5 几何模型的建立
常用几何语言初中数学
常用几何语言初中数学在初中数学的学习中，几何语言的使用是不可或缺的一部分。
它不仅是我们理解和描述几何概念的工具，也是我们进行逻辑推理和问题解决的重要工具。
在这篇文章中，我们将探讨一些常用的几何语言及其在初中数学中的应用。
我们要了解的是几何中的基本元素和概念。
这些包括点、线、面、角、三角形、四边形等。
每个元素都有其特定的定义和性质，这些定义和性质是我们理解和描述几何图形的基础。
我们要学习的是如何使用几何语言进行描述和推理。
在初中数学中，我们通常会使用公理、定理和推论等来进行证明和推理。
这些公理、定理和推论是经过严格证明和检验的，可以用来确定某一命题是否成立。
同时，我们还要学会如何使用几何语言来表达和证明这些命题。
我们要了解的是几何语言在解决实际问题中的应用。
在日常生活中，我们经常会遇到一些与几何相关的问题，比如测量土地面积、计算房屋面积、确定最短路径等。
这些问题都需要我们使用几何语言来进行描述和解决。
几何语言是初中数学中非常重要的一部分。
通过学习和掌握常用的几何语言，我们可以更好地理解和应用几何知识，提高我们的逻辑推理能力和解决问题的能力。
也可以帮助我们更好地解决日常生活中的一些与几何相关的问题。
因此，我们应该认真学习几何语言，不断提高自己的数学素养和能力。
初中数学几何模型汇总一、引言初中数学是数学教育的基础阶段，其中几何学占据了相当重要的地位。
几何学不仅培养了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，而且为高中数学的学习打下了坚实的基础。
本文将系统地整理初中数学中的几何模型，以期帮助学生更好地理解和掌握几何知识。
二、初中数学几何模型分类1、点、线、面：这是几何学中最基本的元素。
点代表位置，线代表长度，面代表形状。
这三个元素构成了几何学的基础。
2、直线型：包括线段、射线、直线等。
这些图形的关系和性质是初中几何学的重要内容。
3、平面型：包括三角形、四边形、圆形等。
这些图形的关系和性质是初中几何学的重要内容。
平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)(解析版)-2023-2024学年七年级数学常见几何模型归纳
平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线中的拐点模型(蛇形模型(“5”字模型))进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α+γ=β+180°.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β=γ+180°.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠β=∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠α=∠FCD+∠FCB，∴∠α+∠γ=∠β+180°在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠β+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠γ=∠FCD，∵∠α=∠FCD+∠FCB，∴∠α+∠β=∠γ+180°1(2023下·安徽黄山·七年级统考期末)如图，已知AB∥DE，∠A=25°，∠CDE=135°，则∠ACD的度数是()A.45°B.60°C.70°D.90°【答案】C【分析】过C作CM∥CD，求出AB∥CM∥DE，根据平行线的性质得出∠ACM=∠CAB，∠CDE=+∠MCD=180°，即可得出答案．【详解】解：过C作CM∥CD，∵AB∥DE，∴AB∥CM∥DE，∴∠ACM=∠A=25°，∠MCD+∠CDE=180°，∵∠CDE=135°，∴∠MCD=180°-∠CDE=180°-135°=45°,∴∠ACD=∠ACM+∠MCD=25°+45°=70°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．2(2023下·黑龙江鸡西·七年级期中)如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A= 130°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C 的度数()A.160°B.150°C.140°D.135°【答案】A【分析】延长AB、EC交于点D，根据AF∥DE，得出∠ADC=∠DAF=130°，根据邻补角求出∠DBC= 180°-∠ABC=30°，根据三角形外角的性质得出∠BCE=∠BDC+∠DBC=130°+30°=160°．【详解】解：延长AB、EC交于点D，如图所示：∵AF∥DE，∴∠ADC=∠DAF=130°，∵∠ABC=150°，∴∠DBC=180°-∠ABC=30°，∴∠BCE=∠BDC+∠DBC=130°+30°=160°．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3(2022下·贵州黔南·七年级统考期中)如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为()A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°【答案】D【分析】过点E作EF∥AB，再根据平行线的性质得出α+∠AEF=180°，γ=∠DEF，求解即可．【详解】过点E作EF∥AB，∴α+∠AEF=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴γ=∠DEF，∵∠AEF=β-∠DEF，∴∠AEF=β-γ，∴α+β-γ=180°，故选：D．4(2023下·四川广安·七年级统考期末)如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A~H表示，得到如图2的几何示意图，已知AB∥GF．试说明∠ABC=∠BCF+∠CFG．【答案】见解析【分析】方法一：延长AB交CF于点P，则∠CBP=180°-∠ABC，由平行线的性质可得∠CPB=∠CFG，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案；方法二：过点C作CQ∥AB，则CQ∥AB∥GF，由平行线的性质可得∠BCQ+∠ABC=180°，∠FCQ+∠CFG=180°，∠BCQ+∠BCF+∠CFG=180°，进行计算即可得到答案．【详解】解：方法一：如图1，延长AB交CF于点P，， ，∴∠CBP =180°-∠ABC ，∵AB ⎳GF ，∴∠CPB =∠CFG ，∴∠BCF =180°-∠CBP -∠CPB =180°-180°-∠ABC -∠CFG ，∴∠ABC =∠BCF +∠CFG ；方法二：如图2，过点C 作CQ ∥AB ，∵AB ∥GF ，∴CQ ∥AB ∥GF ，∴∠BCQ +∠ABC =180°，∠FCQ +∠CFG =180°，∴∠BCQ =180°-∠ABC ，∠BCQ +∠BCF +∠CFG =180°，∴180°-∠ABC +∠BCF +∠CFG =180°，即∠ABC =∠BCF +∠CFG ．(任选一种方法说明即可)【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键．5(2023下·浙江绍兴·七年级统考期末)如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAN ，AE 的反向延长线交∠CDN 的平分线于点M ，则∠M 与∠N 的数量关系是()A.∠M =2∠NB.∠M =3∠NC.∠M +∠N =180°D.2∠M +∠N =180°【答案】D【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAE =12∠BAN ，∠CDM =12∠CDN ，过M 作MF ∥AB ，过N 作NH ∥AB ，再利用平行线的判定与性质得到∠FME =∠BAE =12∠BAN ，∠BAN =∠ANH ，∠FMD =∠CDM =12∠CDN ，∠CDN +∠HND =180°，经过角度之间的运算得到∠CDN -∠BAN =180°-∠AND ，∠DMA =12180°-∠AND ，即2∠DMA +∠AND =180°可求解．【详解】解：∵AE 平分∠BAN ，DM 平分∠CDN ，∴∠BAE =12∠BAN ，∠CDM =12∠CDN ，过M 作MF ∥AB ，过N 作NH ∥AB ，则∠FME =∠BAE =12∠BAN ，∠BAN =∠ANH ，∵AB∥CD，∴MF∥CD，NH∥CD，∴∠FMD=∠CDM=12∠CDN，∠CDN+∠HND=180°，∴∠AND=∠ANH+∠HND=∠BAN+180°-∠CDN，即∠CDN-∠BAN=180°-∠AND，又∵∠DMA=∠FMD-∠FME=12∠CDN-∠BAN=12180°-∠AND，∴2∠DMA+∠AND=180°，即2∠M+∠N=180°，故选：D．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键．6(2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．(3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD，求∠AND的度数．【答案】(1)∠APD=80°；(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)∠AND=45°．【分析】(1)首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；(2)作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)先证明∠NOD=12∠PAB，∠ODN=12∠PDC，利用(2)的结论即可求解．【详解】解：(1)∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD =∠APQ +∠DPQ =50°+30°=80°；(2)∠PAB +∠CDP -∠APD =180°，如图，作PQ ∥AB ，∴∠PAB =∠APQ ，∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，∴∠CDP +∠DPQ =180°，即∠DPQ =180°-∠CDP ，∵∠APD =∠APQ -∠DPQ ，∴∠APD =∠PAB -(180°-∠CDP )=∠PAB +∠CDP -180°；∴∠PAB +∠CDP -∠APD =180°；(3)设PD 交AN 于O ，如图，∵AP ⊥PD ，∴∠APO =90°，由题知∠PAN +12∠PAB =∠APD ，即∠PAN +12∠PAB =90°，又∵∠POA +∠PAN =180°-∠APO =90°，∴∠POA =12∠PAB ，∵∠POA =∠NOD ，∴∠NOD =12∠PAB ，∵DN 平分∠PDC ，∴∠ODN =12∠PDC ，∴∠AND =180°-∠NOD -∠ODN =180°-12(∠PAB +∠PDC )，由(2)得∠PAB +∠CDP -∠APD =180°，∴∠PAB +∠PDC =180°+∠APD ，∴∠AND =180°-12(∠PAB +∠PDC )=180°-12(180°+∠APD )=180°-12(180°+90°)=45°，即∠AND =45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7(2023下·陕西汉中·七年级校考期中)如图，已知直线AB ∥CD ，P 是平面内一点，连接PA 、PD ．(1)如图①，若∠PAB =130°，∠PDC =120°，求∠APD 的度数；(2)如图②，若∠A =50°，∠D =150°，求∠APD 的度数；(3)如图③，试判断∠PAB 、∠CDP 和∠APD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110°(2)80°(3)∠CDP +∠PAB -∠APD =180°，见解析【分析】(1)过点P 作PE ∥AB ，根据两直线平行同旁内角互补可得答案；(2)过点P 作EF ∥AB ，根据两直线平行内错角相等可得出∠APE =50°，根据平行线公理及性质可得出∠EPD =30°，最后根据角的和与差即可得出答案；(3)过点P 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，据平行线的性质及角的和与差即可得出答案．【详解】(1)解：如图，过点P 作PE ∥AB ，∵AB∥PE，∴∠PAB+∠APE=180°，∵∠PAB=130°，∴∠APE=180°-130°=50°，∵AB∥CD，AB∥PE，∴PE∥CD，∴∠PDC+∠DPE=180°，∵∠PDC=120°，∴∠DPE=180°-120°=60°，∵∠APE+∠DPE=∠APD，∴∠APD=50°+60°=110°；(2)解：如图1，过点P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°(3)解：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．理由：如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠CDP=∠DPF,∠FPA+∠PAB=180°，∴∠FPA=∠DPF-∠APD，∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．8(2023下·广东广州·七年级统考期末)甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．