让学生通过等分圆后,观察得出结论,体现一种研究方法——由特殊推广到一般.24.6 正多边形与圆第2课时正多边形的性质┃教学过程设计┃生：思考回答.师：(1)正方形有外接圆吗？若有,外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点.)(2)根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？(3)正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？生：小组讨论回答.师：拓展、推理(用多媒体出示右图).过正五边形ABCDE的顶点A、B、C作⊙O,连接OA、OB、OC、OD、OE.∵OB＝OC,∴∠1＝∠2.又∵∠ABC＝∠BCD,∴∠3＝∠4.∵AB＝DC,∴△OAB≌△ODC.一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它的中心就是对称中心. 师：讲解例题.例 求边长为a 的正六边形的周长和面积.解：如图,过正六边形中心O 作OG ⊥BC ,垂足是G ,连接OB ,OC .由于多边形ABCDEF 是正六边形, ∴∠BOC ＝60°,△BOC 是等边三角形. ∴C 正六边形＝6BC ＝6a . 在△BOC 中,OG ＝32BC ＝32a , ∴S 正六边形＝6·12.BC ·OG ＝6·12a ·32a ＝3 32a 2因而,边长为a 的正六边形的周长和面积分别是6a 和3 32a 2.┃教学小结┃。
沪科版数学九年级下册《正多边形和圆》教案
1.用量角器等分圆
用量角器画 的圆心角，再在圆上依次截取这条弧的等弧，得到圆的n等份点，作出正n边形.
原理：同圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧，所对的弦、所对的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等
同圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等
2.用尺规等分圆
引导学生思考特殊的正n边形作法.
回顾复习多边形内角外角知识，推出正多边形每个内角，每个外角度数.
思考辨析，举出反例.
观察，思考正多边形与圆的关系
复习多边形内角度数，外角度数.引入新课．
加深对正多边形概念理解，为定理证明做准备.
为定理引出做铺垫.
定理证明
定理：把圆分成n（n≥3）等份：
（1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
逐次平分各边所对的弧可以得到更多正n边形.
3.用等分圆周方法设计图
1.找到作图方法
2.思考作图原理
3.练习画正多边形
练习特殊正n边形作法.
思考由已知正多边形画出一系列正多边形的方法.
利用所学
1.由定理得到正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接正多边形.可以通过等分圆周的方法画正多边形.
24.6（1）正多边形与圆
一．学习目标
1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形
教学重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系
教学难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形
二．教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
引入新课
情景引入
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24.6节的内容，主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
本节内容是学生对几何图形认识的一个拓展，同时也是对圆的深入学习。
教材通过正多边形引入圆的概念，使得学生能够更好地理解圆的性质和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形知识，对正方形、正三角形等正多边形有一定的了解。
但是，他们对正多边形和圆的关系以及圆的性质的认识还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探索正多边形和圆的性质，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质，能够识别和判断正多边形。
2.掌握圆的定义和性质，能够运用圆的性质解决实际问题。
3.理解正多边形和圆的关系，能够运用正多边形和圆的知识解决几何问题。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高他们的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义和性质，圆的性质和应用。
2.难点：正多边形和圆的关系，以及运用这些知识解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生发现正多边形和圆的性质，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.实例解析法：教师通过展示实际问题，引导学生运用正多边形和圆的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.小组合作学习：教师学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括正多边形和圆的图片、定义、性质等。
2.教学素材：准备一些正多边形的模型或者图片，用于展示和讲解。
3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些正多边形的图片，引导学生回顾正多边形的定义和性质。
然后，提出问题：“你们认为，正多边形和圆有什么关系呢？”让学生思考并发表自己的观点。
初中数学九年级教案-沪科版-24.2 圆的基本性质(第1课时)
24.2圆的基本性质
第一课时
教学目标
【知识与能力】
1.探索圆的两种定义，理解掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，并能够从图形中识别；
2.理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系。
【过程与方法】
