化归思想在方程中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用化归思想是数学中一种非常重要的思想方法，它在初中数学教学中有着广泛的应用。
化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题，并通过解决简单问题来解决复杂问题。
化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。
一、化归思想在初中数学解题中的应用在初中数学解题中，我们经常会遇到一些复杂的问题，如方程、不等式、几何图形的证明等等。
而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题，从而更容易得到解答。
1.方程的化归在解方程时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程，从而更容易求解。
例如，对于一个三次方程，我们可以通过令新的变量等于该方程的根，再进行适当的变换，将该三次方程化归为一个二次方程。
这样一来，我们只需要求解这个二次方程，就可以找到原方程的解。
2.几何证明的化归在几何证明中，有时我们遇到的问题相对复杂，而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。
例如，在证明一点为某个角的平分线时，我们可以通过绘制一条垂直平分线，将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。
这样一来，我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。
3.不等式的化归在解不等式时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。
例如，对于一个含有绝对值的不等式，我们可以通过将绝对值拆分为两个情况，分别进行讨论，从而化归为不含绝对值的简单不等式。
这样一来，我们只需要分别求解这两个简单不等式，就可以得到原不等式的解集。
二、化归思想在初中数学教学中的教学模式化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用，即可以用来引导学生形成良好的解题习惯，提高学生解题能力。
1.引导学生合理化归问题在教学中，教师可以通过设计一些具体问题，引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。
例如，在教学解一次方程时，教师可以设计一些与现实生活有关的问题，让学生先找到问题中的未知数，并通过列方程解决问题。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。
在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。
化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。
本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。
一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。
化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。
化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。
在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。
1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。
几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。
很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。
在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。
这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。
2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。
有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。
在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。
对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。
解方程的本质是化归
杂的形式转化为较简单 的形式 ， 亟待解决 、 将 不很熟
悉 或较 难 解 决 的 问 题 ， 化 为 已经 解 决 的问 题 ； 者 ， 转 或
整理 ， 解 得 ： ＋３ （ １一 Ｏ 分 （ ） 一 ） ，
。 ．
…… ②
． １ ～ ３ ２ １ 一 ， 一 ．
经过多次转化 ， 将其转 化为形式 更简洁 、 更便 于解 决