(用含x，y的式子表示)【答案】(1)∠E=60°(2)∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，理由见解析(3)∠G=23x+13y【分析】(1)根据平行线的性质得出∠C+∠D=180°，根据解题得出∠D=60°，进而根据CD∥BE，即可求解；(2)过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，根据平行线的性质得出∠MED=∠NDE设∠MED=∠NDE=α，进而根据平行线的性质得出∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，即可得出结论；(3)根据(2)的结论可得∠ACD+x=∠DEF+y，∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，根据已知∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，可得∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，进而即可求解．【详解】(1)解：∵AC∥DE，∴∠C+∠D=180°，∵∠C=2∠D，∴3∠D=180解得：∠D=60°，∵CD∥BE．∴∠E=∠D=60°；(2)解：如图所示，过点D,E分别作AC的平行线DN,EM，∴EM∥DN，∴∠MED=∠NDE，设∠MED=∠NDE=α，又∵AC∥BF，∴AC∥DN，ME∥BF，∴∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，∴∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，；(3)∵∠D=x，∠F=y，∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，即∠ACD+x=∠DEF+y，∴∠DEF-∠ACD=x-y，由(2)可得∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，∵∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，∴∠G+23∠ACD=23∠DEF+∠F，即∠G+23∠ACD=23∠DEF+y，∴∠G=y+23∠DEF-∠ACD=y+23x-y=23x+13y，∴∠G=23x+13y．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．课后专项训练1(2023下·山东泰安·七年级统考期末)如图，已知直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1的大小是()A.13°B.15°C.16°D.17°【答案】D【分析】过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算出∠1+∠2=30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．【详解】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，即l1∥AC，l2∥BD，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∴∠3+∠4=125°+85°-180°=30°，∴∠1+∠2=30°，∵∠1比∠2大4°，即∠1=∠2+4°，∴∠2=13°，∴∠1=17°，故选：D．【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质并作辅助线是解题的关键．2(2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习)如图，是一段赛车跑道的示意图，其中AB∥DE，测得∠B =130°，∠D=70°．那么∠C=()A.90°B.100°C.110°D.120°【答案】D【分析】过“拐点”C作AB∥CF，利用平行线的性质即可求解．【详解】解：过点C作AB∥CF，如图所示：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF=180°-∠B=50°,∠DCF=∠D=70°，∴∠C=∠BCF+∠DCF=120°；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质．正确作出辅助线是解题关键．3(2023下·浙江杭州·七年级统考期末)如图，AB∥DE，∠ABC=α，∠CDE=β，则∠BCD的度数为()A.α+βB.β-αC.180°+α-βD.180°-α+β【答案】C【分析】过点C作CF∥DE，根据平行线的性质和判定即可判断．【详解】过点C作CF∥DE∵AB∥DE，CF∥DE，∴AB∥CF，∵AB∥CF，∴∠ABC=∠BCF=α，∵CF∥DE，∴∠CDE+∠FCD=β+∠FCD=180°，∴∠FCD=180°-β，∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=α+180°-β=180°+α-β．故选：C【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．4(2023·河南驻马店·三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°【答案】C【分析】过点C作CF∥AB，则AB∥DE∥CF，根据平行线的性质可得到∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF =180°-∠CDE=105°，即可求得∠BCD=∠BCF-∠DCF=45°．【详解】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，CF∥AB，∴AB∥DE∥CF．∴∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF+∠CDE=180°．∵∠CDE=75°，∴∠DCF=180°-75°=105°．∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=150°-105°=45°．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．5(2023下·江西景德镇·七年级统考期末)如图所示，一艘轮船从A地出发，沿北偏东45°方向航行至B 地，再从B地出发沿南偏东25°，方向航行至C地，则∠ABC的度数为()A.70°B.65°C.50°D.45°【答案】A【分析】根据平行线的性质得出∠DBA=∠A=45°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，∵AE∥BD，∴∠DBA=∠A=45°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=25°+45°=70°，故选：A．【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°【答案】C【分析】过点C作CF∥AB，则AB∥DE∥CF，根据平行线的性质可得到∠BCF=∠ABC=150°，∠DCF =180°-∠CDE=105°，即可求得∠BCD=∠BCF-∠DCF=45°．【详解】如图，过点C作CF∥AB，∠DCF+∠CDE=180°∵AB∥DE，CF∥AB，∴AB∥DE∥CF．∴∠BCF=∠ABC=150°，．∵∠CDE=75°，∴∠DCF=180°-75°=105°．∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=150°-105°=45°．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．7(2023下·上海·七年级期中)如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+γ+β【答案】C【分析】过C作CD∥AB，过M作MNEF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD =180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【详解】解：过C作CD∥AB，过M作MNEF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x=∠BCD+∠DCM=180°-α+β-γ，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．8(2023下·广东深圳·七年级校考期中)如图，AB∥DE，∠B=60°，∠D=150°，则∠BCD=()A.30°B.60°C.15°D.45°【答案】A【分析】首先过点C作CF∥AB，由AB∥DE，即可得AB∥DE∥CF，然后由平行线的性质，即可证得∠BCF与∠DCF的度数，继而求得答案．【详解】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠BCF=∠B=60°，∠DCF+∠D=180°，∵∠D=150°，∴∠DCF=180°-∠DCF=30°．∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=60°-30°=30°．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．9(2023下·广东江门·七年级统考期末)如图，已知AB∥PG，BC∥DE，BD∥EF，则α，β，γ三者之间的关系是()A.α+β+y=180°B.β=α+γC.α-β=γD.γ-α=β【答案】D【分析】延长DE,PQ，分别交AB的延长线于点F,Q，根据平行线的性质可得∠EFQ=∠ABC=α,∠PQA =∠GPQ=γ,∠FEQ=∠D=β，根据三角形的外角的性质可得∠PQA=∠FEQ+∠EFQ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，延长DE,PQ，分别交AB的延长线于点F,Q，∵AB∥PG，BC∥DE，BD∥EF，∴∠EFQ=∠ABC=α,∠PQA=∠GPQ=γ,∠FEQ=∠D=β，∵∠PQA=∠FEQ+∠EFQ∴γ=α+β，即γ-α=β故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10(2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习)如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为．【答案】40°/40度【分析】过C作CF∥AB，结合AB∥DE可得∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，结合∠ABC=80°，∠CDE=140°即可得到答案；【详解】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，∵∠ABC=80°，∠CDE=140°，∴∠BCF=80°，∠DCF=180°-140°=40°，∴∠BCD=80°-40°=40°，故答案为：40°；【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．11(2023下·七年级课时练习)如图，∠2=∠3，∠1=60°，若a∥b，则∠4的度数为．【答案】120°/120度【分析】延长AE交直线b于B，依据∠2=∠3，可得AE∥CD，当a∥b时，可得∠1=∠5=60°，依据平行线的性质，即可得到∠4的度数．【详解】解：如图，延长AE交直线b于B，∵∠2=∠3，∴AE∥CD，∴∠4+∠5=180°，当a∥b时，∠1=∠5=60°，∴∠4=180°-∠5=120°，故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．12(2023下·上海闵行·七年级统考期末)我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB∥DE，则α、β和θ之间的数量关系是．【答案】α+β=θ【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式．【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．过点C作MN∥AB，则∠ECM=∠CBG=α(两直线平行，则同位角相等)．∵AB∥ED，∴MN∥ED，∴∠FDC=∠DCM(两直线平行，则内错角相等)，又∵∠DCM=∠DCE+∠ECM=β+α，∠FDC=θ∴α+β=θ．故答案为：α+β=θ．【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起．13(2023下·上海浦东新·七年级校考期中)如图，直线AB∥EF，∠B、∠C、∠D、∠E之间的数量关系是．【答案】∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=360°【分析】过点C作CG∥AB，DH∥EF，根据平行线的性质，可得∠B+∠BCG=180°，∠E+∠HDE= 180°，∠GCD=∠HDC，继而可得∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=360°．【详解】解：如图，过点C作CG∥AB，过D作DH∥EF∵AB∥CG，AB∥EF∴∠B+∠BCG=180°，EF∥CG∵DH∥EF∴∠E+∠HDE=180°，CG∥DH∴∠GCD=∠HDC∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠BCG+∠HDE+∠E=180°+180°=360°故答案为：∠B+∠C+∠D+∠E=360°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．14(2023下·辽宁丹东·七年级统考期末)如图，若AB∥CD，∠1=70°，∠2=140°，则∠3=°．【答案】30【分析】首先据平行线的性质可得∠1+∠AFD=180°，再有∠1=70°可算出∠AFD的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得到∠3+∠AFD=∠2，代入∠2、∠AFD的度数即可得到∠3的度数．【详解】解：延长AE交CD于点F，如图：∵AB∥CD，∴∠1+∠AFD=180°，∵∠1=70°，∴∠AFD=180°-∠1=180°-70°=110°，∵∠3+∠AFD=∠2，∠2=140°，∴∠3=∠2-∠AFD=140°-110°=30°．故答案为：30．【点睛】本题主要利用平行线的性质及三角形外角的性质求解．