6-2牛莱公式及简单定积分计算
牛顿二次项定理公式
牛顿二次项定理公式牛顿二项式定理公式，这可是数学里一个相当厉害的工具！咱们先来说说什么是牛顿二项式定理公式。
简单来讲，它就是描述了一个二项式（就是那种像(a + b)^n 这样的式子）展开后各项系数的规律。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛有点沉闷，因为大家都觉得这个定理看起来挺复杂的。
我就想着得想个办法让他们打起精神来。
于是我举了一个特别生活化的例子，我说：“同学们，想象一下，你们去买水果，苹果一个卖 a 元，香蕉一个卖 b 元，现在老板说买 n 个水果有优惠，那这个总价怎么算？”这一下子，大家的眼睛都亮了起来，开始七嘴八舌地讨论。
这牛顿二项式定理公式啊，它的表达式是 (a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n - 1)b^1 + C(n, 2)a^(n - 2)b^2 +... + C(n, n)a^0 b^n 。
这里面的 C(n, k) 叫做二项式系数，计算方法是 n! / (k!(n - k)!) 。
咱们来实际算算看，比如说 (x + 1)^2 ，按照牛顿二项式定理公式展开，那就是 C(2, 0)x^2 1^0 + C(2, 1)x^1 1^1 + C(2, 2)x^0 1^2 ，算出来就是 x^2 + 2x + 1 。
是不是还挺神奇的？在实际应用中，牛顿二项式定理公式用处可大了。
比如在概率统计里，计算某些随机事件的概率；在物理学中，分析一些波动现象；在计算机科学里，优化算法等等。
再回到学习这个定理的过程中，我发现有些同学一开始总是搞混二项式系数的计算，不是分子分母弄错了，就是阶乘算错了。
这时候就得耐心地带着他们一步步重新推导，多做几道练习题，慢慢地也就熟练了。
总之，牛顿二项式定理公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的规律，多做练习，多结合实际例子去理解，就会发现它其实并没有那么难。
牛顿莱布尼公式
牛顿莱布尼公式牛顿 - 莱布尼茨公式学习资料。
一、公式内容。
1. 公式表达式。
- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
- 这里F(x)满足F^′(x)=f(x)。
例如，对于函数f(x) = 2x，其一个原函数F(x)=x^2，那么∫_1^22xdx=x^2big_1^2=2^2 - 1^2=3。
二、公式的意义。
1. 计算定积分的有力工具。
- 在牛顿 - 莱布尼茨公式出现之前，计算定积分是非常复杂的事情。
例如，对于∫_a^bx^2dx，如果按照定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）来计算，过程十分繁琐。
而牛顿 - 莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数在区间端点的值的差，大大简化了定积分的计算过程。
2. 建立了导数与定积分之间的联系。
- 导数表示函数的变化率，定积分表示函数在区间上的累积效应。
牛顿 - 莱布尼茨公式表明这两种看似不同的概念实际上有着紧密的联系。
它是微积分基本定理的重要组成部分，体现了微分和积分这一对矛盾的相互转化关系。
三、公式的使用条件。
1. 函数的连续性。
- 函数f(x)在区间[a,b]上必须连续。
如果函数在区间内有间断点，那么直接使用牛顿 - 莱布尼茨公式可能会得到错误的结果。
例如，对于函数f(x)=(1)/(x)在区间[ - 1,1]上，x = 0是其间断点，不能直接用牛顿 - 莱布尼茨公式计算∫_-1^1(1)/(x)dx。
2. 原函数的存在性。
- 需要找到f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)。
有些函数的原函数不能用初等函数表示，如f(x)=e^-x^{2}，虽然它在任何区间[a,b]上连续，但它的原函数不能用我们常见的初等函数表示，这就给使用牛顿 - 莱布尼茨公式带来了一定的困难。
我们可以用数值方法或者其他特殊的函数表示方法来处理这类问题。
四、公式的证明（简单理解）1. 从定积分的定义出发。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
4 定积分概念及牛顿莱布尼茨公式[优质PPT]
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f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式的几何解释：在区间[a, b]上至少存在一
y
个点 ，使得以区间[a,b]为
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 当分割无限加细时，
则曲边梯形面积
n
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0
i1
f
( i
)xi
y o a x1 xi1 xi
i
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
0
0
解 令 f (x) ex, g(x) x, x [2, 0]
当x[2,0]时，f (x) g(x)
0
2
f
(x)dx
0
2
g ( x)dx,
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5（估值性质）
设M 及m 分别是函数
第二换元积分法：(根式换元、三角换元）
(1) a2 x2 令x asin t; (2) a2 x2 令x a tant; (3) x2 a2 令x asec t.