体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系，通过实际问题的探究，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【情感态度价值观】
在解决问题的过程中，使学生体会数学知识在生活中的普遍性。
教学重难点
【教学重点】
圆的两种定义的探索，利用圆的性质解释一些生活问题，点与圆的位置关系。
【教学难点】
圆的描述性定义，用不同的方法判断点与圆的位置关系。
课前准备
课件、圆规、三角板等。
教学过程。
沪教版 九年级(下)学期 同步讲义 第3讲 圆与正多边形(解析版)
一、圆的确定 1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O 为圆心的圆称为“圆O ”，记作O ． 半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长． 2、 点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R ，点P 到圆心的距离为d ，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R ；当点P 在圆上时，d = R ；当点P 在圆内时，0d R ≤<． 反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆与正多边形知识结构模块一：圆的基本性质知识精讲2 / 21ABCO圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角； 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 2、半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A 、C 为端点的劣弧记作AC ，读作“弧AC ”； 以A 、C 为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC ”． 3、等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与''A B 是等弧， 记作''AB A B ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆． 4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等． 三、 垂径定理 1、垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧． （4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦． （5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的 弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例1】 （2014学年·闵行区二模·第6题）下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 【答案】A【解析】平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A 为假命题．【总结】本题主要考查对垂径定理的相关知识的理解，同时还要对假命题这一概念熟悉．【例2】 （2014学年·黄浦区二模·第15题）已知AB 是O 的弦，如果O 的半径长为5，AB 长为4，那么圆心O 到弦AB 的距离是______．【答案】21．【解析】如图所示：过点O 作OD AB ⊥于点D ，1144222AB AD AB =∴==⨯=，，在RtOBD ∆中，2222525221OA AD OD OA AD ==∴=-=-=，，．【总结】本题考查的是垂径定理及勾股定理的运用，根据题意画出图形，利用数形结合进行 求解．【例3】 （2015学年·金山区二模·第15题）如图，OA 是O 的半径，BC 是O 的弦，OA ⊥BC ，垂足为D ，如果OD = 3，DA =2，那么BC =______．【答案】8．【解析】如图，连接OB ， OA BC ⊥，OA 过点O ，290BC BD ODB ︒∴=∠=，，3OD =，2DA =，235OA ∴=+=， 5OB OA ∴==，在RT ODB ∆中，由勾股定理，得：2222534BD OB OD =-=-=，28BC BD ∴==． 【总结】本题考查了垂径定理和勾股定理得应用，能根据垂径定理得出2BC BD =是解此题 的关键．ABCD O 例题解析4 / 21【例4】 （2015学年·闵行区二模·第17题）点P 为O 内一点，过点P 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OP 的长等于______cm ．【答案】3【解析】如图所示，CD AB ⊥于点P ． 根据题意，得：10AB cm =，8CD cm =．CD AB ⊥， 142CP CD cm ∴==．根据勾股定理，得：2222543()OP OC CP cm =-=-=．【总结】此题综合运用了垂径定理和勾股定理，正确理解圆中过一点最长的弦和最短的弦．【例5】 （2014学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，在平行四边形ADBO 中，圆O经过点A 、D 、B ，如果圆O 的半径OA = 4，那么弦AB =______．【答案】43．【解析】四边形ADBO 是平行四边形，OA OB =， ADBO ∴四边形是菱形，AB ∴，OD 互相垂直平分，11222OC OD OA ∴===， 2223AC OA OC ∴=-=， 243AB AC ∴==．【总结】本题考查了菱形的判定和性质定理，以及勾股定理的运用，需熟记同圆的半径相等．【例6】 （2015学年·浦东新区二模·第21题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 上一点，90AOC ∠=︒，OA = 4，OC = 3，求弦AB 的长． 【答案】325．【解析】如图所示，过点O 作OD AB ⊥交AB 于点D ，90AOC ︒∠=，4OA =，3OC =， 2222435AC AO OC ∴=+=+=，4cos 5OA OAC AC ∴∠==，又cos AD OAC AO ∠=，445AD ∴=，165AD ∴=， OD AB ⊥， 3225AB AD ∴==． 