熟练掌握平行线的性质及添加辅助线的方法是解题的关键．15(2023下·重庆綦江·七年级校考阶段练习)如图某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，则∠ECB=度．【答案】90【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出∠CBA的度数，根据CE∥AB即可得出结论．【详解】解：如图所示，∵∠1=67°，∴∠2=67°．∵∠3=23°，∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．∵CE∥AB，∴∠ECB=∠CBA=90°．故答案为：90．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．16(2023上·广东广州·八年级校考开学考试)如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ的关系是．【答案】∠α+∠β-∠γ=180°【分析】过点E作EF∥CD，则EF∥AB，根据平行线的性质计算求解即可．【详解】解：如图，过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴α+∠AEF=180°，γ=∠DEF，∵∠AEF=β-∠DEF，∴∠AEF=β-γ，∴α+β-γ=180°，故答案为：α+β-γ=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．17(2023下·北京石景山·七年级统考期末)某篮球架及侧面示意图如图所示，若∠EDC=150°，DE∥AB，CB⊥AB于点B，则∠GCB=°．【答案】60【分析】过点C作CM∥DE，由平行线的性质求得∠DCM=30°，由DE∥AB，得到CM∥AB，进一步得到∠BCM=180°-∠CBM=90°，即可得到∠GCB的度数．【详解】解：过点C作CM∥DE，如图，∴∠DCM+∠EDC=180°，∵∠EDC=150°，∴∠DCM=180°-∠EDC=180°-150°=30°，∵DE∥AB，∴CM∥AB，∵CB⊥AB于点B，∴∠CBM=90°，∴∠BCM=180°-∠CBM=90°，∴∠GCB=180°-∠BCM-∠DCM=180°-90°-30°=60°．故答案为：60【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作CM∥DE是解题的关键．18(2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习)如图所示，已知FC∥AB∥DE，∠BCD:∠D:∠B=2:3:4，求∠B，∠D的度数．【答案】∠B=144°，∠D=108°【分析】由比例式可设∠BCD=2x，∠D=3x，∠B=4x，由平行得∠D=∠2+∠BCD，∠B=∠1+∠BCD，于是3x+4x-2x=180°，进一步求解．【详解】解：设∠BCD=2x，∠D=3x，∠B=4x，∵FC∥AB∥DE∴∠D=∠2+∠BCD，∠B=∠1+∠BCD∴∠2=∠D-∠BCD，∠1=∠B-∠BCD∴∠D-∠BCD+∠B-∠BCD+∠BCD=180°∴3x+4x-2x=180°解得x=36°∴∠B=144°，∠D=108°故答案为：∠B=144°，∠D=108°．【点睛】本题考查平行线的性质，比例的应用，一元一次方程求解，由平行推出角之间的数量关系是解题的关键．19(2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习)完成下面的证明．(1)如图，AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B+∠D=180°．证明：∵AB∥CD，∴∠B=()，∵CB∥DE，∴∠C+∠D=180°()，∴∠B+∠D=180°；(2)如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证AC∥BD．证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD又∠COA=∠BOD()∴∠=∠D∴AC∥BD()．【答案】(1)∠C；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补(2)对顶角相等；∠C；内错角相等，两直线平行【分析】(1)利用两直线平行，内错角相等推出∠B=∠C，再根据两直线平行，同旁内角互补推出∠C+∠D =180°，等量代换即可结论成立；(2)利用对顶角相等推出∠COA=∠BOD，等量代换得到∠C=∠D，再利用平行线的判定即可证明AC∥BD．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)，∵CB∥DE，∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B+∠D=180°；故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD又∠COA=∠BOD(对顶角相等)∴∠C=∠D∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．故答案为：对顶角相等；∠C；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关键．20(2023下·青海西宁·七年级统考期末)阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED=∠B+∠D．(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB∴∠BEF=()∵AB∥CD∴∥()∴∠FED=∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；(2)请你参考小亮的方法，解决下列问题：①如图2，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠B+∠BED+∠D=360°；②如图3，AB∥CD，则∠B，∠BEC，∠C之间的数量关系是．【答案】(1)∠B；两直线平行，内错角相等；EF；CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D(2)①见解析；②∠B+∠BEC-∠C=180°【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等和平行线的判定公理解答即可；(2)①过点E作EF∥AB，利用两直线平行，同旁内角互补解答即可；②过点E作EF∥AB，利用两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等解答即可．【详解】(1)证明：过点E作EF∥AB，∴∠BEF=∠B(两直线平行，内错角相等)，∵AB∥CD，∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D，故答案为：∠B；两直线平行，内错角相等；EF；CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D；(2)①证明：过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵AB∥CD，∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠FED+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵∠BED=∠BEF+∠FED，∴∠B+∠BED+∠D=∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°；②过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，∵AB∥CD，∴EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，∵∠B+∠BEC-∠CEF=180°，∴∠B+∠BEC-∠C=180°，故答案为：∠B+∠BEC-∠C=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线的判定公理，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．21(2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末)如图，AB∥DC，点E在直线AB，DC之间，连接DE，BE．(1)写出∠ABE，∠BED，∠EDC之间的数量关系，并说明理由；(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度数；【答案】(1)∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，证明见解析(2)∠B=67°【分析】(1)过点E作EF∥CD，利用平行线的判定及性质即可得解；(2)由(1)得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，将∠BED=2∠B代入即可得解．【详解】(1)解：∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，理由如下：过点E作EF∥CD，如图，∴∠EDC=∠DEF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABE+∠BEF=180°，∴∠BEF=180°-∠ABE，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠EDC+180°-∠ABE，∴∠BED+∠ABE-∠EDC=180°；(2)解：由(1)得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°，∴2∠B+∠B-∠EDC=180°，∴3∠B-21°=180°，解得∠B=67°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22(2023下·辽宁大连·七年级统考期末)阅读材料：如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC=140°，延长BC，2∠DCE=∠MAD +∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明.小白的想法是：“作∠ECF=∠ECD(如图2)，通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”.请按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H(如图3)，设∠MAB=α，请直接写出∠H的度数(用含α的式子表示).【答案】阅读材料：∠ECD=40°+∠MAB，见解析；拓展延伸：∠CHA=120°-α.【分析】(1)作∠ECF=∠ECD，DG∥MN，BH∥MN，由平行线性质可得∠MAD+∠ADG=180°，结合已知2∠DCE=∠MAD+∠ADC，可证∠CDG+∠DCF=180°，进而得到DG∥CF，从而CF∥BH，∠BCF +∠MAB=∠ABC=140°，将∠BCF=180°-∠ECF=180°-∠ECD代入可得∠ECD=40°+∠MAB. (2)过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合(1)的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH=120°-32∠MAB，即可得∠CHA=120°-α.【详解】解：【阅读材料】作∠ECF=∠ECD，DG∥MN，BH∥MN(如图1).∵DG∥MN，∴∠MAD+∠ADG=180°.∴∠CDG+∠MAD+∠ADC=180°.∵2∠DCE=∠MAD+∠ADC，∴∠CDG+2∠DCE=180°.∴∠CDG+∠DCF=180°.∴DG∥CF.∵DG∥MN，∴MN∥CF.∵BH∥MN，∴CF∥BH.∴∠BCF=∠CBH，∠MAB=∠ABH.∴∠BCF+∠MAB=∠ABC=140°.∵∠BCF=180°-∠ECF=180°-∠ECD，∴∠ECD=40°+∠MAB.【拓展延伸】结论：∠CHA=120°-α.理由：如图，作∠ECF=∠ECD，过H点作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=12∠BAM，由(1)得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵∠ECD=40°+∠MAB,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+12∠MAB，∴∠FCH=180°-∠ECF-∠ECG=180°-(40°+∠MAB)-20°+12∠MAB=120°-32∠MAB∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=12∠MAB+120°-32∠MAB=120°-∠MAB即：∠CHA=120°-α.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角(补角)相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．23(2023下·山东枣庄·七年级统考期中)(1)问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的说理过程补充完整：解：过点E作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，EF∥AB，所以EF∥DC，()所以∠C=.()因为EF∥AB，所以∠B=，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF.即∠B+∠C=∠BEC．(2)拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，则∠B、∠C、∠BEC的关系为.