多项式的除法原理(综合除法)
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
求多项式的商式和余式的方法
求多项式的商式和余式的方法一、长除法：长除法是解决多项式除法的一种常用方法，它可以将多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。
步骤如下：Step 1：将被除式和除式按照降幂排列。
Step 2：取被除式的最高次幂的项与除式的最高次幂的项进行除法。
Step 3：将得到的商乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
Step 4：将新得到的多项式作为被除式，重复步骤2和3，直到得到最终的余式。
示例：将多项式f(x)=3x^4-2x^3-5x^2+4x+6除以g(x)=x^2-x+2首先，按照降幂排列，我们有f(x)=3x^4-2x^3-5x^2+4x+6g(x)=x^2-x+2然后，取最高次幂项进行除法3x^4÷x^2=3x^2将得到的商3x^2乘以除式g(x)，得到3x^4-3x^3+6x^2将新得到的多项式3x^4-3x^3+6x^2与被除式f(x)相减，得到(3x^4-2x^3-5x^2+4x+6)-(3x^4-3x^3+6x^2)=x^3-11x^2+4x+6然后，取新得到的多项式x^3-11x^2+4x+6的最高次幂项与除式g(x)进行除法x^3÷x^2=x将得到的商x乘以除式g(x)，得到x^3-x^2+2x将新得到的多项式x^3-x^2+2x与被除式f(x)相减，得到(x^3-11x^2+4x+6)-(x^3-x^2+2x)=-10x^2+2x+6再次取新得到的多项式-10x^2+2x+6的最高次幂项与除式g(x)进行除法-10x^2÷x^2=-10将得到的商-10乘以除式g(x)，得到-10x^2+10x-20将新得到的多项式-10x^2+10x-20与被除式f(x)相减，得到(-10x^2+2x+6)-(-10x^2+10x-20)=-8x+26最后，得到的-8x+26就是最终的余式。
因此，多项式f(x)除以多项式g(x)的商式为3x^2+x-10，余式为-8x+26二、综合除法：综合除法是另一种解决多项式除法的方法，它的步骤与长除法类似，但更简洁。
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-第七节 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解： 余式商的各项的系数82632241264414072++--+--++-∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。
上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
综合除法与因式分解过程
综合除法与因式分解过程是数学中常见且重要的概念。
综合除法是将多项式除以另一个多项式，得到商式与余式的过程。
而因式分解是将一个多项式分解为两个或多个乘积的形式。
在本文中，我将深入探讨综合除法与因式分解的原理、步骤以及其在解决实际问题中的应用。
一、综合除法的原理与步骤综合除法是一种用来除以一个多项式的方法，它的基本原理是通过逐步长除的方式，得到商式与余式。
综合除法通常在求多项式的因式、判断一个多项式是否为另一个多项式的因式以及求多项式的根等问题中起到重要作用。
综合除法的步骤如下：1.将被除式与除式按照次数从高到低的顺序排列，确保次数最高的项在前。
2.将被除式的次数最高项与除式的次数最高项进行除法运算，得到该项的商。
3.将商乘以除式，得到一个新的多项式。
4.将新的多项式与被除式相减，得到新的被除式。
5.重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止，此时所得到的新被除式即为余式。
6.将所得到的商式与余式写成一个式子，即为综合除法的结果。
例子：对多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 进行综合除法，除以多项式 D(x) = x - 1。
按照上述步骤进行综合除法运算，可以得到：2x^2 - 3_______________x - 1 | 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 - (2x^3 - 2x^2) ____________ -3x^2 + 3x -(-3x^2 + 3x) ___________ 0综合除法的结果为商式为 2x^2 - 3，余式为 0。
二、因式分解的原理与步骤因式分解是将一个多项式分解为两个或多个乘积的形式。
它是分解式子、求根、简化计算等问题中经常使用的技巧。
因式分解可以帮助我们更好地理解多项式的性质，进而解决各种数学问题。
因式分解的步骤如下：1.将多项式进行因式提取，即将多项式中可以提取出来的公因式提取出来。
这一步可以简化多项式，并将其分解为一个公因式与剩下部分的乘积。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
综合除法
内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
多项式的除法和余式定理
多项式的除法和余式定理多项式的除法是数学中常见的运算之一，它可以用于求解多项式的商和余数。
除法运算在代数学、数值计算和离散数学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍多项式的除法运算规则和余式定理，并通过具体例子进行说明。
1. 多项式的除法运算规则对于两个多项式f(x)和g(x)来说，其中f(x)是被除式，g(x)是除式，假设g(x)≠0。
多项式的除法运算遵循以下规则：（1）将被除式和除式按照降幂排列。
（2）将两个多项式的首项对齐。
（3）用除式的首项除以被除式的首项，将得到的商作为商项。
（4）将商项乘以除式，得到中间结果。
（5）将中间结果和被除式相减，得到新的被除式。
（6）将上述过程重复，直到被除式的次数低于除式或者为零时为止。
下面通过一个具体的例子来说明多项式的除法运算规则。
例子：求解多项式f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 除以 g(x) = x - 2。