的根 本 目的．
点 评 ： 里 的 步 骤 ① ， 原 方 程 左 边 的 三 次 多 项 这 将
式分解成 了三 个一 次 因式的积 的形 式（ 通常 称为 降
次 ）达 到 了 简化 形 式 的 目的 ； ， 步骤 ② 将 原 来 的 一 元 三
次 方程 转 化 为 三 个一 元 一 次方 程 ， 而一 元 一 次 方 程 是
不 等 式 的 问题 ． 这一 系列 的 转 化 过 程 ， 数 与 形 之 间 的 转 化 ， 有 有
纯代数问题之问的形式的转化 （ 讨论方程 的解——讨
论 多 项式 的值 — — 讨 论 不 等 式 的 解 集 ） 最 终 实 现 了 ， 化 繁 为 简 ， 现 了 化难 为 易 ． 实 综 上所 述 ， 方 程 的本 质 是 化归 ！ 解
‘ ．
．
＝
＋ ｍ 的 图 象 的公 共 点 的 问题 — — 何 时 它们 有 两
原 方 程 可 变 为 Ｙ 一７ 一４ 一Ｏ 。 ４ ，
… …① … …② … …③
个公 共 点 ？ 何 时 只 有 一个 公 共 点 ？何 时没 有 公 共 点？
分解 因式 ， （， １ ）． ４ 一Ｏ 得 ． １ （， ） ， ） 一 ） ＋ 解 得 Ｙ 一 ｌ ，２ 一４ １ １Ｙ 一 ．
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
化归思想──小学数学思想方法的梳理
化归思想──小学数学思想方法的梳理二、化归思想1．化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2．化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
例谈小学数学化归思想的渗透
例谈小学数学化归思想的渗透
小学数学化归思想是指将一个复杂的问题转化为与之等价的更简单的问题，以便更容易地解决原问题的思想和方法。
化归思想在小学数学中有着广泛的应用，无论是在数学知识的掌握还是解决实际问题中都有重要作用。
以下是几个例子。
1. 分数的通分
在小学数学中，分数的通分是基础操作之一。
例如，要将分数$\\frac{2}{3}$ 和 $\\frac{3}{4}$ 归为同一分母，可以使用化归思想，将它们化为 $\\frac{8}{12}$ 和 $\\frac{9}{12}$，这样就可以直接进行比较和运算了。
2. 方程的化简
在解决方程时，运用化归思想可以将一些复杂的式子简化为更简单的形式。
例如，对于方程 $3(x+2)+4x=2x+5(x+4)$，可以化简为 $7x+6=7x+20$，进而得到 $x=-2$。
3. 线性方程组的解法
解决线性方程组时，也可以使用化归思想。
例如，对于方程组$\\begin{cases}2x+3y=7\\\\3x-2y=5\\end{cases}$，可以先将第二个方程化简为 $y=\\frac{3}{2}x-\\frac{5}{2}$，再代入第一个方程得到 $2x+3(\\frac{3}{2}x-\\frac{5}{2})=7$，解出 $x$ 后再代入式子求得 $y$。
4. 图形的相似性质
在几何学中，使用化归思想可以证明两个图形相似。
例如，当两个三角形的各对应角度相等时，可以将它们化归为两个直角三角形来比较它们的边长比。
综上所述，小学数学中化归思想的应用范围很广，可以在数学知识的掌握和实际问题的解决中起到重要的作用。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用化归思想是数学中常见且重要的思想方法之一，它在高中数学函数学习中有着广泛的运用。
化归思想通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决函数的性质和应用。
本文将从函数的基本性质、函数图像和函数的应用三个方面介绍化归思想在高中数学函数学习中的具体的运用。
化归思想在函数的基本性质中的运用。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等，这些性质是研究函数的重要基础。
在求解函数的基本性质中，化归思想可以通过等价变形、代入等方法将问题转化为简单的形式。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，要求该函数的顶点，可以先通过求导的办法得到导函数y'=2ax+b，令y'=0，解得x=-\frac{b}{2a}，即可得到x坐标，再将x代入原方程求得对应的y坐标，从而得到顶点。
这里通过将问题转化为代数方程求解的方式，简化了求解的过程，提高了求解的效率。
化归思想在函数图像的研究中的运用。
对于函数的图像研究，化归方法可以将复杂的曲线转化为简单的曲线，从而更好地进行分析和研究。
对于一元高次函数y=x^n (n>0)，为了研究其图像特点，可以先将x的取值范围限制在正数或负数上，然后通过变换坐标轴的方式，得到相应的图像。
在具体研究时，可以通过改变n的值，比较不同情况下曲线的图像特点，从而深入理解函数的性质和特点。
由于一元高次函数的图像较为复杂，通过化归思想可以提取其重要特征，从而更好地进行分析和讨论。
化归思想在函数的应用中的运用。
函数的应用是数学学科的重要组成部分，通过将实际问题抽象为数学问题，然后通过函数的性质和方法进行求解，从而得到问题的解答。
