递归算法设计技术
递归算法设计
递归算法设计基本概念在定义⼀个函数时，出现调⽤⾃⾝函数的，称为递归(recursion)。
如果⼀个递归函数，最后⼀条语句是递归调⽤语句，则称这种递归调⽤为尾递归(tail recursion)。
⼀个递归模型通常有两部分构成：初值（递归出⼝）和递归体。
递归的使⽤条件递归的数学定义，⽐如斐波那契数列：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2),n≥3。
递归的数据结构，出现了指向⾃⾝的指针或者引⽤，如链表、树、图等。
递归的求解⽅法。
⽐如经典的汉诺塔问题。
递归函数的时间空间求解递归函数的时间通常需要根据问题解出相应的递归式。
对于形如归并排序的分治算法，其递归式通常形如T(n)=aT(bn)+f(n)T(n)=aT(bn)+f(n)，通常可以使⽤主定理（《算法导论》 p53）来求解。
⼀般情况的递归算法的时间分析可能⽐较困难，需要详细了解递归的执⾏过程。
⽐如动态规划法和暴⼒算法都可以使⽤递归，但是他们的时间复杂度有显著差异。
递归的空间复杂度除了要考虑分配的临时变量之外，还需要考虑递归的深度（虽然使⽤的是栈空间，也要将其计算在内。
）递归程序⾮递归化对于递归的实现机理，需要理解现代CPU的栈帧模型。
栈帧保存了当前函数状态的相关信息。
当函数调⽤另⼀个函数时，它将保存临时变量等信息，同时为被调⽤的函数开辟另⼀个帧。
因此递归函数调⽤，每⼀层是不会相互影响的。
通常情况下递归是由编译器⾃动实现，然⽽系统的栈空间是固定的，对于递归深度较⼤的情况，可能会出现栈溢出(stack overflow)，因此这时候必须⽤栈的数据结构⼿动模拟栈帧，来实现递归程序⾮递归化。
具体操作来说，就是在原来递归出现之前，利⽤栈保存前⼀层的环境，然后切换到下⼀层；在原来递归返回到调⽤函数时，将栈顶元素出栈，得到被保存的环境。
⼀个例⼦可以参考之前第3章综合练习的⼀道题⽬字符串解码(Decode String)。
递归 设计模式
递归设计模式
递归是一种设计模式，它在编程和计算机科学领域中经常被使用。
递归指的是在解决问题时，将问题分解为一个或多个相似但规模较小的子问题，并通过在子问题上应用相同的方法来解决问题。
递归设计模式包括以下关键要点：
1.基本案例（Base Case）：递归算法必须有一个或多个基本案例，这些基本案例是递归的终止条件。
当问题达到基本案例时，递归停止，不再继续分解。
2.递归案例（Recursive Case）：在递归设计模式中，问题被分解为一个或多个子问题，这些子问题通常与原始问题相似但规模较小。
递归算法在子问题上使用相同的方法，以逐步解决问题。
3.递归调用（Recursive Call）：在递归算法中，函数或方法会调用自身，以处理子问题。
这是递归的核心部分。
递归设计模式通常应用于问题具有自相似性或可以被分解为相似子问题的情况。
经典的示例包括计算斐波那契数列、二叉树遍历、计算阶乘等。
递归设计模式可以使代码更加简洁和易于理解，但需要小心处理终止条件，以避免无限递归。
示例：计算斐波那契数列的递归实现
```python
def fibonacci(n):
if n<=0:
return0
elif n==1:
return1
else:
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)
```
在上述示例中，`fibonacci`函数通过递归方式计算斐波那契数列的值。
递归调用在处理子问题（n-1和n-2）上使用相同的方法。
递归终止条件为n=0和n=1，它们是基本案例。
递归算法的优缺点
递归算法的优缺点递归算法是一种常用的算法设计技术，它将一个问题划分为一个或多个小一些的子问题，然后通过解决这些子问题来解决原始问题。
递归算法在计算机科学中被广泛应用，能够解决许多问题。
然而，递归算法也存在一些优缺点，本文将对其进行详细讨论。
1. 优点1.1. 简洁易懂递归算法的实现通常比较简洁，易于理解和调试。
它将问题分解为更小的子问题，每个子问题的解决方法通常与原问题类似，因此递归算法的代码逻辑清晰，易于理解。
1.2. 问题分解递归算法能够将一个复杂的问题分解为多个较小的子问题，并通过解决这些子问题来解决原始问题。
这种问题分解的方式能够简化问题的求解过程，并提供一种结构化的方法来解决问题。
1.3. 复用性递归算法可以将一个问题具体化为多个相似的子问题，因此解决一个子问题的代码可以被复用于解决其他类似的子问题。
这种复用性可以减少代码的冗余，提高代码的可维护性和可扩展性。
1.4. 数学表达能力递归算法能够利用数学归纳法的思想来解决问题，通过简单的基本情况和递推关系，可以推导出整个问题的解。
这种数学表达能力使得递归算法对于一些数学问题的求解特别有效。
2. 缺点2.1. 性能问题递归算法在某些情况下可能会因为重复计算而导致性能问题。
由于递归算法的特性，每次递归调用都会生成一个新的函数调用栈，当递归深度过大时，会造成大量的函数调用开销。
2.2. 栈溢出递归算法通常会通过函数调用栈来保存每次递归调用的状态，当递归深度过大时，函数调用栈可能会超出系统的栈空间限制，导致栈溢出错误。
