6-2牛莱公式及简单定积分计算

I 2
4 0
tan
dx x
, 则(
)
( A) I I 1
1
2
(B)1 I I
1
2
(C ) I I 1
(D)1 I I
2
1
2
1
解
因为当x [0, ] 时, sin x x tan x,
故 tan x x ,
x tan x
I 1
4
4 0
tan x
xdx
4 0
x tan
x
dx
I 2
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b时，ab f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.
例4
求 1 x2dx. 0
解
1 x2dx
0
1 3
x3
1 0
1 3
例5
计算
2 1
1 x2
dx
.
解
21 1 x2 dx
1 x
2 1
1 1 1 22
例 6 下列计算是否正确?
1 1
例6求
lim
n
n[ n2
1
12
n2
1
22
n2
1
n2 ]
解
原式 lim 1[
n n
1 12
1 22
1 n2
]
1 n2 1 n2
n2
11
0 1 x2 dx
arctan1 4
(4) 证明单调性、方程的根
例 7 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
证明函数
F
(
x)
x
0
x
tf
解
当
x
0 时,
F(x)
x
0
f
(t )dt
x
0
(
1)dt
x
当 x 0时, 显然 F(0) 0;
当 x 0时,
F ( x)
x
0
f
(t )dt
x
0
1
dt
x
lim F ( x) lim F ( x) F(0)
x0
x00
F( x)在 x 0处连续
当 x 0时, F( x) 1 当 x 0时, F( x) 1 F(x)在 x 0处不可导. 故B正确
这便排除了选项(C)和(D).
又令 f ( x) tan x ,
x
则
f ( x)
x sec2 x tan x
x2
x sin x cos x x2 cos2 x 0.
即
f
(
x)在[0,
4
]单调增加,
有
tan x
tan(
/ 4)
4 ,
x
/4
故
I 1
0
/4
tan x
xdx
4
0
/4
dx
1,
1,
则( )
x0
x 0,
F(x)
x
0
f
( t ) dt ,
x0
(A)F(x)在 x 0 点不连续. (B)F(x)在 (,)内连续, 在 x 0点不可导 (C)F( x)在(, ) 内可导, 且满足F(x) f (x) (D)F(x)在 (,)内可导, 但不一定满足
F( x) f ( x)
. 6
例15 设函数f (x)为连续的奇函数, 且已知
1 f (t)dt a,
0
求积分
1
0
f
( x ) dx x
的值.
解
1 f (
x)
1
dx 2 f (
x )d
1
x 2 f ( x )d
x
0
x
0
0
1
20 f (u)du 2a
例16 (030204)
设
tan x
x
I 1
4 0
x
dx,
求 y( x).
x
y
t sin u2du
0
t cos u2du
0
确定，
解
y(x)
Байду номын сангаас
t cos u2dt
0
t sin u2dt
cos t 2 sin t 2
0
cot t 2
(2)求不定式的极限
例３
求 1et2dt
lim
x0
cos x
x2
.
0
分析：这是 0 型不定式，应用洛必达法则.
解
5
xdx.
解
f (x)
3
sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上的
一个原函数,则
b a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F(x)
b a
证明 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数,
又
( x)
x
a
f
(t)dt 也是
f
(x)
的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b] 令 x a F(a) (a) C,
第2节 牛莱公式与简单定 积分计算
一、 问题的提出 二、 积分上限函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
四、凑微法简单积分计算
五、小结
二、积分上限函数及其导数
设函数f ( x)在区间[a,b]上连续,x [a,b]
称 F(x) 性质：
x
a
f
(t )dt
为积分上限函数.
定理6.2.1 如果 f ( x)在[a,b]上可积，则积分上
(t
)dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
加函数.
证明
dx
dx 0 tf (t)dt xf ( x),
dx
dx 0 f (t)dt f ( x),
x
x
xf ( x) f (t)dt f ( x) tf (t)dt
F( x)
0 x
0 2
0 f (t)dt
x
x
f ( x) xf (t)dt f ( x) tf (t)dt
1 x2
dx
1 x
1 1
11 2
解 不正确. 被积函数在积分区间上为正,
但积分值是负的, 与积分性质矛盾.
因为
1 x2
在[1,1]
上不可积.
使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在
积分区间上的可积性.
例 解
7
计算
2
1
2
1
cos
x22d1xc1os22xd2xco. 1s2
x
dx
tan
x 2
练习：02 x x 1 dx
1
x(1 x)dx
0
2
x( x 1)dx 1
1
注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.
例11 求
2 max{x, x2 }dx.
2
x2
2 x0
解
f
(
x)
max{
x,
x
2
}
x
0 x1
原式
02 x2dx
01
x
2
xdx 12
1 x x2dx
2
11 2
(a)
a
a
f
(t )dt
0
F (a)
C,
x
F ( x) a f (t)dt C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
x b b f ( x)dx F(b) F(a). a
b a
f
(
x)dx
F (b)
F
(a)
F
(
x) b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等 于它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
例3 设 ( x) sin2 x (1 t)3dt ,求 ( x). ln x
解 ( x) (1 sin2 x)3(sin2 x) (1 ln x)3 (ln x)
(1 sin2 x)3 2sin x cos x (1 ln x)3 1 x
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 6.2.3（微积分基本公式）
F( x)
0 x
0 2
0 f (t)dt
x
f ( x) ( x t) f (t)dt
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) 0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt
0
F ( x) 0 ( x 0).
x的函数还是t 与u的函数？它们的导数存在吗？
如存在等于什么？
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与
b
x
f
(u)du都是
x的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
思考 (980205)
ax sin x
确定常数 a, b, c
的值,使
lim x0
x
b
ln(1 t
t3) dt
由积分中值定理得 F f ( )x [x, x x],
由极限性质知, lim F lim f ( )x 0
x0
x0
由连续函数定义知,
[a,b] 上连续.
函数F( x)
x
a
f
(t)dt 在
定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
F
(
x
2 sin
25
x2
4.
5
05
5
2
例14 计算
3
解
原式
e4
e
3
e4
dx
e x
. ln x(1 ln x)
3
d(ln x)
e4
d(ln x)
ln x(1 ln x) e ln x (1 ln x)
3
3
e4
2 e
d ln x 2 arcsin( 1 ( ln x)2
ln x)
e4 e
2
2
2
注意:恒等变形时,一定要2使被积函数有意义.
例 8 计算
2
1 cos x dx.
2
解
原式
2
2
2sin2 x dx 2
2 2
2 sin x dx 2
2
0
2
sin
x 2
dx
2
2
sin
x
dx
2
02
2cos x 2
0
2
2
2 cos
x 2
2 0
4 24
注意: 计算定积分开根号时,一定要带绝对值.
限的函数 F
证明 因为 f
x
((xx))在[aaf,
(t)dt 在 [a,b] 上连续. b]上可积，则 f ( x在) [a,
b]有界.
x x
F ( x x) a f (t)dt
F F( x x) F( x)
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
a
a
x x
f (t)dt, x
五、小结
1.积分上限函数
x
( x) a
f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积 分学之间的关系．
思考题
设
f
(
x
)在[a
,
b]上连续，则
x
a
f
(t
)dt
与
b
x
f
(u)du是
证明 F(x)
0
b( x)
f (t)dt
a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
例 2 已知 F ( x) x2 etdt, 求F( x). 0
解 由上限函数的求导公式的
F ( x) e x2 ( x2 ) 2 xe x2
c(c
0).
解 因为 x 0 时 ax sin x 0, 且
ax sin x
lim x0
x ln(1
b
t
t3) dt
0
故
lim x0
x
b
ln(1 t
t
3
)
dt
0(*)
若 b 0, 则在 (0,b]内 ln(1 t 3 ) 0;
dx a
“ ” 中的表达式是一样的.
例1 求
d x sin tdt. dx a
解 根据上限函数求导数公式得
dx
dx a sin tdt sin x
定理 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
则
F
(
x)
b( x)
a( x)
f
(t
)dt
的导数F (
x)
为
F( x) d b( x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
故F( x)在(0,)内为单调增加函数.
练习 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
提示：
x
F ( x) 2x 0 f (t)dt 1,
(5) 求函数关系并讨论其连续性
1,
例９(040403) 设 f ( x) 0,
即选项(B)正确.
五、综合题
(1) 求导数 例１已知函数 y y(x)由方程
y
1 t 2dt
x sin t 2dt
1
ln(1 x)dx 0
0
0
0
确定。求 y( x).
解 方程两边关于 x 求导数得
解得
1 y2 y sin x2 0 y sin x2
1 y2
例２ 已知 y y(x) 由参数方程
由函数 f (x) 的连续性和积分中值定理得
F f ( )x [x, x x],
F f ( ),
F
lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x F( x) f ( x).
证毕.
对区间端点的情况用单侧导数说明即可.
求上限函数的导数应注意:
( x) d
x
f (t)dt f ( x)
) x f (t)dt 在
a
F( x)
d
x
f
dx a
[a, b] 可导，且它的导数为
(t)dt f ( x) (a x b)
定理的重要意义：
(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数
之间的联系.
证明 由定理6.2.1的证明知,
x x
F F( x x) F( x) f (t)dt, x
.
四、简单定积分的计算----凑微法
例12
计算
2 cos5 x sin xdx.
0
解 t cos x, dt sin xdx, x t 0, x 0 t 1,
2
2 cos5 x sin xdx
0 t 5dt
t6 1 1.
0
1
66
例13 计算 0
sin 3
x
0
sin
d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x ecos2 x
lim
x0
2x
1. 2e
(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定 义求和式极限