在函数的应用中，化归思想可以将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，从而更好地进行求解。
在函数的最值问题中，可以通过化归思想将问题转化为函数的极值问题，然后通过求导和讨论函数的单调性，得到函数的最值点。
这种化归思想的运用，既减小了问题的复杂度，又提高了求解的效率和准确性。
化归思想在中学数学方程中的运用
化归思想在中学数学方程中的运用数学方程是数学中最基础和重要的课题，也是数学实践中最有用的工具。
在解决复杂数学问题时，可以利用数学方程来求解，这是最有效的方法。
数学方程分为一元、二元、多元三类，并且，运用不同的解法和方法来解决这些方程，占据着重要的地位。
因此，学习和提高数学方程的解法和解题技巧是一项必不可少的任务。
化归思想是中学数学方程最基本的解法思想和技巧之一，其在解决中学数学方程非常重要。
它的基本要求是：将复杂的问题分解成更容易解决的小问题，并以此类推，直到问题得以解决。
具体的步骤是：一、分析问题，分解问题并重新安排顺序。
二、进行化简，将复杂的问题简化为容易管理的小问题，并记录每一步的解题过程。
三、运用定理、公式及其他方法解决小问题，求出变量的值。
四、检验结果，以确保无误。
综上所述，化归思想在解决中学数学方程时极具重要性。
不仅通过这种思想，可以解决一类较复杂的问题，而且可以帮助学生将问题分解成更加容易理解、更易于把握的小问题，以便有效地解决问题。
另外，当学习到某一步之后，也可以使用化归思想，将其前面的知识联系起来，回顾学习过程，从而更深刻地理解及掌握已学到的知识，这也是解决问题的很好方法。
最后，通过大量的练习，我们可以更好地掌握化归思想，从而提高解决数学方程的能力。
因此，数学老师在上课时也应该结合练习，让学生们加强对数学思维和化归思想的掌握，这样，学生们才能在解决数学方程时，能够用自己的理论知识与实践经验结合能量，把问题解决的更加熟练，更有效率。
综上所述，化归思想在解决中学数学方程中占据着重要的地位，可以帮助学生把复杂的问题分解成更容易解决的小问题，加深学生对数学思维以及相关知识的理解，这样，学生们就能在解决数学方程时，得到最有效的解决方案。
总之，学习和掌握数学方程的解法和解题技巧，化归思想是必不可少的，更是一项必修课，学生们应该加强训练，以达到良好的学习效果。
化归思想在常微分方程教学中的应用
０ 引 言
常微 分方 程是 ｌ 纪 与 微 积 分 同 时 诞 生 的 一 门 理 论性 极 强 且应 用 广 泛 的数 学 学 科 之 一 ． 历 史 上 ， ７世 在
牛顿 正是 通过 求解 常微 分方 程证 实 了地球 绕 太 阳运 动 的轨 道是 椭 圆的 ； 当斯 和勒 威 耶 通 过常 微 分方 程 的 亚
一
阶隐常 微分 方程 Ｆ（ Ｙ Ｙ ） 以直接解 出 Ｙ ， ， ， 难 可通过 引入 参数 将其 化 为导数 已解 出的类 型 （ 即一 阶常
微分 方程 的五 种 常见类 型 之一 ） 求解 ．
１ ３ 高 阶 微 分 方 程 解 法 中 的 化 归 ．
求解 常系 数齐 次线 性方 程 的特 征根 法 （ 欧 拉 待定 指 数 函数 法 ） 微 分 方程 的求 解 问题 化 为 代数 方 程 或 把 的求 根 问题 ， 而省 去 了相 对 繁 杂 的积 分 运算 ． 于求非 齐 次项 为 多项 式 函数 、 数 函数 、 弦 （ 从 用 指 正 或余 弦 ） 函
Ｖｏ１ ２ｌ Ｎｏ ． ．１ Ｍａ ． Ｏｌ ｒ２ ２
ｄ ｉ １ ３ ６ ／ ．ｓｎ １ ０ ｏ ：０． ９ ９ ｊ ｉｓ ． ０ ７—０ ３ ． ０１ ． １ ０１ ８４２ ２Ｏ ． ７
化 归 思 想 在 常 微 分 方 程 教 学 中 的 应 用
ｆ 娜 ， 群 珍 ， ｑ 郑
（ ． 南农 业 大 学 信 息 与 计 算科 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０ ０ ； ． 南教 育 学 院 数 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０４ ） １河 河 ５０ ２ ２ 河 河 ５ ０ ６
数 以及 它们 的某种 乘积 组合 的常系 数非 齐次 线性 ， 如 把原 问题 化 为代 数 方程 求根 问题 ． 求一 般 二 阶非齐 次线 性方 程 特解 的幂级 数解 法 和待定 系数 法 的简化 思想 类似 ． 求解 常 系数非
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用【摘要】本文围绕着转化与化归思想在中学数学中的应用展开讨论。
首先介绍了数学问题的转化与化归方法，指出这种思维方式在解决问题时的重要性。
然后通过具体的数学题目应用举例来说明转化与化归思想在实际问题中的灵活运用。
接着探讨了如何利用这种思想解决实际生活中的问题，并分析了转化与化归在数学证明过程中的应用。
也提及了转化与化归技巧在数学竞赛中的重要作用。
总结了转化与化归思想在中学数学中的重要性，并展望了其在数学教学中未来的发展潜力。
可以看出，转化与化归思想不仅在解决数学问题中发挥着关键作用，同时也对学生的思维方式和解决问题的能力有着积极影响。
【关键词】转化与化归思想、中学数学、数学问题、应用举例、实际问题、数学证明、数学竞赛、技巧、重要性、未来发展、应用价值。