2.3. 可读性和调试难度尽管递归算法相对简洁，但由于其对于问题的分解方式和递归调用的特性，递归算法的代码可读性相对较差，很容易出现逻辑错误。
此外，递归算法的调试也相对困难，特别是当递归深度较大时，很难跟踪递归调用的执行过程。
2.4. 空间占用递归算法在每次递归调用时会生成新的函数调用栈，这会占用大量的内存空间。
当递归深度很大时，可能会占用大量的系统内存，导致内存资源的浪费。
递归求最大值的算法设计
递归求最大值的算法设计递归是一种常见且重要的算法思想，它可以将一个大问题划分为若干个相同或相似的子问题，通过解决子问题来解决原问题。
在算法设计中，递归经常被用来解决需要重复执行某个操作的问题。
本文将介绍一种使用递归求解最大值的算法设计。
最大值是指一组数中的最大值，也就是说，我们需要找到一组数中的最大的那个数。
通过递归思想，我们可以将原问题划分为子问题，然后通过解决子问题来解决原问题。
我们需要定义一个函数来实现递归求解最大值的功能。
我们将这个函数命名为`find_max`。
这个函数的输入参数是一个整数数组`nums`和两个整数`start`和`end`，表示数组的起始索引和结束索引。
函数的返回值是数组中的最大值。
接下来，我们需要考虑递归的终止条件。
当数组中只有一个元素时，这个元素就是最大值，我们可以直接返回它。
所以，当`start`等于`end`时，我们可以直接返回`nums[start]`。
然后，我们需要将原问题划分为两个子问题。
我们可以将数组分为两半，分别求解左半部分的最大值和右半部分的最大值，然后将两个最大值进行比较，取其中较大的那个作为最终的结果。
为了实现这个功能，我们可以将数组分为两个部分，中间的索引可以通过`(start + end) // 2`来计算得到。
接下来，我们可以使用递归调用来解决子问题。
我们分别对左半部分和右半部分调用`find_max`函数，分别得到左半部分的最大值和右半部分的最大值，并将它们进行比较，取其中较大的那个作为最终的结果。
我们将递归求解最大值的结果返回给调用者。
这样，整个递归过程就完成了。
通过以上的算法设计，我们可以使用递归来求解一组数中的最大值。
这种算法设计思想简洁明了，代码逻辑清晰。
同时，递归求解最大值的算法设计可以方便地应用于实际问题中，例如在查找一组数据中的最大值时，可以使用该算法来提高代码的可读性和可维护性。
需要注意的是，递归求解最大值的算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n)，其中n表示数组的长度。
递归算法原理
递归算法原理
递归是一种算法设计技巧，它的原理是通过将一个问题分解成一个或多个规模较小但类似于原问题的子问题来解决。
递归算法通过反复调用自身来解决这些子问题，直到子问题的规模足够小并可以直接解决为止。
递归算法的主要思想是将问题转化为更小的同类问题的子问题，并在每一次递归调用中将问题的规模减小。
递归算法需要定义一个基准情况，即问题的最小规模情况，当问题达到基准情况时，递归的调用将停止，得到最终的解。
当使用递归算法时，需要注意以下几点：
1. 递归的结束条件：为了避免无限递归，递归函数必须定义结束条件，即基准情况。
2. 递归调用：在函数内部调用自身来解决规模较小的子问题。
3. 子问题规模的减小：每次递归调用时，子问题的规模应该比原问题要小。
4. 递归栈：在每次递归调用时，系统会将当前的函数调用信息存储在递归栈中，当递归调用结束后，系统将会按照递归栈的顺序逐个弹出函数调用信息，直到返回最终的解。
递归算法在解决某些问题时非常有效，例如树和图的遍历、排列组合、分治算法等。
然而，递归算法也存在一些缺点，例如
递归调用会消耗较多的内存空间和时间复杂度较高等问题，因此在实际应用中需要根据具体情况来选择是否使用递归算法。
程序设计中的递归算法
程序设计中的递归算法递归算法是程序设计中一种重要的编程思想和技巧。
它通过自身调用来解决问题，使得问题可以分解为更小的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到原问题的解。
在程序设计中，递归算法常常用于处理具有递归性质的问题，解决这些问题时可以简化代码结构，提高代码的可读性和可维护性。
下面将介绍递归算法的定义、特点以及应用领域。
一、递归算法的定义递归算法是指一个函数或过程在其定义中直接或间接地调用自身的算法。
递归算法通过将原问题转化为规模较小的相同问题来求解，直到问题规模缩小到可以直接解决的程度，最后将子问题的解合并为原问题的解。
二、递归算法的特点1. 自相似性：递归算法在问题的求解过程中，使用相同的方法来处理子问题。
原问题的求解方法和子问题的求解方法是一致的，它们之间只在问题规模上存在差异。
2. 递归调用：递归算法通过函数或过程的自身调用来解决问题。
在每一次递归调用中，问题规模都会减小，直到问题规模缩小到可以直接解决的程度。
3. 终止条件：递归算法必须有一个终止条件，当满足终止条件时，递归停止，不再进行调用。
否则，递归将陷入无限循环。