定积分计算牛顿莱布尼茨公式
定积分计算牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式，又称为基本定理，是微积分中的重要公式之一。
它将定积分与不定积分联系起来，为我们提供了一种便捷的方法来计算定积分。
通过理解和应用该公式，我们能够更好地解决很多与面积、曲线、物理问题相关的计算。
首先，让我们来认识一下定积分的概念。
定积分是微积分中的一种重要工具，用于计算函数曲线下的面积。
它可以看做是一个连加的过程，将函数曲线切分成无限小的矩形，并计算这些矩形的面积之和。
通过这种方式，我们可以得到函数曲线下的整体面积。
而不定积分又被称为反导数或原函数，它是求导运算的逆运算。
不定积分表示一个函数的无数个原函数，即对于一个函数f(x)，其不定积分可以表示为F(x) + C，其中F(x)是f(x)的某个原函数，C是一个常数。
牛顿莱布尼茨公式正是将定积分与不定积分相互关联起来。
根据这个公式，如果函数f(x)是连续的，且在区间[a, b]上存在原函数F(x)，则有以下等式成立：∫(a到b)f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式的意义是，如果我们知道了函数f(x)在某个区间上的原函数F(x)，那么只需计算F(x)在区间[a, b]的两个点上的值之差，就可以得到函数f(x)在该区间上的定积分值。
这个公式的生动性在于它将定积分的计算问题转化为了不定积分的计算问题。
由于不定积分通常更容易计算，所以我们可以先求得函数f(x)的一个原函数F(x)，然后再应用牛顿莱布尼茨公式来计算定积分的结果。
这个公式的指导意义在于它提供了一种计算定积分的通用方法。
只要我们能够找到函数f(x)的一个原函数F(x)，就可以直接使用牛顿莱布尼茨公式来求解定积分。
这样，即便我们不知道函数f(x)的具体表达式，仅凭原函数F(x)的计算结果，我们也能得到定积分的值。
需要注意的是，牛顿莱布尼茨公式仅在函数f(x)是连续的情况下成立。
如果函数f(x)在某个点上不连续，那么该公式就不适用了。
此外，该公式也无法解决无法找到函数f(x)原函数的情况。
牛顿莱布尼茨公式课件
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
2若f (x)为奇函数, 则 a f (x)dx 0. a
定理2 设函数f (x)为周期为T的连续函数,
则
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx.
以上两个定理可以作为性质用.
例9
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
三、定积分计算方法
（一）Newton Leibniz公式
b a
f
(x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)
b a
(1)求原函数(即不定积分);
(2)计算F(b) F(a).
例1.计算 1 1 x2 dx.(参照第一节例26) 0
y
( x)
oa
x x x b x
定理1 设函数在区间[a , b]上连续 , 则
(x) x f (t)dt在区间[a , b]上可导,且 a x (x) (a f (t)dt) f (x).
定理2 设函数f (x)在区间[a , b]上连续 ,
则
x
(b]上的一个原函数.
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
牛莱公式
1 sin 2xdx
2 1 2sin x cos xdx
0
2 0
sin x cos x
2
dx 2 sin x cos x dx
0
2 cos x sin x0 0 1 1 0 2
求
例1 解
0 (2 cos x sin x 1)dx .
2
2
原式 2 sin x cos x x 0
3 . 2
例4. 计算
3 dx arctan x 解: arctan 3 arctan(1) 2 1 1 x 1 7 ( ) 3 4 12 例5. 计算正弦曲线
0 0
( sin x) 1 2e 2x
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
b 0.