(直接写出结论，不用说明理由)(3)解决问题：如图③AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=.(直接写出结果，不用写计算过程)【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行∠CEF两直线平行，内错角相等∠BEF；(2)∠B+∠C= 360°-∠BEC；(3)20°.【分析】(1)根据平行公理，平行线的性质即可求证出答案．(2)类比1 ，过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．(3)过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．【详解】解：(1)过点E作EF∥AB，因AB∥CD(已知)，因为EF∥AB，所以EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行)，所以∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，因为EF∥AB，所以∠B=∠BEF，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，即∠B+∠C=∠BEC．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠CEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；(2)∠B+∠C=360°-∠BEC，理由如下：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥AB∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°-∠BEC，故答案为：∠B+∠C=360°-∠BEC；(3)如图③，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥AB∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，∵∠C=120°，∠AEC=80°，∴∠CEF=180°-120°=60°，∴∠AEF=80°-60°=20°，∴∠A=∠AEF=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、平行公理等知识点，灵活运用平行公理以及平行线的性质是解题的关键．24(2023下·广西柳州·七年级统考期末)综合与实践【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．解：过点A作ED∥BC，∴∠B=______，∠C=∠DAC，又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．∴∠B+∠BAC+∠C=______．【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】(2)如图2所示，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C 的度数．【拓展探究】(3)如图3所示，已知AB∥CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH∥AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数．【答案】(1)∠EAB，180°；(2)∠B-∠C=100°；(3)108°．【分析】(1)过点A作ED∥BC，如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，然后利用平角的定义得到∠B+∠BAC+∠C=180°；(2)过点E作ME∥AB，如图2，利用平行线的性质得到ME∥AB，则∠B+∠BEM=180°，∠MEC=∠C，然后把两式相加可得∠B-∠C=100°；(3)过E点作EM∥AB，根据平行线的性质得到AB∥ME∥CD∥FH，根据角平分线的定义得到∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，设∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，结合平行线的性质得到α-β= 36°，利用∠BEC=∠BEM+∠MEC代入求解即可．【详解】(1)解：过点A作ED∥BC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°；故答案为：∠EAB，180°；(2)解：过点E作ME∥AB，如图，∵AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠B+∠BEM=180°，∠MEC=∠C，∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°；(3)过E点作EM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD∥FH，∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，∴∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，设∠ABF=∠EBF=α，∠ECG=∠DCG=β，∵AB∥FH，CD∥FH，∴∠BFH=∠ABF=α，∠CFH=∠GCD=β，∵∠BFH-∠CFH=∠BFC，∴α-β=36°，∵AB∥ME∥CD，∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α，∠MEC=∠ECD=2β，∵∠BEC=∠BEM+∠MEC=180°-2α+2β=180°-2α-β=180°-2×36°=108°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键．。
ANSYS 有限元精品培训课件：5几何模型的布尔运算
创建复杂的几何模型，可运用布尔运算对模型 进行加工和修改。无论是自顶向下建模或是自底向 上建模创建的图素都可进行布尔运算，通过简单的 几何模型进行一系列布尔操作可创建复杂的模型， 使得建模较为容易和快捷。
对于包含退化的模型，有时布尔运算是无法完 成的。对于已经划分网格的图素不能进行布尔运算， 在操作前应清除网格，否则提示错误信息；同样地， 如果定义了荷载和单元属性，在布尔运算后这些属 性不会转换到新图素上，需重新定义。
LINP
线线两两相交运算
关键点，线AINP来自面面两两相交运算关键点，线，面
VINP
体体两两相交运算
关键点，线，面，体
1. 同级图素相交运算
线线相交：LINL, NL1, NL2, NL3, NL4, NL5, NL6, NL7, NL8, NL9 面面相交：AINA, NA1, NA2, NA3, NA4, NA5, NA6, NA7, NA8, NA9 体体相交：VINV, NV1, NV2, NV3, NV4, NV5, NV6, NV7, NV8, NV9 其中NX1~NX9为相交图素的编号，NX1可以为P、ALL或元件名（其 中X表示L、A或V）。
!如果I能被2整除则执行下面命令
k,i,2*i,4
!创建坐标为(2*i,4)的关键点
*else
!否则（I不能被2整除）
k,i,2*i,-4
!创建坐标为(2*i,-4)的关键点
*endif
!结束IF语句
*enddo
!结束循环语句
*do,i,1,19$l,i,i+1$*enddo !利用循环创建线
l,2,19$l,1,20
2.3.1 布尔运算的设置
1. 布尔运算的一般设置
建立初中数学几何模型的方法和步骤
建立初中数学几何模型的方法和步骤数学几何是初中数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、大小、位置关系等。
在初中数学教学中，建立数学几何模型是培养学生空间想象力和解决实际问题的重要手段。
本文将介绍建立初中数学几何模型的方法和步骤。
一、选择合适的题目建立数学几何模型的第一步是选择合适的题目。
题目应当具有一定的实际背景，能够激发学生的兴趣，并且与学生的生活经验有关。
例如，可以选择与日常生活中的建筑、地图、运动等相关的题目。
二、分析题目要求在选择了合适的题目之后，我们需要仔细分析题目要求。
这包括确定问题的具体内容、给出的已知条件以及需要求解的未知量。
通过对题目的分析，我们可以初步了解到问题所涉及的几何形状和关系。
三、建立几何模型基于对题目的分析，我们可以开始建立数学几何模型。
首先，我们需要根据题目给出的已知条件，确定所涉及的几何形状和关系。
然后，我们可以利用几何图形、图表、坐标系等工具，将已知条件和未知量进行可视化表示。
通过建立几何模型，我们可以更加清晰地理解问题，并且为后续的求解提供便利。
四、运用几何知识求解建立了几何模型之后，我们可以运用所学的几何知识来求解问题。
这包括利用几何定理、几何公式等进行推理和计算。
在求解过程中，我们需要灵活运用几何知识，善于发现问题中的特殊性质和规律。
同时，我们也需要注重推理的严密性，确保每一步推导都是正确的。
五、验证和解释结果在求解完成之后，我们需要对结果进行验证和解释。
验证可以通过多种方法进行，例如利用几何工具进行实际测量、通过数值计算进行验证等。
通过验证，我们可以确保所得到的结果是正确的。
解释则是对结果进行合理的解释和说明，可以从几何形状、大小、位置关系等方面进行解释，使得结果更加直观和易懂。
六、拓展和应用建立初中数学几何模型不仅仅是为了解决特定的问题，还可以通过拓展和应用，将所学的几何知识应用到其他领域。
例如，可以将几何模型与实际建筑、地图设计、运动轨迹等相结合，进一步拓宽学生的应用能力和创新思维。
2021年于新华中考数学16讲第5讲 基本几何模型
第5讲 基本几何模型一、对角互补模型（构造全等） 1．双90°型（1）条件①∠AOB =∠DCE =90°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．DBCO E【答案】①CD =CE ；②OD +OE；③S 四边形DOEC =S △ODC +S △OEC =12OC 2． （2）当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时， 条件：①∠AOB =∠DCE =90°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．O EDBC【答案】①CD =CE ；②OE －OD；③S △OEC －S △ODC =12OC 2． 【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都成为一个新的真命题； （2）既可以过点C 作“双垂”，即CM ⊥OA 于点M ， CN ⊥OE 于点N （利用角平分线构造双垂筝型），又可过点C 作CG ⊥OC 交OE 的延长线于点G （围绕点C 构造旋转全等形）． 例题讲解 如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕点O 旋转．证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值． O P MN B CDA【答案】连接OB ，OC ，可构造两个三角形全等，进一步得到S 重合=14S 正方形ABCD =25．2．60°，120°型（1）条件：①∠AOB ＝2∠DCE ＝120°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．OE DCBA答案：①CD ＝C E ；②OD ＋OE ＝OC ；③ S 四边形DOEC ＝S △ODC ＋ S △OEC ＝2 （2）当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时． 条件：①∠AOB ＝2∠DCE ＝120°；②OC 平分∠AOB ． 结论：① ；② ；③ ．OE DCBA答案：①CD ＝C E ；②OE － OD ＋＝OC ；③ S 四边形DOEC ＝ S △OEC －S △ODC ＋＝2． 【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都能成为一个新命题；（2）既可以过点C 作“双垂”，即CM ⊥OA 于点M ，CN ⊥OE 于点N (利用角平分线构造双垂筝型)，又可以OC 为边，构造等边△OCG ，或将线段CO 绕点C 逆时针旋转60°（围绕点C 构造旋转全等形）． 例题讲解把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD （如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合．（1）将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时（如图1），通过观察或测量AE ，AF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）在旋转过程中四边形AECF 的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P 在AC 上移动且与点A 、C 都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图2），那么PE 、PF 之间又有什么数量关系？并证明你的结论．答案：（1）AE ＝AF ，可证△ABE ≌△ACF （ASA ）（2）四边形AECF 的周长＝2AE ＋CE ＋CF ＝2AE ＋BC ＝2AE ＋4．当AE ⊥BC 时，AE 有最小值，故四边形AECF 的周长的最小值为4；（在旋转过程中四边形AECF 的面积不发生变化） （3）PE ＝PF （过点P 利用角平分线构造双垂筝型全等）．二、角含半角模型（必旋转）1、条件：①正方形ABCD ；②∠EAF ＝45°．结论：① ；② ．图①E D CF答案：结论：DF ＋BE ＝EF 或DF －DE ＝EF ． 如题图①，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°到△ABG 的位置，此时C ，B ，G 共线； 如题图②，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°到△ADG 的位置，此时D ，G ，C 共线； 【注意】（1）但凡旋转，必然有边对应相等，只需用圆规将共旋转点、边旋转过去即可: (2) 旋转后．