三、递归算法的应用领域递归算法在程序设计中应用广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 数学计算：递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
例如，斐波那契数列可以使用递归算法来求解，其定义如下：```fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，其中n >= 2。
fib(0) = 0，fib(1) = 1。
```2. 数据结构：递归算法在数据结构中的应用非常广泛，如二叉树的遍历、图的深度优先搜索等。
以二叉树的中序遍历为例，其递归算法实现如下：```void inorderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) {return;}inorderTraversal(root->left);cout << root->val << " ";inorderTraversal(root->right);}```3. 字符串处理：递归算法可以用于解决字符串处理的问题，如字符串反转、括号匹配等。
C语言中的递归算法与应用
C语言中的递归算法与应用递归算法是一种常见且重要的算法设计技巧，在C语言中得到广泛应用。
本文将介绍什么是递归算法，为何使用递归算法以及在C语言中如何实现递归算法，并结合实际应用场景进行讲解。
一、递归算法的定义与原理递归算法是一种自我调用的算法，通过将问题划分为更小的子问题来实现。
递归算法一般包括两部分：基本情况和递推关系。
基本情况是指递归的终止条件，当满足终止条件时递归停止。
递推关系是指将原问题转化为相同但规模更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。
递归算法的实现原理可以用以下的逻辑来描述：1. 判断当前是否满足基本情况，满足则返回特定值；2. 否则，将原问题转化为一个或多个规模更小的子问题；3. 调用函数自身解决子问题，得到子问题的结果；4. 组合子问题的结果，得到原问题的解。
二、递归算法的优点与应用场景使用递归算法具有以下优点：1. 代码简洁易懂：递归算法能够以简洁的方式表达问题本质，提高代码的可读性；2. 解决问题的规模更小：通过递归调用子问题的解决方法，将原问题转化为更小规模的子问题，提高问题解决的效率；3. 可以解决一些复杂问题：递归算法在树、图等数据结构问题中具有广泛应用，能够高效解决这些复杂问题。
递归算法常见的应用场景包括：1. 数学计算：如斐波那契数列、阶乘等问题；2. 数据结构操作：如二叉树的遍历、图的遍历等问题；3. 搜索与回溯问题：如迷宫问题、八皇后问题等。
三、C语言中的递归算法实现在C语言中，使用递归算法实现的一般步骤如下：1. 定义递归函数：在函数原型中声明递归函数，并给出函数的返回值类型和参数列表；2. 编写基本情况处理逻辑：编写满足终止条件的处理逻辑，通常是直接返回特定值；3. 编写递推关系处理逻辑：编写将原问题转化为子问题的逻辑，并通过递归调用解决子问题；4. 通过递归调用解决子问题：在递归函数中调用自身，解决子问题并获取子问题的结果；5. 返回综合子问题结果：将子问题的解组合得到原问题的解，并返回。
递归程序设计方法
递归程序设计⽅法
（⼀）递归程序设计⽅法的要点
1）对于含有递归特征的问题，最好设计递归形式的算法。
但也不要单纯追求形式。
应在算法设计的分析过程中“就事论事”。
例如，在利⽤分割求解设计算法时，⼦问题和原问题的性质相同;或者，问题的当前⼀步解决之后，余下的问题和原问题性质相同，则⾃然导致递归求解。
2）实现递归函数，⽬前必须利⽤“栈”。
⼀个递归函数必定能改写为利⽤栈实现的⾮递归函数，反之，⼀个利⽤栈实现的⾮递归函数可以改写为递归函数。
需要注意的是递归函数递归层次的深度决定所需存储量的⼤⼩。
3）分析递归算法的⼯具是递归树，从递归树上可以得到递归函数的各种相关信息。
例如：递归树的深度即为递归函数的递归深度;递归树上的结点数⽬恰为函数中的主要操作重复进⾏的次数;若递归树蜕化为单⽀树或者递归树中含有很多相同的结点，则表该递归函数不适⽤。
4）递归函数中的尾递归都是可以容易消除的。
5）递归函数⼀定要有⼀个递归出⼝。
即整个递归函数应该是收敛的。
规模应该越来越⼩。
（⽰例分析⼀）斐波那契数列
有如下的数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…（n>=1）
得到如下的递推关系式：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
F(2)=F(1)+F(0)=1+0=1
F(3)=F(2)+F(1)=1+1=2
F(4)=F(3)+F(2)=2+1=3
F(5)的递归树如下。
递归算法的设计步骤
递归算法的设计步骤“同学们，今天咱们来讲讲递归算法的设计步骤。
”递归算法啊，其实就是不断地调用自身来解决问题。
那怎么设计呢？第一步，得有个明确的结束条件。