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
c 1. ,得 2
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 求下列函数的导数
（1 ） 解
x e dt
x t2 a
x e
x2
（2）
解
sin t f x dt x t x sin t sin x x f dt x b t
定积分计算基本公式(二)
������
න ������(������ሻ������������ = ������(������ሻ − ������(������ሻ
������
证明
∵ 已知������(������ሻ是������(������ሻ的一个原函数
下列做法是否有问题？
1 −1
1 x2
dx
=
−
1 x
1 −1
=
−2
由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满 足牛顿（Newton）—莱布尼茨(Leibniz)定理之条件，故不 可用这一公式。
强调：在利用牛顿（Newton）—莱布尼茨(Leibniz) 定理的时候，验证定理条件是否满足是必要的！
微积分II
Calculus II
第七章 定积分
§7.1 定积分的概念 §7.2 定积分的基本性质 §7.3 定积分计算基本公式 §7.4 定积分基本积分方法 §7.5 反常积分 §7.6 定积分的应用
7.3 定积分计算基本公式(二)
二 牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式
定理三（微积分基本公式）
������(������ሻ
������ ������
������
核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数，则可以
轻易地求出定积分的值，即原函数在积分区间上的增量。
注意： 当������ > ������时，������������������(������ሻ ������������ = ������(������ሻ − ������(������ሻ 仍成立
定积分计算牛顿莱布尼茨公式
定积分计算牛顿莱布尼茨公式1.定积分的基本思想在介绍牛顿-莱布尼茨公式之前，首先我们需要了解定积分的基本思想。
定积分是微积分中的一个概念，它用于计算曲线下面的面积。
曲线下方被区间[a,b]、曲线y=f(x)与直线x=a,x=b所围成的面积，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
2.牛顿-莱布尼茨公式的表述牛顿-莱布尼茨公式表述如下：设函数f(x)在[a,b]区间上连续，并且F(x)是其一个原函数，则有：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)3.牛顿-莱布尼茨公式的推导为了推导牛顿-莱布尼茨公式，我们首先需要明确一个重要的性质：连续函数具有原函数。
因此，我们假设f(x)在区间[a,b]上连续，并存在一个原函数F(x)。
定积分的定义是求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，我们可以将这个问题看作是一个面积的逐渐累加过程。
假设我们从点 a 开始累加，每次向右方向迈出一个微小的距离 dx，那么这个微小的区间 [x, x+dx]的面积就可以近似地表示为f(x)·dx。
现在，我们将整个区间 [a, b] 分成若干个微小区间，每个微小区间的长度为 dx，然后将这些面积进行累加，即有：∑(f(x)·dx) = ∑(F'(x)·dx)这里的 F'(x) 表示函数 F(x) 的导数。
根据微积分的基本思想，微小的面积可以近似表示为曲线在该点的切线斜率与 dx 的乘积，因此我们可以将f(x)·dx 近似地表示为F'(x)·dx。
在区间[a,b]上进行累加之后，上式可以变为：∫[a,b]f(x)dx = ∑(F'(x)·dx)我们再进行一次变形，将累加符号改成求和符号，得到：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]F'(x)dx由于 F'(x) 是 F(x) 的导数，根据微积分的基本理论，我们知道导数的本质就是函数的变化率。
高数微积分牛莱公式
解：面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题
牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题摘要：一、牛顿-莱布尼茨公式简介二、定积分的计算实例1.实例一：sinx-cosx的定积分2.实例二：x^4的定积分3.实例三：sin(x-1/4)的定积分三、求解定积分的方法小结正文：一、牛顿-莱布尼茨公式简介牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，是微积分学中的一个重要公式。
