组合数学作业答案
《组合数学》练习题一参考答案
《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空：1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择：1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算： 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32?，52?，53?整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)
组合数学第一章作业答案
2 = 2 Cm2 1 Cn 1 k 1 k 1
若 k 是偶数，则要么
k k 个 1 插入 m-1 个空挡，要么首尾各有 1 个 1，并把 1 个 1 2 2
插入 m-1 个空档，剩下的 1 同上处理共计：
C C
附加题：
k 2 m 1ຫໍສະໝຸດ k 1 2 n 1Ck 1 2 m 1
2n 2n n n 1
(2n)! 2n ! 1 n C2 n n !n ! (n 1)!( n 1)! n 1
1.50 (a)先排好 5 个 0 在 5 个 0 中插入 2 个 1，可以产生 4 个 01/10。 在 5 个 0 中插入 1 个 1，在首尾各插入 1 个 1，可以产生 4 个 01/10。 剩下的 1 插入在原有 1 的前面，对 01/10 无贡献。
同理，也是求符合正方形约束的对角线条数 1 1 2 C10 + C10 = 96 1.25 (1) 1 + C5 3 3 (2) C15 − C5 = 445 1.26 2*200*800+200*200=360000 或者 179900 1.27 (1) 5! * 6! =86400 (2) 5! * 6! =86400 (3) 6*5*8! = 1209600 1.33 先将 r 个球放入 n 个盒子里，每个盒子里放 k 个球，然后将余下的(r-kn)个球放入 n 个
字典序法 递增法 递减法 邻位对换法
r 1 Cn 1 相当于在 n 个球的 n-1 个空中选取 r-1 个作为间隔。
40
30
40 40
60 30
40 30
3 1.18 5! ∗ C6 = 2400, 5 个有球的盒子的全排列，再将 3 个空盒插入 5 个盒子相邻的 6 个 空隙内
组合数学7章作业答案
第7章 递推关系和生成函数7.8 练习题16、求解初始值10=h ，01=h 和02=h 的递推关系3223---=n n n h h h ，（3≥n ）。
解：□18、确定长为n 、不包含两个相连的0或相连的1的三进制串（即由一些0、1和2组成的串）的个数n a 的公式。
解：□23、求解非齐次递推关系nn n h h 2341⨯+=-（1≥n解：由定理3.4.46个没有区别的车放在66⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6！种。
2个红车4个蓝车，那么放置方法是!4!2)!6(2⨯=6！×15种。
□19、给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
ⅰ) 将8个车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？解：ⅰ) 由定理3.4.48个没有区别的车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯38!8 种。
□ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38!8812812种。
□21、单词ADDRESSES 的字母有多少排列？这9个字母有多少8-排列？解：因为有1个A ，2个D ，1个R ，2个E ，3个S所以，字母的排列共有!3!2!2!9⨯⨯个。
8-排列的个数是!2!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯种。
□。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版
组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
(完整版)排列组合经典练习(带答案)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
(完整word版)组合数学习题解答
第一章：1。
2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同,而且由奇数构成的整数个数。
解:由奇数构成的4位数只能是由1,3，5，7，9这5个数字构成,又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P （5,4）=120。
1.4。
10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解:这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。
如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9!种就坐方式.而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。
故两人坐在一起的方式数共有2＊9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！— 2＊9！.1.5. 10个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解:这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。
两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！—2＊8！。
1。
14. 求1到10000中,有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？ 解：（1）在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0, 例如235写成0235,则问题就变为求: x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有F （4,5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 （2）分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F(4,3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解,其个数为F （4,2)=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解,其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1将它们相加即得，F （4，4)+F(4，3）+F （4,2）+F （4，1）+F （4,0）=70。