啥意思呢？比如说咱们算一个数的阶乘，当这个数是 1 的时候，就不用再递归了，这就是结束条件。
就像走路得知道啥时候到终点一样。
第二步呢，就是在每次递归调用中要向着结束条件靠近。
还是拿阶乘举例，每次递归都把数减 1，这样就慢慢靠近 1 这个结束条件了。
第三步，就是在递归调用中进行相关的计算或操作。
比如计算阶乘时，每次都把当前的数乘以前面计算出的结果。
我给大家讲个实际例子吧。
比如说我们要计算一个整数 n 的阶乘。
代码大概是这样的：```pythondef factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这里，n 等于 1 就是结束条件。
每次递归调用 factorial 函数时，n 都会减 1，这就是向结束条件靠近。
而在递归调用中，通过 n 乘以递归返回的结果来进行计算。
再比如，我们要计算一个二叉树的深度。
那我们可以这样设计递归算法。
结束条件就是当遇到空节点时，深度就是 0。
然后每次递归到左右子树时，深度就加 1，同时返回左右子树深度的最大值加上当前节点这一层。
同学们，递归算法虽然好用，但也得注意一些问题。
比如说如果结束条件没设计好，可能就会导致无限递归，程序就崩啦。
而且递归调用太多次的话，可能会消耗很多内存和时间。
所以在设计递归算法的时候，一定要仔细考虑清楚结束条件和递归的过程，确保算法能够正确高效地运行。
大家都听懂了吧？要是有啥问题随时问我啊。
简述递归设计的实施步骤
简述递归设计的实施步骤什么是递归设计递归设计是一种计算机编程中常用的技术，它通过在问题求解的过程中调用相同的算法来递归地解决更小规模的子问题，最后以此逐步解决原始问题。
递归设计可以简化复杂的问题，提高代码的可读性和可维护性。
实施步骤递归设计通常包含以下几个主要步骤：1. 确定递归基递归基是递归算法中的终止条件，用于确定问题的最简单情况。
在设计递归算法时，需要确保递归基是能够终止递归的条件，否则算法将无限循环下去，造成栈溢出等问题。
2. 将问题拆分为子问题在递归设计中，将原始问题拆分为更小规模的子问题是关键步骤。
通过将问题分解为更简单、更可解决的子问题，可以逐步递归解决原始问题。
3. 调用自身解决子问题一旦将问题拆分为子问题，就可以通过调用自身来解决子问题。
递归调用函数或方法是递归设计的核心，需要确保递归调用能够正确地处理子问题。
4. 合并子问题的解在递归设计中，通过逐步解决子问题，最终合并子问题的解来得到原始问题的解。
这个合并子问题的过程是递归算法的关键，需要确保逐步解决的子问题的解能够正确地组合起来。
5. 处理边界情况在实施递归设计时，还需要考虑边界情况。
边界情况是指与递归基不完全匹配但需要额外处理的特殊情况，例如当输入参数为空或越界时，需要单独处理。
6. 测试和调试完成递归设计后，需要进行测试和调试。
由于递归设计涉及到函数自身的调用，容易出现死循环或错误的解决方案等问题。
因此，测试和调试是保证递归算法正确性的重要一环。
递归设计示例：计算阶乘下面以计算阶乘为例，演示递归设计的实施步骤：步骤1：确定递归基对于计算阶乘的递归算法，递归基是n为0或1时，阶乘的结果为1。
步骤2：拆分问题计算阶乘的问题可以拆分为计算(n-1)的阶乘的子问题。
步骤3：调用自身解决子问题递归调用自身来解决子问题，即计算(n-1)的阶乘。
步骤4：合并子问题的解递归调用得到(n-1)的阶乘后，将其乘以n得到n的阶乘。
步骤5：处理边界情况在计算阶乘的递归算法中，边界情况是n为0或1的情况，需要额外处理。
递归算法编程技巧总结(热门3篇)
递归算法编程技巧总结第1篇刚刚这个例子是非常典型的递归，那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢？这里总结了三个条件，只要同时满足以下三个条件，就可以用递归来解决。
何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。
比如之前所讲的例子，对于“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。
比如电影院的例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。
把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层的分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。
在电影院例子当中，第一排的人不需要再继续询问任何人，就知道自己在哪一排，也就是f(1)=1，这就是递归的终止条件。
递归算法编程技巧总结第2篇在之前“栈”那篇博客当中，我们了解到了函数调用栈的概念，我们知道函数调用会使用栈来保存临时变量。
每调用一个函数，都将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。
系统栈或者虚拟机栈空间的大小一般都不大。
如果递归求解的数据规模很大，导致调用层次很深，一直将栈帧入栈，就会有堆栈溢出的风险。
