一阶常微分方程的初值问题

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微分方程中的初值问题理论

微分方程中的初值问题理论微分方程是数学领域中的重要分支，它描述了一种变量与其变化率之间的关系。

在实际问题中，经常会遇到需要确定微分方程的解的具体形式，并以给定的初值条件作为起点进行求解的情况，这就是初值问题。

初值问题理论是微分方程研究的基础之一，本文将介绍微分方程中初值问题的理论基础和解法。

一、初值问题的定义初值问题是指给定一个微分方程及其解空间上一点的值，通过求解微分方程，确定解空间上满足给定初值条件的特定解。

初值问题的一般形式可以表示为：̇= (, )= ₀= ₀其中，表示未知函数，是自变量，是因变量，表示关于和的函数关系。

是关于和的函数，是任意给定实数。

初值问题的目标是找到满足上述方程和初值条件的特定解。

二、初值问题的解法解决初值问题的方法有很多种，常见的有解析解法和数值解法。

1. 解析解法解析解法是通过一系列数学手段，直接求得微分方程的解的公式，从而得到满足初值条件的特定解。

这种方法适用于某些特定形式的微分方程，例如线性微分方程、可分离变量的微分方程等。

解析解法的优势在于可以得到精确的解析表达式，从而能够准确描述问题的性质和变化规律。

但是，对于一些复杂的非线性微分方程，往往无法找到解析解，这时需要采用数值解法。

2. 数值解法数值解法是通过近似计算，利用离散的数值方法求解微分方程并得到数值近似解。

这种方法的思路是将微分方程转化为差分方程，并利用离散的计算方法逼近微分方程的解。

数值解法的优势在于适用性广，能够处理各种类型的微分方程，并能够得到任意精度的解。

常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、改进欧拉法等。

三、初值问题的存在唯一性定理对于一阶常微分方程，初值问题存在唯一性定理是指在一定条件下，初值问题的解是存在且唯一的。

存在性定理：设 (, ) 是微分方程 , µ区间上的解且在 µ上连续，则初值问题在 [a,b] 上存在解。

唯一性定理：设 (, ) 和 (, ) 是微分方程在一定区域上的两个解，如果对于 µ [a,b] 上的某个点 x₀， ̇ (x₀) = ̇ (x₀)，那么在整个区域上µ， (x) = (x)，这就是说，在初值问题存在的条件下，初值问题的解是唯一的。

求下列一阶常微分方程的通解

并证明当 h → 0 时，它收敛于原初值问题的准确解 y = e− x 。
3 13. 考虑由增量函数 h 1 1 ϕ( x, y, h) = f ( x, y) + g x + h, y + h f ( x, y) 2 3 3 ∂ ∂ 决定的单步方法，其中 g( x, y) = f ( x, y) + f ( x, y) f ( x, y)，研究方法的阶与收敛性。 ∂x ∂y

的局部截断误差。
5 7. 若用 Euler 法求解初值问题 y = e−t − 3y sin t, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ π/3，为保证绝对稳定性，步长有何限制？ 8. 试分别推导二阶和三阶 RK 方法的绝对稳定区间。 9. 试证明四阶 RK 方法的绝对稳定性条件是 1 1 1 1 + hλ + (hλ)2 + (hλ)3 + (hλ)4 ≤ 1, 2 6 24 并在复平面上绘出绝对稳定域的边界。习题 9.5 1. 用二步 Adams 显式法解初值问题 y = − x2 y, y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 0.5，取 h = 0.1，y1 用改进 Euler 公式。 2. 分别用数值积分法和待定系数法导出四阶 Adams 隐式公式及其局部截断误差主项。 3. 将多步法 h yn+2 + 9yn+1 − 10yn = (13 fn+1 + 9 fn ) 2 y = 0, y(0) = c,
9. 用改进 Euler 法和梯形法解初值问题 y = x2 + x − y, y(0) = 0. 取步长 h = 0.1，计算到 x = 0.5，并与准确解 y = −e− x + x2 − x + 1 相比较。 10. 用梯形法解初值问题 y = ax + b, y(0) = 0, 设步长为 h，求数值解的精确表达式，并证明数值解是准确的。 11. 用梯形法求初值问题 y = ey , 0 ≤ t < 1, y(0) = 0, 在 t = 1/2 的近似解。与精确解 y(1/2) = ln 2 进行比较。注意：步长至少取多小，所得结果才可靠。 12. 用梯形方法求解初值问题 y + y = 0, y(0) = 1, 证明其近似解为 yn = 2−h n , 2+h