首先按照降幂排列，将f(x)和g(x)写成:f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4g(x) = x - 2将f(x)和g(x)的首项对齐，得到:x^2--------------x - 2 | x^3 - 2x^2 + 3x - 4用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^3，得到商项为 x^2。
将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^3 - 2x^2。
将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 5x^2 + 3x - 4。
重复上述过程，继续求解新的被除式和除式的商项。
x--------------x - 2 | x^2 + 5x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^2，得到商项为 x。
将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^2 - 2x。
将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 7x + 3。
继续重复上述过程，求解新的被除式和除式的商项。
7--------------x - 2 | 7x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 7x，得到商项为 7。
多项式的除法运算
多项式的除法运算多项式的除法是数学中一种常见的运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，求出商和余数。
在多项式的除法运算过程中，需要注意一些基本的步骤和规则，以保证运算的准确性和高效性。
一、多项式的基本概念在介绍多项式的除法之前，首先需要了解多项式的基本概念。
多项式是由若干项的代数和组成，每一项由系数与自变量的幂次组成。
例如，多项式p(x)可以表示为：p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0为多项式的系数，n为多项式的次数，x为自变量。
二、多项式除法的步骤多项式的除法运算可以分为以下几个基本步骤：1. 将除式和被除式按照相同幂次排列，确保高次项在前。
2. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项。
3. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式。
4. 将所得的多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止。
5. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数。
三、多项式除法的示例例如，我们要计算多项式p(x)除以多项式q(x)的运算，其中p(x)和q(x)分别为：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 1按照上述步骤进行多项式除法运算：1. 检查多项式p(x)和q(x)的次数，确保高次项在前：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 12. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项：2x^3 / (x - 1) = 2x^23. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式：(2x^2)(x - 1) = 2x^3 - 2x^2(2x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - (2x^3 - 2x^2) = 5x^2 - 5x + 24. 将所得的新多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤：5x^2 / (x - 1) = 5x(5x)(x - 1) = 5x^2 - 5x(5x^2 - 5x + 2) - (5x^2 - 5x) = 25. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数：余数为2四、多项式除法的规则在进行多项式除法运算时，还需要注意以下几个基本规则：1. 除式不能为零。
多项式的综合除法
多项式的综合除法多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。
综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。
使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。
然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。
重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。
下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤：例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。
步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5g(x) = x - 2步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到：1/1 × x = x将其作为商的第一个系数，得到：q(x) = x步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到：x(x-2) = x^2 - 2xf(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5步骤四：重复步骤二和步骤三，得到：1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2q(x) = x + 1(x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5步骤五：最后余数为 -x - 5 。