小学组合数学试卷及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是组合数学中的概念？A. 排列B. 组合C. 集合D. 树2. 从5个不同的水果中取出3个，有多少种不同的组合方式？A. 10种B. 15种C. 20种D. 25种3. 下列哪个公式表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数？A. C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]B. P(n, m) = n! / [m! (n-m)!]C. nCm = n! / [m! (n-m)!]D. nPm = n! / [m! (n-m)!]4. 一个班级有10名学生，要从中选出3名学生参加比赛，有多少种不同的选法？A. 120种B. 720种C. 120种D. 720种5. 从0到9这10个数字中，任取4个数字组成一个四位数，共有多少种不同的组合？A. 10种B. 90种C. 100种D. 256种6. 在一个3x3的拉丁方格中，填入1到9这9个数字，使得每行、每列、每条对角线上都不重复，有多少种不同的填法？A. 9种B. 36种C. 72种D. 81种7. 下列哪个选项不是二项式定理的应用？A. 展开二项式 (a+b)^nB. 计算组合数C. 解决排列问题D. 解决概率问题8. 下列哪个选项不是图论中的概念？A. 节点B. 边C. 集合D. 路径9. 从6个不同的球中取出3个，有多少种不同的组合方式，不考虑顺序？A. 15种B. 20种C. 30种D. 60种10. 一个班级有8名学生，要从中选出4名学生参加比赛，有多少种不同的选法？A. 70种B. 56种C. 28种D. 14种二、填空题（每题2分，共20分）11. 从5个不同的水果中取出2个，有______种不同的组合方式。
12. 组合数 C(n, m) 表示从n个不同元素中取出m个元素的______。
13. 在一个3x3的拉丁方格中，填入1到9这9个数字，每行、每列、每条对角线上都不重复的填法共有______种。
组合练习题答案
组合练习题答案一、选择题1. 下列哪个选项不属于组合数学中的基本概念？A. 排列B. 组合C. 乘法原理D. 除法原理答案：D2. 在n个不同的元素中取出m个元素的组合数可以用以下哪个公式表示？A. C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)B. C(n, m) = (n - m)! / (m! * (n - m)!)C. C(n, m) = n! / (m! * n!)D. C(n, m) = m! / (n - m)!答案：A3. 如果一个排列中元素的顺序是重要的，那么它是一个：A. 组合B. 排列C. 子集D. 集合答案：B4. 假设有5个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，不同的放球方式有多少种？A. 15B. 20C. 25D. 30答案：C5. 以下哪个不是组合数学中的计数问题？A. 计算不同排列的数量B. 计算不同组合的数量C. 计算不同分割的数量D. 计算不同方程的解答案：D二、填空题1. 如果有7个不同的数字，从中选取3个数字进行排列，总共有______ 种不同的排列方式。
答案：5042. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生组成一个委员会，不同的委员会组成方式有 ______ 种。
答案：1425063. 如果一个组合问题中元素的顺序不重要，我们通常使用 ______ 来计算可能的组合数。
答案：组合公式4. 假设有10个不同的球，需要将它们分成3组，每组至少有一个球，不同的分法有 ______ 种。
答案：905. 一个排列问题中，如果元素的顺序是重要的，我们通常使用______ 来计算可能的排列数。
答案：排列公式三、解答题1. 一个班级有40名学生，需要选出一个由5名学生组成的篮球队。
如果不考虑性别，不同的组队方式有多少种？解答：根据组合公式 C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)，我们可以计算出不同的组队方式为 C(40, 5) = 40! / (5! * 35!) = 658008种。
组合数学作业第一次作业及其答案
1.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。
所有相邻的囚室之间都有门相通。
一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。
问：该犯人能否得到自由？答:不能获得自由,将棋盘涂成黑白相间,每经过的房间都是黑白交替,因此从左下角白房间出发,是不可能达到右上角的白房间的,最后一个房间必是黑色.2.用1×2的骨牌对6×6的棋盘进行完美覆盖。
证明：无论怎样覆盖，一定存在断层线。
另外，8×8的棋盘呢？答:假设6X6棋盘存在这样一个完美覆盖,使得把棋盘切成两个非空部分的五条水平切割线和垂直切割线都不是断层线.设x1,x2,x3,x4,x5分别是被水平切割线切到的多米诺骨牌数.一个水平方向的多米诺骨牌覆盖一行上的两个方格,因此x1,x2,x3,x4,x5都是偶数,即:x1+x2+x3+x4+x5>=2+2+2+2+2=10,即水平方向上至少有10个多米诺骨牌,同理垂直方向也有10个,而覆盖整个6X6棋盘只要18个骨牌,由于10+10>18,因此与题设矛盾,所以无论怎样覆盖,一定存在断层线,同理8X8得证.3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。
试推导：恰好存在8个3阶幻方。
因为3阶幻方的幻和为15,因此有:A+X+H=15D+X+E=15F+X+C=15B+X+G=15将四个式子相加,得3X+(A+B+C)+(D+X+E)+F+G+H=60,即3 X+15+15+15=60,即3X=15,解得X=5;(2)除去5外,剩下八个数可组成,并且只有4对相加为10的式子,由于中间必为5,所以这四对分布于每条经过X的4条线,当A的位置确定,则H确定,剩下3条线也就确定,因为A位置有八种可能,因此恰好存在8个3阶幻方.4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？答:因此,游戏初始是平衡的.当I从19的堆中取走6枚硬币后,各堆情况如下:5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。
组合练习题及答案
组合练习题及答案练习题一：组合的基本运算1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，求A的所有子集。
2. 集合B={a, b, c}，求B的所有真子集。
3. 若集合C={1, 2, 3}，求C的幂集。
4. 集合D={x | x是小于10的正整数}，求D的元素个数。
答案一：1. 集合A的子集有：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}。
2. 集合B的真子集有：∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}。
3. 集合C的幂集为：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}。
4. 集合D的元素个数为9，因为D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
练习题二：组合的应用问题1. 从5个不同的球中选出3个球，有多少种不同的选法？2. 有6个人参加一个会议，需要选出3个人组成委员会，有多少种不同的组合方式？3. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生代表，有多少种不同的组合方式？4. 一个团队有10名成员，需要选出队长和副队长各一名，有多少种不同的选择方式？答案二：1. 从5个不同的球中选出3个球的选法为C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
2. 从6个人中选出3个人组成委员会的组合方式为C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20种。