一阶常微分方程初值问题数值解的Excel实现_周江波

参考文献［1］Louis Trimble.English for Science and Technology—A discourse approach.Cambridge University Press, 1985. ［2］杨康寿.论科技英语与科技翻译［M］.合肥：安徽文艺出版社， 2003: 70- 75. ［3］于建平.语篇分层修辞法及其在科技英语中的应用［J］.上海科技翻译，2001, (2): 27－31. ［4］张梅岗.科技英语修辞［M］.长沙：湖南科学技术出版社，1998: 143- 244. ［5］汤丽.科技英语中的描述功能及其翻译［J］.宜宾学院学报，2002， (1): 77－79. ［6］冯梅.英汉科技翻译［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2000.
科技信息
博士·专家论坛
一阶常微分方程初值问题数值解的 Exce l 实现
江苏大学理学院周江波
［摘要］通过实例，阐述了如何借助 Excel 的工作表和自定义宏函数用经典的龙格—库塔公式求一阶常微分方程初值问题的数值解。这种解法具有直观、简便、省时的优点。［关键词］Excel 一阶常微分方程数值解
反复使用该宏函数，可以得到上面例子中的初值问题的数值解如图 4 所示。得到该数值解所用的公式见图 5。
图 1 利用 Excel 标准的电子表格界面显示的经典的龙格—库塔公式计算的一微分方程初值问题的数值解
图 4 利用宏函数 r(h,x,y) 得到的图 1 中初值问题的数值解
作者简介：周江波（1976- ），男，江苏泰兴人，讲师，博士，主要从事非线性偏微分方程的研究。
这就会大大增加计算所用的时间。
本文提出利用 Excel 求一阶常微分方程初值问题数值解。通过一
个实例讲解如何利用 Excel 将用经典的龙格—库塔公式计算一阶常微

一阶常微分方程的数值求解

刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短
作业利用Euler方法和R-K方法求解一个常微分初值问题，并比较数值结果，计算数值解和解析解的误差。
在 [ xk , xk 1 ] 内多取几个点，将它们的导数加权平均代替 f ( x, y( x)) ，设法构造出精度更高的计算公式。
常用的是经典的四阶R-K方法
y0 y( x0 ), xk 1 xk h yk 1 yk h (L1 2 L2 2 L3 L4 )/6
若 f 在 D {a x b,| y | } 内连续，且满足 Lip 条件：
dy f ( x , y) , y( x0 ) y0 , x [a, b] dx
L 0, s.t.| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || y1 y2 | , 则上述问题的连续可
Matlab函数数值求解
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函数值。
solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、
其中
L1 L2 L3 L4
f ( xk , yk ) f ( xk h / 2, yk hL1 / 2) f ( xk h / 2, yk hL2 / 2) f ( xk h, yk hL3 )
例3：利用四阶R-K方法求解例1与例2，并与Euler方法的数值解进行比较。
y( xk 1 ) y( xk ) y( xk 1 ) y( xk ) dy O ( h) dx x h h k

第八章_常微分方程初值问题的单步法

2
为使局部截断误差为O(h ) ,应取
则
k j f ( xi c j h, y( xi c j h)) f ( xi c j h, y( xi ) hc j y( xi )) f ( xi c j h, y( xi ) hc j f ( xi , y( xi )))
f ( xi c j h, yi h a jm km )
f xx f xx ( xi , yi ), f yy f yy ( xi , yi ), f xy f xy ( xi , yi ),
由此得
k1 f , k2 f ( xi c2 h, yi c2 hk1 ) f ( xi , yi ) c2 h( f x k1 f y ) O(h ),
一. Euler方法
a x0 x1 x2 xN 1 xN b, ba x j x0 jh, h , j 1, 2, , N . N
y0 y ( x0 ), yi 1 yi hf ( xi , yi ), i 0,1, , N 1
一阶常微分方程初值问题的数值方法
------单步法
武汉大学数学与统计学院
一阶常微分方程初值问题的一般形式是:
y f ( x, y ), a x b (1) y(a) y0 D {( x, y ) a x b, c y d }
称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指:
定理显然得证.
8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法
考虑一阶常微分方程初值问题
y f ( x, y ), a x b, y (a ) y0 ,

