【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)
北师大版八年级下数学期末复习重点题、易错题
北师大版八年级下数学期末复习重点题、易错题一．填空题（共24小题）1．不等式3x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是．2．若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是．3．若关于x的方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是．4．如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形A n B n∁n D n．若矩形A1B1C1D1的面积为24，那么四边形A n B n∁n D n的面积为．5．若数m使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则m的取值范围是．6．已知直线y＝x+（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2012＝．7．已知关于x的分式方程有增根，则m＝．8．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是．9．已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是．10．已知+＝，则的值是．11．已知关于x的分式方程﹣＝1的解为正数，则a的取值范围是．12．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是．13．在一个长为3，宽为m（m＜3）的矩形纸片上，剪下一个面积最大的正方形（称为第一次操作）；再在剩下的矩形上剪下一个面积最大的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n＝2时，m的值为．14．已知（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）＝5，那么a2+b2＝．15．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限的概率为．16．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是．17．已知关于x的不等式组只有两个整数解，则实数a的取值范围是．18．已知﹣＝1，则．19．如图，直线y1＝﹣2x与直线y2＝kx+b相交于点A（a，2），并且直线y2＝kx+b经过x轴上点B（2，0），则不等式（k+2）x+b≥0的解集是20．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2018的纵坐标为．21．有5张正面分别标有数字﹣2，0，2，4，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程＝3有正实数解的概率为．22．如图，等腰直角三角形ABC的底边长为6，AB⊥BC；等腰直角三角形CDE的腰长为2，CD⊥ED；连接AE，F为AE中点，连接FB，G为FB上一动点，则GA的最小值为．23．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠BCA＝60°，直线AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是．24．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是．二．解答题（共14小题）25．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0），（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求出A′点的坐标．（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形P AB，连接PC．（1）如图1，当∠APB＝90°时，①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝6，求BC的长；（2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝5时，求BC的长．27．（1）因式分解：2ax3﹣8ax．（2）解不等式组：．28．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．29．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知△ABC在网格图中的位置如图所示．（1）请在网格图中画出△ABC向右平移7个单位后的图形△A1B1C1，并直接写出平移过程中线段BC扫过的面积．（2）请在网格图中画出△ABC以P为对称中心的图形△A2B2C2（保留作图痕迹）．30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A 运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，△APQ为直角三角形？31．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点．（1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是，位置关系是；（2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由；（3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值．32．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．33．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（1）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G．求证：AG＝GF；（2）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB）．连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G．①求证：AG＝GF；②若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．34．已知如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y＝3x交于点C，且|OA﹣6|+＝0，将直线y＝kx+b沿直线y＝3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）求直线y＝kx+b的解析式及点C的坐标；（2）求△BCE的面积；（3）若点P是直线y＝3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．35．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝9，OC＝15．（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作′DG⊥CO于点G点，交MF于T点．①求证：TG＝AM；②设T（x，y），探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当x＝6时，点P在直线MF上，问坐标轴上是否存在点Q，使以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．36．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D 的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB经过点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，且OA ＝2OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点C在直线AB上，且BC＝AB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为（0，m）（m＞2），求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若CE：CD＝1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．38．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？参考答案一．填空题（共24小题）1．9≤a＜12；2．a≥1，且a≠4；3．b ≤3且b ≠2；4．；5．﹣11＜m≤﹣4；6．；7．﹣1；8．1＜a≤2；9．7；10．3；11．a＜且a≠0；12．﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2；13．1或2；14．3；15．；16．3或1；17．﹣1＜a≤0；18．﹣5；19．x≥﹣1；20．（）2017；21．；22．3；23．2；24．；11。
北师大版八年级数学下1—5单元易错题集锦(一)
北师大版八年级数学下1-5单元易错题集锦（一）一、选择题1.如图所示，AC=AD ，BC=BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AB B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上说法均不对2.如果a>b ，c<0，那么下列不等式成立的是（ ）A.a+c>bB.a+c>b-cC.ac-l>bc-1D.a （c-1）<b （c-1） 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A.()ab ac d a b c d ++=++B.2(2)(2)4x x x +-=- C.623ab a b =⋅ D.22816(4)x x x -+=-4.下列等式中成立的是（ ）A.123a b a b +=+B.212a b a b =++ C.2ab a ab b a b =-- D.a aa ba b =--++ 5.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知等腰三角形的一个角为50°，则其顶角为（ ） A.50° B.80° C.50°或65° D.50°或80°7.下列说法中，错误的是（ ） A.不等式x<5的整数解有无数多个 B.不等式x>-5的负整数解有有限个 C.不等式-2x<8的解集是x<4 D.-40是不等式2x<-8的一个解8.下列式子能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.21681a a ++B.239a a -+ C.2441a a +- D.2816a a --9.（2020广东佛山华英学校期中）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A.22x y x y ++B.22x y x y -+C.2x xxy + D.2xy y10.下列说法中，不正确的是（ ） A.图形平移是由移动的方向和距离所决定的 B.图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的 C.任意两条相等的线段都成中心对称 D.任意两点都成中心对称11.钟表上的时针走1小时旋转了_________度. 12.当x=_________时，分式225x x -+的值为0. 13.已知x ，y 是二元一次方程组23245x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则代数式224x y -的值为___________.14.用“>”或“<”填空：若a<b<0，则5a -_________5b -；1a _________1b；21a -_________21b -.15.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若DB=14cm ，则AC=_________.16.（2020独家原创试题）如图，已知在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2a +1，3a -4），则点P 到x 轴的距离为_________.17、计算及解方程。
北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明易错题》单元综合测评
北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明易错题》单元综合测评（附答案）1．如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条3．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（）A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．不能确定4．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．105．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．46．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．150°7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y 轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．129．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC 于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP ＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，边长为3的等边△ABC中，BD＝AB，BE＝BC，DF⊥AC于点F，G为DF 的中点，连接EG，则EG的长为（）A．B．C．D．211．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E，那么∠DBC＝度．13．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝．15．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC 的长．16．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于cm．17．如图，P是边长为4的等边三角形ABC内一点，PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，垂足为D，E，F．若PD＝BD＝1，则PE+PF＝，CE+AF＝．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BC＝BD，若∠ABC＝∠BAD＝α，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为边AC上一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，延长DP交BA的延长线于点E，若AC＝10，设CP长为x，BE长为y，则y关于x 的函数关系式为．（不需写出x的取值范围）20．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝．21．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠P AQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．22．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△ABO的顶点A（2，0），经过点A的直线垂直于OB，交OB点C，交y轴于点E．（1）求线段OC的长度；（2）求点E的坐标；（3）确定直线AE的解析式．23．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC 上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．24．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．27．如图：已知在△ABC中，AD⊥BC于D，E是AB的中点，（1）求证：E点一定在AD的垂直平分线上；（2）如果CD＝9cm，AC＝15cm，F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s，求当运动几秒钟时．△ADF是等腰三角形？参考答案1．解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是5+5+2＝12cm．故选：D．2．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．3．解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），故选：B．