往往涉及三点共线问题(须简单证明之)；(3) 旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全 等 (SAS )．例题讲解如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，O 为坐标原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N ． （1）当A 点第一次落在直线y ＝x 上时，求点A ，B 两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．答案：（1）（2）p值不会发生变化，将△OAM绕点O顺时针旋转90°到△OCG的位置，此时B，C，G三点共线，得MN＝＝BM＋CN，∴△MBN的周长p＝MN＋BM＋BN＝AM＋CN＋BM＋NB＝2AB＝4．变式1：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长C答案：将△BDM绕点D顺时针旋转120°到△CDE的位置，此时A，C，E三点共线，得MN＝BM＋CN，∴△AMN 的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝2AB＝6．变式2ACF答案：EF＝DE＋BF．将△ADE绕点A旋转到△CDE的位置，此时C，B，G共线(或延长CB至点G，使BG＝DE)，再证△AFG≌△AFE （SAS），可得EF＝FG＝BG＋BF＝DE＋BF．2．条件：①等腰Rt△ABC中；②∠DAE＝45°．结论：．图①BC图②答案：222BD CE DF +=．图①FBC图②如图①②，将△ACE 绕点A 按顺时针旋转90°到△AB F 的位置，此时FB ⊥BC ，连接DF ，可证△ADF ≌△ADE （SAS ），于是DF ＝DE ．在Rt △FBD 中，由勾股定理可知222FB BD DF +=，进一步得到222BD CE DF +=变式1：已知在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ＝6，CD ＝4，求△ABC 的面积．DC答案：法1：过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如图①所示，∴△AFE ≌△BFC （ASA ），∴AE ＝BC ＝10． 又由△BDE ∽△BFC (ASA)，∴BD AD DE CD =，∴6104DEDE +=，∴DE ＝2，则AD ＝12，∴S △ABC ＝60． 变式1图①C变式1图②ED CB法2：以D 为圆心，DA 长为半径画弧，交直线BC 于E ，F 两点（以AD 为高，构造等腰△AEF ），如图②所示，利用“角含半角模型”知道222BE CF BC +=，有222(BE 2)10BE ++=，∴BE ＝6，AD ＝DE ＝12，∴S △ABC ＝60．变式2：如图，等边△ABC 中，点P ，Q 在BC 边上，且∠P AQ ＝30°．若BP ＝2，QC ＝3，求AB 的长．答案：将△ABP 绕点A 按顺时针旋转60°至△ACD 的位置，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．在Rt △DEC 中，DC在Rt △又可证△AQP ≌△AQD （SAS ）， 得PQ＝DQ ∴BC ＝AB ＝5三、一线三等角模型如图①，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝90°； 如图②，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝60°； 如图③，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝45°．图①C E图②BEC图③ABDC例题讲解1.△ABC 和△DEF 均为正三角形，E 是BC 边的中点．（1）如图①，DE 交AB 于点M ，EF 交AC 于点N ，求证：△BEM ∽△CNE ；（2）如图②，将△DEF 绕点E 旋转，使得DE 交BA 的延长线于点M ，EF 交AC 于点N ，则第（1）题的结论是否依旧成立？图1E BF图2E FB【答案】答案略（可再追问证明△CEN ∽△EMN ）．2.如图，将等边△ABC 折叠，使得点C 落在AB 边上的点D 处，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 边上．若AC =8，AD =2，则CF ：CE 的值为________．第2题图C A BD【答案】7：5简答：由翻折知CE DECF DF=，再由“一线三等角模型”可知△ADE ∽△BFD ，根据“相似三角形的周长之比等于相似比”得ADE DEBFD DF=△△，而△ADE 的周长=AC ＋AD =10，△BFD 的周长=BC ＋BD =14，∴57CE DE CF DF ==.变式1：如图，在等边△ABC 中，D 是BC 边上一点，且BD ：DC =1：3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，那么AM ：AN 的值为________．变式1图A CB D【答案】5：7变式2：如图，在平面直角坐标系中，O （0，0），A （6，，B （12，0）．将△OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处．若OE =245，则CE ：DE 的值是________．变式2图【答案】提示：先证△OAB 为等边三角形，后面方法同例2. 四、K 字模型探究在学习几何知识时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K 字型是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：图1A DCB（1）已知∠A =∠D =∠BCE =90°，则△ABC ∽△DCE ；请就图①证明上述“模块”的合理性； 【答案】略（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： （i ）如图②，已知点A （－2，1），点B 在直线y =－2x ＋3上运动，若∠AOB =90°，求此时点B 的坐标；图2A【答案】（i ）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，可证△ODA ∽△BEO ， ∴AD OEOD BE=． 点B 在直线y =－2x ＋3上，可设B （m ，－2m ＋3）， ∴1=223m m -+，∴34m =．故3342B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（ii ）如图③，过点A （－2，1）分别作与x 轴，y 轴平行的线，交直线y =－2x ＋3于点C ，D ，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标.图3【答案】（ii ）过点E 作EG ∥y 轴，过点D 作DF ⊥FG 于点F ，延长AC 交FE 于点G （构造“K 字模型”），有△EGC ∽△DFE ，易得D （－2，7），C （1，1）．又由对称可知DE =DA =6，EC =CA =3，△EGC 与△DFE 的相似比为1∶2，设CG =x ，则EF =2x ，EG =6－2x ，∴DF =12－4x ，故12－4x =3＋x ，有x =95.故E （145，175）.归纳若知道直角三角形的两直角边的长度（比值），可通过两个锐角顶点作过直角顶点直线的垂线段构造K 字型全等或相似． 结论应用1.如图，在Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，OA ：OB =1：2，如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．【答案】4y x=-提示：分别过点A ，B 作y 轴的垂线于点C ，D ，由“K 字模型”知△OCA ∽△BDO ，且知相似比为1：2.设A （m ，1m ），AC =m ，OC =1m ，则OD =2m ，BD =2m ，∴B （2m，－2m ），故点B 在4y x =-上．B变式1：如图，在Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，∠B =30°，如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．变式1图【答案】3y x =-提示：构造“K 字型”，其中OA OB =.变式2：已知A 是反比例函数3y x=的图象在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．已知点C 的位置始终在一函数图象上运动，则这个函数解析式为________．变式2图【答案】9y x=-提示：由反比例函数图象的中心对称性可知，OA =OB ，故连接OC ，后续步骤同变式1. 变式3：已知△ABC 为等边三角形，点A 与点D 的坐标分别是A （4，0），D （10，0）． （1）如图①，当点C 与点O 重合时，求直线BD 的解析式；图①【答案】（1）42y x =-（2）如图②，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当以点B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与y 轴相切（切点为C ）时，求点B 的坐标；图②【答案】B （8，-）（3）如图③，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当点C 的坐标为C （0，-）时，求∠ODB 的正切值．图③【答案】法1：在x 轴上找点E ，F 使∠OEC =∠AFB=60°（构造“一线三等角），如图①所示，显然有△AEC ≌△BF A （AAS ）．在Rt △OEC 中，OC =OEC =60°，则OE =2，∴AE =6.于是由全等得BF =AE =6.过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，在Rt △FGB 中，∠GFB =60°，BF =6，∴FG =3，BG=DG =5，故tan ∠ODB图③【答案】法2：过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点E作直线FG ⊥x 轴于点F ，过点B 作BG ⊥FG 于点G ，如图②所示（构造“K 字模型”），有△AFE ∽△EGB，且AE BE =．由“三线合一”知E 为AC 的中点，则EF 为△AOC 的中位线，∴AF =2，EF EG=BG =3，则B （5，-，易求tan ∠ODB图③归纳只要知道等边三角形两个点的坐标，经过定边的中点构造．“K 字型”．变式4：如图，在等腰Rt △OAB 中，∠OAB =90°，顶点O 为坐标原点，顶点A ，B 在某反比例函数的图象上，点A 的横坐标为2，则OAB S =△________．变式4图【答案】5A 作MN ∥y 轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥MN 于点M （构造“K 字模型”），有△BMA ≌△ANO （AAS ）．设A （2，m ）（m >0），则可得B （2－m ，2＋m ）.根据“双曲线上的点横、纵坐标的积相等”，得（2－m ）（2＋m ）=2m ，解得m 1，∴()22114522ABC S OA m ==+=-△变式4图2.如图，直线123l l l ∥∥，且1l 与2l 的距离为1，2l 与3l 的距离为3．把一块含有45°的直角三角板按图所示放置，顶点A ，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线2l 交于点D ，则线段BD =________．【答案】2543．如图，点P 是正方形ABCD 的BC 边上的动点，以AP 为斜边在正方形内部作一等腰 Rt △APQ ，∠AQP=90°；AQ=PQ. （1）求∠ADQ 的度数；（2）若正方形边长为4，BP=1，求DQ 的长．P答案：法1：（1）过点Q 作EF//AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ，如图所示（构造“K 字模型”），显然△AEQ ≌△QFP （AAS ），∴AE=QF.又AD=EF ，则AD-AE=EF-QF ，即ED=EQ ，∴∠ADQ=45°. （2）设DE=EQ=FP=m,又BP=1， 则CF=3-m=DE=m ，∴32m =，则2. 法2：（1）连接AC ，如图②所示，AQ AD AP AC ==， 则△AQD△APC ，∠ADQ=∠ACB=45°.（2）由△AQD△APC 可得DQ PC =PC=3，则DQ=2. 图①FEBP 图②AP变式：如图，以ABCD 的CD 边为斜边向内作等腰Rt △CDE ，使AD=DE=CE ，∠DEC=90°，且点E 在平行四边形内部．连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数是____________．B答案：135°提示：过点E作FG⊥AD交AD，BC于点G，F，利用“等腰三角形腰上的高与底的夹角等于顶角的一半”，得∠1=12∠3，∠2=12∠4.而∠3+∠4=180°-2×45°=90°，∴∠1+∠2=45°，故∠AEB=135°.4.如图，在平面直角坐标系中，直线34y x b=-+分别与x轴，y轴交于点A，B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．备用图（1）填空：b=_________；（2）求点D的坐标；（3）M是线段AB上的一个动点（点A，B除外），试探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以0，B，M，N 为顶点的四边形是菱形．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．答案：（1）6. （2）D（14，8）. （3）存在，点N的坐标为144192(,)2525或（-4，3）.