常微分方程初值问题数值解法

0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6733
0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321
7
初值问题（2.2）有解 y ，1按2这x 个解析式子
算出的准确值 y(x同n )近似值一y起n 列在表9-1中，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差.
17
所以，局部截断误差可理解为用方法（2.10）计算一步的误差，也即公式（2.10）中用准确解y(x代) 替数值解产生
的公式误差.
根据定义，显然欧拉法的局部截断误差
Tn1 y( xn1) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y(xn h) y(xn ) hy(xn )
y(2) n1
yn
hf
( xn1,
y (1) n1
).
11
如此反复进行，得
y (k 1) n1
yn
hf
( xn1,
y(k) n1
),
(k 0,1, ).
（2.6）
由于 f (x,对y) 满足y 利普希茨条件（1.3）. 由（2.6）减（2.5）得
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k) n 1
积分曲线上一点 (x的, y切)线斜率等于函数值.
的f (x, y)
如果按函数 f (在x, y) 平x面y上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.
基于上述几何解释，从初始点 P0 (x出0 ,发y0，) 先依方向场在该点的方向推进到 x 上x1一点，P然1 后再从 P1 依方向场的方向推进到 x 上x2一点，循P2此前进做出

《常微分方程指导与实验》第2章：一阶微分方程的解的存在定理

第二章一阶微分方程的解的存在定理§2.1 一阶微分方程解的基本理论主要内容一导数已解出方程初值问题解的存在唯一性定理考虑导数已解出的一阶DE 的初值问题()()00,y f x y y x y '=⎧⎪⎨=⎪⎩(2.1)(2.2)这里()y x f ,是在闭矩形域R ： a x x ≤-0，b y y ≤-0上的连续函数。

定义2.1 如果存在常数0>L ，使得对于所有的点()1,y x ，()2,y x R ∈，都有不等式()()2121,,y y L y x f y x f -≤-成立，则称函数()y x f ,在R 上关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件。

1定理2.1 （毕卡存在唯一性定理）如果()y x f ,在R 上满足条件： 1）连续；2）关于y 满足李普希兹条件，则初值（2.1）和（2.2）在区间h x x ≤-0上存在唯一解()x y y =，其中()M b a h ,m in=，()y x f M R y x ,max ),(∈=。

注1 取数h 的意义。

注意到()y x f M R y x ,max ),(∈=，从而积分曲线()x y y =在任一点()()R x y x ∈,处的切线斜率()M x y ≤'。

于是从点()o y x p ,0引两条斜率分别为M 和M -的直线1l 和2l ，便知过点P 的积分曲线必限制在图2.1和图2.2的阴影区域内。

而直线1l 和2l 相交情形有如下两种可能。

（i ）若相交成如图 2.1所示的情况，则a Mb>，积分曲线()x y y =在a x x ≤-0上不越出R ,从而应取a h =。

（ii ）若相交成如图 2.2所示的情况，则a Mb >，积分曲线()x y y =在Mb x x ≤-0上不越出R ,从而应取Mb h =。

总之，取()M ba h ,min =，就是为了使初值问题（2.1）和（2.2）的解在h x x ≤-0上总存在。

数学物理第六章-特征线法

x at c1, x at c2
解二考虑弦振动方程的Cauchy问题
utt u(
x,
a2uxx 0,
0) (x),
x ut (x, 0)
,t 0
(x),
x
(1) (2)
特征线族
dx dt
2
a2
0
(3)
(3)称为特征方程。
即
dx a 0, dx a 0
dt
dt
:x (
x(s),t dx , dt , ds ds
t(s),u u(x(s),t
du ds
)
|P0
。显然，向量
(s)) n与
在点 P0 的切向量为在点 P0 相互垂直。
记 (a(x, t, u), b(x, t, u), c(x, t, u)) |P0 , 则方程(9)式恰好表示法向量 n 与在点 P0 处相互垂直。因此，在曲面 u u(x,t) 上，以向量为切向量且与曲线相交，交点为
(x t 1)et 1
所以
u(x,t) 1 (x t 1) et 1 (x t 1)e2t
2
2
下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数 u 有关。
一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为
a( u(
x, x,
t, u)ux
0)
b(x,t,u)ut c( (x), x
( , 0,( )) 的曲线方程为
dx
ds
a( x, t, u),
x(0)
dt
ds
b( x, t, u),
t(0) 0
(11)
du ds
c(
x,
t,
u),