3. 从30个学生中选出5个学生代表的组合方式为C(30, 5) = 30! / (5! * (30-5)!)。
4. 从10名成员中选出队长和副队长的组合方式为C(10, 1) * C(9, 1) = 10 * 9 = 90种。
组合数学习题答案（部分）
n 阶幻方的构造
分三种情况：n 为奇数、n 为 4 的倍数、n 为其它偶数(4n+2 的形式)
⑴ n 为奇数时，最简单
(1) 将 1 放在第一行中间一列; (2) 从 2 开始直到 n×n 止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，（如向右上） 每一个数存放的行比前一个数的行数减 1，列数加 1 (3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如 1 在第 1 行，则 2 应放在最下一行，列数同样加 1; (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第 1 行 第 n 列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。
置的元素。 （4）调换 A 区和 D 区，B 区和 C 区中选定的对应元素。
30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20
1
)
34
2 42
3!
43
2(1 1 1 1 ) 2(1 0.083 0.0069) 2.1522 12 9 16
第四章 容斥原理
2.
4.
5.
6.
7. 求集合{1，2，…，n}的排列数，使得在排 列中正好有k个整数在它们的自然位置上。
8.
13.
14.
16.
⑵ n 为 4 的倍数时
采用对称元素交换法。 1.把 数 1 到 n×n 按从 上至下，从左到 右顺序填入矩阵 2.将方 阵的所有 4×4 子方阵中的两对角 线上位置的数关 于方阵 中心作对 称交换 ，即 a(i,j)与 a(n+1-i,n+1-j) 交换，所有其它位置上的数不变。
组合数学习题答案.
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
组合数学题目及标准答案
组合数学题目及标准答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
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第二章作业答案7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。
将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。
这样，将这52个整数分成了51组。
由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。
若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。
若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。
11. 一个学生有37天用来准备考试。
根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。
证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。
因为她每天至少学习1小时，所以3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。
因为总的学习时间不超过60小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。
3721,,,a a a ,13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。
14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-⨯个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。
因此，需要45分钟。
17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到1-n 的整数。
若有两个人的熟人的数目分别是0和1-n ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。
因此，这n 个人的熟人的数目是1-n 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
第三章作业答案6. 有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？ (a) 各位数字互异。
(b) 数字2和7不出现。
解 因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。
① 考虑8位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)7,7(7P ⨯个。
② 考虑7位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)6,7(7P ⨯个。
③ 考虑6位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)5,7(7P ⨯个。
④ 考虑5位整数。
最高位不能为0，因此8位整数有)4,7(7P ⨯个。
⑤ 考虑4位整数。
若千位数字大于5，有)3,7(3P ⨯个。
若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有)2,6(4P ⨯个。
根据加法原理，符合条件的整数的个数为94830)2,6(4)3,7(3)4,7(7)5,7(7)6,7(7)7,7(7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯P P P P P P8. 15人围坐一个圆桌。
如果B 拒绝挨着A 坐，有多少种围坐方式？如果B 只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？解 15人围坐一个圆桌，有!14种围坐方式。
若B 固定坐在A 的左侧，则可将BA 看作一个整体，有!13种围坐方式。
若B 固定坐在A 的右侧，则可将AB 看作一个整体，有!13种围坐方式。
因此，B 不挨着A 坐的围坐方式有!1312!132!14⨯=⨯-种，B 不坐在A 的右侧的围坐方式有!1313!13!14⨯=-种。
11. 从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。
假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。
解 设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。
若甲和乙均不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
若甲和乙均入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
若甲入选且乙不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
若乙入选且甲不入选，组队方法数也为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫⎝⎛45。