【总结】本题考查了锐角三角比及垂径定理的综合运用．【例7】 （2015学年·奉贤区二模·第22题）如图，已知AB 是O 的直径，AB = 16，点P是AB 所在直线上一点，OP = 10，点C 是O 上一点，PC 交O 于点D ，3sin 5BPC ∠=，求CD 的长．ABOD CABCDOPE【答案】47．【解析】如图，过O 作OE CD ⊥于E ，2CD CE ∴=．AB 是O 的直径，16AB =， 8OC ∴=．3sin 5BPC ∠=，10OP =， sin 6OE OP BPC ∴=⨯∠=，2227CE OC OE ∴=-=， 247CD CE ∴==．【总结】本题考查了锐角三角比、勾股定理和垂径定理的综合运用．【例8】 （2014学年·虹口区二模·第21题）如图，等腰ABC ∆内接于半径为5的O ，AB = AC ，1tan 3ABC ∠=．求BC 的长．【答案】6．【解析】连接AO ，交BC 于点E ，连接BO ，AB AC =， AB AC ∴= ，又OA 是半径，OA BC ∴⊥，2BC BE =，在Rt ABE ∆中，1tan 3ABC ∠=， 13AE BE ∴=． 设AE x =，3BE x =，则5OE x =-， 在Rt BEO ∆，222BE OE OB +=，222(3)(5)5x x ∴+-=， 解得：10x =（舍去），21x =，33BE x ∴==， 26BC BE ∴==．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解此题的关键是构造直角三角形．A B COE6 / 21图5图4图3图2图1一、 直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公 共点叫做切点；当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线． 2、数量关系描述直线与圆的位置关系如果O 的半径长为R ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： 直线l 与相交0d R ⇔≤<； 直线l 与相切d R ⇔=； 直线l 与相离d R ⇔>． 3、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 二、 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系外离：图1中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．模块二：直线与圆、圆与圆的位置关系知识精讲外切：图2中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．相交：图3中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．内切：图4中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．内含：图5中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切． 2、相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线． 3、两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+； 两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+； 两圆内切120d R R ⇔<=-； 两圆内含120d R R ⇔≤<-． 4、相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．8 / 21【例9】 （2014学年·徐汇区二模·第6题）下列命题中，假命题是（ ）A ．没有公共点的两圆叫两圆相离B ．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称C ．联结相切两圆圆心的直线必经过切点D ．内含的两个圆的圆心距大于零 【答案】D【解析】没有公共点的两圆叫两圆相离，故A 为真命题；相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在的直线对称，故B 为真命题； 联结相切两圆圆心的直线必经过切点，故C 为真命题；内含的两个圆的圆心距大于零错误，同心圆的圆心距等于零，故D 为假命题． 【总结】本题主要考查了对真假命题的判断，并要求熟悉课本中与圆相关的性质定理．【例10】 （2015学年·黄浦区二模·第5题）如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．内含B ．内切C ．外切D ．相交【答案】D【解析】两圆的半径长分别为1和3，∴两圆的半径和为4，差为2，圆心距为3， ∴这两个圆的位置关系是相交．故选D ．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系，掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系 是解此题的关键．【例11】 （2014学年·黄浦区二模·第5题）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．内含B ．内切C ．外切D ．相交【答案】B【解析】两圆半径之差624=-==圆心距， ∴两个圆的位置关系是内切． 【总结】本题考查了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差．【例12】 （2015学年·静安区二模·第17题）已知1O 、2O 的半径分别为3、2，且1O 上的点都在2O 的外部，那么圆心距d 的取值范围是 ．例题解析【答案】5d >或01d ≤<． 【解析】1O 上的点都在2O 的外部，∴它们的位置关系是外离或内含，∴它们的圆心距d 的取值范围是5d >或01d ≤<．【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．【例13】 （2015学年·闸北区二模·第6题）若1O 与2O 相交于两点，且圆心距125O O =cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（ ） A ．1cm 、2cmB ．2cm 、3cmC ．10cm 、15cmD ．