因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。
综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。
多项式的综合除法与因式分解
多项式的综合除法与因式分解二、整系数多项式的因式分解整系数多项式因式分解的原理是，先试出有理根 r ，多项式对线性因子 x-r 做多项式除法，逐步降低次数。
1. 试有理根试根定理：设 f(x) 为 n 次整系数多项式（ n \geq 1 ），其形式为：f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 ， a_0 \neq 0若 x = \frac{p}{q} 为 f 的有理根（ p,q 互质，公约数只有 \pm 1 ），则 p 必为常数项 a_0 的整数因子， q 必为首项 a_n 的整数因子。
根据多项式除法原则，有f(x)=(x-k)d(x)+r，故余数可表示为 r=f(k) ，从而，若 k 是 f(x) 的根，则 f(k)=0 .基于以上事实，对于一个整系数多项式，就可以先找出其有理根候选 k_i ，再验证是否满足 f(k_i)=0 ，就可以确定 k_i 是否为根。
例. 多项式 2x^3-3x^2-5x-12 ，其可能的有理根为：分子： 12 的整数因子， 1,2,3,4,6,12分母： 2 的整数因子， 1,2故可能的有理根为： \Big\{ \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{1}, \, \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{2} \Big\} =\Big\{ \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \Big\}2. 综合除法若 k_i 是 f(x) 的根，则 f(x)=(x-k_i)g(x) , 其中， g(x) 为 n-1 次多项式。
为了得到 g(x) ，就需要用 f(x) 除以 (x - k_i) .与整数做除法类似，举例来看，多项式的普通除法：优化上述算法：（1）变量 x 的幂次依次降幂排列，只要对应好位置，完全可以省略之，即（2）观察同一列的 -5, -12 只是每次重复地落下来，把有用的数压缩上去，避免这种重复落下，得到（3）继续优化，因子 x-3 对应的根是 3 ，把（2）中的 -3 换成 3 ，把原来的竖直方向“做差”换成“做和”，也相当于乘以个 -1 变号，得到结果是，下面的 2,3,4 结合对应的 x 幂次，得到商 2x^2 + 3x +4 ，余数是 0 .这就是“综合除法”。
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一种求解多项式之间商和余数的方法，它可以帮助我们更快速、准确地计算多项式的值和系数。
下面是综合除法的推导过程：对于两个多项式f(x)和g(x)，我们要求得它们的商q(x)和余数r(x)，即f(x)除以g(x)的结果为：f(x) = q(x) * g(x) + r(x)其中，r(x)的次数比g(x)低，即r(x) < g(x)。
假设g(x)的次数为n，那么我们可以将f(x)和g(x)表示为：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^ng(x) = b0 + b1 * x + b2 * x^2 + ... + bn * x^n 其中，a0~an和b0~bn为系数。
我们可以将f(x)和g(x)表示为矩阵的形式：| a0 | | b0 b1 b2 ... bn | | q0 | | r0 || a1 | | 0 b0 b1 ... bn-1 | | q1 | | r1 || a2 | | 0 0 b0 ... bn-2 | * | q2 | = | r2 || ...| * | ... | | ...| | ...|| an | | 0 0 0 ... b0 | | qn | | rn | 其中，q0~qn为商的系数，r0~rn为余数的系数。
我们需要找到q0~qn和r0~rn，使得上述的等式成立。
我们可以通过逐步消元的方式，求得q0~qn和r0~rn的值。
具体来说，我们可以将矩阵变换为上三角矩阵，然后再通过回带法求得q0~qn和r0~rn。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以b0，然后减去第二行的b1倍，得到新的第二行。
即：| a0 | | b0 b1 b2 ... bn | | q0 | | r0 || a1 | | 0 b0 b1 ... bn-1 | | q1 | | r1 || a2 | | 0 0 b0 ... bn-2 | | q2 | | r2 || ...|-> | ... | | ...|-> | ...|| an | | 0 0 0 ... b0 | | qn | | rn |2. 将第二行乘以b0，然后减去第三行的b1倍，得到新的第三行。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
综合除法的原理
综合除法的原理综合除法是一种用于求解多项式除法的方法，它可以帮助我们简化复杂的多项式运算，提高计算的效率。
在学习综合除法之前，我们首先需要了解多项式的基本概念和符号表示。
多项式是由若干个单项式相加或相减而成的代数式，其中每个单项式的指数都是非负整数。
多项式通常用字母表示变量，例如，f(x) = 3x^3 2x^2 + 5x 7。
在这个多项式中，3x^3、-2x^2、5x和-7分别是该多项式的各个单项式，而3、-2、5和-7则是它们的系数。
综合除法的原理在于，我们可以利用多项式的系数来进行除法运算，而不需要展开多项式进行繁琐的计算。
通过综合除法，我们可以快速地求得两个多项式的商和余数，从而简化多项式的运算过程。
综合除法的具体步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂排列，确保每一项的指数都是按照从高到低的顺序排列。