当堆栈溢出时便会出现如下堆栈报错信息：那么，应该如何避免出现堆栈溢出呢？我们可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。
递归调用超过一定深度(比如1000)之后，我们就不继续往下再递归了，直接返回错误。
还是电影院那个例子，我们可以改造成下面这个样子，就可以避免堆栈溢出了。
但是这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。
如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。
所以，如果最大深度比较小，比如10、50，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。
另外我们可以通过将递归函数当中所需的数据，在不影响代码执行的条件下定义为全局静态变量，这样就减少了函数调用时，压入堆栈当中栈帧的大小了，从而减轻了内存的负担。
算法设计递归的原理与应用
算法设计递归的原理与应用算法设计递归的原理和应用递归是一种在计算机科学中广泛使用的算法设计和编程技术，它涉及一个函数调用自身的过程。
递归的原理和应用在算法设计中起着重要的作用，本文将讨论递归的原理、递归算法的设计和递归在实际应用中的案例。
一、递归的原理递归算法的核心思想是将一个复杂的问题分解为更小的、具有相同结构的子问题，并通过逐层调用函数自身来解决这些子问题，最终达到解决原问题的目的。
递归的原理可以用以下几个方面进行解释：1.1 自相似性递归的原理基于自相似性的概念，即大问题的解可以通过相似的小问题的解来构建。
通过这种分而治之的思想，可以将复杂的问题拆解成更小的子问题。
1.2 基线条件为了避免无限递归的发生，递归算法需要设置基线条件，也称为递归出口。
当满足基线条件时，递归不再继续，而是返回结果或者停止递归。
1.3 递归调用递归算法通过调用自身来解决子问题，从而不断向基线条件靠近。
递归调用可以将大问题分解为相同但规模较小的子问题，进而解决整个问题。
二、递归算法的设计递归算法的设计需要考虑以下几个关键点：2.1 问题的拆解递归算法需要将复杂的问题拆解为更小的子问题，以便通过递归调用来解决。
这个过程需要根据问题的特性和需求进行思考和设计。
2.2 基线条件的确定基线条件是递归算法中的出口条件，当满足基线条件时，递归不再继续，从而避免无限递归。
确定基线条件需要根据问题的规模和性质进行合理的判断。
2.3 递归调用的设置递归算法通过调用自身来解决子问题，从而逐步解决整个问题。
递归调用的设置需要考虑参数的传递、问题规模的缩小等因素，以确保递归过程能够在有限步骤内完成。
三、递归的应用递归算法在实际应用中有广泛的应用场景，以下是几个典型的案例：3.1 阶乘计算阶乘是指从1到某个正整数之间所有整数的乘积。
递归算法可以用来计算阶乘，通过将阶乘问题拆解为更小的阶乘问题来逐步求解。
3.2 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归案例，其中每个数都是前两个数的和。
算法设计与分析——整数划分（递归）
算法设计与分析——整数划分（递归）参考n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的⼀个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最⼤值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的⼀个m划分。
这⾥我们记n的m划分的个数为q(n,m)；当n=6时我们可以获得以下这⼏种划分（注意，例⼦中m>=6）根据n和m的关系，考虑以下⼏种情况：1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有⼀种划分即{1}。
因此q(1,m) =1 。
2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有⼀种划分即n个1，{1,1,1,...,1}。
因此q(n,1) =1。
;3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：(1) 划分中包含n的情况，只有⼀个即{n}；(2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最⼤的数字也⼀定⽐n⼩，即n的所有(n-1)划分。
因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1)。
4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当q(n,n)，即q(n,m)=q(n,n)，m>=n。
5. 但n>m时，根据划分中是否包含最⼤值m，可以分为两种情况：(1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为q(n-m, m)。