变式：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在双曲线kyx=（x>0）上，BC与x转交于点D.若点A的坐标为(2，4)，求点D的坐标．答案：过点A作EF//x轴交y轴于点E，过点B作BF//y轴交EF于点F（构造“K字模型”），显然有△AEO △BFA ，设B （m ，8m ），则AF=m-2，BF=4-8m， ∴AE BF OE AF =，即m-2=8-16m， ∴m=8，则点B （8，1）， 又BC//OA ，则BC OA k k ==2， ∴BC l ：y=2x-15，与x 轴的交点D （152，0）. 五、双子型 1．全等双子型（1）如图，△ABC 和△CED 均为等边三角形，C 为公共点，那么，在下图中，我们能得到哪些结论呢？BB常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. （2）稍微变一下形，如下图，△ABC 和△CED 均为等腰直角三角形，C 为公共点.B B常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. （3）再稍微变一下形，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你还能找出结论吗？EFEF常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________.（4）我们拓展到一般情况，如下图，△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，C 为公共点，且满足∠BAC=∠DAE.BD常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. 答案：（1）结论：△BCE ≌△ACD （SAS ）；BE=AD ；∠AFB=60°（可补充FC 平分∠BFD ）； （2）结论：△BCE ≌△ACD （SAS ）；BE=AD ；∠AFB=90°（可补充FC 平分∠BFD ）； （3）结论：△BCG ≌△DCE （SAS ）；BE=DG ；∠BHE=90°（可补充HC 平分∠BHE ）； （4）结论：△BAD ≌△CAE （SAS ）；BD=CE ；∠BFC=∠BAC （可补充FA 平分∠BFE ）. 2．相似双子型上面的结论都是全等，既然全等是特殊的相似，那相似肯定也是有的！如图，△ABC 和△CED 均为直角三角形，C 为公共点，且满足∠BAC=∠CDE.BB仿照上面的结论，有：三角形相似：______；相似比为_______；线段关系：_______；角的结论：____________. （若命题人将上面的图形补成矩形，可要慧眼识珠哦！） 答案：结论：△BCE△ACD ；BC AC （或tanA ）；BE BCAD AC；∠AFB=90°归纳 在双子型的公共点除必存在旋转类的全等或相似外，同时极易出现“八字形”.练一练1．已知：如图①，在△AOB 和△COD 中，OA = OB ，OC =OD ，∠AOB=∠COD = 50°． （1）求证：①AC = BD ；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=a ，则AC 与BD 间的数量关系为_________，∠APB 的大小为___________．图①DAQ图②AB答案：（1）略. （2）AC=BD ，∠APB=a.2.(1)只需证△BAM ≌△CAN .(2)仍然成立(还可发现∠MAC =∠CNM ) 【构造双子型】1.6提示:以C 为顶点,CD 为边向右下方作等边△CDE ﹙构造“双子型”﹚,连接AE,有△BCD ≌△ACE﹙SAS ﹚,AE =BD=7.5,在Rt △ADE 中,AD =4.5,AE =7.5,由勾股定理得DE =6,即CD =6.2.13提示:以A 为顶点,AB 为腰向左上方作等腰Rt △ABE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE ,有△ABD ≌△AEC ﹙SAS ﹚在Rt △EBC 中,EB =5,BC =12, 由勾股定理得CE =13,即BD =CE =13.变式1:10提示:以A 为顶点,AB 为腰作等腰△AEB ,且使∠EAB =120°﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△EAC﹙SAS ﹚,在Rt △EBC 中,EB =6,BC =8,由勾股定理得CE =10,即BD =10.ED C B AE D AB CEDBCA变式2:2提示:以P 为顶点,PB 为边长向右下方作等边△PBE ,连接CE ,有△BP A ≌△BEC ﹙SAS ﹚,∠BEC =∠A PB=150°,又∠BEP =∠BPE =60°,在Rt △PEC 中,PE =1,∠EPC=60°,得CP =2.提示:以A 为顶点,AD 为腰作等腰Rt △ADE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△CAE ﹙SAS ﹚在Rt △EDC 中,EDCD =2,由勾股定理得CE故BD4.4≤AC ≤6 提示:以B 为顶点,OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ﹙构造“双子型”﹚,连接CP ,OM,有△BOM ≌△BPC ﹙SAS ﹚,PC =OM =1,则点C 在以P 为圆心,1为半径的圆上,这样就转1C ,2C 两化为“圆外一点到圆上的最值问题”,作射线AP ,交⊙P 于点,A 1C =4,A 2C =6.故4≤AC ≤6.﹙本题亦可以理解为“捆绑旋转”﹚变式1OD ≤3:以O 为顶点,OC 为边向上方作等腰Rt △OEC ︰,则﹙构造“双子型”﹚,连接DE ,OP ,有△OPC ∽△EDC ,且相似比为1DE =则点D 在以E 为圆心,作射线⊙E 于点1D ,2D ,O 1DO 2D=3故OD ≤3﹢变式2:2≤OD ≤4 提示:以OC 为边向上方作等边△OCE ,连接DE,OP.EBAD25.3 提示以O 为顶点,OC 为边向下方作等边△OCE ﹙构造“双子型”﹚,连接EP ,显然有△PCE ≌△DCO ﹙SAS ﹚,故OD =EP ,这样OD 的最值转化到EP 的最值,E 为定点,点P 在⊙O 上,根据“圆内一点到圆上各点最值问题”可以得解,作直线OE 交⊙O 于1P ,2P 两点,则E 1P 为最大值,E 1P =3,E 2P 为最小值, E 2P =1,故OD 的最大值为3,﹙本题还可以问最小值,甚至问OD 的取值范围﹚6.2 提示:以OA 为边向上方等边△OAD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD,显然有△ADB ≌△AOC ﹙SAS ﹚,则OC =BD ,D 为定点,动点B 在y 轴上,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DE ⊥y 轴时﹙即E,B 重合时﹚,DB 最短,此时DB =2,故OC 的最小值为2.7.提示:以OA 为腰向上作等腰Rt △AOD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD ,显然有△AOC ∽△ADB ,∴OC BD =OA AD,则OCD 为定点,动点B 在直线y =2上运动,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DB ⊥直线y =2时,DB 有最小值2.故OC 的最小值为8.﹙2-以AB 为腰向上作等腰Rt △DAB ,如图①所示﹙构造“双子型”﹚,连接DM ,有△MDB ∽△P AB ,∴2DM DB APAB,则DM则M 在以D为圆心, ,∴maxAM =3minAM 但求点P 的坐标,会比较烦琐,我们看下面的处理方法.以AB 为底向下作等腰Rt △ABN ,连接NP ,如图②所示,有△MAB ∽△PNB ,∴AM .N 为定点,P 在以A 为圆心,2为半径的圆上,当N,A,P 三点共线时,NP 最大,在Rt △ADP 中,AP =2,∠P AD =45°,∴AD=DP 故点P 坐标为﹙2-DM'O AMPB DNBPMAO六、十字架型【正方形内十字架型】1.△BAF≌△ADE﹙SAS﹚;AE=BF2.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、AD、BC边上的点. 若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？解：仍然成立提示：过点G作GN⊥BC于点N，过点F作FM⊥AB于点M，再证△GNH≌△FME即可.思路正方形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用全等推导出十字架“相等”.3.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，求折痕FG的长.解：连结AE. FG为折痕，AE为对称点的连线，则AE⊥FG. 又四边形ABCD为正方形，根据“正方形内十字架型”可得FG=AE=52.【矩形内十字架型】1.如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD边上有一点E. 若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量关系？解：可证△CDE ∽△BCD ，∴nmBC CD BD CE ==，即CE ，BD 之比等于矩形邻边之比.2. 如图所示为一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD ，BC ，AB ，CD 边上的点，当EF ⊥GH ，上诉结论是否仍然成立？解：仍然成立，BCCDGH EF =.思路 矩形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用相似推导出十字架之比和邻边“成比例”. 3. （秒算）如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD 对折，使点A 和点C 重合，求折痕EF 的长.解：连结AC ，BC CD AC EF =，∴8610=EF ，故EF=215.探究证明某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两相邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图，在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别角AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H. 求证：ABADGH EF =.结论应用如图，在满足上题的条件下，又AM ⊥BN ，点M 、N 分别在BC ，CD 边上，若1511=GH EF ，则=AMBN.答案：1511联系拓展如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在BC ，AB 边上，求AMDN 的值.解：可证△ADC≌△ABC ，∴∠ADC=∠ABC=90°. 过点D 作EF ∥AB ，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，延长BC 交EF 于点E ，如图（构造“K 字模型”），又有△DEC ∽△AFD ，且相似比为1：2.设CE=x ，则DF=x 2，∴DE=x 210-，∴AF=x 420-=BE=x +5，∴3=x ，则BE=8. 根据“矩形内十字架型”可得54==AB BE AM DN .【直角三角形内十字架型】直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形内的结论可沿用至直角三角形内. 1.如图，在Rt 三角形ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，D 是BC 边上的中点。
建立初中数学几何模型的方法
建立初中数学几何模型的方法数学几何是初中数学中的重要内容之一，它涉及到图形的性质、变换和计算等方面。
在学习数学几何时，建立几何模型是非常重要的一步，它可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
本文将介绍一些建立初中数学几何模型的方法。
一、实物模型实物模型是指通过实际物体来建立几何模型。
例如，我们可以使用纸片、木块或者其他材料来制作各种几何图形，如正方形、三角形、圆等。
通过观察和操作实物模型，我们可以更直观地理解几何图形的性质和变换规律。
以正方形为例，我们可以使用纸片剪出一个正方形，并在其上标出边长和角度等信息。
通过折叠、旋转等操作，我们可以观察到正方形的对称性、角度关系等特点。
这样的实物模型可以帮助我们更好地理解正方形的性质，并在解题过程中提供直观的参考。
二、几何软件模型随着科技的进步，几何软件的出现为我们建立几何模型提供了更加便捷的方式。
几何软件可以在计算机上绘制各种几何图形，并进行变换、计算等操作。
通过使用几何软件，我们可以快速绘制几何图形，并观察其性质和变换规律。
例如，我们可以使用几何软件绘制一个平行四边形，并通过调整参数来改变其大小和形状。
通过观察和实验，我们可以发现平行四边形的对边平行、对角线相等等特点。
几何软件的使用不仅可以帮助我们更好地理解几何图形，还可以进行一些几何计算，如计算面积、周长等。
三、图形分解模型图形分解是一种常用的建立几何模型的方法。
通过将一个复杂的几何图形分解为若干简单的几何图形，我们可以更好地理解其结构和性质。
图形分解模型可以帮助我们将复杂的几何问题转化为简单的子问题，从而更容易解决。
以三角形为例，我们可以将其分解为三条边和三个内角。
通过观察和计算，我们可以发现三角形的内角和为180度，以及三角形边长和角度之间的关系。
这样的图形分解模型可以帮助我们更好地理解三角形的性质，并在解题过程中提供指导。
四、实际问题模型几何模型不仅可以用于理论推导和计算，还可以应用于实际问题的建模和解决。
如何建立数学几何模型的步骤与技巧
如何建立数学几何模型的步骤与技巧数学几何模型是数学领域中一种重要的工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
建立数学几何模型需要一定的步骤和技巧，下面将介绍一些常用的方法和注意事项。
首先，建立数学几何模型的第一步是明确问题。
