答案--2020年全国物理竞赛复赛试卷A

圆 圆 圆 的质点，以水平方向的初速度 与细杆发生完全非弹性碰撞，碰后二者粘连在一起。已知碰 撞点与地面的距离为 。
方
方
方
（1）求碰后系统的质心速度和转动角速度；
（2）已知
，若细杆尚未离开地面，当杆与水平面夹角为 时，求系统的转动角速度 ；
育 （3）在（2）的基础上，已知
的大小。
,
育 ，求杆与水平面夹角为 时地面对杆支持力
方
方
方
试卷 1 答案
一、（40 分）如图所示，一个质量为 的大物块置于光滑水平面上，大物块内有一个长方形
光滑空腔，其中放有一个质量为 的小物块（视为质点）。两物块由一个劲度系数为 的弹
育 育 簧相连，且在运动过程中不会发生碰撞。一个周期性外力
（ ）作用于
大物块上，将其推前、拉后，在本题的讨论中，系统的振动已经达到稳态。在地面参考系中
h
t
育h
育
教
教
教
圆 解得 方
圆
方 t
h
t
h
t t
圆 方
（3）两个角速度分量Ω 满足
Ω
t
−Ω
Ω
育 教
Ω
育 解得 教Ω
Ω
育 教
圆
圆
Ω
圆
方
方 以质心为参考点，角动量的两个分量为 Ω
Ωt
方
可见相对于 ， Ω是高阶小量，可以忽略。则
育 对质心，
教
圆 解得
方
应满足
，解得
育 教t 圆 方
育 教 圆 方
方
方
方
评分标准：本题共 40 分。第（1）问 6 分，（1）（2）（3）式各 2 分；第（2）问 18 分，（5）
育
教 教 建立图示坐标系，以大物块的平衡位置为原点，将大物块、小物块的位置分别记为 和 。已知弹簧的原长为 ，大物块内壁与外壁之间的厚度忽略不计，本题中的“大物块
教
位置”，指的是大物块左侧边缘的位置。（提示：稳态振动时，两物块均以与外力相同的频率
圆 圆 作简谐振动，且两物块的相位差仅可能为 0 或 ）。
育
教参考答案 （1）质心速度
圆
教 圆
教 圆
方
系统质心与地面的距离
方
方
t
绕质心的转动惯量 t
育 角动量守恒
育
教解得 圆 （2）将
t 代入得初角速度
教 圆
方
质心位置
方
育 教 圆 方
方
方
方
转动惯量
育
育
教
教
圆
圆
方
方 设质心的水平、竖直速度分量为 ，水平方向动量守恒，满足
机械能守恒
h
育 且
育
教解得
教
圆
t
圆 h
育 育 （6）（7）式各 2 分，（8）式 4 分，（9）（10）式各 2 分，（11）（12）式各 2 分；第（3）问
16 分，（16）（17）（18）（19）式各 1 分，（20）式 2 分，（21）式 3 分，（22）（23）各 1 分，
育
教（25）2 分，（26）式 3 分。
教
教
三、（40 分）一根质量为 ，长度为 的均质细杆竖直放置在光滑水平面上，一个质量为
育 育 分；
第（2）问 16 分，（7）（8）（9）式各 1 分，（10）（12）式各 2 分，（11）式 4 分，（13）式 5
育
教 教 分；第（3）问 14 分，（14）式 1 分，（16）式 4 分，（17）（18）（19）式各 2 分，（20）式 3 分。
教
圆 圆 圆 四、（40 分）如图所示，A、B 为两个完全对称的房间，中间由一堵墙隔开。在两个房间内， 分别安装了一台空调，空调视为能自由调节功率且最大功率恒定的卡诺热机，但两台空调的
育 因此 教 圆 tt
（2）由（1）的结果可知
方 解得
育 教 圆 方
育 教 圆 方
方
方
方
（3）根据（1）的结果
育
教
圆 因此
时刻，
方
育 教 圆 方
t
质心位置为
育 教新的振幅和角频率分别为 圆 方
育 教 圆t 方t
育 教 圆 方
育 教 圆 方
因此
育 教
t
cos
育
t
教
cos
育 教
圆 圆 圆 评分标准：本题共 40 分，第（1）问 16 分，（1）（2）式各 3 分，（3）（4）式各 1 分，（5）
方Hale Waihona Puke Baidu
方 火车不会侧翻， 应满足什么条件（可舍去一阶小量）？
参考答案：
方
（1）设支持力为 ，则
h
解得
育
育 t
教（2）设 A、B 所受支持力分别为
教 。系统的转动角速度Ω满足
Ω
圆
Ω
圆Ω
方
方
系统绕质心的转动惯量
角动量
育 教 圆 方
t
方
方
方
Ωt 角动量矢量在一个圆锥面内匀速转动，其变化率为
育 因此，对于质心，
育
育
育
教
教
教
圆 圆 圆 （1）将火车视为质量为 的质点，为了不损伤轨道，要求火车仅在自身重力和轨道提供的 支持力 的作用下，即可进行匀速圆周运动，求倾角 的值；
方
方
方
（2）
（3）
育 育 （2）如图，将火车模型化为 A、B 两质点和一根细杆的组合，两质点质量均为 ，由一根
长 ，质量 的细杆连接，但只有 A、B 两点与轨道接触，AB 中点的运动半径为 R。已知
方
方 方 式 4 分，最终结果正确得 4 分；第（2）问 6 分，（8）式 6 分；第（3）问 18 分，（12）（13）
式各 3 分，（15）（18）式各 2 分，（19）(20)式各 4 分。
方
方
方
二、（40 分）火车在圆形轨道上以恒定的速率 行驶，轨道的半径为 ，圆心为 。已知轨 道建在图示的一个圆锥面上，圆锥的顶角为 − ，重力加速度为 ，各种摩擦力不计。轨 道提供的支持力可以包含图示两个方向的分量。
方
方 方 最大功率不同，空调外机均安装在室外。同时，房间与室外、房间与房间的热传递功率均正
t
t
t t
方
（3）将已知条件代入得
方h t
两边对时间求导
h
h
t
h
h
育 质心的竖直方向加速度
育 t
教
tth
教h
h
h
圆 对质心，
圆t h
方 解得
方−
育 教 圆 方
育 教 圆 方
育 教 圆 方
方
方
方
th
h
th
评分标准：本题共 40 分.第（1）问 10 分，（1）（3）式各 1 分，（2）（4）（5）（6）式各 2
， 取（1）问所得值，从而确保
；
三点始终处于同一竖直面内。分别求
教 教 出 A、B 两点所受支持力的大小（保留至一阶小量）； （3）在（2）的基础上，把 A、B 两质点换成两个质量为 ，半径为 （
， 与 同阶）
育 教
圆 圆 圆 的均质圆盘，圆心分别连接在杆的两端。这种连接机构可以使两圆盘分别进行角速度可能不 同的自由转动，同时使圆盘与细杆保持垂直。已知两圆盘做纯滚动，其余条件同（2），要使
圆
方
方
方
育 育 （1）设大物块的加速度为 ，定义系统的有效质量为 tt
（2）接上问，求出使得有效质量为负数的角频率 的范围。
，求出
教（3）在 的和
教 时刻之前，系统的振动已经达到稳态。此时突然撤去外力
。
圆 参考答案： （1）系统的动力学方程为
方 简谐振动满足
圆 方−
t
tt。
育
教 ，求
时
圆
方
联立（2）（4）式可得