1. 引言1.1 转化与化归思想在中学数学中的应用转化与化归思想在中学数学中的应用是数学学习中至关重要的一环。
通过将问题进行转化和化归，我们可以更好地理解数学概念，解决数学问题。
在数学问题的转化与化归中，我们可以通过找到问题之间的联系，将复杂的问题简化为更容易解决的形式。
这种思维方式不仅可以帮助我们更深入地理解数学知识，还可以提高解决问题的效率。
在数学题目中的应用举例中，我们可以看到转化与化归思想的实际应用。
在解决几何问题时，我们可以通过将问题转化为代数形式来简化计算，更快地找到答案。
利用转化与化归思想解决实际问题也是值得重视的。
在现实生活中，我们经常会遇到各种复杂的问题，而通过运用数学思维，将问题转化与化归，我们可以更好地解决这些问题。
转化与化归思想在中学数学中的应用是非常重要的。
通过运用这种思维方式，我们可以更好地理解数学知识，解决数学问题，提高数学竞赛成绩。
展望未来，我们可以进一步探索转化与化归思想在数学教学中的应用，提高学生的数学学习兴趣和水平。
转化与化归思想的应用价值将会在未来得到更加充分的发展和体现。
2. 正文2.1 数学问题的转化与化归数学问题的转化与化归是指将一个复杂的问题或题目转化成更简单或更熟悉的形式，从而更容易解决。
化归思想在初中数学方程解法中的运用
例 ４ （＋ ）３ ４ 你 能把 这 几 个 方 程 能 化 成 方程 （） 形 式 ．２ｘ １＋ ＝ ， １的
练 习 ：１ （ １ ３＝ （ ）２ ＋ ） ｘ ４ ｘ 一
简， 由暗 到 明 。但 在解 方 程 教 学 过程 中 ， 知识 的呈 现 却 要 从 简 到 繁。
【 计分析】 设 这 是一 个 非 常 简单 的一 元 二 次方 程 ，它 的 解 可 以用 平 方 根
的 知 识 求 出 ｘ＝ ，ｚ一 ，为 例 ２的 方 程 的 求解 提 供 方 法 的准 备 Ｉ ｘ＝ ２ ２ 和 知识 的铺 垫 。
立思 考 把 本 题 转 化 为第 ｆ） 的 形 式 ， 且 归 纳 出 含 未 知 数 且 系 １题 并 数为正负 １ 的方 程 ， 这 种 方 法 转 化起 来 就 非 常 方便 。 二 元 一 用 解 次方 程 组 的 本质 ，就 是 把 解 二元 ～ 次 方 程 组转 化 成 一 元 一 次 方 程， 这是 总 的指 导 思想 。 上 面 三 小题 都 是 含 未 知数 的 ，且 系 数 为 正负 １的特 殊 的 二
（）２ｘ １ ３ — ）４ ２ （ ） （ １ ＋ 一ｘ ＝
一 元 二 次 方 程 的特 点 在 于 “ 次 ”要把解一元二次方程这 二
，
例５ ．
Ⅱ ，＋
１
一 半
。
＝， 把这个方程能 ２ 你能 化成没有分母的 个新问题 转化为已 解决的问 其基本策 题， 略是将其将一元 二次
例 ３ ２ ｘ ３＝ ， 能 把 这 个 方 程 能 化 成 方 程 （ 的 形 式 吗 ？ ． （＋ ）４ 你 ２ ）
化归思想在解方程（组）教学中的应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１４９㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２化归思想在解方程教学中的应用化归思想在解方程（组）教学中的应用Һ王志宇㊀苗凤华∗㊀（长春师范大学，吉林㊀长春㊀１３００３２）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着课程改革，在数学课程和教学中渗透一些数学思想方法越来越重要，其中化归思想是数学中重要的数学思想方法之一，在数学知识学习和数学解题中都经常用到．初中数学解方程（组）教学主要包括：一元一次方程㊁二元一次方程组㊁可化为一元一次方程的分式方程．尽管每类方程（组）的解法不尽相同，但是归根结底是利用化归的基本思想将方程（组）转化为最基本的一元一次方程的问题，文章主要介绍化归思想在这些内容中的应用．ʌ关键词ɔ化归思想；二元一次方程组；一元二次方程；分式方程一㊁历史上的化归思想应用综述化归思想是数学中常用的数学思想方法，无论在新知学习还是在数学解题中都经常用到．很多著名学者都对化归思想有过比较深入的研究．下面举几个典型的例子．１７世纪，法国数学家笛卡尔发明了解析几何，解析几何实现了用代数的方法研究几何问题，按照他的观点，所有问题都可化归为数学问题，进而可化归为代数问题，最终化归为解方程的问题．笛卡尔建立的平面直角坐标系，成功实现了几何问题向代数问题的转化．古希腊数学家欧几里得著的‘几何原本“是古希腊数学的代表作，这本书构建了几何公理化体系．将众多几何命题的证明都归结为最基本的定义㊁公设和公理，几何公理化体系是化归思想的典型应用．我国古代著名的‘九章算术“在历史上有着非常重要的价值．书中的每一个题目都由 问㊁答㊁术 组成． 术 即解决问题的方法．书中很多解决问题的方法都体现了化归思想．此外，很多问题都是将实际生活中的问题转化为数学问题．这种将生活中的实际问题转化成数学问题的过程充分体现了化归的数学思想．二㊁化归思想的概念化归思想是指在解决数学问题时通过变换条件使之转化，进而解决问题的一种方法，即转化和归结．它是一种非常重要的数学思想方法，化归思想往往能够将一些未知的㊁复杂的问题，转化为已知的㊁简单的问题，并使之得到解决．三㊁解方程（组）教学中出现的一些问题（一）忽视学生主体性在实际教学中，存在着教学过于注重 基 的落实，而忽视了学生的主体性的问题．