一阶常微分方程的初值问题

Matlab 函数
Ode23 非刚性单步法二三阶非刚性, 单步法, 二三阶Runge-Kutta,精度低精度低 Ode45非刚性单步法, 四五阶Runge-Kutta,精度较高非刚性, 单步法四五阶精度较高, 非刚性精度较高最常用 Ode113非刚性多步法采用可变阶非刚性, 非刚性多步法, 采用可变阶(1-13)Adams PECE 算法精度可高可低算法, Ode15s 刚性多步法采用刚性, 多步法,采用采用Gear’s (或BDF)算法精度算法, 或算法中等. 如果ode45很慢系统可能是刚性的,可试此法中等如果很慢, 系统可能是刚性的可试此法很慢 Ode23s 刚性单步法采用阶Rosenbrock法, 精度刚性, 单步法, 采用2阶法较低, 可解决ode15s 效果不好的刚性方程效果不好的刚性方程. 较低可解决 Ode23t 适度刚性采用梯形法则适用于轻微刚性系统适度刚性, 采用梯形法则,适用于轻微刚性系统适用于轻微刚性系统, 给出的解无数值衰减. 给出的解无数值衰减 Ode23tb 刚性, TR-BDF2, 即R-K的第一级用梯形法则刚性的第一级用梯形法则, 的第一级用梯形法则第二级用Gear 法. 精度较低对于误差允许范围比较精度较低, 第二级用差的情况,比差的情况比ode15s好. 好
Matlab’s ode23 (Bogacki, Shampine)
k1 = f ( x n , yn ), h 1 k 2 = f ( x n + , yn + k1h), 2 2 3h 3 k3 = f ( x n + , yn + k 2 h), 4 4 h yn+1 = yn + (2k1 + 3k 2 + 4k3 ), 9 k 4 = f ( x n + h, yn+1 ), en+1 = h (5k1 + 6k 2 + 8k3 9k 4 ). 72

数值分析(25) 常微分方程初值问题的

忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式
yn1 yn h f ( xn , yn ) (n 0,1, 2, ... )
数值分析
数值分析
3. 数值积分法区间将方程y' f ( x, y)在区间 [ xn , xn1 ]上积分
xn1 y'dx xn1 f ( x, y)dx (n 0,1,L )
dy f ( x, y) x [a, b] dx y(a) y0
(9-1)
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条
件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2) | L | y1 y2 |
x1
记为
y1
过点 (x0 , y0 ) ，以 f (x0 , y0 ) 为切线斜率的 x0 x1
切线方程为 y y0 f (x0 , y0 )(x x0 )
用 y1 y0 f (x0 , y0 )(x1 x0 ) y0 hf (x0 , y0 ) 近似代替 y(x1)
数值分析
数值分析
h f (xn , yn )
y n 1
(n 0, 1, 2L )
数值分析
数值分析
例9-2 用改进的Euler方法解初值问题
y' y x 1
y(0)
1
取 h 0.1 ，计算到 x 0.5 。
解：利用
h yn1 yn 2 ( f (xn , yn ) f (xn1, yn hf (xn , yn ))
解：该问题的精确解为 y( x) y0e x
欧拉公式为 yn1 yn h yn (1 h) yn yn (1 h)n y0

微分方程定解问题的基本概念

微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。

微分方程定解问题则是微分方程研究的重点，它对于解决实际问题具有非常重要的作用。

一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程，其形式通常为：y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数，f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。

微分方程的解是一组函数，它满足微分方程和附加条件（称为初值条件或边界条件）。

二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件，求得微分方程的解。

定解问题可以分为初值问题和边值问题。

初值问题是在一个点（通常为 x0）给出一个函数值（通常为y(x0)）和其导数值（通常为y′(x0)），求解函数在另一点的取值。

初值问题通常用初值问题解法求解。

边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值，求解函数在该区间的取值。

边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。

三、常见的定解问题常见的定解问题包括：1.一阶常微分方程的初值问题。

例如：y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。

例如：y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。

例如：y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。

例如：y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。

例如：1.物理学中的定解问题：在自然界中的各种物理现象中，微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。

2.工程学中的定解问题：设计和分析各种工程系统时，微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。

3.金融领域中的定解问题：在金融领域中，微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化，预测市场走势等。