它的表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上可积，函数g(x)在区间[a, b]上可导，且g"(x)≠0，那么∫[a, b]f(x)g(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a)二、定积分的计算实例1.实例一：sinx-cosx的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到π) sinx - cosx dx。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到π) sinx - cosx dx = (sinπ - sin0) - (c osπ - cos0) = 1 - 0 = 12.实例二：x^4的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到1) x^4 dx。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到1) x^4 dx = (x^5/5)|0到1 = 1^5/5 - 0^5/5 = 1/53.实例三：sin(x-1/4)的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到π/2) sin(x-1/4) dx。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到π/2) sin(x-1/4) dx = (sin(π/2) - sin(-1/4π)) - (sin0 - sin(-1/4π)) = 1 - (-1/√2) = 1 + 1/√2三、求解定积分的方法小结通过以上实例，我们可以看到，利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的过程相对简单。
只需要找到被积函数的原函数，然后根据牛顿-莱布尼茨公式进行计算即可。
在实际计算过程中，可能需要用到一些基本的三角函数和指数函数的性质，以及适当的代换或分部积分方法。
总的来说，牛顿-莱布尼茨公式为我们在微积分中求解定积分提供了一种简洁、高效的方法。
定积分牛顿莱布尼茨公式
定积分牛顿莱布尼茨公式定积分牛顿莱布尼茨公式是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨共同提出的，为解决定积分题而提出的一个公式。
它的推导是基于不定积分的概念对定积分进行推广。
它具有简便、可行、易用的特点，在数学应用中得到广泛的应用。
定积分牛顿莱布尼茨公式可以将一个定积分表达式转换为定积分牛顿莱布尼茨公式，即：F（x）=∫a f（t)dt=F（a）+∑n [f（c_i）/N（x-a）]（x-a）/N其中，F（x）表示定积分的近似解，f（x）表示被积函数，c_i 表示各积分分段的中点，N表示各积分分段的划分个数，n表示定积分的分段数，a表示定积分的下限，x表示定积分的上限。
牛顿莱布尼茨公式的计算方法非常简单，可以将一个定积分表达式转换为一个牛顿莱布尼茨公式，只需要计算定积分分段的中点和划分个数。
牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题时的的优势具体体现在：1、可以实现较精确的求解：由于公式求得的定积分近似解是以定积分分段的中点和划分个数为基础，可以得到较高精度的解。
2、计算简便：牛顿莱布尼茨公式的计算过程简单易懂，只需要计算定积分分段的中点和划分个数，可大大简化定积分的求解过程。
3、实用性强：牛顿莱布尼茨公式的求解既可以在离散数据结果中应用，也可以在连续数据结果中应用，因此具有普遍的实用性和易用性。
定积分牛顿莱布尼茨公式自提出以来，便受到了学术界和专业界的普遍认可。
其应用范围广泛，可以用于许多不同领域，如统计学、经济学、信息学、物理学、力学等，扩大了定积分的求解范围。
另外，定积分牛顿莱布尼茨公式的教学价值也是非常重要的。
它的推导过程比较简单，可以帮助学生更好地理解定积分的概念，进一步提高学生利用定积分解决实际问题的能力。
定积分牛顿莱布尼茨公式代表了人类对定积分理解和应用的新高度，也标志着数学发展史上的一个里程碑。
它对数学研究、实际应用和数学教育都具有重要意义。
高等数学定积分牛顿-莱布尼茨公式
划分作业活动
识别危害 评价风险
确定是否是可容许风险
制定风险控制计划
评审控制计划的适宜性
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划分作业活动
•按生产流程的阶段 •按地理区域 •按装置 •按作业任务 •按生产阶段 / 服务阶段 •按部门 •上述方法的结合
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选择识别危害方法
在选择识别方法时，应考虑：
——活动或操作性质； ——工艺过程或系统的发展阶段； ——危害分析的目的； ——所分析的系统和危害的复杂程度及规模； ——潜在风险度大小； ——现有人力资源、专家成员及其他资源； ——信息资料及数据的有效性； ——是否是法规或合同要求。
眼睛伤害； 运输危害； 能量伤害
承包商现场活动；
人的因素等
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选择识别危害方法指南
考虑：
与危害有关的工作、活动、服务性质 （生产过程或检维修）
生产过程复杂程度、大小； 评估目的 评估人员的工作经验及危害识别能力
2ln21.
1
lni m (1n 1)(1n 2) (1n n)n
e lim n
a
n
e2ln 21 4 .