解方程（组）作为数学教学中的重点内容，很多教师过于强调基础知识，注重对解方程（组）步骤的归纳，并通过机械训练实现对学生解题的强化，忽视了对数学思想方法的渗透，同时忽视了学生自己去探究的过程，学生仅仅知道 怎么做 而不知道 为什么这样做 ，这就难以使学生了解化归思想的作用，难以利用化归思想学习知识．（二）忽视化归思想渗透在初中数学方程（组）的实际教学当中，许多教师把教学重点放在归纳解方程的步骤上，忽视了化归思想的渗透，忽略了知识生成的过程，不肯花费时间让学生探索知识的形成过程，抑制了学生的思维，导致其逐渐丧失了学习数学思想方法的欲望．（三）缺乏精讲精练指导现在很多初中数学教师在开展方程（组）有关内容的教学讲解和练习时引导学生套用步骤进行机械训练．而精讲精练应该是把讲解重点放在对学生思路的引导：即面对新的知识如何思考，将其转化为已有的知识，并有针对性地进行练习，否则学生只会死板地套用，并不知道知识间存在的内在联系，学生则记忆困难，面对陌生一点的题目就无从下手．四㊁化归思想在解方程（组）教学中的应用方程求解的模式基本为化归为一元一次方程进而化为ａｘ＝ｂ（ａʂ０）的形式进行求解．如二元一次方㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５０数学学习与研究㊀２０２３ １２程组相比一元一次方程，多了一个未知数，在解二元一次方程组时无论是代入消元法还是加减消元法目的都是实现消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程的问题；三元一次方程组，是先通过消元的方法化归为二元一次方程组，再化归为一元一次方程的求解问题；可化为一元一次方程的分式方程则通过 去分母 转化为整式方程；一元二次方程则通过 降次 转化为一元一次方程的求解问题．教师教学前先要对教材内容进行分析，在进行教材分析时就应具有化归意识，找到其中运用的化归方法及其相关联的化归思想，厘清各部分知识之间的化归关系，更好地对教材相关知识进行整体把握．教师通过教材分析，挖掘出教学内容中能够渗透的化归思想，引导学生掌握化归方法，实现化归思想的有效渗透．以华师版初中数学教材为例，方程这一部分知识编排如表１所示．表１㊀初中数学教材中有关方程内容的编排方程类型在教材中的分布一元一次方程七年级下册一次方程组七年级下册可化为一元一次方程的分式方程八年级下册一元二次方程九年级上册从表１可以看出，虽然不同类型的分布在不同年级的教材中，但是它们之间是存在着一定联系的，如图１所示，各种类型的方程之间存在着化归关系．图１㊀各类方程之间的化归关系下面对化归思想在几种不同类型的方程中应用的进行举例分析．（一）化归思想在二元一次方程组教学中的应用学生在学习解二元一次方程组之前，学习过解一元一次方程，因此，可以通过化归，把 二元 变为 一元 ．但是，很多数学教师往往侧重于求解的步骤的教学，忽视了对 化归 思想的渗透．‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“将 能用代入消元和加减消元法解二元一次方程组 变为 能用消元法解二元一次方程组 ，这可以看出新课程标准不再限定学生用 哪种消元 ，而重点是达到 消元 的目的．如果教师能将化归思想的渗透落到实处，这样学生的分析问题能力㊁思维能力㊁逻辑推理能力都会有所增强．例１㊀解方程组ｘ＋ｙ＝４，①３ｘ＋４ｙ＝１４．②{求解这个方程组时，学生通常用常规的代入消元和加减消元得出答案．但是要想让学生深入理解 化归思想 的精髓，教师在教学中可以这样引导学生：ʌ问题引入ɔ出示二元一次方程组，请同学们思考：方程中有几个未知数？这和我们之前学过的方程有何区别？引导学生想出解决思路 消掉其中一个未知数，将其转化为学过的一元一次方程．ʌ问题ɔ消掉哪个未知数更好？（引导学生观察方程）在这个过程中学生能够充分观察思考，体现了学生的主体性．ʌ归纳ɔ学生会用各种方法找出解题思路．把ｘ＋ｙ看成一个整体，再将方程②变形为３（ｘ＋ｙ）＋ｙ＝１４，③那么将方程①整体代入③，可得３ˑ４＋ｙ＝１４，这样就非常容易将二元一次方程组转化成了一个一元一次方程问题．ʌ总结与强化ɔ教师归纳总结：由于整体代入后容易消掉未知数ｘ，所以没有必要按照传统的固定模式去套用．看到一个二元一次方程，要先观察㊁思考，核心是 消元 ，而消元方法是多样的．这样就实现了对学生学习方法的指导和精讲精练的目的，在具体问题中渗透了化归思想．（二）化归思想在三元一次方程组教学中的应用三元一次方程组属于‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中规定的选学内容，不做考试要求，因此很多教师认为学习三元一次方程组会增加学生负担，但是如果领悟到解三元一次方程组的基本思想 化归为二元一次方程组，即可将复杂问题简单化．而且，消元的方法不是一成不变的，是灵活的，为了让学生意识到这一点，深刻体会转化的思想，可以设计如下的例题．例２㊀解方程组ｘ＋ｙ＝３，①５ｘ－３（ｘ＋ｙ）＝１．②{ʌ思路分析ɔ观察后发现方程①的左边是ｘ＋ｙ，而㊀㊀㊀解题技巧与方法１５１㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２方程②的括号里也是ｘ＋ｙ，可以把ｘ＋ｙ视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到 消元 的目的．