求下列一阶常微分方程的通解

7. 用以下四阶 RK 方法

yn+1
=
yn
+
h 8
(K1
+
3K2
+
3K3
+
K4),
K1 = f (xn, yn),
K2 K3
= =
f (xn f (xn
+ +
h 23 3
,hy, nyn+−h33hKK1)1,
+
hK2),
K4 = f (xn + h, yn + hK1 − hK2 + hK3).
2
5. 试推导向后 Euler 法的局部截断误差主项，并证明其收敛性。
6. 用向后 Euler 法求解
y = 1 + (t − y)2, 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1.
取步长 h = 0.1，将所得结果与准确解 y = t + 1/(1 − t) 进行比较。注意：需要采用适当的方法求解非线性方程。
3. 试证明：对于初值问题 y = −y + t + 1, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ 1，无论步长 h 取何值，用改进的 Euler 法和中点法计算所得数值结果都相同。
4. 求改进 Euler 法的绝对稳定域和绝对稳定区间。
5. 求显式中点公式的绝对稳定区间。
yn+1 = yn + h f (xn + h/2, yn + h f (xn, yn)/2)
求解初值问题
y = 3y/(1 + x), y(0) = 1,
取步长 h = 0.1 求 y(1)，并与精确解比较。
8. 求隐式中点公式的局部截断误差。

求下列一阶常微分方程通解

习题9.11.求下列一阶常微分方程的通解：(1)y =x 2+x −y ;(2)dy dx =3y 1+x ;(3)dy dx =y −2x y ;(4)dy dx =2x −3y x +2y .2.求解下列一阶常微分方程初值问题：(1)y =|x |+y ,y (−1)=1;(2)dy dx =1x +cos y,y (0)=0.3.求解差分方程y n +1=(1+h )y n +2−h (n ≥0),y 0=1,其中h 为正的常数。

4.求解二阶差分方程y n +1=y n +y n −1,y 0=y 1=1.5.试利用解的存在唯一性定理说明y =sin x 不可能是微分方程y =p (x )arctan y ,x ∈[0,1]的解，其中p (x )是区间[0,1]上的连续函数。

6.试确定下列函数的利普希茨常数：(1)f (x )=(x 3−2)2717x 2+4;(2)f (x ,y )=x −y 2,|y |≤10.7.试证明初值问题y =sin y ,y (x 0)=s 在包含x 0的任意区间内有唯一解。

习题9.21.用Euler 法解初值问题y =x 2+10y ,y (0)=0.取步长h =0.1,0.05,0.025,0.001，分别计算y (0.3)的近似值，并通过求误差观察收敛性。

2.利用常微分方程初值问题的数值方法可以求定积分的近似值。

例如求 10e x 2dx .众所周知，e x 2的原函数是无法用初等函数表示出来的，因此定积分 10e x 2dx 的精确值没法通过Newton-Leibnitz 公式求出。

将定积分 10e x 2dx 看成变上限积分函数y (x )= x 0e t 2dt 在点x =1的函数值，而函数y (x )满足微分方程y =e x 2和初始条件y (0)=0.故可用初值问题的数值方法求定积分的近似值。

试用Euler 法计算定积分 10e x 2dx 的近似值，并指出这种方法相当于哪一种数值积分方法。

第八章常微分方程的初值问题

y(k) n1
)]
迭代法太麻烦，实际上，当h取得很小时，只让上式中的第二式迭代一次就可以，即
改进的Euler法（也叫欧拉预估—校正法）
y(0) n1
yn
hf ( xn , yn )
预估算式
yn1
yn
h 2 [ f ( xn, yn )
f
(
xn1
,
y(0) n1
)]
校正算式
改进的Euler法=向前欧拉法+梯形法
x0
x
y( x) y( x0 )
f ( x, y( x))dx
x0
x
y( x) y( x0 )
f ( x, y( x))dx
x0
1、向前Euler法 y'( x) f ( x, y( x)), y( x0 ) y0
推导1：设节点为 xn x0 nh,(n 0,1,2, ) 用向前差分公式代替导数：
注1：微分方程中用 D 表示对自变量的导数，如：
Dy
y'； D2y
y''； D3y
y'''
注2：如果省略初值条件，则表示求通解；
例：求微分方程 dy 2 xy xe x2的通解，并验证。 dx
>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 结果为 y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)
xn
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
用矩形代替右边的积分 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))

9、常微分方程初值问题数值解法

( 2.8) − (2.7)得 : |
( k +1) yn +1
xn +1 ∫xn
− yn +1 |≤
hL 2
|
(k ) yn +1
− yn +1 |,
( 只要 hL < 1，则( 2.8)的ynk +1)收敛到(2.7)的yn +1. +1 2
三、单步法的局部截断误差与阶
一阶常微分方程初值问题(1.1)(1.2)的单步法的一般形式 yn +1 = yn + hϕ ( xn , yn , yn +1, h).
clear x=0,yn=1 %初始化 for n=1:10 yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn); %预测 x=x+0.1; yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp) ; yn=(yp+yc)/2 %校正 end
( 2.2)
作业：作业：P381, 1, 2(1).
龙格—库塔库塔(Runge-Kutta)法 §3 龙格库塔法
进一步 y ( xn +1 ) = y ( xn ) + ∫
xn +1 xn
f ( x, y ( x))dx,
(Байду номын сангаас.3)
∫
⇒ 其中
xn +1 xn
f ( x, y ( x))dx ≈ h ∑ ci f ( xn + λi h, y ( xn + λi h)).
yn +1 = yn + hϕ ( xn , yn , h),
i =1
r
(3.4) (3.5) 欧拉法r = 1, p = 1.改进