在开始建模之前，我们需要清楚地了解问题的背景和要解决的具体目标。
这包括确定问题的约束条件、变量和目标函数等。
只有明确问题，我们才能有针对性地进行建模。
其次，选择适当的数学工具和方法。
数学几何模型的建立需要使用一些数学工具和方法，如代数、几何、概率统计等。
根据具体问题的性质和要求，选择适当的数学工具和方法是非常重要的。
例如，对于涉及到空间关系的问题，我们可以使用向量、矩阵等几何工具进行建模；对于涉及到随机性的问题，我们可以使用概率统计的方法进行建模。
接下来，进行问题的抽象和建模。
抽象是指将实际问题转化为数学问题的过程，建模是指根据问题的特点和要求，选择适当的数学模型进行描述。
在进行抽象和建模时，我们需要将问题中的关键要素进行提取和归纳，然后根据这些要素选择合适的数学模型进行描述。
例如，对于一个涉及到最优化问题的数学几何模型，我们可以使用线性规划、非线性规划等方法进行建模。
在进行抽象和建模的过程中，需要注意问题的简化和假设。
由于实际问题往往非常复杂，我们在建模时需要对问题进行适当的简化和假设。
简化是指对问题进行适当的约束和简化，使得问题更易于处理和求解；假设是指对问题中一些不重要或不易处理的因素进行假设，以便更好地进行建模和求解。
但是，简化和假设也需要有一定的合理性和准确性，否则会导致建模结果与实际情况不符。
最后，进行模型的求解和验证。
在建立了数学几何模型之后，我们需要对模型进行求解和验证。
求解是指根据模型的数学表达式，通过数学方法求得模型的解析解或近似解；验证是指将模型的结果与实际情况进行比较，以验证模型的准确性和可行性。
求解和验证是建立数学几何模型的最后一步，也是最关键的一步。
第5章几何建模与特征建模
二．数据结构（边界表示法数据结构）
实体建模采用表结构存储数据，其中棱线表和面表与曲面 造型有很大不同，从表中可以看出，棱线表记录的内容更加丰 富，可以从面表找到构成面的棱线，从棱线表中可以找到两个 构成的棱线的面。与曲面建模相比，实体模型不仅记录了全部 几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的信息。
二．数据结构
三维线框模型采用表结构，在计算机内部存储物体的顶 点及棱线信息，请实体的几何信息和拓扑信息层次清楚的记 录在以边表、顶点表中。如下图所示的物体在计算机内部是 用18条边，12个顶点来表示的。
三．特点
1、优点 这种描述方法信息量少，计算速度快，对硬件要求低。数 据结构简单，所占的存储空间少，数据处理容易，绘图显示速 度快。 2、缺点 1）存在二异性，即使用一种数据表示的一种图形，有时也 可能看成另外一种图形。 2）由于没有面的信息，不能解决两个平面的交线问题。 3）由于缺少面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面 4）由于没有面和体的信息，不能对立体图进行着色和特征 处理，不能进行物性计算。 5）构造的物体表面是无效的，没有方向性，不能进行数控 编程。
3)三维实体扫描体素： 实体扫描法是用 一个三维实体作为扫 描体，让它作为基体 在空间运动，运动可 以是沿某个曲线移 动，也可以是绕某个 轴的转动，或绕某一 个点的摆动。运动的 方式不同产生的结果 也就不同。
四．三维实体建模的计算机内部表示
1．边界表示法（B-Rep Boundary Representation
3）集合的交、并、差运算
4) 特点 （1）数据结构非常简单，每个基本体素不必再分，而是将 体素直接存储在数据结构中。 （2）对于物体结构的修改非常方便，只需要修改拼合的过 程或编辑基本体素。 （3）能够记录物体结构生成的过程。也便于修改 （4）记录的信息不是很详细，无法存储物体最终的详细信 息，如边界、顶点的信息等。 5）应用： 可以方便地实现对实体的局部修改 ，如下图
五年级奥数 五个几何模型
直线形面积计算的五个模型知识点精讲一、 等积变换模型（1） 等底等高的两个三角形面积相等；（2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比）AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ∆∆=1h 为公共的高，所以 12::BD DC s s =（3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。
底和高均不同，所以()21::)(ABD CDE BD DC h s s h ∆∆=⨯⨯比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）二、 鸟头模型（共角模型）两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。
BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ∆∆=⨯⨯所以E :E:DA BAC DA A BA AC s s ∆∆∠=⨯⨯A 为公共角，所以推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。
三、 蝴蝶定理模型1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1243::s s s s =或者1342s s s s ⨯=⨯14231243+AO:OC s s s s s s s s ===：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。
2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）2213:a b s s =：221324::a b s s s s=：：：ab ：ab整个梯形对应的面积份数为： 2(a+b)四、 相似模型相似三角形性质：（金字塔模型） （沙漏模型）下面的比例关系适用如上两种模型：1、AD AE DE AF AB AC BC AG ===2、 22::ADE ABC s s AF AG ∆∆=所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：（1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。
建立数学几何模型的步骤与技巧
建立数学几何模型的步骤与技巧数学几何模型是一种用数学语言和符号来描述和解释现实世界中几何问题的工具。
它可以帮助我们更好地理解和分析几何问题，并为解决实际问题提供指导。
然而，建立数学几何模型并不是一件容易的事情，需要经过一系列的步骤和技巧。
本文将介绍建立数学几何模型的步骤与技巧，希望能对读者有所帮助。
第一步是明确问题。
在建立数学几何模型之前，我们首先需要明确问题的具体内容和要求。
例如，我们要解决一个关于三角形的问题，我们需要明确问题是关于三角形的哪个性质或者是要求我们求解三角形的哪个参数。
只有明确了问题，我们才能有针对性地建立数学几何模型。
第二步是选择适当的几何工具。
在建立数学几何模型时，我们需要选择适当的几何工具来描述和解释问题。
例如，如果问题涉及到三角形的性质，我们可以选择使用三角函数和三角恒等式来建立模型；如果问题涉及到平面几何，我们可以选择使用向量和坐标系来建立模型。
选择适当的几何工具是建立数学几何模型的关键一步。
第三步是建立数学模型。
在选择了适当的几何工具之后，我们需要根据问题的要求和几何工具的特点来建立数学模型。
建立数学模型的关键是要建立准确和简洁的数学关系式，以描述和解释问题。
这需要我们对几何工具的性质和数学方法有深入的理解和掌握。
在建立数学模型时，我们可以利用几何图形、坐标系、向量等来表示和计算问题的各个参数和关系。
第四步是验证和优化模型。
建立数学几何模型之后，我们需要对模型进行验证和优化。
验证模型是指通过实际计算和对比结果来检验模型的准确性和可靠性。
如果模型的结果与实际情况相符，那么我们可以认为模型是有效的；如果模型的结果与实际情况不符，那么我们需要对模型进行优化。
优化模型是指通过调整和改进模型的参数和关系，使模型更加符合实际情况。
验证和优化模型是建立数学几何模型的重要环节，可以提高模型的准确性和可靠性。
最后一步是应用模型。
建立数学几何模型的最终目的是为了解决实际问题。
在应用模型时，我们需要根据具体的问题和要求，利用数学模型来计算和分析问题的各个参数和关系，并得出结论和解决方案。
举例说明数学几何模型的建立过程
举例说明数学几何模型的建立过程数学几何模型的建立过程数学几何模型是数学在几何领域中的应用，它通过数学方法来描述和解决与空间形状、位置和变换相关的问题。
在实际应用中，数学几何模型可以帮助我们理解和分析各种现象，从而指导我们的决策和行动。
本文将通过几个实际的例子，来说明数学几何模型的建立过程。
例子一：城市规划中的道路交叉口模型在城市规划中，设计和优化道路交叉口的布局是一个重要的问题。
为了解决这个问题，我们可以建立一个数学几何模型来描述道路交叉口的形状和位置。
首先，我们需要确定交叉口的地理位置和周围道路的走向。
然后，我们可以使用几何学中的线段、角度和距离等概念来描述道路的几何特征。
接下来，我们可以使用数学公式和方程来表示不同道路之间的关系，如交叉角的大小、车道的宽度等。
最后，我们可以通过数学模型来计算和优化交叉口的流量、效率和安全性。
例子二：物体运动中的轨迹模型在物理学中，研究物体的运动轨迹是一个重要的课题。
为了描述和预测物体的轨迹，我们可以建立一个数学几何模型。
首先，我们需要观察和测量物体在不同时间点的位置。
然后，我们可以使用几何学中的点、线和曲线等概念来描述物体的运动轨迹。
接下来，我们可以使用数学公式和方程来表示物体的位置、速度和加速度等物理量。
最后，我们可以通过数学模型来计算和预测物体在未来的位置和速度。
例子三：建筑设计中的结构模型在建筑设计中，设计和分析建筑结构的稳定性和强度是一个重要的任务。
为了解决这个问题，我们可以建立一个数学几何模型来描述建筑结构的形状和力学特性。
首先，我们需要确定建筑结构的几何形状和材料属性。
然后，我们可以使用几何学中的线段、面和体等概念来描述建筑结构的几何特征。
接下来，我们可以使用数学公式和方程来表示建筑结构的力学行为，如受力分布、应力和变形等。
最后，我们可以通过数学模型来计算和分析建筑结构的稳定性和强度。
总结起来，数学几何模型的建立过程包括观察和测量现象、描述和表示几何特征、建立数学公式和方程、计算和分析问题。
建立数学几何模型的方法与应用
建立数学几何模型的方法与应用数学几何模型是描述和解决与空间、形状和位置相关的问题的数学工具。
它在各个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机图形学等。
本文将探讨建立数学几何模型的方法和其在实际应用中的价值。
一、建立数学几何模型的方法1. 几何推理法几何推理法是建立数学几何模型的基本方法之一。
通过观察和推理，我们可以发现物体之间的关系和规律，并将其转化为几何模型。
例如，在建筑设计中，我们可以通过观察建筑物的结构和形状，推导出相应的几何模型，从而进行设计和计算。
2. 数学建模法数学建模法是建立数学几何模型的一种常用方法。
它将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法进行求解。
例如，在城市规划中，我们可以将城市的道路、建筑物等要素抽象为几何图形，然后利用数学模型分析交通流量、人口分布等问题，为城市规划提供科学依据。
3. 计算机辅助建模法随着计算机技术的发展，计算机辅助建模法在建立数学几何模型中扮演越来越重要的角色。
通过计算机软件，我们可以快速地建立复杂的几何模型，并进行仿真和分析。
例如，在汽车工程中，我们可以利用计算机软件对汽车的空气动力学进行模拟，从而改善汽车的设计和性能。
二、数学几何模型的应用1. 物理学中的应用数学几何模型在物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以利用几何模型描述物体的运动和受力情况；在光学中，我们可以利用几何模型分析光的传播和反射规律。
这些模型为物理学研究提供了理论基础和计算工具。
2. 工程学中的应用在工程学中，数学几何模型被广泛应用于设计和分析。
例如，在建筑工程中，我们可以利用几何模型计算建筑物的结构强度和稳定性；在电子工程中，我们可以利用几何模型设计电路板和芯片布局。
这些模型能够帮助工程师更好地理解和解决实际问题。
3. 计算机图形学中的应用计算机图形学是利用计算机生成和处理图像的学科。
数学几何模型在计算机图形学中起着重要的作用。
例如，在三维动画制作中，我们可以利用几何模型描述物体的形状和动作；在虚拟现实中，我们可以利用几何模型模拟真实世界的场景和物体。
几何模型知识点总结
几何模型知识点总结几何模型是指依据几何学原理建立的一种数学模型，用于描述和解决在不同领域中出现的几何问题。
它主要包括点、线、面、体等基本几何元素及相关定理和公式。
几何模型广泛应用于数学、物理、工程、计算机图形学等领域，对理论研究和实际应用都具有重要意义。
在几何模型中，我们需要掌握以下几个重要知识点：1. 基本几何元素几何模型的基本元素包括点、线、面和体。
点是几何中的无限小的位置，用坐标(x, y, z)来表示。
线是由不同点之间的直线段连接而成的，可以用两点之间的距离和方向来描述。
面是由无限多条直线围成的平面区域，可用平面方程来表示。
体是由无限多条面围成的立体区域，可以用体积和表面积来描述。
2. 几何图形的性质在几何模型中，我们需要掌握各种几何图形的性质，比如：直线、圆、三角形、四边形、多边形等。
这些图形有各自特定的性质，比如：直线的长度无限长，圆的弧长和面积可用圆周率来表示，三角形的内角和等于180度等。
3. 几何公理和定理几何公理是几何学的基础，它包括点、线、面的定义和运算规则等。
几何定理是基于公理推导出的一些几何学规律，比如：勾股定理、相似三角形的性质、平行线的性质等。
掌握这些定理对于解决几何问题具有重要意义。
4. 几何运算在几何模型中，我们需要掌握各种几何运算，包括点、线、面的坐标变换、旋转、平移等操作。
这些运算可以帮助我们对几何图形进行分析和处理，在计算机图形学、工程制图等领域有广泛的应用。
5. 空间几何空间几何是以三维空间为研究对象的几何学分支，它包括三维坐标系、空间直线、空间平面等概念，需要掌握其相关定理和运算规则。
空间几何在机械制图、空间建模等领域具有重要的应用价值。
几何模型是数学中一个重要的分支，它不仅有着丰富的理论体系，还具有广泛的应用价值。
通过深入学习几何模型的基本知识点，可以帮助我们更好地理解和应用几何学，为各种问题的解决提供有力的工具和方法。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。