e
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第二部分
危害识别方法
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牛布莱兹公式
牛布莱兹公式牛布莱兹公式，也称为牛顿-莱布尼茨公式，这可是微积分里的一个超级重要的公式！我还记得我刚开始接触这个公式的时候，那可真是一头雾水。
就好像走进了一个迷宫，到处都是弯弯绕绕，怎么也找不到出口。
那时候，我跟着老师在课堂上学习，看着黑板上密密麻麻的符号和推导过程，只觉得眼前一片模糊。
老师在上面讲得滔滔不绝，我在下面听得晕头转向。
尤其是当涉及到一些复杂的函数和积分运算时，我感觉自己的脑袋都要炸了。
但是，我不甘心就这样被它打败。
于是，每天放学后，我都会留在教室里，翻开课本，对照着笔记，一点点地琢磨这个公式。
我就像一个在黑暗中摸索的人，努力寻找着那一丝光明。
有一次，我做一道练习题，怎么也算不对。
我反复检查自己的步骤，就是找不到错误在哪里。
那时候，心里别提多着急了，感觉自己就像热锅上的蚂蚁。
我把笔一扔，差点就要放弃了。
可就在这时，我突然想到老师曾经说过的一句话：“遇到难题别慌张，从头再来捋一捋。
”于是，我深吸一口气，重新拿起笔，从最开始的定义和公式推导开始，一步一步地检查。
终于，我发现了自己的错误，原来是在一个小小的符号上出了差错。
那一刻，我别提多兴奋了，那种成就感简直无法用言语来形容。
好了，言归正传，咱们来好好聊聊这个牛布莱兹公式。
它的表达式是：如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么∫（从 a 到 b）f(x)dx = F(b) - F(a) 。
简单来说，这个公式就像是一座桥梁，把积分和求导这两个看似不同的概念紧密地联系在了一起。
它让我们在计算定积分的时候，可以不用再去一步步地分割区间、近似求和，而是通过找到被积函数的原函数，直接代入区间的端点值相减就能得到结果。
比如说，我们要计算∫（从 0 到 1）x²dx 。
首先，我们要找到 x²的一个原函数，那就是F(x) = ⅓ x³ 。
然后，根据牛布莱兹公式，∫（从 0到 1）x²dx = F(1) - F(0) = ⅓×1³ - ⅓×0³ = ⅓ 。
牛顿-莱布尼茨公式计算定积分
牛顿-莱布尼茨公式计算定积分
牛顿-莱布尼茨公式是一种用于计算定积分的有效方法。
被积函数一般采用多项式或准多项式，它可以使求积分的难度大大降低。
下面介
绍一般情况下牛顿-莱布尼茨公式的计算过程：
1、若积分的函数为多项式f(x)，那么将f(x)分别除以x，x^2，x^3，依
次类推直"至除以x^ n-1后，由其所得的商在[a,b]上闭端点处取值，产
生的l个数之积，即为展开式的最终积分值。
2、可以使用多项式展开法求出一般情况下的定积分：若将f(x)除以x^r，记为f1(x)，易知f1(x)在[A,B]上最高次幂不可超过N-1，将f1(x)按次
幂递减展开：
f1(x)=F1 + F2(x - A) + F3(x - A)2 + …… + Fn(x - A)N-1
定积分为：
F1(B - A)+F2(B2 - A2)/2 + F3(B3 - A3)/3 +……+Fn(Bn - An)/n
3、计算带分数项定积分的方法相较常见的一些解法来讲要更加有效，
如果一个总的函数中有带分数的项的话，可以将这些带分数的项在左
端去掉，然后用牛顿-莱布尼茨公式来求取剩下的项的积分值，最终将
带分数项中的系数乘以原函数分母再加上剩余项的积分值来获得最终
结果。
在使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分时，需要确保积分函数为多项函数，并且确定积分的上下端点，通过求出积公差（各项的和），即可求出积分结果。
牛顿-莱布尼茨公式计算定积分有其独特的优势，只要把各端点的取值代入公式，便可直接求出定积分的结果，是一种有效的方法。
牛-莱公式
， F′( x ) = f ( x ) （或 dF( x ) = f ( x )dx ）
则称 F( x ) 为 f ( x ) 在 I 上的一个原函数 原函数。 原函数
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的内 牛顿—莱布尼兹公式 公式 在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数的问题， 从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。
也是 f ( x ) 的原函数。
另一方面，若 F( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则
[G ( x ) − F( x )]′ = f ( x ) − f ( x ) = 0,