常微分方程与初值问题

常微分方程与初值问题一、引言常微分方程是数学中的重要分支之一，它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。

初值问题是常微分方程研究中的基本形式之一，它要求在给定的初始条件下求解微分方程的解。

本文将介绍常微分方程与初值问题的基本概念、常见类型以及求解方法。

二、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数与自变量之间的关系式。

一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中dy/dx表示未知函数y关于自变量x的导数，f(x, y)是已知的函数。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程的导数阶数最高为一次，例如dy/dx = f(x, y)；高阶常微分方程的导数阶数大于一次，例如d²y/dx² + dy/dx = g(x)。

三、初值问题的定义初值问题是指在常微分方程中给定一个初始条件，即确定未知函数在某一点上的函数值及导数值。

一般形式为y(x0) = y0，其中x0和y0分别表示初始点的横纵坐标。

初值问题的求解就是要找到满足常微分方程的解，并满足给定的初始条件。

这个解是通过求解微分方程得到的。

四、常见类型的常微分方程及其求解方法1. 分离变量法：对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法将其转化为两边分别只含有自变量和因变量的方程，然后进行积分求解。

2. 齐次方程法：对于齐次方程（即f(x, y)中只含有y/x的比值），可以通过换元的方式将其转化为一个新的方程，使得新方程中只含有一个变量，然后进行变量分离和积分求解。

3. 线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过乘法因子法将其转化为一个可积分的方程，然后进行积分求解。

4. 变量代换法：对于某些复杂的常微分方程，可以通过适当的变量代换将其转化为更简单的形式，然后再用其他的求解方法求解。

五、初值问题的求解初值问题的求解可以使用数值方法或解析方法。

1. 数值方法：数值方法是通过在离散的自变量点上计算出近似解的方法。

微分方程初值问题的解法

微分方程初值问题的解法微分方程初值问题是数学中的重要问题之一。

它描述了一些物理现象和自然现象的变化趋势，可以用来研究和解决许多实际问题，例如天文学、物理学、生物学和经济学等领域。

微分方程可以分为一阶和高阶微分方程两类。

一阶微分方程初值问题的解法较为简单，但是高阶微分方程初值问题的解法则需要更为复杂的方法。

一阶微分方程初值问题一阶微分方程初值问题可以写成如下形式：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$$$y(x_0)=y_0$$其中，$f(x,y)$ 是已知的函数，$x_0$ 和 $y_0$ 分别是起点的横坐标和纵坐标。

求 $y(x)$ 的函数表达式。

这里介绍两种求解方法，分别是数值解法和解析解法。

数值解法是通过数值计算来逼近函数值。

其中，欧拉法是最简单的数值解法之一。

这种方法的步骤如下：首先，将$x$轴上的区间$[x_0,x_n]$ 分为 $n$ 个子区间，每个子区间的长度为$h$。

其中，$x_n$ 是终点的横坐标，$h=(x_n-x_0)/n$。

其次，用下面的公式递推每个子区间内的 $y$ 值：$$y_{i+1} = y_i + hf(x_i,y_i)$$这里，$y_i$ 表示 $y$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 内的近似值。

通过重复计算，可以得到整个区间内 $y$ 的近似值。

简单来说，欧拉法就是利用变化率计算出一个点的 $y$ 值，然后用这个值逼近下一个点的 $y$ 值，不断重复这个过程。

解析解法是通过数学推导得到一个函数表达式来求解微分方程。

第一步是将微分方程变形，化为分离变量的形式，即$$\frac{dy}{f(y)}=dx$$第二步是对两边同时取积分：$$\int_{y_0}^{y}\frac{dy}{f(y)} = \int_{x_0}^{x} dx$$这个方程的求解方法就是对左边的积分进行积分运算，然后解出 $y$ 的函数表达式。