4．解：如图：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故选：D．5．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．6．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠ABC是△BEF的外角，∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故选：C．7．解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．8．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．9．解：①∵CE平分∠ACE，∴∠ACP＝∠MCP，∵AM⊥CE，∴∠APC＝∠MPC＝90°，∴∠CAM＝∠CMA，∴AC＝CM，∴AP＝PM，①正确；②同理得：BN＝AB＝6，∵CM＝AC＝5，∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9，②正确；③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③正确；④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故选：D．10．解：如图，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60，AB＝BC＝3，∴BD＝AB＝1，BE＝BC＝1，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝60°，DE＝BD＝BE＝1，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF＝30°，∴∠EDG＝90°，∵AD＝AB﹣BD＝2，∵∠ADF＝30°，∴AF＝1，∴DF＝，∵G为DF的中点，∴DG＝DF＝，∴在Rt△DEG中，根据勾股定理，得EG＝＝＝．故选：A．11．解：当为锐角时，如图∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，当为钝角时，如图∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故答案为：50°或130°．12．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．13．解：如下图，分三种情况：①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，由题意知，AD＝BC＝AB，∵sin∠B＝＝，∴∠B＝30°，∠C＝（180°﹣∠B）＝75°，∴∠BAC＝∠C＝75°；②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由题意知，AD＝BC＝AC，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB，∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝∠ACD＝15°；③如图3，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，由题意知，AD＝BC＝CD＝BD，∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，故答案为：90°或75°或15°．14．解：如图，取BD中点H，连AH、EH，∵AB⊥AD，∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，∴∠HDA＝∠HAD，∵DA平分∠FDB，∴∠FDA＝∠HDA，∴∠FDA＝∠HAD，∴AH∥DF，∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，∴A、H、E三点共线，∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．故答案为：6．15．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝1，∴AD＝BD＝1，∵CD＝2BD＝2，∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，故答案为3．16．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．17．解：过A作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴CG＝BC＝2，∴AG＝2，连接P A、PB、PC，∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，∴S△ABC＝S△APB+S△PBC+S△APC，+，AB＝AB（PE+1+PF），∴PE+PF＝2﹣1，延长DP交AB于H，∵PF⊥AB，PD⊥BC，∴∠BFP＝∠BDP＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠HFP＝60°，∴∠BHD＝30°，∵BD＝1，∴BH＝2，DH＝，∵PD＝1，∴PH＝﹣1，Rt△PFH中，PF＝，∴FH＝＝，∴BF＝BH﹣FH＝2﹣＝，∴AF＝4﹣BF＝，∵PE+PF＝2﹣1，∴PE＝2﹣1﹣＝，Rt△PDC中，PC＝＝＝，∴CE＝＝＝＝，∴CE+AF＝＝5故答案为：2﹣1，518．解：延长DA至M，使AM＝AB，连接BM，∵AB＝AC，∴AM＝AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∵∠BAD＝2α，∴∠MAB＝180°﹣∠BAD＝180°﹣2α，∴∠BAC＝∠MAB，在△MAB和△CAB中，∵，∴△MAB≌△CAB（SAS），∴∠M＝∠ACB＝α，BC＝BM，∴∠CAD＝180°﹣2∠BAC＝4α﹣180°，∵BM＝BC＝BD，∴∠M＝∠ADB＝∠ACB＝α，∴∠DBC＝∠DAC＝4α﹣180°，∴∠BCD＝＝90°﹣∠DBC＝90°﹣＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．19．解：∵AB＝AC＝10，∴∠B＝∠C，∵PD⊥BC，∴∠BDE＝∠CDP＝90°，∴∠E＝∠CPD＝∠APE，∴AE＝AP，∵CP＝x，∴AE＝AP＝10﹣x，∵BE＝y＝AB+AE，∴y＝10+10﹣x＝﹣x+20，故答案为：y＝﹣x+20．20．解：∵△ABC为正三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵折叠∴△ADE≌△FDE∴∠DFE＝∠A＝60°∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°∴∠CFE+∠CEF＝120°∴∠BDF+∠CEF＝120°故答案为：120°．21．解：（1）设∠P AQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠P AQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．22．解：（1）∵A（2，0），∴OA＝2，∵△ABO是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，∴∠COE＝30°，∵AE⊥OB，∴OC＝OB＝1；（2）∵AE⊥OB，∠COE＝30°，∴CE＝OC＝，OE＝2CE＝，∴点E的坐标为（0，）；（3）设直线AE的解析式为y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+．23．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如图1，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵AB＝AC，DE＝CE，∴BM＝BC＝3，CD＝2CN，∵AM⊥BC，EN⊥BC，∴AM∥EN，∴＝，∴＝，∴BN＝，∴CN＝BC﹣BN＝，∴CD＝1，综上所述，CD的长为1或3．24．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FQ∥AB，交BC于Q，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FQC＝∠ABC＝60°，∴∠FQC＝∠ACB＝∠CFQ＝60°，∴△CQF是等边三角形，∴CQ＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BQ，∵BG＝AF，∴BQ＝BG，∵BI∥QF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．25．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．27．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵E是AB的中点，∴AE＝DE，∴E点一定在AD的垂直平分线上；（2）解：∵AD⊥BC，∴AD＝＝＝12（cm），当F A＝AD＝12cm时，t＝＝＝4s，当F A＝FD时，则∠F AD＝∠ADF，又∵∠F AD+∠C＝∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠C＝∠FDC，∴FD＝FC，∴F A＝FC＝AC＝cm，∴t＝＝＝s，当DF＝AD时，点F不存在，综上所述，当点F运动4s或s时，△ADF是等腰三角形．。
北师大八年级下数学期中考试常考易错题集锦绝对经典
.北师大八年级下常考、易错题型集锦（1）1、若2a 能够取的值有()表示一个整数，则整数aA． 1 个B． 2 个Ｃ． 3 个Ｄ． 4 个x y3 倍，则分式的值（）2、若分式中的 x、 y 的值都变成本来的x yA、不变B、是本来的 3 倍C、是本来的1D、是本来的1 36a c e g a＋c＋ e＋ g m 2m＋ n5、若：b = d =f=h=3，则b＋ d ＋ f＋ h=。
若：n = 3，则n＝。
6、（ 1）3ax23ay 4（ 2）4(a b)(a b) 247、已知对于x 的方程 3k－ 5x＝－ 9 的解是非负数，求k的取值范围。
8、某商场文具部的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价 5 元。
该商场为促销拟订了以下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购置金额打九折付款。
八年级（ 2）班的小明想为本班书法兴趣小组购置这类毛笔 10 支，书法练习本 x（x≥ 10 ）本。
试问小明应当选择哪一种优惠方式才更省钱？（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）9、函数 y＝ kx＋b（ k、b 为常数， k 0）的图象以下图，则对于x 的不等式 kx+b>0的解集为（）．A． x>0B． x<0C． x<2D． x>2.10、以下各组代数式中没有公因式的是（）223 22 3A ． 4a bc 与 8 abcB ． a b +1 与 a b –1 C. b (a –2b )2 与 a （ 2 b –a ） 2D. x +1 与 x 2–1a b11 、若将分式4a 2中的 a与 b的值都扩大为本来的2 倍，则这个分式的值将 （）A ．扩大为本来的2 倍 B. 分式的值不变C. 减小为本来的1 1D ．减小为本来的4212 、已知 2x3y ，则以下比率式建立的是（）x yx 2C 。
x y x 3 A ．3B 。
33D 。
2 y2y213 、将–x 4–3x 2 + x 提取公因式– x 后，剩下的因式是 ． 14 、若 4a 4–ka 2b +25 b 2 是一个完整平方式，则k =．15 、若一个正方形的面积是 9m 2 +24 mn +16 n 2，则这个正方形的边长是 ．16 2 ，则 a 的取值范围是 __________.、已知对于 x 的不等式（ 1-a ）x ＞ 2 的解集为 x ＜1 a17 、若点 C 是线段 AB 的黄金切割点，且AC>BC ，那么 AB,AC,BC 之间的关系式可用式子来表示。
因式分解、分式和分式方程(易错必刷44题18种题型)—八年级数学下学期期末(北师大版)(解析版)
因式分解和分式方程（易错必刷44题18种题型专项训练）➢因式分解的意义 ➢因式分解-运用公式法 ➢提公因式法与公式法的综合运用 ➢因式分解-十字相乘法等 ➢分式有意义的条件 ➢分式有意义的条件 ➢分式的值➢因式分解-提公因式法➢因式分解-运用公式法➢因式分解-分组分解法➢因式分解的应用➢分式的值为零的条件➢分式的值为零的条件➢ 分式的基本性质 ➢分式的加减法 ➢分式的化简求值➢分式方程的解 ➢解分式方程➢分式方程的增根 ➢分式方程的应用一．因式分解的意义（共5小题）1．若多项式x 2﹣ax ﹣1可分解为（x ﹣2）（x +b ），则a +b 的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣1【答案】A【解答】解：∵（x ﹣2）（x +b ）＝x 2+bx ﹣2x ﹣2b ＝x 2+（b ﹣2）x ﹣2b ＝x 2﹣ax ﹣1，∴b ﹣2＝﹣a ，﹣2b ＝﹣1，∴b ＝0.5，a ＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1B．2x2+2x＝2x2（1+）C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）【答案】D【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；C（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．故选：D．3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】C【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．4．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝，n＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m解得m＝﹣20，n＝2；故应填﹣20，2．5．仔细阅读下面的例题，并解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．问题：仿照以上一种方法解答下面问题．（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝．（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，∴，解得a＝2，p＝1．故答案为：1．（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴，解得n＝﹣1，k＝5，∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．二．公因式（共1小题）6．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（）A．5mx2B．﹣5mx3C．mx D．﹣5mx【答案】D【解答】解：﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，故选：D．三．因式分解-提公因式法（共2小题）7．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．40【答案】C【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．8．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（x），＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选：B．四．因式分解-运用公式法（共2小题）9．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故选：13或﹣11．10．分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．【答案】3（2a+b）（2a﹣b）．【解答】解：（4a+b）2﹣4（a+b）2＝（4a+b）2﹣（2a+2b）2＝（4a+b+2a+2b）（4a+b﹣2a﹣2b）＝（6a+3b）（2a﹣b）＝3（2a+b）（2a﹣b）．五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）11．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【答案】C【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．12．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn（2）m2（m+1）﹣（m+1）（3）4x2y+12xy+9y（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）；（2）m2（m+1）﹣（m+1）＝（m+1）（m2﹣1）＝（m+1）2（m﹣1）；（3）4x2y+12xy+9y＝y（4x2+12x+9）＝y（2x+3）2；（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）＝（x2﹣9）（x2﹣1）＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．