吉林大学2013-2014BII试卷

吉林大学2013~2014学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷
2014年6月28日
一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）
1．二元函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,
),(22y x y x y x xy
y x f 在)0,0(处（ ）．
（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在；
（C ）不连续，偏导数存在；
（D ）不连续，偏导数不存在．
2．下列无穷级数绝对收敛的是（ ）． （A ）n
n ∞
=． （B ）1(1)ln(1)n
n n ∞
=-+∑．
（C ）n ∞
=．
（D ）1
(2)!
n n
n n n ∞
=-∑． 3． 如果()1,0f -是函数()2
,e ()x
f x y ax b y -=+-的极大值，则常数,a b 应满足的
条件是( )．
（A ）0,2a b a >=； （B ）0,2a b a ≥=； （C ）0,3a b a >=； （D ）0,3a b a ≥=. 4. 设函数)(u f 是连续函数，则
dy y x f dx x x ⎰
⎰-+2
20
222
)(等于 ( )．
（A ）
dr r f d ⎰
⎰θ
π
θcos 20
2
20
)(；
（B ）
dr r rf d ⎰
⎰θ
πθcos 20
22
)(；
（C ）dr r f d ⎰
⎰θ
π
θcos 20
2
0)(；
（D ）dr r rf d ⎰⎰θ
π
θcos 2020
)(．
5．设有空间区域2
2
2
:1,Ωx y z ++≤则三重积分e
d v z
Ω
=⎰⎰⎰( ) ．
（A ）
π2
； （B ）π； （C ）
3π
2
； （D ）2π． 6．设()y f x =是方程sin e x y y '''+=的解，并且0()0f x '=，则()f x ( )． （A ）在点0x 的某邻域内单调增加； （B ）在点0x 的某邻域内单调减少； （C ）在点0x 处取极小值 （D ）在点0x 处取极大值．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）
1．函数2222u x y z xy yz =
++-+
在点(1,2,3)--处的方向导数的最大值等于 ． 2．由方程xyz +=(),z z x y =在点()1,0,1-处的全微
分d z = .
3．设L 是圆周221x y +=，则曲线积分=+⎰
ds y x L
22 ．
4．设∑是球面,2222a z y x =++，则
⎰⎰∑
=dS x 2
． 5．幂级数∑∞
=+1
2)1(n n
n
n x 的收敛域为 ． 6．设()f x 是周期为2π的周期函数，它在(π,π]-上的表达式为
()0,π0
,,0π
x f x x x -<≤⎧=⎨<≤
则()f x 的Fourier 级数在π3=x 处收敛于 ．
三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分）
1．求空间曲线22222
245
2x y z x y z
⎧++=⎨+=⎩在点()02,1,6P -处的切线方程和法平面方程．
2．设函数),(y x x y f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
x z ∂∂∂∂∂2,．
3．将函数()12arctan 12x
f x x -=+展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21
n n n ∞
=-+∑的和．
4．求函数x xy y x f -=),(在半圆域{}
0,1),(2
2≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小
值.
5．求幂级数∑∞
=-1
)1(n n
x
n n 的收敛域及和函数.
6. 计算2()d (sin )d L x y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧．
7. 计算曲面积分
dxdy z x dzdx y z dydz x y
)()()(323232
-+-+-⎰⎰∑
，
其中∑为半球面221y x z --=的上侧.
8. 设()f x 为连续函数，且0
()sin ()()d x
f x x x t f t t =--⎰
，求()f x ．。