但是，并非所有的微分方程都能采用解析解法求解。

一阶常微分方程组初值问题解的实例研究

一阶常微分方程组初值问题解的实例研究王锐利【摘要】文章对一阶常微分方程组初值问题解的唯一性进行了探讨,并给出了相应的实例加以比较研究,以加深对一阶常微分方程组存在唯一性定理的理解和应用.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2011(026)002【总页数】4页(P29-32)【关键词】一阶常微分方程组;初值问题;解的唯一性【作者】王锐利【作者单位】河南济源职业技术学院,河南,济源,454650【正文语种】中文【中图分类】O175.1常微分方程初值问题解的研究在实际工程中经常遇到，研究常微分方程初值问题的解其本身也具有很大的研究价值.［1－6］定理1［7］若方程的右端函数函数F(x，Y)在n+1维空间的区域上满足:1)连续;2)关于Y满足利普希茨条件，即存在N＞0，使对于R上任意两点(x，Y1)，(x，Y2)有‖F(x，Y1)-F(x，Y2)‖≤N‖Y1-Y2‖，则上述方程在区间上存在唯一解:Y=Y(x)，Y(x0)=Y0.这里贝尔曼引理［7］设y(x)为区间［a，b］上的连续函数，a≤x0≤b，若存在δ≥0，k≥0使得y(x)满足不等式则y(x)满足不等式y(x)≤δek(x-x0)，x∈［a，b］.已知(1)与同解.利普希茨条件下的几种证明:方法一设r(x)=‖Y1(x)-Y2(x)‖，所要证明的是r(x)≡0，x∈［x0-h0，x0+h0］.假设结论不成立，则有x1:x0-h0≤x1≤x0+h0，使得r(x1)＞0，因为Y1(x)，Y2(x)都是(1)的解，故x1≠x0;不妨设x1＞x0，以S表示x0≤x≤x1上所有使r(x)=0的x 值集合.因为x0∈S，故S≠∅.设其上确界为α，由r(x)的连续性知必有r(α)=0，又由于α是S的上确界，而r(x1)＞0，故r(x)＞0，x∈(α，x1)，在(α，x1)上Y1(x)-Y2(x)不变号，故必可对r(x)求导，所以有从x∈(α，x1)到x1积分上式便有即当x→α时，左端→+∞，而右端为有限数，这一矛盾表明在上应有r(x)≡0，即Y1(x)≡Y2(x).方法二设问题在有两个不同的解Y1(x)与Y2(x)，且有Y1(x)=Y2(x)=Y0，于是方法三不妨设问题的解Y1(x)与Y2(x)在区间［x0，x0+h0］上不恒等，则令所以V(x)'≤NV(x)或等价的有故e-N(x-x0)V(x)在［x0，x0+h0］上递减，所以对任意的x∈［x0，x0+h0］有0≤e-N(x-x0)V(x)≤e-N(x0-x0)V(x0)=0，从而在区间［x0，x0+h0］上V(x)≡0，即Y1≡Y2.例1 已知方程，其中a(x)，b(x)在(α，β)中连续，证明方程有唯一解［2］.解设方程的解在区间［α1，β1］上存在，x0∈［α1，β1］⊂(α，β).则其中，因为从而右端函数满足利普希茨条件，再由解的延展定理知方程的解在(α，β)存在.方法一设所要证明的是r(x)≡0，x∈［x0-h0，x0+h0］.假设结论不成立，则有x1:x0-h0≤x1≤x0+h0，使得r(x1)＞0，因为y1(x)，y2(x)都是方程的解，故x1≠x0;不妨设x1＞x0，以S表示x0≤x≤x1上所有使r(x)=0的x值集合.因为x0∈S，故S≠∅.设其上确界为α，由r(x)的连续性知必有r(α)=0，又由于α是S的上确界，而r(x1)＞0，故r(x)＞0，x∈(α，x1)，在(α，x1)上y1(x)-y2(x)不变号，故必可对r(x)求导:从而从x∈(α，x1)到x1积分该式便有当x→α时，左端→+∞，而右端为有限数，这一矛盾表明在上应有r(x)≡0，即y1(x)≡y2(x).于是在区间［α1，β1］上方程的解唯一.又不妨设存在x2∈(β1，β)使得y1(x2)≠y2(x2)，则由上面所证知在［α1，x1］上解唯一，故矛盾.从而可知方程的解在(α，β)唯一.方法二因为，所以由贝尔曼引理知，从而y1(x)≡y2(x)，x∈［α1，β1］.又不妨设存在x2∈［β1，β］使得y1(x2)≠y2(x2)，则由上面所证知在［α1，x2］在上解唯一，故矛盾.从而可知方程的解在(α，β)唯一.方法三不妨设方程的解y1(x)与y2(x)在区间［α1，β1］上的解不恒等.由方法二知令，则v(x)在［x0，x0+h0］上连续可微，v(x)≥0，并且v(x)'≤(M1+M2)v(x)或等价的有故e-(M1+M2)(x-x0)v(x)在［x0，β1］上单调递减，所以对任意的x∈［x0，x0+h0］有从而在［x0，β1］上v(x)≡0，即φ(x)≡φ(x).又不妨设存在x2∈［β1，β］使得y1(x2)≠y2(x2)，则由上面所证知在［α1，x2］上解唯一，故矛盾.