(2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都⽐m⼩，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)。
因此 q(n, m) = q(n-m,m)+q(n,m-1)。
综合以上情况，我们可以看出，上⾯的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。
⽽情况（5）为通⽤情况，属于递推的⽅法，其本质主要是通过减⼩m以达到回归条件，从⽽解决问题。
编程中的迭代与递归算法设计
编程中的迭代与递归算法设计一、引言- 算法是计算机科学中的重要概念，用于解决问题的步骤序列。
- 迭代和递归是两种常见的算法设计方法。
二、迭代算法设计- 迭代是通过重复执行相同的操作来解决问题的方法。
- 迭代算法设计通常使用循环结构。
- 迭代算法设计的特点是清晰、易于理解和调试。
- 迭代算法设计的一个例子是计算阶乘。
三、递归算法设计- 递归是通过将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。
- 递归算法设计通常使用函数自身调用来实现。
- 递归算法设计的特点是简洁、优雅，但难于理解和调试。
- 递归算法设计的一个例子是计算斐波那契数列。
四、迭代与递归的比较- 迭代算法设计更适合处理简单问题，而递归算法设计更适合处理复杂问题。
- 迭代算法设计的时间复杂度通常较低，而递归算法设计的时间复杂度较高。
- 迭代算法设计的空间复杂度较低，而递归算法设计的空间复杂度较高。
- 选择迭代或递归算法设计取决于问题的复杂性和性能要求。
五、迭代与递归的应用场景- 迭代算法设计常用于排序、搜索和遍历等问题。
- 递归算法设计常用于树、图和动态规划等问题。
六、迭代与递归的优化技巧- 迭代算法设计可以通过改变迭代步长来优化性能。
- 递归算法设计可以通过尾递归优化和动态规划等技巧来优化性能。
七、总结- 迭代和递归是两种常见的算法设计方法。
- 迭代算法设计更适合处理简单问题，而递归算法设计更适合处理复杂问题。
- 迭代算法设计的特点是清晰、易于理解和调试，而递归算法设计的特点是简洁、优雅。
- 选择迭代或递归算法设计取决于问题的复杂性和性能要求。
- 在实际编程中，根据问题的特点选择合适的算法设计方法可以提高程序的效率和可维护性。
注：本文仅为范文示例，实际使用时请根据具体要求和需要进行修改和调整。
设计递归算法的步骤
设计递归算法的步骤设计递归算法的步骤递归算法是一种非常重要的算法思想，在计算机科学中得到了广泛应用。
它能够简化问题的解决过程，使代码更加简洁、易于理解和维护。
本文将介绍设计递归算法的步骤，帮助读者更好地掌握这一算法思想。
一、明确递归函数的定义在设计递归算法之前，我们需要明确递归函数所要完成的任务。
这个任务应该能够通过一个或多个基本操作来完成，同时也可以通过调用自身来实现更复杂的操作。
因此，我们需要定义一个函数来描述这个任务，并在函数内部实现递归调用。
二、确定基本情况在设计递归算法时，我们需要考虑到什么时候停止递归调用。
这个时候就需要确定基本情况，即当满足某些条件时，不再进行递归调用，而是直接返回结果。
例如，在计算斐波那契数列时，当n等于0或1时，可以直接返回n作为结果。
三、将问题分解为子问题在设计递归算法时，我们通常会将原问题分解为更小的子问题，并通过逐层调用自身来解决这些子问题。
因此，我们需要考虑如何将原问题分解为子问题，并确定如何通过递归调用来解决这些子问题。
四、设计递归调用在确定了递归函数的定义、基本情况和子问题之后，我们需要设计递归调用的方式。
通常情况下，我们会将原问题转化为一个或多个子问题，并通过逐层调用自身来解决这些子问题。
在进行递归调用时，需要注意参数的传递方式和返回值的处理方式。
五、合并结果在完成所有的递归调用之后，我们需要将所有的结果合并起来得到最终结果。
在进行结果合并时，需要考虑如何将每个子问题的结果进行组合，并返回最终结果。
六、测试和优化在完成递归算法的设计之后，我们需要对其进行测试和优化。
测试可以帮助我们发现程序中可能存在的错误或漏洞，并对其进行修复。
优化可以使程序更加高效、稳定和可靠，在实际应用中发挥更大的作用。
七、总结通过以上步骤，我们可以设计出一个完整、正确、高效的递归算法，并应用于各种实际场景中。
当然，在实际应用中还需要考虑诸如内存占用、时间复杂度等问题，以保证程序的稳定性和可靠性。
第2章 递归算法设计技术
归“小问题” • cj、cj+1、…、cm是若干个可以直接（用非递归方法）解决
的问题，g是一个非递归函数，可以直接求值。
• 为了讨论方便，简化上述模型为：
2.1.4 递归算法的执行过程
一个正确的递归程序虽然每次调用的是相同的子程序， 但它的参量、输入数据等均有变化。
void main() { printf(“%d\n”，fun(5)); }
fun(5)调用：进栈 fun(4)调用：进栈
5 fun(4)*5
n
函数值
4 fun(3)*4 5 fun(4)*5
fun(3)调用：进栈
3 fun(2)*3 4 fun(3)*4 5 fun(4)*5