13．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2+6A+9＝（A+3）2再将“A”还原，得：原式＝（x﹣y+3）2故答案为：（x﹣y+3）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．将“a+b”看成整体，令a+b＝A，则原式＝A（A﹣8）+16＝A2﹣8A+16＝（A﹣4）2再将“A”还原，得：原式＝（a+b﹣4）2；（3）证明：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n+1）（n+4）•（n+3）（n+2）+1＝（n2+5n+4）（n2+5n+6）+1令n2+5n＝A，则原式＝（A+4）（A+6）+1＝A2+10A+25＝（A+5）2＝（n2+5n+5）2∵n为正整数，∴n2+5n+5是整数，∴式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值是某一个整数的平方．六．因式分解-分组分解法（共1小题）14．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3B．1C．2或3D．﹣2【答案】A【解答】解：由2ab+4a＝b+3，得：2ab+4a﹣b﹣2＝1∴（2a﹣1）（b+2）＝1，∵2a﹣1，b+2都为整数，∴或，解得或，∴a+b＝0或﹣3．故选：A．七．因式分解-十字相乘法等（共2小题）15．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5【答案】A【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7【答案】A【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴k＝﹣4，b＝3，则k+b＝﹣4+3＝﹣1．故选：A．八．因式分解的应用（共8小题）17．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（）A．0B．﹣1C．2D．1【答案】A【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2＝1﹣2x，x4﹣5x2+2x＝（x2）2﹣5x2+2x＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x＝4x2+8x﹣4＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝4﹣8x+8x﹣4＝0，故选：A．18．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（）A．1B．3C．5D．不能确定【答案】B【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，⇒ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8，⇒ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，⇒ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，⇒ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0，⇒ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0，∵a、b均为正数，∴ab＞0，∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0，即a﹣b＝1，ab＝2，解方程，解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合题意，舍去），∴a2﹣b2＝4﹣1＝3．故选：B．19．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【答案】B【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．20．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】A【解答】解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．21．已知x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（）A．0B．1C．﹣1D．2【答案】B【解答】解：原式＝（x2019+x2018+x2017）+（x2016+x2015+x2014）+•+（x3+x2+x）+1＝x2017（x2+x+1）+x2014（x2+x+1）+•+x（x2+x+1）+1＝0+0+0+•+0+1＝1．故选：B．22．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b，＝（a+b）（a﹣b）+4b，＝2（a﹣b）+4b，＝2a+2b，＝2（a+b），＝2×2，＝4．故答案为：4．23．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b）∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，①当a﹣b＝0时，解得：a＝b，此时△ABC是等腰三角形；②直角三角形，理由如下，如图所示：在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，四个全等直角三角拼接成边长为c的大正方形，边长为a﹣b的小正方形，由面积的和差得：S正方形ABMN＝S正方形CDEF+4•S△ABC，∴＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2∴a2+b2﹣c2＝0即△ABC是直角三角形；故答案为等腰或直角．24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．（1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝，b＝．（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得：（a+3）2+（b﹣1）2＝0，∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴a+3＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b＝1．故答案为：﹣3；1．（2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得：（x﹣y）2+（y+4）2＝0∴x﹣y＝0，y+4＝0，∴x＝y＝﹣4∴xy＝16．答：xy的值为16．（3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得：2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，∴a＝1，b＝4；已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4，∴△ABC的周长为9．九．分式有意义的条件（共1小题）25．当x＝时，分式无意义．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案为：0或1．十．分式的值为零的条件（共1小题）26．如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得：|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．十一．分式的值（共1小题）27．若1＜x＜2，则的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．1【答案】D【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故选：D．十二．分式的基本性质（共3小题）28．若＝2，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．29．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（）A．变为原来的3倍B．变为原来的C．变为原来的D．不变【答案】B【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，则分式的值变为原来的．故选：B．30．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．十三．分式的加减法（共2小题）31．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】B【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．32．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）若分式的值为整数，求x的整数值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；（2）＝＝＝x﹣1+，∵分式的值为整数，且x为整数，∴x+1＝±1，∴x＝﹣2或0．十四．分式的化简求值（共1小题）33．先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．【答案】，﹣．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，∵x≠3，0，2，∴当x＝1时，原式＝＝﹣．十五．分式方程的解（共4小题）34．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）（2m+1）x＝﹣6x＝﹣，当2m+1＝0，方程无解，解得m＝﹣．x＝3时，m＝﹣，x＝0时，m无解．故答案为：﹣或﹣．35．若方程的根为正数，则k的取值范围是（）A．k＜2B．﹣3＜k＜2C．k≠﹣3D．k＜2且k≠﹣3【答案】A【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），3x+3k＝2x+6，3x﹣2x＝6﹣3k，x＝6﹣3k，∵方程的根为正数，∴6﹣3k＞0，解得：k＜2，∵分式方程的解为正数，x+3≠0，x+k≠0，x≠﹣3，k≠3，即k的范围是k＜2，故选：A．36．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得，m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，由题意得，m﹣2≥0，解得，m≥2，x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，所以m的取值范围是m≥2且m≠3．故答案为：m≥2且m≠3．37．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．十六．解分式方程（共2小题）38．解方程：（1）；（2）．【答案】（1）无解；（2）x＝﹣2．【解答】解：（1），原分式方程可化为：+2＝，﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，﹣3+2x﹣8＝1﹣x，2x+x＝1+8+3，3x＝12，x＝4，检验：把x＝4代入（x﹣4）＝0，∴原分式方程无解；（2），原分式方程可化为：﹣1＝，1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，1+4x﹣x+2＝﹣3，4x﹣x＝﹣3﹣1﹣2，3x＝﹣6，x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入（x﹣2）≠0，∴原分式方程解为x＝﹣2．39．代数式的值比代数式的值大4，则x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：﹣＝4，x+2＝4（2x﹣3），解得：x＝2，检验：当x＝2时，2x﹣3≠0，∴x＝2是原方程的根，故答案为：2．十七．分式方程的增根（共1小题）40．若方程＝1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1D．1和﹣1【答案】B【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．当x＝1时，m＝3，当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选：B．十八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）41．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程．【答案】见试题解答内容【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，故答案为：．十九．分式方程的应用（共3小题）42．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x解得x＝40∴1.5x＝60经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了a天，乙加工了b天，则由题意得，由①得b＝75﹣1.5a③将③代入②得150a+120（75﹣1.5a）≤7800解得a≥40，当a＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．43．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【答案】见试题解答内容【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：＝解得x＝90经检验，x＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6种选购方案．44．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．根据题意，得：（10+30）+×30＝1，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的根．∴1.5x＝60×1.5＝90．答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，（+）y＝1，解得：y＝36，36×（2.5+2）＝162（万元），∵162＞160，∴不够，需追加162﹣160＝2（万元），答：不够用，需追加预算2万元；②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，根据题意得：，由①得：2b＝180﹣3a③，把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，a≥40，∴甲工程队至少需要施工40天．。
专题01 三角形的证明 易错题之选择题(40题)八年级数学下册同步易错题精讲精练(北师大版)解析版