2cm 、5cm【答案】D【解析】521>+，d R r ∴>+，∴两圆外离，故A 错误； 523=+，d R r ∴=+， ∴两圆外切，故B 错误； 51510=-，d R r ∴=-，∴两圆内切，故C 错误；52552-<<+，R r d R r ∴-<<+，∴两圆相交，故D 正确．【总结】本题考查了圆和圆的位置关系与两圆的圆心距和半径之间的数量关系．【例14】 （2015学年·松江区二模·第6题）已知1O 的半径16r =，2O 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果1O 与2O 有交点，那么2r 的取值范围是（ ） A ．23r ≥B ．29r ≤C ．239r <<D ．239r ≤≤【答案】D 【解析】1O 的半径16r =，2O 的半径为2r ，则圆心距123O O =，∴若1O 与2O 内切，则23r =或29r =，1O 与2O 有交点，2r ∴的取值范围是：239r ≤≤，故选D ．【总结】本题考查了圆和圆的位置关系与两圆的圆心距和半径之间的数量关系．10 / 21AB【例15】 （2014学年·宝山区、嘉定区二模·第6题）Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，AC = BC= 4，以点A 、B 、C 为圆心的圆分别记作圆A 、圆B 、圆C ，这三个圆的半径长都等于2，那么下列结论正确的是（ ） A ．圆A 与圆B 外离 B ．圆B 与圆C 外离 C ．圆A 与圆C 外离D ．圆A 与圆B 相交【答案】A【解析】90C ︒∠=，4AC BC ==， 242AB ∴== 三个圆的半径长都等于2，∴A 与C 外切，B 与C 外切，A 与B 外离，故选A ．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据三角形的两边长求得第三边的长．【例16】 （2014学年·虹口区二模·第16题）如图，A 、B 的半径分别为1 cm 、 2 cm ，圆心距AB 为5 cm ．将A 由图示位置沿直线AB 向右平移，当该圆与B 内切时，A 平移的距离是______cm ．【答案】4或6．【解析】当内切时，圆心距为211-=，当点A 在点B 的左侧时，移动的距离为514cm -=；当点A 在点B 的右侧时，移动的距离为516cm +=；所以向右移动4或6cm 时两圆内切． 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系，注意分两种情况讨论．【例17】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第15题）以点A 、B 、C 为圆心的圆分别记作A 、B 、C ，其中A 的半径长为1、B 的半径长为2、C 的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cos B 的值是______．【答案】35．【解析】如图所示：A 的半径长为1，B 的半径长为2，C 的半径长为3，且这三个圆两两外切，123AB ∴=+=，314AC =+=，325BC =+=，222AB AC BC +=，ABC ∴∆是直角三角形，90A ︒∠=，3cos 5AB B BC ∴==．【总结】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理的逆定理及锐角三角比等知识点．【例18】 （2015学年·杨浦区二模·第17题）在矩形ABCD 中，AB = 3，AD =4，点O 为边AD 的中点，如果以点O 为圆心，r 为半径的圆与对角线BD 所在的直线相切，那么r 的值是______． 【答案】65．【解析】如图所示，当以点O 为圆心，r 为半径的的圆与对角线BD 所在的直线相切时，则OE BD ⊥，且OE r =． 90OED A ︒∠=∠=，ADB EDO ∠=∠，ODE BDA ∴∆∆， OD EOOB AB∴=． 3AB =，4AD =，5BD ∴=，253EO∴=， 解得：65EO =． 【总结】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质．【例19】 （2014学年·金山区二模·第6题）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，若以点C 为圆心，以2 cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，那么BC 的长等于（ ） A ．2 cmB ．22 cmC ．23 cmD ．4 cm【答案】B【解析】如图所示，在Rt ABC ∆，90C ︒∠=，AC BC =，CD AB ⊥，ABC ∴∆是等腰直角三角形．以点C 为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切， 2CD cm ∴=．12 / 2145B ︒∠=，2CD BD ∴==，22222222()BC CD BD cm ∴=+=+=．故选B ．【总结】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答 此题的关键．【例20】 （2014学年·杨浦区二模·第15题）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 4 cm ，AC = 3 cm ，O 是以BC 为直径的圆，如果O 与A 相内切，那么A 的半径长为______cm ．【答案】132+．【解析】连接AO 并延长交A 于D ，如图所示．O 与A 相内切，D ∴为切点， 122OD BC ∴==，90ACB ︒∠=，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AD OA OD ∴=+=+，即A 的半径长为132+cm ． 【总结】本题考查了相切两圆的性质及勾股定理的运用．【例21】 （2015学年·徐汇区二模·第22题）如图1，三个直径为a 的等圆P 、Q 、O两两外切，切点分别是A 、B 、C ．（1）那么OA 的长是______（用含a 的代数式表示）；（2）探索：现有若干个直径为a 的圆圈分别按如图2所示的方案一和如图3所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中n 层圆圈的高度n h =______，'n h = ______（用含n 、a 的代数式表示）；（3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为2．5米，高为2．5米．