fun(2)调用：进栈 fun(1)调用：进栈并求值
• 从而得到Fit(3)的值为2，Fit(2)的值为1， 从而求出Fit(4)的值为3，类似求出Fit(3) 的值为2，最终Fit(5)值为5（系统栈中的 最有一个元素的函数值）
执行Fib(5)时递归工作栈的变化和求解过程：
在递归函数执行时，形参会随着递归调用发生变化，但 每次调用后会恢复为调用前的形参，将递归函数的非引 用型形参的取值称为状态。
递归函数的引用型形参在执行后会回传给实参，有时类 似全局变量，不作为状态的一部分，在调用过程中状态 会发生变化，而一次调用后会自动恢复为调用前的状态。
例如，有以下递归程序：
#include <stdio.h> void f(int n)
{ if (n<1) return; else
{ printf("调用f(%d)前，n=%d\n"，n-1，n); f(n-1); printf("调用f(%d)后:n=%d\n"，n-1，n);
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递归出口的一般格式如下：
f(s1)=m1
(2.1)
这里的s1与m1均为常量，有些递归问题可能有几个递归出口。
递归体的一般格式如下：
f(sn+1)=g(f(si)，f(si+1)，…，f(sn)，cj，cj+1，…，cm) (2.2)
其中，n、i、j和m均为正整数。这里的sn+1是一个递归“大问题”， si、si+1、…、sn为递归“小问题”，cj、cj+1、…、cm是若干个可以直接 （用非递归方法）解决的问题，g是一个非递归函数，可以直接求值。
fun(3)
fun(3)=fun(2)*3=6
fun(2)
fun(2)=fun(1)*2=2
fun(1) 返回 1
【例2】 Fibonacci数列定义为：
Fib(n)=1
n=1
Fib(n)=1
n=2
Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) n>2
对应的递归算法如下：
int Fib(int n) { if (n==1 || n==2)
3
2*3=6
4 fun(3)*4
5 fun(4)*5
退栈1次并求fun(4)值
4 6*4=24 5 fun(4)*5
退栈1次并求fun(5程可以得出：
每递归调用一次，就需进栈一次，最多的进栈元素个数称 为递归深度，当n越大，递归深度越深，开辟的栈空间也 越大。 每当遇到递归出口或完成本次执行时，需退栈一次，并恢 复参量值，当全部执行完毕时，栈应为空。
fun(1)=1 fun(n)=n*fun(n-1)
(1) n>1 (2)
其中，第一个式子给出了递归的终止条件，第二个式子给出了 fun(n)的值与fun(n-1)的值之间的关系，我们把第一个式子称为递 归出口，把第二个式子称为递归体。
一般地，一个递归模型是由递归出口和递归体两部分组成，前者确定 递归到何时结束，后者确定递归求解时的递推关系。
1.4 递归算法的执行过程
一个正确的递归程序虽然每次调用的是相同的子程序，但它的参 量、输入数据等均有变化。 在正常的情况下，随着调用的不断深入，必定会出现调用到某一 层的函数时，不再执行递归调用而终止函数的执行，遇到递归出 口便是这种情况。
递归调用是函数嵌套调用的一种特殊情况，即它是调用自身代码。 也可以把每一次递归调用理解成调用自身代码的一个复制件。 由于每次调用时，它的参量和局部变量均不相同，因而也就保证 了各个复制件执行时的独立性。
【例1】设计求n!（n为正整数）的递归算法。 解：对应的递归函数如下：
int fun(int n) { if (n==1)
return(1); else
return(fun(n-1)*n); }
//语句1 //语句2 //语句3 //语句4
在该函数fun(n)求解过程中，直接调用fun(n-1)（语句4）自身， 所以它是一个直接递归函数。又由于递归调用是最后一条语句，所以它 又属于尾递归。
（3）确定一个特定情况（如f(1)或f(0)）的解，由此作为递归出 口（与数学归纳法中求证n=1或n=0时等式成立相似）。
【例3】用递归法求一个整数数组a的最大元素。
解：设f(a，i)求解数组a中前i个元素即a[0..i-1]中的最大元素，
则f(a，i-1)求解数组a中前i-1个元素即a[0..i-2]中的最大元素，前者 为“大问题”，后者为“小问题”。
调用f(2)前，n=3
执
调用f(1)前，n=2
行
调用f(0)前，n=1
结
调用f(0)后: n=1
果
调用f(1)后: n=2
调用f(2)后: n=3
调用f(3)后: n=4
在上述递归函数f中，状态为（n），其递归执行过程如图2.8所示，输 出框旁的数字表示输出顺序，虚线表示本次递归调用执行完后返回，从中 看到每次递归调用后状态都恢复为调用前的状态。
假设f(a，i-1)已求出，则有f(a，i)=MAX{f(a，i-1)，a[i-1]}。 递推方向是朝a中元素减少的方向推进，当a中只有一个元素时，该元素 就是最大元素，所以f(a，1)=a[0]。
由此得到递归模型如下：