ʌ迁移运用ɔ请你按照上述方法，解方程组ａ＋ｂ＝５，①２ａ＋３ｃ＝１６，②ａ＋ｂ－ｃ＝１．③ìîíïïïï这样的设计，可以让学生通过例子体会到通过 整体代入 达到 消元 的目的，很容易地将三元一次方程组的问题转化为简单的二元一次方程组进而转化为解一元一次方程的问题．（三）化归思想在一元二次方程教学中的应用对学生而言，一元二次方程的学习难度是比较大的．而一元二次方程根与系数的关系，可以在不解方程也能得到一元二次方程的两根和与两根积的值．因此，它在一些求参数的值以及取值范围时非常适用．此外，有时可以将非一元二次方程的问题转化为一元二次方程，将复杂问题简单化．例３㊀ｍ，ｎ是两个不相等的实数，且ｍ２－３ｍ＋１＝０，ｎ２－３ｎ＋１＝０．求１ｍ２＋１＋１ｎ２＋１的值．对于这个问题可以采用以下教学设计：ʌ任务１ɔ引导学生将ｍ２－３ｍ＋１＝０通过移项㊁取倒数等方式转换为１ｍ２＋１＝１３ｍ．ʌ任务２ɔ整理得１ｍ２＋１＋１ｎ２＋１＝１３ｍ＋１３ｎ＝ｍ＋ｎ３ｍｎ．学生在完成两个任务时可先进行思考，再进行讨论．ʌ总结ɔ请同学思考，我们把这个问题化归为了一个什么问题？这样的教学过程，将复杂的题目转换成为一元二次方程，进而转化为一元二次方程根与系数的关系问题．这样解决了问题的同时让学生有了化归意识，体现了学生学习的主体性以及对学生学习方法的指导．（四）化归思想在换元法解决方程问题中的应用中学数学学习的分式方程仅仅局限于可化为一元一次方程的分式方程，对于超出这个范围的分式方程，我们可以通过换元的方法将其转化为学过的方程，实现化归．换元法就是用一个新的符号将未知式子代替，将复杂问题简化．它可以将不熟悉的问题转换为熟悉的问题，进而提高解题效率．在解一些较复杂的分式方程时，换元的一种常用方法，它还可以起到降次的作用，把高次方程转化为低次方程，这是化归思想的体现．例４㊀解分式方程：ｘ２－２ｘ＋ｘｘ２－２＝２．ʌ教学设计ɔ鼓励学生尝试解决（通常学生会去分母）这个方程去分母后整理为ｘ４－２ｘ３－３ｘ２＋４ｘ＋４＝０．这是一个一元四次方程，学生利用现有知识无法解决．让学生观察原方程的特点，通过观察，学生可以发现方程发现各个部分的联系，即ｘ２－２ｘ与ｘｘ２－２互为倒数，可设ｙ＝ｘ２－２ｘ，则原方程就化为了ｙ＋１ｙ＝２，这是一个分式方程，再进一步去分母化为ｙ２－２ｙ＋１＝０，解得ｙ１＝ｙ２＝１．由ｘ２－２ｘ＝１即可求出原分式方程的解为ｘ１＝２，ｘ２＝－１．这个问题能让学生意识到，陌生问题可以通过化归，转化为熟悉的问题．学生通过这个问题的解决进一步理解了化归思想，避免了遇到新问题 束手无策 的情况．结㊀语在解方程（组）的教学当中，化归思想是非常重要的数学思想之一，化归思想可以将复杂的问题转化为简单的问题．让学生抓住核心问题㊁深刻理解，更好地培养学生的思维．教师在日常教学中，要积极融入化归思想，不断激发学生的探究数学新知的兴趣，提高课堂教学效率．ʌ参考文献ɔ［１］钱佩玲，邵光华．数学思想方法与中学数学［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，１９９９．［２］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［３］马艳，马贵．化归思想方法在中学数学教学中的应用 以解方程为例［Ｊ］．北京教育学院学报（自然科学版），２０１２，７（０３）：１－４．。
化归思想在中学数学方程中的运用
化归思想在中学数学方程中的运用从古至今，数学是人类智慧的体现。
它有其自身独特的魅力，这种魅力就是方程思想。
用数学方法解决问题就叫做化归思想。
化归思想具有普遍性和一般性，要使化归思想得以广泛运用，必须掌握一定的方法，因此，化归思想与几何画板相结合是将其发挥的有效途径。
初中数学的方程在教学中经常被提到，许多知识点也是从方程过来的，但却未对方程进行系统深入地研究。
我们利用几何画板进行化归思想教学尝试。
1、方程变形法4、化归思想与函数思想相结合。
化归思想在方程中的应用在函数中比较常见，而函数又是方程思想的源泉之一。
数学中的一个问题常常用数学符号或几何图形描述，但又不能确切地表示成某些简单的式子，于是，便通过分析研究把它变换成用函数来描述的形式，从而便于人们用字母表达或计算。
把已知转化为未知，用函数的图像去描绘，这就是化归思想的重要方面之一。
中学数学的方程是用一般形式出现的数学模型，学生由于长期对“模型”的依赖，认为方程是很抽象、很深奥的概念，忽视了对模型的研究。
实际上，方程是最基本的、最简单的数学模型。
利用几何画板可以在画板中直观演示化归思想，如下图： 2、正、逆反例法一般来说，一个方程只含有一个未知数，当给出的方程中除了这个未知数外，还含有其他的未知数时，称之为复方程。
它实际上是由两个方程相加或相减得到的。
对于所含未知数较少的复方程，往往可以采取分步分析的方法，把未知数逐步加到方程中去，这样便可求得未知数。
4、化归思想与函数思想相结合。
化归思想在方程中的应用在函数中比较常见，而函数又是方程思想的源泉之一。
数学中的一个问题常常用数学符号或几何图形描述，但又不能确切地表示成某些简单的式子，于是，便通过分析研究把它变换成用函数来描述的形式，从而便于人们用字母表达或计算。
把已知转化为未知，用函数的图像去描绘，这就是化归思想的重要方面之一。
以上三点即是利用几何画板进行化归思想教学的几种方法。
方程是学生在小学里已经接触过的，有关方程的教学内容在初中仍占有重要地位，方程在物理、化学中都有应用，而且随着计算机技术的发展，方程在社会、经济等各个领域都显示出它强大的生命力。
运用化归思想指导方程教学
运用化归思想指导方程教学化归思想是一种重要的数学解题方法，在数学教学中占据着重要的位置。
运用化归思想指导方程教学，是提高学生数学能力的重要途径。
本文将从化归思想的概念和特点入手，针对方程教学的具体实践，探讨如何有效地运用化归思想指导方程教学，帮助学生提高数学解题能力。
一、化归思想的概念和特点化归思想是指将一个较为复杂的问题转化成为一个简单的问题，通过简单问题的解决，进而得到复杂问题的解决方法。
在数学中，化归思想常常运用于解决复杂方程和不等式的问题，通过变量代换、配方法、转移等手段，将原问题转化为已知问题，从而解决原问题。
（1）简化问题：化归思想可以将原问题转化为更为简单的问题，降低解题难度。
（2）灵活应用：化归思想可以通过多种途径进行变换和转化，具有较强的灵活性。
（3）拓展思路：化归思想可以拓展学生的解题思路，培养学生的逻辑推理和问题转化能力。
二、方程教学中的化归思想应用方程教学是数学教学中的一个重要内容，学生在学习方程解法时，常常面临着繁杂的解题过程和繁重的计算工作。
运用化归思想指导方程教学，可以帮助学生简化解题过程，提高解题效率。
1. 运用化归思想解决一元一次方程一元一次方程是初中数学中的基础内容，学生在初次接触解一元一次方程时，往往容易陷入繁重的计算之中。
此时，可以通过引导学生运用化归思想，进行简化和转化，帮助学生找到更加简便的解题方法。
对于方程2x+3=7，可以引导学生通过化简的方式，将方程化为x=2的形式。
这样可以帮助学生快速地找到方程的解，并使学生对方程解的概念有更加清晰的认识。
在高中数学中，学生需要学习解复杂的方程组，如线性方程组、非线性方程组等。
这些方程组往往涉及到较为复杂的计算和变换过程，容易让学生感到困惑和疲惫。
通过引导学生运用化归思想，可以帮助学生简化解题过程，降低解题难度。
对于线性方程组```math2x+3y=7x-y=2```可以通过化简和变换，将方程组转化为更为简单的形式，如```mathx=2y+2```这样可以帮助学生快速地得到方程组的解，并降低繁重计算的难度。
浅谈化归思想的应用
浅谈化归思想的应用化归通常分等价化归和非等价化归。
等价化归要求转化过程中前因后果时充分必要的，这样才能保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价化归其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如分式方程转化整式方程求解要验根）。
从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。
一、将不熟悉的、难解的、复杂的问题化归为熟知、易解、简单的问题例1求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最值。
通过代换，将求三角函数最值问题，转化为大家较为熟悉的二次函数条件最值问题，实现了数与数之间的转化。
把不熟悉的问题化归为熟悉的问题来求解。
例2在连接正方体8个顶点的棱、面对角线、体对角线中，共有多少对异面直线？分析：通过平时知识的积累，注意到一个三棱锥对应着3对异面直线，把问题转化为计算正方体的顶点能组成多少个三棱锥。
通过不同数学概念之间的转化，把难解的问题转化为易解的问题来求解。
二、将实际问题化归为数学问题例某工厂每年需要用某种电子元件5000个组装整机,这种元件每次不论进货多少个都要付手续费400元,进厂后每个元件存放一年的保管费是2元。
如果所需元件一次进货,则只需付一次手续费,但保管费则需较高费用；如果分多次进货,则手续费增多,但可以节省保管费。
假定每次进货的元件个数相等,为尽量减少手续费和保管费的总支出，那么该厂每年进货次数是几次时总支出最少？（不计购买元件的其他费用）分析：把实际问题转化为数学问题，利用次数n建立目标函数，转化为求函数最值的问题∴一年进货5次的总支出最少。
凡涉及成本最低、利润最大等应用问题的题目，可考虑建立目标函数，转化为求函数最值的问题来求解。
三、将抽象问题转化为具体直观的问题例某人射击7枪，击中5枪，问击中与未击中的不同顺序情况有多少种？分析：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，则问题可具体地转化下列问题，数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中有5项是1，两项是0，不同数列有多少个？通过合理假设，把射击中击中与不击中的不同情况的问题具体地转化为数学中的组合问题，这样就把抽象问题具体化了。
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化归思想在方程中的应用
【摘要】在数学教育中，化归方法是”问题”的一种重要手段和方法。
本文从化归的功能，化归的实质，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，着重归纳了用化归思想方法解题的三个注意点，力求比较全面地体现化归思想在方程解题中的作用和地位。
【关键词】化归方法方程
【中图分类号】g718 【文献标识码】a 【文章编号】
2095-3089（2013）01-0236-02