用这种集装箱装运长为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为0．1米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案在该种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由．ABC O QPABCOD（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）【答案】（1）32a ； （2）na ，3(1)2n a a -+； （3）方案二． 【解析】（1）如右图所示，连接OA ，三个直径为a 的等圆P 、Q 、O 两两外切， OP PQ OQ a ∴===，OPQ ∴∆是等边三角形， 60OPQ ︒∴∠=，AP AQ =，OA PQ ∴⊥， 3sin 602OA OP a ︒∴=•=； （2）如图2所示：高度n h na =；如图3所示：高度'3(1)2n h n a a =-+； （3）方案二在这种集装箱中装运的铜管数多． 方案一：0.1 2.5n ≤，解得：25n ≤，2525625⨯=． 方案二：根据题意第一层放25根，第二层放24根， 设钢管的放置层数为n ，可得3(1)0.10.1 2.52n -⨯+≤， 解得：28.68n ≤，n 为整数，28n ∴的最大值是． 所以钢管放置的最多根数为：25142414686⨯+⨯=（根）． ∴方案二在这种集装箱中装运铜管数多．【总结】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数 等知识点．…图2图31层 2层3层n 层 1层2层 3层 n 层h’1h’2 h’3h’n……………图1ABC OQP14 / 211、 正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．有n 条边的正多边形（n 是正整数，且3n ≥）就称作正n 边形． 2、 正n 边形的对称性正n 边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n ．当n 为偶数时，正n 边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 3、 正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．【例22】 （2015学年·浦东新区二模·第14题）正八边形的中心角等于______度． 【答案】45︒．【解析】正八边形的中心角度为：360845︒︒÷=．【总结】本题考查了正多边形和圆的相关知识点，注意中心角的计算公式．例题解析模块三：正多边形与圆知识精讲【例23】 （2015学年·黄浦区二模·第15题）中心角为60°的正多边形有______条对称轴． 【答案】6【解析】正多边形的边数是360660=，则正多边形有6天对称轴． 【总结】本题考查了正多边形的计算以及正多边形的性质，理解正n 边形有n 条对称轴是解 此题的关键．【例24】 （2014学年·虹口区二模·第5题）下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正六边形D ．正八边形【答案】B【解析】设正四边形的边数是n ，根据题意得：360360180n n -=，解得：4n =，故选B ． 【总结】本题考查了正多边形的中心角和内角和的知识点．【例25】 （2015学年·金山区二模·第17题）已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC ∠的度数是______度．【答案】15︒或105︒ 【解析】如图1中，604515BAC CAO BAO ︒︒︒∠=∠-∠=-=．如图2中，9015105BAC BAE EAC ︒︒︒∠=∠+∠=+=．【总结】本题考查了正多边形与圆的有关知识，解题的关键是能够正确的画出图形，注意两 种情况的讨论．【例26】 （2015学年·崇明县二模·第5题）如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为（ ）A ．2、3πB ．23，πC ．3，23πD ．23，43π【答案】DFEADB C M O16 / 21【解析】连接OB ，4OB =，2BM ∴=，23OM ∴=，∴弧BC 的长度为：60441803ππ⨯=，故选D ． 【总结】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算问题，将扇形的弧长公式与多边形的性质 相结合，构思巧妙．【例27】 （2015学年·普陀区二模·第6题）如果圆形纸片的直径是8 cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ） A ．2 cm B ．23cm C ．4 cm D ．43 cm【答案】C【解析】如图所示，已知圆内接半径是4cm ，则4OB cm =． 1sin30422BD OB cm ︒∴==⨯=，则224BC cm =⨯=，故选C ．【总结】此题考查了关于正多边形的有关计算问题．【习题1】 （2014学年·奉贤区二模·第6题）已知1O 与2O 外离，1O 的半径是5，圆心距127O O =，那么2O 的半径可以是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】1O 与2O 外离，圆心距127O O =，1O ∴与2O 的半径之和小于7，1O 的半径是5，2O ∴的半径小于2，2O ∴的半径可以是1．故选D ．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量 关系是解此题的关键．【习题2】 （2014学年·奉贤区二模·第14题）如果正n 边形的中心角是40°，那么n =______． 【答案】9随堂检测【解析】360940n ==． 【总结】本题考查了正多边形的计算，理解中心角的度数和正多边形的边数之间的关系是解 本题的关键．【习题3】 （2014学年·长宁区、金山区二模·第14题）已知1O 和2O 的半径分别是5和3，若122O O =，则两圆的位置关系是____________．【答案】内切 【解析】1O 和2O 的半径分别是5和3，∴半径差为2，122O O =，∴两圆的位置关系是：内切．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量 关系是解此题的关键．【习题4】 （2015学年·杨浦区二模·第6题）圆O 是正n 边形12n A A A 的外接圆，半径为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ ） A ．