专题01 三角形的证明易错题之选择题（40题）Part1 与等腰三角形有关的易错题1．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．△EBC＝△BAC D．△EBC＝△ABE【答案】C【详解】解：△AB=AC，△△ABC=△ACB．△以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，△BE=BC，△△ACB=△BEC，△△BEC=△ABC=△ACB，△△BAC=△EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．2．（2020·广西河池市·八年级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】B【详解】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·山东德州市·八年级期末）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA△PD，有下列四个结论：①△PBC＝15°，②AD△BC，③PC△AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据周角的定义先求出△BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，△PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ，BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；△△DAB+△ABC=45°+60°+60°+15°=180°，△AD//BC ，②正确；△△ABC+△BCP=60°+15°+15°=90°，△PC△AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.4．（2020·杭州市八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】D【分析】 根据OC=CD=DE ，可得△O=△ODC ，△DCE=△DEC ，根据三角形的外角性质可知△DCE=△O+△ODC=2△ODC 据三角形的外角性质即可求出△ODC 数，进而求出△CDE 的度数．【详解】△OC CD DE ==，△O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，△2DCE DEC x ∠=∠=，△180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，△75BDE ∠=︒，△180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.故答案为D.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．5．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则△B 的大小为( )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°【答案】B【分析】 根据AB ＝AC 可得△B ＝△C ，CD ＝DA 可得△ADB ＝2△C ＝2△B ，BA ＝BD ，可得△BDA ＝△BAD ＝2△B ，在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出△B ．【详解】解：△AB ＝AC ，△△B ＝△C ，△CD ＝DA ，△△C ＝△DAC ，△BA ＝BD ，△△BDA ＝△BAD ＝2△C ＝2△B ，设△B ＝α，则△BDA ＝△BAD ＝2α，又△△B ＋△BAD ＋△BDA ＝180°，△α＋2α＋2α＝180°，△α＝36°，即△B ＝36°，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．6．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出△ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴△ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.7．（2020·安徽合肥市·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分△ABC，△A=36°，则△1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【答案】C【分析】根据△A=36°，AB=AC求出△ABC的度数，根据角平分线的定义求出△ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解：△△A=36°，AB=AC，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC，△△ABD=36°，△△1=△A+△ABD=72°，故选C．8．（2020·湖北黄石市·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，AD△BC，垂足为D，点E在线段AD上，△EBC=45°，则△ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出△ECB=45°，即可得出结论．【详解】△等边三角形ABC中，AD△BC，△BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，△点E在AD上，△BE=CE，△△EBC=△ECB，△△EBC=45°，△△ECB=45°，△△ABC是等边三角形，△△ACB=60°，△△ACE=△ACB-△ECB=15°，故选A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出△ECB是解本题的关键．9．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】D【详解】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．10．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，△DAE=△BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②△ABD+△ECB=45°；③BD△CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A【解析】分析：只要证明△DAB△△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；详解：△△DAE=△BAC=90°，△△DAB=△EAC△AD=AE ，AB=AC ，△△DAB△△EAC ，△BD=CE ，△ABD=△ECA ，故①正确，△△ABD+△ECB=△ECA+△ECB=△ACB=45°，故②正确，△△ECB+△EBC=△ABD+△ECB+△ABC=45°+45°=90°，△△CEB=90°，即CE△BD ，故③正确，△BE 2=BC 2-EC 2=2AB 2-（CD 2-DE 2）=2AB 2-CD 2+2AD 2=2（AD 2+AB 2）-CD 2．故④正确，故选A ．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．Part2 与 直角三角形 有关的易错题11．（2020·吉林长春市·八年级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )A B ． C ．6,7,8D ．2,3,4 【答案】B【详解】试题解析：A ．2+2≠2，故该选项错误；B ．12+2=2,故该选项正确；C ．62+72≠82，故该选项错误；D ．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.12．（2020·浙江八年级期末）下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（ ）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =． A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．【详解】解：①A B C ∠+∠=∠，△2180A B C C ∠+∠+∠=∠=︒，△△C =90°，即△ABC 为直角三角形；②A B C ∠-∠=∠，△A B C =+∠∠∠，△2180A B C A ∠+∠+∠=∠=︒，△△A =90°，即△ABC 为直角三角形；③::2:5:3A B C ∠∠∠=， △5180253B ∠=︒⨯++=90︒，即△ABC 为直角三角形； ④23A B C ∠=∠=∠，△可以假设△A =6k ，△B =3k ，△C =2k ，△6k +3k +2k =180°，△k =18011⎛⎫︒ ⎪⎝⎭， △△A =108011⎛⎫︒⎪⎝⎭＞90°，即△ABC 是钝角三角形； ⑤1123A B C ∠=∠=∠， 设△A =x ，△B =2x ，△C =3x ，则x +2x +3x =180°，解得x =30°，故△C =3x =90°，即△ABC 是直角三角形；⑥::3:4:5AB AC BC =，设AB =3x ，AC =4x ，BC =5x ，则（3x ）2+（4x ）2=（5x ）2，即△ABC 是直角三角形，故选：A ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．13．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）下列命题中，其逆命题成立的是有（ ） ．①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．A．①③④B．①②③C．②④D．① ④【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立；④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．逆命题成立的有①④个；故选：D．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理．14．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A B C D【答案】A【解析】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：BC，1310AC AB=22222(5)+=，即222AB AC BC+=△△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则1122ABCS AB AC h BC=⋅=⋅，△AB AChBC⋅===.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.15．（2020·山东枣庄市·八年级期末）下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则△A＝90°；③在△ABC中，若△A：△B：△C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据勾股定理可得①中第三条边长为5根据勾股定理逆定理可得②中应该是△C=90°，根据三角形内角和定理计算出△C=90°，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确．【详解】①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为5，说法错误，第三条边长为5②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若2BC+2AC=2AB，则△A=90°，说法错误，应该是△C=90°．③△ABC中，若△A：△B：△C=1：5：6，此时△C=90°，则这个三角形是一个直角三角形，说法正确．④若三角形的三边比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，说法正确．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB△BC，这块草坪的面积是（）A．24米2B．36米2C．48米2D．72米2【答案】B【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以△ACD=90°．这块草坪的面积=S Rt△ABC+S Rt△ACD=12AB•BC+12AC•DC=12（3×4+5×12）=36米2．故选B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．17．（2020·广东深圳市八年级期末）已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（）A．2.4B．4.8C．9.6D．10【答案】B【分析】先根据勾股定理的逆定理判定它是直角三角形，再利用直角三角形的面积作为相等关系求斜边上的高．【详解】解：△62+82=102，△这个三角形是直角三角形，△边长为10的边上的高为6×8÷10=4.8．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．18．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且△B=36°，△C=76°，则△DAE的度数为()A．40°B．20°C．18°D．38°【答案】B【解析】△△ABC中已知△B=36°，△C=76，△△BAC=68°．△△BAD=△DAC=34，△△ADC=△B+△BAD=70°，△△DAE=20°．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.19．（2020·上海市奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①△DCB=△A；②△DCB=△ACE；③△ACD=△BCE；④△BCE=△BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据垂直的定义得到△CDB=90°，根据余角的性质得到△DCB=△A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到△A=△ACE，于是得到△DCB=△ACE，故②正确；同理得到△ACD=△BCE，故③正确；由于BC 不一定等于BE，于是得到△BCE不一定等于△BEC，故④错误．【详解】△CD△AB，△△BDC=90°，△△DCB+B=90°，△△A+△B=90，△△DCB=△A，△①正确；△CE是RtABC斜边AB上的中线，△EA=EC=EB，△△ACE=△A，△△DCB=△A，△△DCB=△ACE，△②正确；△EC=EB，△△B=△BCE，△△A+△B=90，△A+△ACD=90，△△B= △ACD，△△ACD= △BCE，△③正确；△BC与BE不一定相等，△△BCE 与△BEC 不一定相等，△④不正确；△正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．（2020·北京昌平区·八年级期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】根据三角形的外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．【详解】解：由题意得：5=30===∠︒∠∠∠︒，43245，1=4+5=+30=75∴∠∠∠︒︒︒45；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形的外角及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．Part3 与 线段的垂直平分线 有关的易错题21．（2020·湖南娄底市·八年级期末）如图，已知BD 是ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．【答案】D【分析】 根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及△A=90°可求得△C=△DBC=△ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】△ED 是BC 的垂直平分线，△DB=DC ，△△C=△DBC ，△BD 是△ABC 的角平分线，△△ABD=△DBC ，△△A=90°，△△C+△ABD+△DBC=90°，△△C=△DBC=△ABD=30°，△BD=2AD=6，△CD=6，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.22．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．13【答案】A【分析】 利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB ，然后利用等线段代换得到△BDC 的周长=AC+BC ．【详解】由作法得MN 垂直平分AB ，△DA=DB ，△△BDC 的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故选A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．23．（2020·四川达州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC ＝BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选B．考点：作图—复杂作图24．（2020·甘肃定西市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC 于点D、E，则△BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°【答案】D【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质△B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，△BAE=△B．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△B=△C=（180°﹣100°）÷2=40°，△DE是AB的垂直平分线，△AE=BE，△△BAE=△B=40°，故选D．25．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质定理即可得到结论．【详解】△AC=AD，△点A在线段CD的垂直平分线上，△BC=BD，△点B在线段CD的垂直平分线上，△AB垂直平分CD，△AB△CD，故选A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．26．（2020·辽宁沈阳市期末）如图，△ABC中，BD平分△ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若△A=60°，△ABD=24°，则△ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°【答案】A【解析】试题分析：△BD平分△ABC，△△DBC=△ABD=24°，△△A=60°，△△ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，△BC的中垂线交BC于点E，△BF=CF，△△FCB=24°，△△ACF=72°﹣24°=48°，故选A．考点：线段垂直平分线的性质．27．