2. 确定除式的首项，即除式中指数最高的项，记为d(x)。
3. 确定被除式的首项，即被除式中指数最高的项，记为f(x)。
4. 计算商的首项，即将f(x)的首项与d(x)的首项相除得到的结果，记为q(x)的首项。
5. 将q(x)的首项乘以除式d(x)，得到一个新的多项式g(x)。
6. 将g(x)与f(x)相减，得到一个新的多项式h(x)。
7. 重复以上步骤，直到h(x)的次数小于d(x)的次数为止，此时h(x)即为所求的余式。
通过以上步骤，我们可以得到多项式除法的商和余数，从而简化多项式的运算过程。
综合除法不仅可以用于求解多项式的除法运算，还可以帮助我们理解多项式的因式分解和根的求解等问题。
综合除法的原理虽然看起来比较复杂，但只要掌握了其中的步骤和技巧，就能够轻松地应用于实际的计算中。
在学习和使用综合除法的过程中，我们还可以通过大量的练习来加深对其原理和方法的理解，从而提高我们的计算能力和解决问题的能力。
总之，综合除法是一种非常重要的多项式运算方法，它不仅可以简化多项式的计算过程，还可以帮助我们更好地理解和应用多项式的相关知识。
多项式的加减乘除运算
多项式的加减乘除运算在代数学中，多项式是由常数和变量通过加法、减法和乘法运算而得到的一种表达式。
多项式的加减乘除运算是基本的代数运算规则，本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面来探讨多项式的运算方法。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是指将两个或多个多项式按照相同项的系数进行相加。
例如，给定两个多项式：P(x) = 2x^2 + 3x - 5 和 Q(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以将它们相加得到：P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 5) + (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 5x - 4。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是指将两个多项式相互抵消得到的结果。
与加法类似，减法运算也是将多项式按照相同项的系数进行运算。
例如，给定两个多项式：R(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 S(x) = 2x^2 + x - 3，我们可以将它们相减得到：R(x) - S(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + x - 3) = x^2 + x + 4。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式按照相应项的系数和指数进行相乘，然后将所有结果相加。
例如，给定两个多项式：A(x) = 2x^2 + 3 和 B(x) = x + 1，我们可以将它们相乘得到：A(x) * B(x) = (2x^2 + 3) * (x + 1) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 3。
四、多项式的除法运算多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式得到商和余数的过程。
例如，给定两个多项式：C(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 D(x) = x + 1，我们可以将C(x)除以D(x)得到商和余数：C(x) ÷ D(x) = (3x^2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) = 3x + 1，余数为0。
总结多项式的加减乘除运算是代数学中基本的运算方式，通过对多项式的各个项进行相应的运算，我们可以得到各种多项式表达式的结果。
综合除法的原理
综合除法的原理综合除法是数学中的一个重要概念，它是解决多项式除法问题的一种方法。
在学习综合除法的原理之前，我们先来了解一下多项式的基本概念。
多项式是由常数与变量的乘积相加而得的代数式，其中每一项的指数必须是非负整数。
例如，2x^2 + 3x + 5就是一个多项式。
在进行多项式的除法运算时，我们需要使用综合除法来简化计算过程，下面我们就来详细了解综合除法的原理。
首先，我们来看一个简单的例子：将x^2 + 3x + 5 除以 x + 2。
我们可以使用长除法的方法来进行计算，但综合除法可以让我们更快速地完成计算。
综合除法的步骤如下：1. 将被除式和除式按照幂次从高到低排列，确保每一项的指数都对齐。
2. 将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商，并将商乘以除式，然后将结果减去被除式，得到余数。
3. 将余数的第一项除以除式的第一项，再次得到商，并重复上述步骤，直到余数的次数小于除式的次数。
通过这样的步骤，我们可以得到最终的商和余数，从而完成多项式的除法运算。
综合除法的原理就是通过逐步减少被除式的次数，最终得到商和余数的过程。
这个过程并不复杂，但需要我们对多项式的基本概念有一定的了解，并且需要一定的计算能力来完成计算。
在实际应用中，综合除法可以帮助我们简化多项式的计算过程，特别是在求解多项式的根、因式分解等问题时，综合除法都有着重要的作用。
总的来说，综合除法是解决多项式除法问题的一种简便方法，通过逐步减少被除式的次数，最终得到商和余数。
掌握了综合除法的原理和方法，可以帮助我们更快速地完成多项式的除法运算，对于进一步学习和应用多项式的相关知识也有着重要的意义。
希望通过本文的介绍，你对综合除法有了更深入的了解，同时也能够在学习和应用中更加灵活地运用综合除法的原理和方法。
多多练习，相信你一定能够熟练掌握综合除法，为今后的学习打下坚实的基础。
多项式的综合除法
a4 +)
b3
a3 k × b3 b2
a2 k × b2 b1
a1 k × b1 b0
a0 k × b0 r
附注
当除式为(ax − b) 时，综合除法仍可使用。
1. 先以x − b 为除数，原被除数P (x)，得商Q(x) 和余数r； a
2.