f(a，i)=a[0] f(a，i)=MAX{f(a，i-1)，a[i-1]}
有许多数学公式、数列等的定义是递归的。例如，求n!和 Fibonacci数列等。这些问题的求解过程可以将其递归定义直接转 化为对应的递归算法。
2. 数据结构是递归的
有些数据结构是递归的。例如单链表就是一种递归数据结构，其 结点类型声明如下：
typedef struct LNode { ElemType data;
系统为每一次调用开辟一组存储单元，用来存放本次调用的返回 地址以及被中断的函数的参量值。 这些单元以系统栈的形式存放，每调用一次进栈一次，当返回时 执行出栈操作，把当前栈顶保留的值送回相应的参量中进行恢复， 并按栈顶中的返回地址，从断点继续执行。
对于例2.1的递归算法，求5!即执行fun(5)时内部栈的变化及求解 过程如下：
例如，有以下递归程序：
#include <stdio.h> void f(int n)
{ if (n<1) return; else
{ printf("调用f(%d)前，n=%d\n"，n-1，n); f(n-1); printf("调用f(%d)后:n=%d\n"，n-1，n);
} }
调用f(3)前，n=4
设Hanoi(n，x，y，z)表示将n个盘片从x通过y移动到z上， 递归分解的过程是：
Hanoi(n，x，y，z)
Hanoi(n-1，x，z，y)； move(n，x，z):将第n个圆盘从x移到z； Hanoi(n-1，y，x，z)
“大问题”转化为若干个“小问题”求解
1.3 递归模型
递归模型是递归算法的抽象，它反映一个递归问题的递归 结构。例如前面的递归算法对应的递归模型如下：
递归算法设计先要给出递归模型，再转换成对应的C/C++语言函数。
获取递归模型的步骤如下：
（1）对原问题f(sn)进行分析，抽象出合理的“小问题”f(sn-1) （与数学归纳法中假设n=k-1时等式成立相似）；
（2）假设f(sn-1)是可解的，在此基础上确定f(sn)的解，即给出 f(sn)与f(sn-1)之间的关系（与数学归纳法中求证n=k时等式成立的过程 相似）；
从上面求Fib(5)的过程看到，对于复杂的递归调用，分解和求值 可能交替进行、循环反复，直到求出最终值。
执行Fib(5)时递归工作栈的变化和求解过程：
在递归函数执行时，形参会随着递归调用发生变化，但每次调用后会恢复 为调用前的形参，将递归函数的非引用型形参的取值称为状态。
递归函数的引用型形参在执行后会回传给实参，有时类似全局变量，不作 为状态的一部分，在调用过程中状态会发生变化，而一次调用后会自动恢 复为调用前的状态。
f(n) 不做任何事件 f(n) f(n/10); 输出n％10
当n=0时 其他情况
void digits(int n) { if (n!=0)
{ digits(n/10); printf("%d"，n%10);
} }
3.1 简单选择排序和冒泡排序
【问题描述】对于给定的含有n个元素的数组a，分别采用简单选
struct LNode *next; } LinkList;
为什么可以这样 递归定义类型
结构体LNode的定义中用到了它自身，即指针域next是一种指向自 身类型的指针，所以它是一种递归数据结构。
不带头结点单链表示意图
以L为首结点指针的单链表
L
a1
a2
…
an ∧
以L->next为首结点指针的单链表
对应的递归算法如下：
int fmax(int a[]，int i) { if (i==1)
return a[0]; else
{ int m=fmax(a，i-1); if (m<a[i-1]) m=a[i-1]; return m; } }
当i=1时 当i>1时
2.4 基于归纳思想的递归算法设计
基于归纳思想的递归算法设计通常不像基于递归数据结构的递归 算法设计那样直观，需要通过对求解问题的深入分析，提炼出求解过 程中的相似性而不是数据结构的相似性，这就增加了算法设计的难度。
2
立。
假设当n=k-1时等式成立，有1+2+…+(k-1)= k(k 1)
2
当n=k时，左式=1+2+…+k=1+2+…+(k-1)+k= k(k 1) +k= k(k 1)
2
2
等式成立。即证。
数学归纳法是一种论证方法，而递归是算法和程序设计的一种实 现技术，数学归纳法是递归的基础。
2.2 递归算法设计的一般步骤
1.1 递归的定义
在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分，称 之为递归。若调用自身，称之为直接递归。若过程或函数p调用过程 或函数q，而q又调用p，称之为间接递归。
任何间接递归都可以等价地转换为直接递归。 如果一个递归过程或递归函数中递归调用语句是最后一条执行 语句，则称这种递归调用为尾递归。
退栈1次并求fun(2)值
2 fun(1)*2 3 fun(2)*3 4 fun(3)*4 5 fun(4)*5
1
1
2 fun(1)*2
3 fun(2)*3
4 fun(3)*4
5 fun(4)*5
2 1*2＝2 3 fun(2)*3 4 fun(3)*4 5 fun(4)*5