即 G ( x ) = F( x ) + C ，其中 C 是一个常数。由此可知，
，即 f ( x ) 的全体原函数可表示为 F( x ) + C （C 为任意常数）
（ 2） ∫ f ′( x ) dx = f ( x ) + C 或 ∫ df ( x ) = f ( x ) + C 。
（1）式表明，若先求积分，后求导数（或求微分） ，
则两者作用相互抵消。
（2）式表明，若先求导数（或求微分）后求积分，
则两者作用抵消后还留有积分常数 C。
性质 2
性质 3
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (K 为常数， k ≠ 0 )。 ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g(x )dx 。
ax ( 6) d ( ) = a x dx, ln a
(1) ∫ 0dx = C ,
x α (2) ∫ x dx = + C (α ≠ −1), α +1 1 (3) ∫ dx = ln x + C , x
牛顿莱布尼茨公式内容
牛顿莱布尼茨公式内容牛顿莱布尼茨公式是微积分中的重要定理，它建立了求解定积分的基础。
该公式的正确应用对于计算与物理、工程和经济相关的问题具有重要意义。
下面将对牛顿莱布尼茨公式进行详细阐述。
牛顿莱布尼茨公式，也被称为基本定理，是微积分学中的核心定理之一。
它简洁地表达了定积分与原函数之间的关系，为解决实际问题提供了重要的工具。
我们来了解一下定积分的概念。
在微积分中，定积分是对函数在某个区间上的积分运算。
它可以看作是函数曲线下的面积，或者是函数在某个区间上的累积量。
定积分的求解可以通过几何方法或者代数方法来进行。
牛顿莱布尼茨公式将定积分与原函数联系在一起，它的表述是：对于一个连续函数f(x)，如果它在[a, b]区间上有原函数F(x)，那么定积分∫[a, b] f(x)dx等于F(b)减去F(a)。
简单来说，就是通过求解函数的原函数，在区间上的两个端点的函数值之差，就可以得到定积分的值。
利用牛顿莱布尼茨公式，我们可以方便地求解各种类型的定积分。
例如，对于多项式函数，我们可以通过求解每一项的原函数，再利用公式进行求解。
对于三角函数、指数函数和对数函数等特殊函数，也可以通过找到它们的原函数来求解定积分。
除了求解定积分，牛顿莱布尼茨公式还可以用于证明微积分中的一些重要性质。
例如，利用该公式可以证明导数与积分之间的关系，即导函数与原函数之间存在着一一对应的关系。
牛顿莱布尼茨公式的推导是基于微积分的基本概念和一些重要定理的。
它的严格证明需要用到数学分析中的极限和连续性理论。
但在实际应用中，我们可以直接利用该公式进行计算，而无需关注其具体的推导过程。
在实际问题中，牛顿莱布尼茨公式可以帮助我们求解各种与变化率和累积量相关的问题。
例如，对于物理学中的运动问题，我们可以通过求解速度函数的原函数，得到位移函数，从而得到物体在某个时间段内的位移。
对于经济学中的需求曲线和供给曲线，我们可以通过求解价格函数的原函数，得到需求量和供给量之间的关系。
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解 ( x) (1 sin2 x)3(sin2 x) (1 ln x)3 (ln x)
(1 sin2 x)3 2sin x cos x (1 ln x)3 1 x
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 6.2.3（微积分基本公式）
F( x)
0 x
0 2
0 f (t)dt
x
f ( x) ( x t) f (t)dt
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) 0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt
0
F ( x) 0 ( x 0).
由积分中值定理得 F f ( )x [x, x x],
由极限性质知, lim F lim f ( )x 0
x0
x0
由连续函数定义知,
[a,b] 上连续.
函数F( x)
x
a
f
(t)dt 在
定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
F
(
x
2 sin
25
x2
4.
5
05
5
2
例14 计算
3
解
原式
e4
e
3
e4
dx
e x
. ln x(1 ln x)
3
d(ln x)
e4
d(ln x)
ln x(1 ln x) e ln x (1 ln x)
3
3
e4
2 e
d ln x 2 arcsin( 1 ( ln x)2
ln x)
e4 e
这便排除了选项(C)和(D).
又令 f ( x) tan x ,
x
则
f ( x)
x sec2 x tan x
x2
x sin x cos x x2 cos2 x 0.