是以P (x) = (x −
b ) × Q(x) + r
a
3. 故P (x) = (ax − b) ×
1 Q(x)
+ r；
a
4. 故当P (x) (x)
、余数仍是r。
a
2
综合除法的另一应用
若给定一元多项式P (x)，综合除法亦可用来计算P (a) 的值。 先进行综合除法，计算P (x) 被x − a 除，得商式Q(x) 及余数R，P (a) = R。
13 51 156 52 159
3
1
解
1. 现仅以一个4 次的一元多项式P (x) 作例； 2. 设P (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0； 3. 若P (x) 被(x − k) 除，命商式为Q(x)、余式为R(x)； 4. 因(x − k) 为1 次，商式的次数比被除式的次数小1，故为3 次； 5. 而余式的次数必须比除式小，余式的次数只能是0，故余式是一个常数r； 6. 命Q(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0； 7. 由除法，P (x) = (x − k) × Q(x) + r； 8. a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (x − k) × (b3x3 + b2x2 + b1x + b0) + r
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一个数学概念，用于求解两个多项式的商和余数。
这个数学工具在高中数学中经常被用到。
它可以帮助我们更快捷地进行多项式的解题和运算，因此掌握综合除法是非常必要的。
首先，我们需要定义一下综合除法：综合除法是指，当被除数和除数都是多项式时，以除数的最高次方系数为首项系数，将被除数和除数按相同次数的项对齐，进行逐项相除，得到商和余数的过程。
例如，若已知 $f(x)=3x^3+5x^2+7x+1$ 除以 $g(x)=x+2$ ，则可以得到商式$q(x)=3x^2-x+4$ 和余式 $r(x)= -7 $。
那么接下来就是推导综合除法的步骤了。
推导过程：假设 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的倍数，即 $f(x)=g(x)h(x)$，则左右两边的次数分别为$m$ 和 $n$，其中 $m \geq n$。
我们再将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的表示式展开，得到如下式子：$f(x)=a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + …. + a_1 x + a_0$我们将左边的多项式看做一个一般的多项式，它可以被表示为如下形式：其中，$q_n, q_{n-1}$ 等都是待求系数。
$a_m = b_n c_{m-n}$$a_{m-1}=b_nc_{m-n-1}+b_{n-1}c_{m-n}$……根据多项式除法的定义，$a_n$ 就是上面我们提到的余数，而 $q_n$ 就是商式。
综上所述，对于任意两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，都可以通过上述步骤来求出它们的商式和余项。
综合除法的应用是非常广泛的，可以用于解决各种数学题目。
掌握了综合除法的要点和推导过程，我们就能更加轻松地应付这类问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 4
1 3 3 7
＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)
1.多項式的除法定理：
設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r
＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R
2.綜合除法：
2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7
依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7
綜合除法的作法：
注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）
餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋
2＋1＝3
2ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)
依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩
長除法表示：(已代換)
222
ax (b ae)
x-
e ax bx c
ax aex (b ae)x c
(b ae)x-e(b ae)
c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]
＋＋＝－＋＋
綜合除法表示：
＋e
餘式
思考1：
為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：
設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則
(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？
(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？
Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2
a b c
ae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋。