中国古代数学

第三章 中国古代数学

教学重点：1理解并掌握《九章算术》的主要贡献。2能叙述《算经十书》的名称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。3 掌握宋元数学家的贡献。

3.1《九章算术》

1 介绍

中国古典数学最重要的著作，成书1cen B.C

《九章算术》：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功；均输 ，盈不足，方程，勾股。

面积、体积：方田，商功；

比例：粟米，衰分，均输 ；

开方：少广

贡献一：正负数加减法则

正负数的加减运算法则

李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”

国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。

贡献二：方程术

线性方程组求解：消元法

例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？

贡献三：开方术

今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。

“开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解；

“开方术”：包含求 方法； 02=++c bx ax

接受开方不尽的数——无理数；

贡献四：盈不足

例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？

“盈不足”：线性插值法；

“盈不足”可以解决非盈亏类问题；

“盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法”。

贡献五：几何

“方田”：各种图形的面积计算；

“商功”：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式正确；只是圆周率取3，误差较大。

“勾股”：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。

评价

小苍金之助（日）：《九章算术》是中国的《几何原本》。

吴文俊：《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与《几何原本》东西辉映，各具特色。

1968年德国沃格尔（V ogel）把《九章算术》译成德文出版时的评论：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。”

《九章算术》数学理论门类繁多，依题列术，术文不附原理说明。刘徽注《九章》，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。

刘徽(魏晋, 公元3世纪)，幼习《九章》，长再详览。知识渊博，精通四书五经、诸子，谙熟前人数学，《周髀算经》、张衡数学。

刘徽集前辈之大成，又不迷信古人。注方田章圆田时，由于前人用径一周三，古率失之于粗，刘徽注说：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。

在中国古代数学中的地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理；《九章算术注》中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263

年撰《九章算术注》，《海岛算经》；中国传统数学最具代表性的人物，其学术思想为后世继承，如祖冲之，李淳风（唐）。

(一) 割圆术-极限思想闪烁

“割圆术”：用圆内接正多边形去逐步逼近圆。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”

具体贡献：圆周率的推导；球体体积公式的证明

1 圆周率的推导

2 求积理论

刘徽的面积、体积理论基础： “出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证明了《九章算术》中的许多面积公式。

刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公式时，使用：极限方法与不可分量方法。

（1）计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。

（2）阳马体积的推导

祖冲之(429-500A.D)：做过小官，创制《大明历》，当时最先进的立法。 著作：《缀术》，已经失传。

贡献一：圆周率的推导

祖冲之求得的π值的取值范围为3.141592 < π<3.1415927 约率：722 密率：113

355 16cenV .Otto 等重新推算出这个分数近似值

贡献二：球体积的推导

祖暅原理：幂势既同，则积不容异。指“两等高立体图形，若在所有等高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。

思路：刘徽用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为π：4，于是由祖暅原理立即得到

V 球:V 牟=π：4

即 V 球= （π/4） V 牟。

假设：V 小牟=V 立方体-V 直四棱锥=332r , V 牟=8*33

2r ，则V 球=（π/4）V 牟 《算经十书》

《算经十书》是隋

唐时期的教科书，包括

十本书，分别是：《周

髀算经》《九章算术》

《海岛算经》《孙子算

经》《张邱建算经》《夏侯阳算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》

《缀术》失传，后用《数术记遗》补。

一《孙子算经》

“物不知数“问题：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”

N ≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）

其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

计算过程为： N=70×2+21×3+15×2－2×105.

二《张邱建算经》

“百鸡问题”： “今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”

给出三组答案：（4，18，78），（8，11，81）， （12，4，84）

三《缉古算经》

《辑古算经》是十部算经中最晚的一部，作者王孝通，唐初人。

求解28个如下的三次方程：数值解。