因此，组队方法数总共为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛45+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭⎫⎝⎛45+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯456835782=112021. 一位秘书在距离家以东9个街区、以北7个街区的一座大楼里工作。
每天他都要步行16个街区去上班。
(a) 对他来说可能有多少不同的路线？ (b) 如果在他家以东4个街区、以北3个街区开始向东方向的街区在水下（而他又不会游泳），则有多少条不同的路线？解 (a) 用E 表示向东步行1个街区，用N 表示向北步行1个街区。
因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集}7,9{N E ••的排列。
这样的排列的个数为=!7!9!1611440。
(b) 若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向东走一个街区，最后走到工作的大楼。
他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集}3,4{N E ••的排列数，即=!3!4!735。
他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集}4,4{N E ••的排列数，即=!4!4!870。
所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是24507035=⨯。
因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是8990245011440=-。
26. 确定多重集}5,4,3{c b a S •••=的10-排列的个数。
解 S 的有1个a ，4个b ， 5个c 的10-排列的个数为1260!5!4!1!10=。
S 的有3个a ，2个b ， 5个c 的10-排列的个数为2520!5!2!3!10=。
S 的有3个a ，4个b ，3个c 的10-排列的个数为4200!3!4!3!10=。
S 的有2个a ， 3个b ， 5个c 的10-排列的个数为2520!5!2!3!10=。
S 的有2个a ， 4个b ， 4个c 的10-排列的个数为3150!4!4!2!10=。
S 的有3个a 3个b 4个c 的10-排列的个数为4200!3!4!3!10=。
S 的10-排列的个数为17850315042002252021260=+⨯+⨯+。
31. 方程304321=+++x x x x 有多少满足21≥x ，02≥x ，53-≥x ，84≥x 的整数解？ 解 进行变量代换：211-=x y ，22x y =，533+=x y ，844-=x y则方程变为254321=+++y y y y原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。
新方程的非负整数解的个数为3276!32627283282528251425=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 第五章作业答案8. 用二项式定理证明kn nk k nk n -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3)1(20证明 由二项式定理知道∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k k n ny x k n y x 0)( 令3=x ，1-=y 得∑∑=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=nk k n k nk k k n nnk n k n 003)1()1(3))1(3(2 18. 求和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n 11)1(3412311211 解法1 对任意非负整数n 和k ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k n n k n k )1(11)1(，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k n k k n n 111111，因此，⎪⎪⎭⎝+-++⎪⎪⎭ ⎝-⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝-n n n 1)1(3423121∑∑∑+=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=111001)1(11111)1(1)1(n k k n k knk kk n n k n n k n k11110111)1(111)1(111011+=++=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∑∑+=+=n n n k n n k n n n k k n k k 解法2 由二项式定理知道∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nk kk nx k n x 0)1()1( 两边分别求积分得111)01(1)11()1(111+=+-++--=-++⎰n n n dx x n n n∑⎰∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk knk kk k n k dx x k n 01001)1()1( 所以1111)1(3412311211+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n n 20. 求整数a ，b 和c ，使得对所有的m⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1233m c m b m a m求级数的和3333321n ++++ 。
解 令1=m ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11213113c b a ，因为02131=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以1=c 。
令2=m ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12223223c b a ，因为032=⎪⎪⎭⎫⎝⎛，所以628=-=c b 。
令3=m ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13233333c b a ，所以63327=--=c b a 。
∑∑∑∑====⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++n m n m nm nm m m m m n 00003333312636321⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝=⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝+⎪⎪⎭ ⎝=246236464)1(2)1(!4)1()1)(2(622+=++-++=n n n n n n n n 25． 应用组合学论证方法，证明二项式系数的Vandermonde 卷积： 对所有的正整数1m ，2m 和n ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n m m k n m k m nk 21021作为特殊情形，推导恒等式（5-11）。