从而可知方程的解在(α，β)唯一.综上所述，方法一的证法借助于积分的有穷和无穷推出矛盾，技巧性较强;方法二的证法利用贝尔曼引理，使证明过程简洁;方法三的证法利用了单调函数的性质，也明了.但也有例子表明即使右端函数f(x，y)不满足利普希茨条件，初值问题的解仍唯一，本文给出相关的定理.定理2 若函数f(x，y)在R上连续，且关于变量y单调不增，即对任意的(x，y1)∈R，(x，y2)∈R，其中y1＜y2，有f(x，y1)-f(x，y2)≥0.则初值问题的解在［x0，+∞)上唯一.证明因为当＜x≤x1时，φ(x) ＜(x)，所以x)-φ(x)＞0.而在区间从而(2)式右端积分值非正，故矛盾.于是在区间［x0，+∞)上(1)式的解唯一.奥斯古德条件对任意(x，y1)，(x，y2)∈R，有，其中，G(s)在0≤s≤s0(s0＞0)上连续，G(s)＞0，且由此可知，若f(x，y)满足奥斯古德条件，则(1)式的解唯一，这就是所熟知的奥斯古德定理若f(x，y)在上连续且满足奥斯古德条件，则(1)式有唯一解.［3］证明由方法一可得即有从x∈(α，x1)到x1积分上式便有当x→α时，左端→+∞，而右端为有限数，这一矛盾表明在上应有r(x)≡0，即(1)式的解唯一.例2 考察方程在［0，+∞)上的解的唯一性.解显然y(x)≡0是满足初值条件的一个解.又上不满足利普希茨条件，但y(x)≡0是满足条件的唯一解.因为当y≠0时，得y=(-x+ c)3.又y(0)=0，所以y=-x3≤0，但y≥0，所以y=-x3不是方程的解.由方法一的证明知，当因此，如果函数f(x，y)满足的条件能够使右边的积分非正，则可推出矛盾.例3 考察方程的解的唯一性.解显然x≡0为方程的一个解，而x≡1不是方程的解.当x≠0且x≠1时，由分离变量法得x=ecet，其中c≠0，但由于x(0)=ec≠0，所以x =ecet不是满足初值条件的解，从而方程的解唯一.但由于，从而f(t，x)不满足利普希茨条件.由方法二的证明知，其关键之处是(2)式的左端积分为无穷，于是可从此处着手寻找保证(1)式解唯一的条件.对于任意的x2＜x1，x1，x2∈［0，+∞)不妨令x1＞2，有即这里的G(x)取为G(x)=2x2，且G(x)在［0，x0］，(x0＞0)上连续非负.满足奥斯古德定理，故解唯一.Abstract:The paper proves the uniqueness of solution on system of firstorder ordinary differential equations initial value problem under Lipchitz condition by three kinds of ways，and they are compared through an example.Furthermore，two examples are presented to ensure the uniquenesswhich can deduce new conditions，so thatwe can deepen our understanding of existence and uniqueness theorem.Key words:uniqueness of solution;Lipchitz condition;initial value problem 【相关文献】［1］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程(第3版)［M］.北京:高等教育出版社，2006. ［2］汪斌.n阶线性微分方程解的存在与唯一性［J］.华中师范大学学报，2007，24－25.［3］William E.Boyce，Richard CDiPrima.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems［J］.8 edition April 20，2004，55－56.［4］Po－Fang Hsieh.Basic Theory of Ordinary Differential Equations［M］.Springer，1999.65－68.［5］Refaat.El Attar.Ordinary Differential Equations［M］.2006，87－91.［6］Vladimir I.Arnold.Ordinary Differential Equations［M］.Springer－Verlag，1992.38－42.［7］东北师范大学数学系.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，1982.。