（2020·山东聊城市·八年级期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选择：D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 28．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝120°，BC ＝6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【分析】 连接AM 、AN 过A 作AD BC ⊥于D ，先求出AB 、AC 值，再求出BE 、CF 值，求出BM 、CN 值，代入--＝MN BC BM CN 求出即可．【详解】连接AM 、AN ，过A 作AD BC ⊥于D△在ABC ∆中，AB AC ＝，120∠︒＝A ，6cm BC ＝△30∠∠︒＝＝B C ，3cm ＝＝BD CD△在Rt ABD ∆中，2AB AD =△在Rt ABD ∆中，AB△AD =，AB AC =△AB 的垂直平分线EM△12==BE AB同理CF△30∠∠︒＝＝B C△2BM ME =△在BME ∆中，BM =△2cm BM =同理2cm ＝CN△2cm --=＝MN BC BM CN故选：C ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、含30直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．29．（2020·福建泉州市八年级期末）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：△ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，△B BCD ∠=∠，△DB DC =，△点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.30．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高所在直线的交点【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论．【详解】解：为使游戏公平，凳子应到点A 、B 、C 的距离相等根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的三边中垂线的交点故选C ．【点睛】此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键． Part4 与 角平分线 有关的易错题31．（2020·石家庄市八年级期末）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．42【答案】B【分析】 过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图，过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，△BD 平分△ABC ，△BCD=90°，△DE=CD=4，△四边形ABCD 的面积1122ABD BCD SS AB DE BC CD ∆=+=⋅+⋅1164943022=⨯⨯+⨯⨯= 故选B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．32．（2020·河南南阳市·八年级期末）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D【解析】 解：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ；以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ；再有公共边OP ，根据“SSS”即得△OCP△△ODP ．故选D ．33．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分△ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】C【详解】 试题分析：如图，过点E 作EF△BC 交BC 于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE 的面积等于1152522BC EF ⨯⨯=⨯⨯=,故答案选C ．考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．34．（2020·石家庄市八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是△BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】A【分析】过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分△AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，△两把完全相同的长方形直尺，△CE=CF，△OP平分△AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 35．（2020·湖南株洲市·八年级期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三边的中垂线的交点 C ．△ABC 三条角平分线的交点D ．△ABC 三条高所在直线的交点.【答案】C【分析】 由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC 三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：△凉亭到草坪三条边的距离相等，△凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．36．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】 利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG AB ⊥，则CG 平分ACB ∠，利用A B ∠=∠和三角形内角和计算出ACB ∠，从而得到BCG ∠的度数.【详解】由作法得CG AB ⊥，△AB AC =，△CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，△1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， △1502BCG ACB ∠=∠=︒． 故选C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.37．（2020·广西北海市·八年级期末）如图所示，在△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 直接利用角平分线的性质得出DE=EC ，进而得出答案．【详解】解：△△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，△EC=DE ，△AE+DE=AE+EC=3cm ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE 是解题关键．38．（2020·广东佛山市·八年级期末）如图，OP 平分△MON ，PA△ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ△OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，△OP平分△MON，PA△ON，PQ△OM，△PA=PQ=2，故选B．39．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图,OC是△AOB的平分线,P是OC上一点,PD△OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A．6B．5C．4D．3【答案】A【详解】试题分析：如图，过点P作PE△OB于点E，△OC是△AOB的平分线，PD△OA于D，△PE=PD，△PD=6，△PE=6，即点P 到OB的距离是6．故选A．考点：角平分线的性质40．（2020·江西赣州市·八年级期末）在Rt △ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32 C ．2 D ．6【答案】A【分析】证明△ABD△△AED 即可得出DE 的长．【详解】△DE△AC ，△△AED=△B=90°，△AD 平分△BAC ，△△BAD=△EAD ，又△AD=AD ，△△ABD△△AED ，△DE=BE=3，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．。
北师大版数学八年级下册_易错11_分式的四则运算易错(解析版)-八下期末突破易错挑战满分
2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错11分式的四则运算易错【典型例题】1．（2021·湖北荆州市·八年级期末）计算：（1）222221538x yy x⎛⎫⋅⎪⎝⎭．（2）2222324424x x xx x x x⎛⎫-+-÷⎪-+--⎝⎭．【答案】（1）原式224241598x yy x=⋅256y=；（2）()()()()22322222x x xx x xx⎡⎤-+=-÷⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦31222xx x x⎛⎫=-÷⎪---⎝⎭()3232xx xx-=⨯-=--【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.【专题训练】一、解答题1．（2020·江苏苏州市·八年级期中）若5(1)(1)11x A B x x x x -=++-+-，求A 、B 的值． 【答案】解：∵5(1)(1)(1)(1)(1)(1)x A x B x x x x x --++=+-+-， ∵x -5=(A +B )x +(-A +B )，∵15A B A B +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：32A B =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．2．（2020·江苏苏州市·八年级期中）计算：（1）221111x x x x x ÷--+-； （2）11a a a ---． 【答案】（1）原式=21(1)(1)11x x x x x x ÷-+-+- =2(1)(1)x x x +-·(x +1)-1x x - =211x x x x --- =1x x -；（2）原式=2111a a a a ---- =211a a a -++-． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．3．（2021·山东青岛市·九年级一模）化简：（2221244x x x x x x ---+++）4x x-÷； 【答案】解：（1）（2221244x x x x x x ---+++）4x x-÷ ()()()221242x x x x x x x ⎡⎤--=-⎢⎥+--+⎢⎥⎣⎦ ()()()()()222142x x x x x x x x -+--=--+ ()()2442x x x x x -=--+ ()212x =-+2144x x =-++； 【点睛】本题考查的是分式的化简，，掌握以上运算是解题的关键．4．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）化简：212(1)11a a a a a +-+÷++．【答案】212(1)11a a a a a +-+÷++ (1)(1)111(2)a a a a a a +-++=⋅++ 211(2)a a a a a +=⋅++ 2a a =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2021·四川绵阳市·八年级期末）计算：22111221x x x x x x ⎛⎫+-÷-- ⎪-+⎝⎭． 【答案】 解：原式2222111(1)x x x x x ---=÷--21111x x x -=÷-- 2111x x x =--- 1(1)(1)(1)(1)x x x x x x +=-+-+- 221111x x =-=--．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．6．（2021·湖北武汉市·八年级期末）分式的运算：（1）3223322a b a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）22221244a b a b a b a ab b---÷+++ 【答案】解：（1）3223322a b a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 633239224a b d c c d a a =- 3368a b cd =-（2）22221244a b a b a b a ab b---÷+++ ()()()2212a b a b a b a b a b +-=-++- 21a b a b +=-+ 2a b a b a b a b++=-++ b a b=-+ 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键．7．（2021·山东潍坊市·八年级期末）化简：221111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭【答案】 解：221111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭， 2211111x x x x x +⎛⎫=÷- ⎪-++⎝⎭， 221·1x x x x +=-， ()()21·11x x x x x +=+-， 21x =-；【点睛】本题考查了分式的运算和分式化简，解题关键是熟练运用分式的运算法则和运算顺序解题．8．（2020·浙江杭州市·七年级期末）若345x y z ==，求22223232x xy z x xy z -++-的值；【答案】 解：设345x y z k ===， ∵x =3k ，y =4k ，z =5k ，∵22223232x xy z x xy z -++-=()()()()2222333425332345k k k k k k k k -⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=22222293650272425k k k k k k -++-=2326； 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则．9．（2020·浙江杭州市·七年级期末）计算：222111x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭ 【答案】 解：222111x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭=()()()11221111x x x x x x x x -+⎡⎤-+÷⎢⎥⎦-+++⎣ =()21221111x x x x x x x ⎛⎫--++⨯ ⎪++⎝-⎭ =()()21111x x x x x ⨯-+-+ =1x x-； 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算方法．10．（2021·山东聊城市·八年级期末）化简下列分式（1）3265224a y ab a b y by ⎛⎫⎛⎫--⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭． 【答案】 解：（1）3265224a y ab a b y by ⎛⎫⎛⎫--⋅÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63235648a y ab by b y a =⋅⋅2a b=． （2）2211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭ ()()()211111x x x x x +-=⋅+-+ 21x =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握有关运算法则，以及注意分子、分母的因式分解，通分、约分．11．（2020·浙江杭州市·七年级期末）计算：22122()121x x x x x x x x ----÷+++ 【答案】 解：原式2(1)(1)(2)(1)(1)(21)x x x x x x x x x -+--+=⋅+- 221(1)(1)(21)x x x x x x -+=⋅+- 21x x +=． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．12．（2021·山东泰安市·九年级期末）计算：2244x y xy y x x x ⎛⎫ ⎪⎝---⎭÷ 【答案】解：原式22244x y x xy y x x--+=÷ ()222x y x x x y -=⋅-12x y=-； 【点睛】本题主要考查分式的混合运算以及分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．13．（2021·江苏九年级专题练习）计算：2121122a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭【答案】 解：2121122a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭=212(1)(1)a a a a --⋅- =2a 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．14．（2021·山东威海市·八年级期末）计算：（1）222111a a a a ++---； （2）2224222x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭【答案】解：（1）222111a a a a++---， =()()221111a a a a a ++++--， =()()()()()()22111111a a a a a a ++++-+-， =()()()()221111a a a a ++++-，=()()()()1311a a a a +++-， =31a a +-； （2）2224222x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭=()22244222x x x x x x x ⎛⎫---÷- ⎪+++⎝⎭=()22222x x x x x x --÷++，=()()22·22x x x x x x -++--， =21x -【点睛】本题考查了分式的混合运算及分式的化简，正确运用分式的运算法则进行运算是解题的关键．15．（2021·四川成都市·九年级期末）化简代数式22421(1)39x x x x -+-÷+-．【答案】 解：22421(1)39x x x x -+-÷+- ()()()23334331x x x x x x +-+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭- ()()()233131x x x x x +--=+- 3=.1x x -- 【点睛】本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键．16．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）计算：2214111212x x x x x -⎛⎫-÷+ ⎪--++⎝⎭【答案】 原式=()()()21211222x x x x x x --⋅+-+-+=1122x x x -+++=2x x +． 【点睛】 本题考查二次根式的计算和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和分式的运算法则．。