数学几何模型的构建步骤与技巧详解
数学几何模型的构建步骤与技巧详解数学几何模型是解决实际问题的重要工具，它可以帮助我们理解和描述各种现象。
在构建数学几何模型时，我们需要经过一系列步骤和运用一些技巧。
本文将详细介绍数学几何模型的构建步骤与技巧。
第一步：问题分析在构建数学几何模型之前，我们首先需要对问题进行全面的分析。
这包括确定问题的背景、目标和约束条件等。
通过仔细分析问题，我们可以更好地理解问题的本质，并为后续的模型构建做好准备。
第二步：建立数学模型在问题分析的基础上，我们需要建立数学模型来描述问题。
数学模型是对实际问题的抽象和简化，通过数学符号和方程来表示。
在几何模型中，我们通常使用几何图形来表示问题的空间特征。
例如，对于一个城市的道路规划问题，我们可以使用线段、圆等几何图形来表示道路和交叉口等要素。
第三步：确定变量和参数建立数学模型后，我们需要确定模型中的变量和参数。
变量是模型中的未知量，可以通过实际观测或实验来确定。
参数是模型中的已知量，可以通过文献调研或专家咨询来确定。
确定变量和参数是模型求解的基础，它们的选择和确定将直接影响到模型的准确性和可行性。
第四步：建立方程和约束条件在确定了变量和参数之后，我们需要建立方程和约束条件来描述问题。
方程是模型中的数学等式或不等式，它们可以用来描述问题的关系和约束条件。
约束条件是对问题的限制和要求，它们可以限制变量的取值范围或满足特定的条件。
通过建立方程和约束条件，我们可以将问题转化为一个数学优化问题，从而求解模型。
第五步：模型求解与分析在建立了数学模型、确定了变量和参数、建立了方程和约束条件之后，我们可以进行模型求解和分析。
模型求解是通过数学方法和计算机技术来求解模型的最优解或近似解。
在进行模型求解时，我们需要选择合适的求解方法和算法，并进行计算和优化。
模型分析是对模型结果进行评估和解释，通过分析模型结果，我们可以得出结论和提出建议。
在构建数学几何模型时，还有一些技巧和注意事项需要注意。
建立数学几何模型的实用方法
建立数学几何模型的实用方法数学几何模型是一种用数学语言和符号来描述现实世界中的几何问题的工具。
它在科学研究、工程设计、图像处理等领域中起着重要的作用。
本文将介绍建立数学几何模型的实用方法，帮助读者更好地理解和应用数学几何模型。
一、问题建模在建立数学几何模型之前，首先要明确问题的具体要求和约束条件。
通过分析问题的背景和目标，可以确定需要研究的几何对象、属性和关系。
例如，如果我们要研究一个三维物体的形状，可以选择使用点、线、面等几何元素来描述它。
在问题建模阶段，需要将问题抽象化，并确定适用的几何理论和方法。
二、数学工具建立数学几何模型需要运用一系列的数学工具。
其中，代数、几何、向量和微积分等学科都有其独特的作用。
代数可以用来表示几何对象的坐标、方程和关系，几何可以用来描述几何对象的形状和结构，向量可以用来表示几何对象的方向和长度，微积分可以用来描述几何对象的变化和运动。
在建立数学几何模型时，需要根据具体情况选择合适的数学工具，并灵活运用它们。
三、建模过程建立数学几何模型的过程可以分为几个步骤。
首先，需要选择适当的坐标系，并确定几何对象的坐标表示。
其次，根据几何对象的形状和结构，建立相应的几何关系和方程。
例如，如果我们要研究一个平面上的三角形，可以通过三个顶点的坐标来表示它，并利用三角形的边长、角度和面积等属性建立几何关系和方程。
最后，通过数学方法求解几何模型，得到问题的解答。
建模过程中，需要注意几何对象的特点和属性，并运用适当的数学方法来求解问题。
四、实例分析为了更好地理解建立数学几何模型的实用方法，我们以一个实例来说明。
假设我们要设计一个房间的照明系统，要求使得房间内的光线均匀分布。
我们可以将房间视为一个三维空间，并将光源、墙壁和家具等几何对象进行建模。
通过分析光线的传播规律和墙壁的反射特性，可以建立光线与墙壁之间的几何关系和方程。
然后，通过求解这些几何方程，可以得到光线的路径和强度分布。
最后，根据求解结果，可以调整光源的位置和强度，以达到均匀照明的目标。
建立数学几何模型的基本步骤
建立数学几何模型的基本步骤数学几何模型是一种用数学语言和符号来描述和分析几何问题的方法。
它在工程、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。
建立数学几何模型的基本步骤包括问题分析、建立假设、选择适当的数学工具、求解和验证等几个关键环节。
首先，问题分析是建立数学几何模型的第一步。
在这一步中，我们需要明确问题的具体要求和限制条件。
例如，如果我们要研究一个物体的形状和大小，我们需要确定物体的几何属性和相关参数。
问题分析的关键是要准确理解问题的背景和目标，以便在后续步骤中选择合适的数学工具。
接下来，建立假设是建立数学几何模型的关键环节之一。
在这一步中，我们需要假设问题的一些前提条件和约束条件。
这些假设可以是基于实际情况的经验性假设，也可以是基于理论推导的假设。
通过合理的假设，我们可以简化问题的复杂性，使得数学模型更容易建立和求解。
选择适当的数学工具是建立数学几何模型的核心步骤之一。
在这一步中，我们需要根据问题的特点和要求选择适合的数学工具和方法。
例如，如果我们要研究一个物体的形状和大小，我们可以使用几何学中的平面几何、立体几何等方法。
如果我们要研究一个物体的运动轨迹，我们可以使用向量、微分方程等数学工具。
选择适当的数学工具可以帮助我们更好地描述和分析问题。
求解是建立数学几何模型的重要环节之一。
在这一步中，我们需要根据所选择的数学工具和方法，对建立的模型进行求解。
求解的过程中，我们需要运用数学知识和技巧，进行推导和计算。
通过求解，我们可以得到问题的具体解答和结果。
在这一步中，我们需要注意求解过程中的各种假设和条件，以确保求解结果的准确性和可靠性。
最后，验证是建立数学几何模型的最后一步。
在这一步中，我们需要对建立的模型和求解的结果进行验证。
验证的目的是检验模型的合理性和准确性。
我们可以通过实验数据的对比、数值计算的对比等方法来验证模型。
如果模型和结果与实际情况相符，说明模型建立和求解的过程是正确的。
如果模型和结果与实际情况不符，我们需要重新检查和修正模型，直到得到满意的结果。
建立数学几何模型的技巧与实例
建立数学几何模型的技巧与实例数学几何模型是一种抽象的表示方式，用于描述和解决与形状、空间和位置相关的问题。
建立数学几何模型需要一定的技巧和方法，本文将介绍一些常用的技巧，并通过实例来说明。
一、确定问题在建立数学几何模型之前，首先需要明确问题的具体要求和限制条件。
这可以帮助我们确定模型的目标和范围，从而更好地进行建模。
例如，假设我们需要设计一个能容纳最多水的圆柱形容器。
问题的要求是找到一个圆柱的尺寸，使得容器的体积最大化。
限制条件是容器的高度不能超过一定的值，圆柱的底面积也有限制。
二、选择适当的几何图形在建立数学几何模型时，选择适当的几何图形是非常重要的。
不同的问题可能需要不同的几何图形来进行描述和求解。
继续上面的例子，我们可以选择圆柱形作为几何图形来建立模型。
圆柱的底面是一个圆，可以用半径r来表示；圆柱的高度可以用h来表示。
通过选择合适的几何图形，我们可以更好地描述问题，并找到解决问题的方法。
三、建立数学模型在选择了适当的几何图形之后，我们需要建立数学模型来描述问题。
数学模型是通过数学语言和符号来表示问题的关系和约束条件。
继续上面的例子，我们可以建立一个数学模型来描述圆柱容器的体积。
根据几何知识，圆柱的体积可以用公式V = πr^2h来表示，其中π是一个常数。
通过这个数学模型，我们可以计算出不同尺寸的圆柱容器的体积。
四、求解数学模型建立了数学模型之后，我们可以通过求解模型来得到问题的解。
求解数学模型可以使用不同的方法，如代数方法、几何方法、数值方法等。
继续上面的例子，我们可以使用微积分的方法来求解圆柱容器的最大体积。
通过对体积函数进行求导，并找到导数为零的点，我们可以得到体积最大化时的圆柱尺寸。
五、验证和优化模型建立数学几何模型之后，我们需要对模型进行验证和优化。
验证模型的准确性可以通过与实际问题的对比来进行。
如果模型的预测结果与实际情况相符，那么我们可以认为模型是有效的。
然而，在实际应用中，模型往往会受到各种因素的影响，可能存在误差和不确定性。
建立数学几何模型的原理与应用
建立数学几何模型的原理与应用数学几何模型是一种重要的工具，在各个领域中被广泛应用。
它通过数学的方法和几何的概念，将现实世界的问题转化为可计算的形式，并通过模型的分析和求解，得出有关问题的结论。
本文将从原理和应用两个方面，探讨建立数学几何模型的方法和意义。
一、建立数学几何模型的原理建立数学几何模型的原理基于数学和几何的基本概念与原理。
在建模过程中，首先需要对问题进行抽象和理解，将问题中的实体、关系和属性转化为数学符号和几何图形。
其次，需要根据问题的特点和要求，选择合适的数学工具和几何方法，以构建模型。
最后，通过模型的求解和分析，得出问题的解答和结论。
建立数学几何模型的原理可以通过一个实例来说明。
假设有一块土地，其形状为不规则的多边形，我们需要计算其面积。
首先，可以将土地的形状抽象为一个多边形，将多边形的各个边和角度表示为数学符号。
然后，可以利用几何的原理，将多边形分割为若干个三角形，并计算每个三角形的面积。
最后，将所有三角形的面积相加，即可得到土地的总面积。
二、建立数学几何模型的应用建立数学几何模型的应用广泛存在于各个领域。
以下将从工程、物理和生物三个方面，介绍数学几何模型的应用。
1. 工程领域：在建筑和结构设计中，数学几何模型被用于计算物体的体积、面积和形状等。
例如，在设计一个建筑物的屋顶时，可以利用数学几何模型计算屋顶的倾斜角度和面积，以确保其结构的稳定性和安全性。
2. 物理领域：在物理实验和研究中，数学几何模型被用于描述和解释现象和规律。
例如，在研究光的传播和折射时，可以利用数学几何模型描述光线的路径和角度变化，以预测和解释光的行为。
3. 生物领域：在生物学研究和医学诊断中，数学几何模型被用于分析和建模生物体的形态和结构。
例如，在研究细胞的形状和结构时，可以利用数学几何模型描述细胞的几何形状和表面积，以深入了解细胞的功能和特性。
总结起来，建立数学几何模型具有重要的原理和应用价值。
通过数学的方法和几何的概念，可以将现实世界的问题转化为可计算的形式，并通过模型的分析和求解，得出有关问题的结论。
初中数学教学中几何模型的建立、应用与强化
初中数学教学中几何模型的建立、应用与强化作者：宋阳蒙裕劲来源：《广西教育·A版》2024年第05期摘要：初中数学“图形与几何”领域学习内容，重点培养学生从条件到结论的思维方式和推理方法，使学生经由严谨的推理过程形成综合运用“图形与几何”领域知识与方法解决初中数学问题和相关生活实际问题的能力。
在教学实践中，教师可以从课前准备阶段的学情分析与教学思考入手，明确课堂教学目标和基本教学方法；课堂上通过带领学生分析前期所学知识提炼“图形与几何”领域的研究路径，基于几何模型的建立、应用与强化稳步推进教学，让学生经历猜想、验证、独立思考、小组合作学习等多样化的学习过程，从中培养模型观念，发展数学建模思维。
关键词：初中数学；几何模型；三角形；中位线定理；平行四边形；逆命题中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）13-0072-05初中数学“图形与几何”领域学习内容，重点培养学生从条件到结论的思维方式和推理方法，使学生经由严谨的推理过程形成综合运用“图形与几何”领域知识与方法解决初中数学问题和相关生活实际问题的能力。
而这对于刚刚接触逻辑推理的初中生而言，不仅思维难度较大，而且综合运用所学知识与方法解决问题的能力要求也相对较高。
基于学生的认知规律和多年的教学经验，我们认为，运用几何模型帮助学生总结已有的逻辑推理经验，引导学生学会利用已有的经验构建几何模型，可以有效强化学生的模型意识、培养学生的模型观念，促进其形成几何直观和空间观念等数学核心素养［1］。
初中数学几何模型是帮助学生理解和解决“图形与几何”领域相关问题的有效工具。
借助模型，学生可以更加直观地掌握图形的形状、大小、位置等概念，提升对图形的理解以及对相关问题的解决能力。
初中数学“图形与几何”领域所涉及的定义、性质、判定、定理等，多数都有对应的几何模型。
可以说，初中数学“图形与几何”领域的教学实际上就是让学生认识几何模型、探索几何模型性质、拓展几何模型相关联的衍生模型、在数学问题和实际问题中运用几何模型解决问题的过程。
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第五章几何模型的建立
第一节几何模型的定义和形式
1、几何模型的定义
反映分析对象几何特征的求解域
几何模型是网格划分的基础
几何建模的时候必须对实际对象进行简化
几何模型并不要求与实际结构完全相同
2、几何模型的形式
1）线框模型
杆件结构
轴对称薄壳
2）表面模型
平面应力应变问题
轴对称问题
薄板弯曲及薄壳问题3）实体模型
空间问题
第二节形状处理方法
本节主要介绍几何建模时根据形状和边界条件等特点对结构进行的简化方法
1、降维处理
2、细节简化
1）细节处的应力大小
2）计算内容
3、形式变换（做等效处理）
4、对称性的利用
1）对称的基本形式
（1）反射对称
（2）周期对称
2）对称性利用的注意事项
（1）对称面上的载荷取1/2
（2）对称面上存在板和梁则节点必须在对称面上，且相应的刚度应取整个单元的一半，而不是1/2单元的全部
（3）用对称面剖分结构的时候，应尽量使剖封面不在结构的最大应力位置
第三节几何建模与模型处理方法1、实体模型建立方法
1）体素建模仿法
输入简单三维形体
立方体圆柱体球体锥体锥台
2）扫描变换法
（1）拉伸变换
（2）旋转变换
3）构造实体法
（1）并运算（2）交运算（3）差运算（4）图案运算（5）平面切割运算（6）倒圆运算（）倒角运算
（7）倒角运算
4）断面拟合法
（1）定义断面
（2）各断面按一定顺序排列5）由曲面变换成实体（1）拉伸变换
（2）投影变换
（3）偏置变换
6）变换生成实体（1）整体比例变换（2）表面比例变换（3）弯曲变换
2、曲面模型建立方法1）点阵拟合
2）曲线拟合
3）曲线扫描变换
）由实体生成曲面
4）由实体生成曲面
（1）删除部分曲面
（2）提取中面3、几何模型的处理
产品开发的环节：设计—分析—测试—制造
几何模型处理方法
1）曲线剪断2）曲面分裂
3）实体分裂4）提取扫描面
5）提取中面6）特征处理
几何模型的表示：
1）边界表示法（B-rep）
利用结构边界为基础对结构几何进行定义2）构造实体几何法（CSG）
利用模型的构造过程表示模型
主要处理方法：
（1）修改特征参数
（2）替换特征
（3）删除特征
（4）压缩特征。