即
f
(
x)在[0,
4
]单调增加,
有
tan x
tan(
/ 4)
4 ,
x
/4
故
I 1
0
/4
tan x
xdx
4
0
/4
dx
1,
第2节 牛莱公式与简单定 积分计算
一、 问题的提出 二、 积分上限函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
四、凑微法简单积分计算
五、小结
二、积分上限函数及其导数
设函数f ( x)在区间[a,b]上连续,x [a,b]
称 F(x) 性质：
x
a
f
(t )dt
为积分上限函数.
定理6.2.1 如果 f ( x)在[a,b]上可积，则积分上
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b时，ab f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.
例4
求 1 x2dx. 0
解
1 x2dx
0
1 3
x3
1 0
1 3
例5
计算
2 1
1 x2
dx
.
解
21 1 x2 dx
1 x
2 1
1 1 1 22
例 6 下列计算是否正确?
1 1
1,
则( )
x0
x 0,
F(x)
x
0
f
( t ) dt ,
x0
(A)F(x)在 x 0 点不连续. (B)F(x)在 (,)内连续, 在 x 0点不可导 (C)F( x)在(, ) 内可导, 且满足F(x) f (x) (D)F(x)在 (,)内可导, 但不一定满足
F( x) f ( x)
x的函数还是t 与u的函数？它们的导数存在吗？
如存在等于什么？
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与
b
x
f
(u)du都是
x的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
思考 (980205)
ax sin x
确定常数 a, b, c
的值,使
lim x0
x
b
ln(1 t
t3) dt
dx a
“ ” 中的表达式是一样的.
例1 求
d x sin tdt. dx a
解 根据上限函数求导数公式得
dx
dx a sin tdt sin x
定理 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
则
F
(
x)
b( x)
a( x)
f
(t
)dt
的导数F (
x)
为
F( x) d b( x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x ecos2 x
lim
x0
2x
1. 2e
(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定 义求和式极限
限的函数 F
证明 因为 f
x
((xx))在[aaf,
(t)dt 在 [a,b] 上连续. b]上可积，则 f ( x在) [a,
b]有界.
x x
F ( x x) a f (t)dt
F F( x x) F( x)
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
a
a
x x
f (t)dt, x
证明 F(x)
0
b( x)
f (t)dt
a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
例 2 已知 F ( x) x2 etdt, 求F( x). 0
解 由上限函数的求导公式的
F ( x) e x2 ( x2 ) 2 xe x2
求 y( x).
x
y
t sin u2du
0
t cos u2du
0
确定，
解
y(x)
t cos u2dt
0
t sin u2dt
cos t 2 sin t 2
0
cot t 2
(2)求不定式的极限
例３
求 1et2dt
lim
x0
cos x
x2
.
0
分析：这是 0 型不定式，应用洛必达法则.
解
例6求
lim
n
n[ n2
1
12
n2
1
22
n2
1
n2 ]
解
原式 lim 1[
n n
1 12
1 22
1 n2
]
1 n2 1 n2
n2
11
0 1 x2 dx
arctan1 4
(4) 证明单调性、方程的根
例 7 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
证明函数
F
(
x)
x
0
x
tf
练习：02 x x 1 dx
1
x(1 x)dx
0
2
x( x 1)dx 1
1
注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.
例11 求
2 max{x, x2 }dx.
2
x2
2 x0
解
f
(
x)
max{
x,
x
2
}
x
0 x1
原式
02 x2dx
01
x
2
xdx 12
1 x x2dx
2
11 2
.
四、简单定积分的计算----凑微法
例12
计算
2 cos5 x sin xdx.
0
解 t cos x, dt sin xdx, x t 0, x 0 t 1,
2
2 cos5 x sin xdx
0 t 5dt
t6 1 1.
0
1
66
例13 计算 0
sin 3
x
0
sin
由函数 f (x) 的连续性和积分中值定理得
F f ( )x [x, x x],
F f ( ),
F
lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x F( x) f ( x).
证毕.
对区间端点的情况用单侧导数说明即可.
求上限函数的导数应注意:
( x) d
x
f (t)dt f ( x)
c(c
0).
解 因为 x 0 时 ax sin x 0, 且
ax sin x
lim x0
x ln(1
b
t
t3) dt
0
故
lim x0
x
b
ln(1 t
t
3
)
dt
0(*)
若 b 0, 则在 (0,b]内 ln(1 t 3 ) 0;
I 2
4 0
tan
dx x