【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)
八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等， 因此只能是：5cm ，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．40°或70°考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即h .10.218.6.21 解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30° ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴底边上的高为23×6=33 综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8. 如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若PE=2cm ，则PD=_________cm ．解：过点P 作PF ⊥OB 于F ， ∵∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD ∥OA ，∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠BOC=∠DPO ， ∴PD=OD=4cm ，∵∠AOB=30°，PD ∥OA ， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt △PDF 中，PF=21PD=2cm ， ∵OC 为角平分线，PE ⊥OA ，PF ⊥OB, ∴PE=PF ，∴PE=PF=2cm9.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∴BM=ME ，EN=CN ， ∴MN=BM+CN ， ∵BM+CN=9， ∴MN=9考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（B ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5解：作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ， ∵在△AED 和△AMD 中∴△AED ≌△AMD ∴ADM ADE S S V V = ∵DE=DG ，DM=DE ， ∴DM=DG ，∵AD 是△ABC 的外角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF=DN ，在Rt △DEF 和Rt △DMN 中，Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39， ∴ADM ADG MDG S S S V V V -==50-39=11MDG DEF DNM S S S V V V 21===21×11=5.5考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（A ） A.B.C.D.解：在Rt △ABC 中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222=+=+BC AC 过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，则由ABC S V =21AC ．BC=21AB ．CD ，得CD=AB BC AC .=1512x 91=536考查知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（A ）A.1 B.2 C.3 D.4解：∵AD ⊥BC ， ∴∠EAH+∠B=90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∵EH=EB ，在△AEH 和△CEB 中，∴△AEH ≌△CEB （ASA ） ∴CE=AE ，∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于点F ，AB=5,AC=2,则DF 的长为23.解：延长CF 交AB 于点G ， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ， ∵AF 垂直CG ， ∴∠AFG=∠AFC ， 在△AFG 和△AFC 中，∴△AFG ≌△AFC （ASA ） ∴AC=AG ，GF=CF ， 又∵点D 是BC 的中点， ∴DF 是△CBG 的中位线， ∴DF=21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=23点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，交AD 于E ，交BC 的延长线于F. 求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF. ∵FE 垂直平分AD ， ∴FA=FD ，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(1)证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（2）解：∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，∴BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90° ∴△ADC ≌△BDF ∴AC=BF∵AB=BC ，BE ⊥AC ∴AC=2AE ∴BF=2AE(2)解：设AD=x ，则BD=x ∴AB=BC=2+x∵△ABD 是等腰直角三角形 ∴AB=2AD ∴2+x=2x 解得x=2+2即AD=2+218.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE 证明：延长BE 至F ，使EF=BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60°，AB=BC ∴AB=BC=EF∵AD=BE ，BD=AB+AD, BF=BE+EF ∴BD=BF∴△BDF 是等边三角形 ∴∠F=60°，BD=FD 在△BCD 和△FED 中， BC=EF∠B=∠F=60° BD=FD∴△BCD ≌△FED （SAS ） ∴DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.证明：延长AE 、BC 交于点F ∵AE ⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90° ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90° ∴∠DBC=∠FAC 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF ≌△BCD （ASA ） ∴AF=BD 又AE=21BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点 ∴AB=BF∴BD 是∠ABC 的角平分线20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME证明：过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ，CE 于M ，N 两点 ∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形， ∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ， ∴△EAC ≌△BAD ，∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .21.21===V V CE=BD ∴AN=AM∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.证明：连接AD. ∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF ∴易证△BED ≌△AFD （SAS ） ∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90° ∴∠ADF+∠ADE=90° ∴ED ⊥FD第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（C ） A ．x-2＜y-2 B ．2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y 1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-12，则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0 （3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5.提示：解得不等式组的解集为：a<x <-b而不等式组的解集为：3<x <5 ∴a=3,b=-5(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （B ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是(A )． A ．m ≤3 B ． m ≥3 C ．m=3 D ．m ＜3提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得而该不等式组的解集是3>x ，∴m ≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是65-＜a ≤32-． 解：解该不等式组得∵有三个整数解 ∴2＜x ＜6a+10∴三个整数解应该是3,4,5 ∴5＜6a+10≤6 解得65-＜a ≤32- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围.提示：先将m 当作已知数，将x 、y 用含m 的式子表示出来，然后利用x ，y 均为正数，列出含m 的不等式组，解出m 的取值范围【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不能写成大括号的形式】 （1）解不等式1213312+-≥+）（x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意. (1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（C ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-14.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x 解：设可以打x 折． 那么（600×10x-500）÷500≥8% 解得x ≥9．故答案为：9．◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B ） <B ．>C ．≤D ．≥惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本； 第二种：按购买金额打九折付款。
八年级下册数学易错题练习北师大版.pdf
易错题练习（一）一、若162kx x 是一个完全平方式，则k 的值是。
二、下列说法正确的是（）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。
B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。
C 、将分式24ab a中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变。
D 、若分式4242x x 的值为0，则x 的值是2。
三、解不等式组：x x x x 321334)1(372四、分解因式：xx x 6523五、化简求值：42)223(2x x xxx x ，其中4x 六、解分式方程：xx x 21122七、如图，点B 为AC 上一，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。
（1）求证：PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数。
八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。
求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km/，下来时平均速度为n h km/（上去与下来的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是。
二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A 、33B 、33C 、3D 、63三、解不等式组：361213x xxx 四、分解因式：18)1(12)1(22a a 五、化简求值x x xx x x x 21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。
六、解分式方程：13132x x x 七、如图，点O 是ABC 内一点，连接OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接，得到四边形DEFG 。
北师大八年级数学下册易错题整理