什么是化归方法，从字面上看，所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”，是指数学家把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
化归方法也称为化归原则。
在数学史上，曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。
例如，笛卡尔在《指导思想的法则》一书中就曾提出过如下的“万能方法”：
第一，将任何种类的问题化归为数学问题；
第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；
第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。
化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。
其一般模式是把所
要解决的问题a经过某种变化，使之归结为另一个问题a*，再通过问题a*的求解，得原有问题a的解答。
用框图表示如下：
化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。
要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的策略。
我们知道，在初等代数中方程的分类可列表如下：
方程代数方程有理方程整式方程一次方程二次方程高次方程分
式方程分式方程超越方程指数方程对数方程三角方程反三角方程
解一元代数方程，最基础的是要掌握一元一次方程ax+b=0（a≠0）和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法。
解一元分式方程和一元无理方程的基本方法都是通过适当的变形转化为解整式方程。
四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式。
解初等超越方程最终都转化为最简超越方程。
类型有：（1）指数方程ax=c（a>0，a≠1）；（2）对数方程logax=c（a>0，a≠1）；（3）幂函数方程xa=c（a是有理数）；（4）三角方程sinx=c，cosx=c，tanx=c。
而在解初等初等超越方程的过程中，又往往其转化成代数方程形式去解，最后才转化为最简单的超越方程的求解。
一、代数方程的求解
（1）解方程x4-25x2+144=0
分析：令x2=y，将上式转化成一元二次方程y2-25y+144=0求解（2）解方程6x4-25x3+12x2+25x+6=0
分析：将原方程变形为6x-2-25x-+24=0.令x-=y，将其转化成一
元二次方程6y2-25y+24=0去求解
（3）解方程x2+x+1=
分析：由于x2+x与互为倒数
解设x2+x=y，原方程可变形为
y+1=
解这个方程，得y1=-2，y2=1。
当y=-2时，x2+x=-2。
∵δ<0，∴该方程无实根；
当y=1时，x2+x=1，
∴x=
经检验，x=是原方程的根，所以原方程的根是x=。
（4）解方程--=0
分析：求根式方程的关键是去根号，将上式移项--方程两边同时平方得： =2，再次平方将其转化为一元二次方程6x2-x-5=0去求解。
二、超越方程的求解
（1）解方程6x+4x=9x
分析：将方程的两端分别除以9x，得x+x=1，令x=y，将其转化成一元二次方程x2+y-1=0求解。
（2）解方程log16-3x（x-2）=log82
分析：因为log82=，故有（16-3x）=x-2，从而可将其转化成一元二次方程x2-x-12=0去求解。
（3）解方程sin（2x）-12（sinx-cosx）+12=0
分析：一般的说，凡是可以求解的三角方程，总是通过恒等变形将原方程的求解转化为最简单三角方程的求解。
具体到此题，令sinx-conx=t，于是又t2=1-sin2x，从而可将原方程转化为
t2+12t-13=0去求解。
最后，又将所得sinx-cosx=1转化成最简三角方程sin（2x）=0去求解。
三、方程组的求解
（1）解方程组x+y+z=0............（1）x2+y2-z2=20 (2)
x4+y4-z4=560 (3)
分析：求解各种特殊类型的代数方程组的基本途径是将高次方程转化为低次方程，将多元方程化归为一元方程。
解：由（1）得x+y=-z （4）
由（2）得x2+y2=（x+y）2-2xy=20+z4，再利用（4）式，得
z2-2xy=20+z2，即xy=-10
由（3）得x4+y4=（x2+y2）2-2（xy）2=560+z4
于是有（20+z2）2-200=560+z4，解得z=±3
因此，将原方程组转化成两个二元二次方程组
x+y=3xy=-10与x+y=-3xy=-10
又将此两方程组转化成一元二次方程
t2+3t-10=0与t2-3t-10=0去求解
（2）解方程组sin2x+sin2y=x-y=
分析：先将原方程组转化为与它同解的方程组
cos（x+y）cos（x-y）=x-y=
再将它转化为代数方程去求解
x+y=（2n+1）πx-y=
参考文献：
1. 王子兴《数学方法论》中南工业大学出版社，1997.7
2.殷堰工.《数学解题策略精编》上海科技教育出版社， 1999.7
3. 黄文斐，徐凡等.《思维点拔与能力训练》辽宁大学出版社2000.7。