5B ．10C ．36D ．72【难度】★【答案】C【解析】设正多边形的中心角的度数是x ，根据题意得：180180xππ=， 解得：10x =，则3603610n ==，故选C ． 【总结】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式．【习题5】 （2015学年·闵行区二模·第6题）下列四个命题，其中真命题有（ ）（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin20a ︒． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18 / 21【答案】A【解析】有理数乘以无理数也可以是有理数，如0乘任何数都为零，故（1）为假命题 ；因为等腰梯形的对角线相等，所以顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱 形，故（2）为真命题；在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为有优弧和劣弧，故（3）为假命题； 如果正九边形的半径为a ，那么边心距为cos20a ︒，所以（4）为假命题； 综上所述，只用一个真命题，故选A ．【总结】本题主要考查对真假命题概念的掌握，同时需熟知有理数、特殊的平行四边形、圆 及正多边形的相关性质．【习题6】 （2015学年·浦东新区二模·第16题）已知：1O 、2O 的半径长分别为2和R ，如果1O 与2O 相切，且两圆的圆心距d = 3，则R 的值为______．【答案】1或5． 【解析】1O 与2O 相切，且两圆的圆心距d = 3， 23R ∴+=或23R -=，故R 为1或5．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量 关系是解此题的关键．【习题7】 （2014学年·崇明县二模·第16题）如图，已知在O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，OE = 2，那么CD =_______．【答案】43． 【解析】连接OD ，30BAD ︒∠=，60BOD ︒∴∠=，设半径为r ，12OE r ∴=，4OE =， 4r ∴=，34232DE ∴=⨯=， 43CD ∴=． 【总结】本题主要考查了垂径定理，特殊角的锐角三角比的综合运用．ABCDE O【习题8】（2014学年·闵行区二模·第14题）在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 3，BC = 4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB相切，那么r =______．【答案】125．【解析】90C︒∠=，3AC=，4BC=，5AB∴=．设圆心C到AB的距离为d，则1134522d⨯⨯=⨯⨯，125d∴=．根据C与AB相切，则圆心C到AB的距离就是半径的长，125r∴=．【总结】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线的距离与圆半径大小关系来完成．【作业1】（2015学年·虹口区二模·第15题）若两圆的半径分别为1 cm和5 cm，圆心距为4 cm，则这两圆的位置关系是__________．【答案】内切．【解析】451=-，即两圆的圆心距等于两圆的半径之差，∴两圆内切．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系是解此题的关键．【作业2】（2015学年·金山区二模·第6题）下列命题中，真命题是（）A．两个无理数相加的和一定是无理数B．三角形的三条中线一定交于一点C．菱形的对角线一定相等D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等【答案】B【解析】互为相反数的两个无理数的和为0，而0是有理数，所以A是假命题；三角形的三条中线一定交于一点，这一点叫做三角形的重心，所以B是真命题；菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，所以C是假命题；同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为有优弧和劣弧，所以D是假命题；故答案选B．【总结】本题主要考查对真假命题概念的掌握，同时需熟知有理数、三角形、特殊的平行四边形及圆的相关性质．【作业3】（2014学年·奉贤区二模·第5题）相交两圆的圆心距是5，如果其中一个圆的半径是3，那么另外一个圆的半径可以是（）课后作业A．2 B．3 C．8 D．10【答案】B【解析】设圆的半径为r，两圆相交，∴圆心距满足：353r r-<<+，解得：28r<<，∴满足条件的r只有B．【总结】本题考查了两圆位置关系的知识点，利用了两圆相交时，圆心距要大于两半径之差，小于两半径之和求解．【作业4】（2014学年·浦东新区二模·第4题）如果正多边形的一个内角等于135度，那么这个正多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】正多边形的一个内角是135︒，∴该正多边形的一个外角为45︒，多边形的外角之和为360︒，∴边数360458n=÷=，∴该正多边形的边数是8，故选答案D．【总结】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360︒．【作业5】（2014学年·普陀区二模·第13题）O的直径为10，弦AB的弦心距OM是3，那么弦AB的长是_______．【答案】8．【解析】如图，连接OA．OM为弦心距，OM AB∴⊥，AM BM∴=．在RT OAM∆中，3OM=，5OA=，224AM OA OM∴=-=，28AB AM∴==．【总结】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用．【作业6】（2014学年·闸北区二模·第17题）已知O的直径是10，ABC∆是O的内接等腰三角形，且底边BC = 6，求ABC∆的面积是______．【答案】3或27．【解析】如图1，当圆心在三角形内部时，5OB=，3BD=，根据勾股定理得，4OD=，9AD=，所以169272ABCS∆=⨯⨯=；20/ 21如图2，当圆心在三角形外部时，,5OB =，3BD =，根据勾股定理得，4OD =，1AD =，所以16132ABC S ∆=⨯⨯=．