北师大八年级数学下册易错题整理第一章三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（）A．40° B．50° C．60° D．40°或70°3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.8. 如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA 于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.910.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A.11 B.5.5 C.7 D.3.511．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A. B. C. D.12.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A.1 B.2 C.3 D.413.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．16. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．17.如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD=，求AD 的长．18.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（ ）A ．x-2＜y-2B ． 2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y (2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-1 ，则a 的取值范围是（3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-0b x a x 的解集是3<x <5,那么a= ,b=(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （ ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是( )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是． 并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（ ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为4.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打 折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） x <yB ．x >yC ．x ≤yD ．x ≥y（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x>300）． （1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。
新北师大版数学八下易错题含答案
请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权八年级下册易错题明证一章三角形的第）1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D㎝㎝或者9㎝ D．12 A．7㎝ B．9㎝ C．12等腰三考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，角形两腰相等，5cm,2cm.因此只能是：5cm， 2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D） D70°．40°或A．40° B．50° C．60°°；底角就是70①当40°是顶角时，考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：.°就是一个底角②40）10cm，则最长边上的高是（D3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、 D. 4.8cmA.2.4cmB.3cmC.4cm是直角三角形，利用面积相等求，即h,由题意可得△ABC提示：设最长边上的高为11h10.6..8 .22解得h=4.8330.3或30等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是4.°ABD=30解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠11，AB=∴AD=×6=322∵AB=AC，11ACB=∠°∠BAD=(90°-30)=30°，∴∠ABC=22，∠ABCABD=∴∠；∴底边上的高AE=AD=3 ABD=30°②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠°，A=90∴∠°-30°=60 ABC∴△是等边三角形，333∴底边上的高为6=×233或综上所述，底边上的高是3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（5.B）的交点三条高 C.三个内角平分线 B.三边垂直平分线三条中线 D.A.考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权】边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”的周，则△ADCAB于D，交BC于E，6.如图，在△ABC中，AB=5AC=3，BC的垂直平分线交长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.60°7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°已知：△ABC ,求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于答案：°60°，即每一内角都大于证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60 °°=180C>60°+60°+60∠,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+B+∠则∠A>60°度矛盾．假设不成立．°，这与三角形的内角和为180∠B+∠C>180即∠A+60中至少有一个内角小于或等于°∴△ABC反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出考查知识：【注意：反证法一般很少用到，除非是与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】PE⊥OAD，交OB于点OC∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为上任意一点，PD∥OA8. 如图所示， PD=_________cm．，若PE=2cm，则于点E，OB于F解：过点P作PF⊥，平分∠AOB°，∵∠AOB=30OC °，∠BOC=15∴∠AOC= ，∥OA∵PD AOP=15°，∴∠DPO=∠ AOP=15°，∴∠DPO=∠，∠∴∠BOC=DPO ，∴PD=OD=4cm ，∥OA∵∠AOB=30°，PD BDP=30°，∴∠1 PF=，PD=2cm中，∴在Rt△PDF2OB, ⊥OA⊥，PFPEOC∵为角平分线，PE=PF=2cm ，∴PE=PF∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除AC，交于ME作MN∥BC交AB过点9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， A.6 B.7 C.8 D.9），若BM+CN=9，则线段MN的长为（于N，的平分线相交于点E∵∠ABC、∠ACB解： ECB，EBC，∠ECN=∠∴∠MBE=∠ BC，∵MN∥ ECB，，∠ECN=∠∴∠EBC=∠EBC EN=CN，∴BM=ME，，∴MN=BM+CN ，∵BM+CN=9MN=9∴平分，必有等腰三角形考查知识点：平行的面积分和△AEDE=D，△ADA是△AB的角平分线，DF⊥AB，垂足10如图 A.11 B.5.5 C.7 D.3.553，则△ED的面积为为，DN，作⊥AC解：作DM=DE交AC于M 中AED和△AMD∵在△AMDAED≌△∴△SS?∴ADMADE VV，DE=DG，DM=DE∵ DM=DG，∴，⊥的外角平分线，是△∵ADABCDFAB只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除DF=DN，∴中，Rt△DMNRt在△DEF和HL），DEF≌Rt△DMN（Rt△和39，∵△ADG和△AED的面积分别为5=50-39=11ADMDAD1SS?S?11=5.5 =×MDG VVV DNMDEF22角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等考查知识点： AB的距离是（A）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到11．在 C.D. B.A. BC=12，中，解：在Rt△ABCAC=9，222215AC12?BC?9?? AB=根据勾股定理得：，，交过C作CD⊥ABAB于点D1129x3611AC.BCS =，得CD==．AC=则由．BC=ABCD ABC V1552AB2考查知识：利用面积相等法，EH=EB=3HCEADED中12.如图，在△ABCAD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为、，、交于点，已知A.1 B.2 C.3 D.4A CH，则AE=4的长是（）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除B解A°B=9∴EAHCA°∴EAHAHE=9BAH∴EH=E中AE和CE在△ASA）∴△AEH≌△CEB（ CE=AE，∴，EH=EB=3∵，AE=4CH=CE-EH=4-3=1∴.考查知识：利用三角形全等求线段长度的长AB=5,AC=2,则DF于点是中线，AE是角平分线，CF⊥AEF，中，13.如图，在△ABCAD3. 为2，AB延长CF交于点G解：BAC∵AE平分∠，∠CAF，GAF=∴∠，CG∵AF垂直AFG=∴∠∠AFC，AFCAFG在△和△中，只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ASA）∴△AFG≌△AFC ，GF=CF，∴AC=AG 是BC的中点，又∵点D CBG的中位线，DF∴是△3111）=）∴DF==（AB-ACAB-AGBG=（2222一般出现既是角平本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，点评：分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.∵FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除．于点EAB，过点D作DE⊥16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D ；≌△AED（1）求证：△ACD 的长．，求BD（2）若∠B=30°，CD=1CAB 平分∠∵AD (1)证明：EAD∠∴∠CAD= AB，∠C=90°，∵DE⊥ AED=90°∴∠ACD=∠ AD=AD，又∵≌△AED∴△ACDAED ACD ≌△）解：∵△（2DE=CD=1∴°，B=30°，∠DEB=90∵∠BD=2DE=2∴交于点BEAD与⊥BC于点D，∠BAD=45°，BE如图，△ABC中，AB=BC，⊥AC于点E，AD17. CF．F，连接BF=2AE；（1）求证：的长．CD=，求AD（2）若）证明：（1，∠BAD=45°⊥BC∵ADBAD =∠ABD=∠45°∴∠AD=BD ∴AC⊥∵BE AFE=90°∠∴∠CAD+BC⊥∵AD °∠∴∠FBD=BFD=90只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BFD AFE=∠又∠FBDCAD=∠∴∠ BDF=90°又∠ADC=∠BDF ≌△∴△ADCAC=BF∴AC ⊥∵AB=BC，BEAC=2AE ∴∴BF=2AEBD=x (2)解：设AD=x，则2+x∴AB=BC= 是等腰直角三角形∵△ABD2AD ∴AB=22x ∴+x=2解得x=2+2即AD=2+18.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴DC=DE19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线. 且AE=2证明：延长AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD（ASA）∴AF=BD1BD 又AE=2∴AE=EF,即点E是AF的中点∴AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线20.如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连接AF，求证：AF平分∠DME只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除证明：两点，NBD，CE于M过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交均为等边三角形，和△ACD ∵△ABEAB=AE ，，AD=AC∴∠EAB=∠CAD=60°BAC，∠BAD=60°+∠∵∠EAC= BAD，∴△EAC≌△11AM.??S?SBDCE.AN CE=BD ∴BAD VV EAC22AN=AM∴（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）AF平分∠DME∴ED.⊥求证：FDAB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.21.如图，已知：连接AD.证明：BC的中点D是AB=AC ∵∠A=90°（直角三角形中，中线等于斜边的一半）CAD AD=BD B=45°=∠⊥BC ∠ADB=90°∠AD∴BE=AF且SAS）≌△∴易证△BEDAFD （∠ADB=90°∠∠∴∠BDE=ADF ∵∠ADE+EDB=ADE=90°∠∴∠ADF+⊥FDED∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为_____°.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是_____.第二章不等式(组)不等式基本性质例：如果x＞y，那么下列各式中正确的是（C）xy-y -x＞D．-2y C．-2x＜＜A．x-2y-2 B．＜221.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解出未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.2，则a的取值范围是a x＜＞1. (2) 已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为1?a0 利用不等式的基本性质三：a-1＜提示：x?a?0?的解集是3<（3）如果不等式组x<5,那么a=3,b=-5. ?x?b?0?提示：解得不等式组的解集为：a<x<-b而不等式组的解集为：3<x<5∴a=3,b=-5x?8?无解,那么m的取值范围是(4) 如果不等式（B）?x?m?A．m＞8 B.m≥8 C.m＜8 D.m≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】x?8?4x?1?x?3，则m的取值范围是(A )如果不等式组(5)的解集是．?x?m?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3m＜D．C．m=3 m≥3 A．m≤3 B．解不等式组得提示：不等式组解集：同大取大；3x?=”就满足题意】【而该不等式组的解集是“=”一定要考虑，这个题取“，∴m≤3??1x?2?x?3?6?25?ax??≤的不等式组．有三个整数解，则的取值范围是＜a(6)关于x25??36?x2a?5??3?解该不等式组得解：∵有三个整数解6a+10＜x＜∴23,4,5 ∴三个整数解应该是6 ＜6a+10≤∴525?? a解得≤＜36,m?2x?y??my. 的取值范围的解】【自己解答(7) 若方程组，均为正数，求?x3m??5y?64x?y均为正数，列，y 用含m的式子表示出来，然后利用提示：先将m当作已知数，将x、x的取值范围的不等式组，解出出含mm不等式组的结果不能写成大括号的形式2.解不等式（组）【】【自己解】）?1（3x2x?11??）解不等式，并将解集在数轴上表示出来；（123)1(x?x?1?35??，并把它的解集表示在数轴上）解不等式组.（2115x?2x????1?23?3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y值得大小，函数值（y）越大，图像越高，函数值（y）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x的取值范围，找出与x轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.?0）的图象如图所示，则关于x为常数，bk的不等、（＋＝函数(1)ykxbk式kx+b>0的解集为（C）．只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权x>2D．x<2 C B．x<0 ．A．x>0xy?kx?bl::ly?k在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则（2）直线与直线2112x x?kkx?b的不等式关于的解x<-121一元一次不等式（组）应用题4.，则此商品8%600元，打折销售后要保证获利不低于◆一件商品的进价是500元，标价为.9折最多打；②获利是在进；“售价”也叫“标价”商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”x价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10折．设可以打x解：x8% ≥那么（600×-500）÷50010．9解得x≥．故答案为：9斤．价格为30◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20y?x元．后来他以每斤y 每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）2x xxxyyyy D ．C B．> ．≥≤<y2030x?根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是解：50yx?元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则以每斤2y?20yx?30x＞250y＞解得：x只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权＞y∴赔钱的原因是x该商场为促销制5元。