【总结】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理的运用，注意分类讨论． 【作业7】 （2014学年·松江区二模·第22题）如图，AB 是O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD = 24，点M 在O 上，MD 经过圆心O ，联结MB ． （1）若BE = 8，求O 的半径； （2）若DMB D ∠=∠，求线段OE 的长． 【答案】（1）13； （2）43．【解析】（1）设O 的半径为x ，则8OE x =-，24CD =，由垂径定理得，12DE =．在Rt ODE ∆中，由勾股定理得：222OD DE OE =+， 222(8)12x x ∴=-+，解得：13x =；（2）OM OB =，M B ∴∠=∠， 2DOE M ∴∠=∠， 又M D ∠=∠， 30D ︒∴∠=，在Rt OED ∆中，12DE =，30D ︒∠=，43OE ∴=．【总结】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用．【作业8】 （2014学年·静安区、青浦区二模·第18题）如图，1O 的半径为1，2O 的半径为2，125O O =，O 分别与1O 外切、与2O 内切，那么O 半径r 的取值范围是________________．【答案】3r ≥． 【解析】如图1所示，25216r =+-=，解得：3r =．如图2所示，由于三角形两边之和大于第三边， (1)(2)5r r ∴++->，解得：3r >．综上所述：3r ≥．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系，需利用相切的知识点来解题，注意分类讨论．A· BOMC E D。
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板块 考试要求 A 级要求
B 级要求
C 级要求
圆的有关概
念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题
圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题
一、圆的相关概念
1. 圆的定义
（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转
所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”
圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同
心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧
（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
3. 圆心角和圆周角
（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我
们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
二、圆的对称性
1. 旋转对称性
中考要求
知识点睛
圆的概念及性质
（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自
身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性
（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．
三、圆的性质定理
1. 圆周角定理
（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
注意：
①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
3. 垂径定理
D
（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：
①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．
注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与
勾股定理有：222()2
a
r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第
三个量．
r a 2
d O C
B
A
一、圆的相关概念及性质
【例1】 判断题：
（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )
【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）
A ．''A
B A B = B ．''AB A B >
C ．AB 的度数=''A B 的度数
D ．AB 的长度=''A B 的长度
B 'A 'B
A
O
【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，
NH c =则下列格式中正确的是( )
A ．a b c >>
B ．a b c ==
C ．c a b >>
D ．b c a >>
O
N M
H
G F
E D
C B A
例题精讲
【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．
【例3】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直
线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．
分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1
图2
二、圆的性质定理
1. 圆周角定理
【例4】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）
A ．40︒
B ．45
︒ C ．50︒ D ．80︒
【巩固】如图，O ⊙
是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．
【例5】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径
为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．
P
O B
A。