北师大版数学八年级下册_易错10_提公因式与公式法因式分解易错(解析版)-八下期末突破易错挑战满分
2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错10 提公因式与公式法因式分解易错【典型例题】1．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）因式分解：（1）(4)(1)3a a a +--； （2）27x 2y -36xy 2+12y 3．【答案】（1）(4)(1)3a a a +--=2343a a a +--=24a -=(a +2)(a -2)；（2）27x 2y -36xy 2+12y 3=3y (9x 2-12xy +4y 2)=3y (3x -2y )2．【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法，是解题的关键．2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）因式分解：（1）22363ax axy ay ++ （2）229()()m n m n +--【答案】解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2，=3a （x 2+2xy +y 2），=3a （x +y ）2；（2）9（m +n ）2-（m -n ）2，=[3（m +n ）+（m -n ）][3（m +n ）-（m -n ）]，=（3m +3n +m -n ）（3m +3n -m +n ），=（4m +2n ）（2m +4n ），=4（2m +n ）（m +2n ）．【点睛】本题考查的是因式分解，（1）题先提公因式，再用完全平方公式因式分解．（2）题先用平方差公式，再用提公因式法因式分解．【专题训练】一、选择题1．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）下列因式分解正确的是（ ）A ．221144y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭B ．()322812246a a a a +=+C ．()()22444x y x y x y -=+-D ．()2214497m m m -+=-【答案】D2．（2021·河南信阳市·八年级期末）已知a ，b ，c 是三角形的三边，那么代数式（a ﹣b ）2﹣c 2的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定【答案】B3．（2021·山东泰安市·九年级期末）下列各式中：①()()22x y x y x y --=-+-，②()()22x y x y x y -+=-++， ③()22 242x x x --=-，④221142x x x ++=+⎛⎫ ⎪⎝⎭中，分解因式正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2021·湖北荆州市·八年级期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．301050B ．103020C ．305010D ．501030【答案】B二、填空题5．（2021·江苏苏州市·九年级开学考试）因式分解：29x -=__________【答案】()(33)x x +- 6．（2021·安徽阜阳市·八年级期末）分解因式：33-=ab a b ____．【答案】()()ab b a b a -+ 7．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）将多项式因式分解39x x -=______【答案】(3)(3)x x x +-．8．（2021·湖北十堰市·八年级期末）分解因式：－3x 2+6xy －3y 2=________．【答案】23()x y --；9．（2020·浙江杭州市·九年级期末）分解因式：322a b a b ab -+=_________．【答案】ab （a -1）210．（2021·上海九年级专题练习）分解因式：2224a ab b -+-=________________．【答案】(2)(2)a b a b -+-- 11．（2021·广东广州市·八年级期末）已知x +y ＝6，xy ＝7，则x 2y +xy 2的值是_____．12．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）把多项式2244mx mxy my -+分解因式的结果是_________．【答案】()22m x y -三、解答题13．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）分解因式：（1）3ax 2﹣6axy +3ay 2； （2）（x +1）2﹣2（x +5）．【答案】解：（1）3ax 2﹣6axy +3ay 2=3a （x 2﹣2xy +y 2）=3a （x ﹣y ）2；（2）（x +1）2﹣2（x +5）=x 2+2x +1﹣2x ﹣10=x 2﹣9=（x ﹣3）（x +3）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2021·河南周口市·八年级期末）因式分解（1）222(6)6(6)9x x ---+ （2）4n n x x +-【答案】（1）原式=22(6)3x ⎡⎤--⎣⎦=22(9)x -=22(3)(3)x x +-；（2）原式=4(1)n x x -=22(1)(1)n x x x -+=2(1)(1)(1)n x x x x +-+．【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．15．（2021·河南南阳市·八年级期末）因式分解：（1）316x x -． （2）22(1)(3)1x y xy x x -+--+．【答案】解：（1）316x x -2(16)x x =-(4)(4)x x x =+-；（2）22(1)(3)1x y xy x x -+--+222431x y xy x x =-+-++()2244xy x x x =-+-+2(2)(2)xy x x =-+-()22x xy x =-+-（）．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，分组分解法，解答时正确分组和灵活运用公式法求解是关键．16．（2021·广西玉林市·八年级期末）因式分解：（1）2ab a -； （2）()228x y xy -+； 【答案】解：（1）2ab a -()21a b =-()()11a b b =+-； （2）()228x y xy -+22448x xy y xy =-++2244x xy y =++()22x y =+．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．（2021·广西钦州市·八年级期末）因式分解：（1）228a -； （2）2232a b ab b -+．【答案】 解：（1）2a 2-8=2（a 2-4）=2（a +2）（a -2）；（2）a 2b -2ab 2+b 3=b （a 2-2ab +b 2）=b （a -b ）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．18．（2021·贵州遵义市·八年级期末）因式分解：（1）2233b c - （2）22242p pq q -+【答案】（1）解：2233b c - 223()b c =- 3()()b c b c =+-；（2）解：22242p pq q -+222(2)p pq q =-+22()p q =-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（2021·湖北荆门市·八年级期末）分解因式：（1）22363a ab b -+-； （2）229()4()a x y b y x -+-．【答案】解：（1）22363a ab b -+-()2232a ab b =--+ ()23a b =--（2）229()4()a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =--- ()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-【点睛】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法分解因式是解题的关键．20．（2020·浙江杭州市·七年级期末）分解因式：（1）291x - （2）22344xy x y y --【答案】解：（1）9x 2-1=（3x +1）（3x -1），（2）4xy 2-4x 2y -y 3=-y （4x 2-4xy +y 2）=-y （2x -y ）2．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握公式的结构特征是正确使用公式的前提．21．（2020·浙江杭州市·七年级期末）因式分解：（1）22363x xy y -+- （2）()2282(7)a b a a b ab --++ 【答案】解：（1）-3x 2+6xy -3y 2=-3（x 2-2xy +y 2）=-3（x -y ）2；（2）原式=8a 2-16b 2-7a 2-ab +ab =a 2-16b 2=（a +4b ）（a -4b ）．【点睛】此题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2021·山西临汾市·八年级期末）因式分解：（1）24232x x - （2）22363x xy y -+-．【答案】解：（1）原式()222116x x =-()()221414x x x =+- （2）原式()2232x xy y =--+()23x y =--【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握分解因式的方法与步骤是解题的关键．23．（2020·河南南阳市·八年级期末）因式分解：（1）22312x y -； （2）2225204++a ab b ．【答案】（1）原式=223(4)x y =3(2)(2)x y x y -+；（2）原式=()()2252522a a b b +⋅⋅+=()252a b +．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．24．（2021·贵州遵义市·八年级期末）分解因式（1）29x - （2）22344ab a b b -++【答案】解：（1）x 2-9=x 2-32=（x +3）（x -3）；（2）22344ab a b b -++，=b （4a 2-4ab +b 2），=b （2a -b ）2． 【点睛】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．25．（2020·浙江杭州市·七年级期末）对下列代数式分解因式：（1）36xy y - （2）()222416x x +- 【答案】解：（1）36xy y - =()32y x -；（2）()222416x x +-=()()224444x x x x +++-=()()2222x x +-【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．26．（2021·山东烟台市·八年级期末）分解因式：（1）()22225100x x +-． （2）()()23118127x x ---+． 【答案】解：（1）()22225100x x +-()()2222510x x =+-()()2225102510x x x x =+++-()()2255x x =+-． （2）()()23118127x x ---+()()231619x x ⎡⎤=---+⎣⎦=()2313x --⎡⎤⎣⎦=()234x -． 【点睛】本题考查综合提公因式和公式法因式分解，掌握分解因式的技巧及平方差公式和完全平方公式的结构正确计算是解题关键． 27．（2021·山东泰安市·九年级期末）将下列多项式进行因式分解：（1）32242436x x y xy -+； （2）()()2125x x -+- 【答案】解：（1）原式()22469x x xy y =-+()243x x y =-；（2）原式221210x x x =-++-29x =-()()33x x =+-．【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．28．（2020·浙江杭州市·七年级期中）分解因式：（1）()22214x x +-； （2）22344ab a b b --． 【答案】解：（1）原式=（x 2+1+2x ）（x 2+1-2x ）=（x +1）2（x -1）2；（2）原式=-b （b 2-4ab +4a 2）=-b （2a -b ）2．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 29．（2021·河南开封市·八年级期末）分解因式．（1）(1)34x x x --+ （2）2222x xy y a ++-【答案】解：（1）原式＝2x −x −3x ＋4＝2x −4x ＋4＝2(2)x -； （2）原式＝()2x y +-2a ＝()()x y a x y a +++-．【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键． 30．（2020·浙江杭州市·七年级期中）因式分解：（1）2818x y y -； （2）2524x x --； （3）222x xz yz xy y +--+【答案】解：（1）2818x y y -=()2249y x -=()()23232x y x +-；（2）2524x x --=()()38x x +-；（3）222x xz yz xy y +--+=222x xy y xz yz -++-=()()2x y z x y -+-=()()x y x y z --+【点睛】此题考查了提公因式法，公式法以及十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 31．（2020·浙江杭州市·七年级期中）因式分解：（1）22363ax axy ay ++； （2）243(43)a b a b --； （3）2(2)6(2)9x y x y +-++．【答案】解：（1）22363ax axy ay ++=()2232a x xy y ++=()23a x y +；（2）243(43)a b a b --=224129a ab b -+=()223a b -； （3）2(2)6(2)9x y x y +-++=2(23)x y +- 【点睛】此题主要考查了因式分解，正确应用提公因式法和公式法是解题关键．32．（2021·山西长治市·八年级期末）下面是小华同学分解因式229()4()ax y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题． 解：原式229()4()a x y b x y =-+-①22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．【答案】解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，故答案为：①正确过程如下：229()4()a x y b y x -+-229()4()a x y b x y =---22()(94)x y a b =--()(32)(32)x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键． 33．（2021·河南南阳市·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n -+=++则22433x xm x n x n ∴343nm n解得：7n =-，21m =-∴另一个因式为7x ，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式223x x k --有一个因式是()25x -，求另一个因式以及k 的值．【答案】解：设另一个因式为()x a +，得22325x x k x x a则22232255x x k x a x a∴2535a a k解得：1a =，5k =．故另一个因式为()1x + ，k 的值为5．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．34．（2021·山东日照市·八年级期末）先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式244x xy x y -+-和2222a b c bc --+．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：()()()()()()22(1)444444x xy x yx xy x y x x y x y x y x -+-=-+-=-+-=-+()()()()22222222(2)22a b c bca b c bc a b c a b c a b c --+=-+-=--=+--+这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：（1）32236m m m --+（2）2229x xy y --+【答案】解：（1）32236m m m --+2(2)3(2)m m m =---2(2)(3)m m =--；（2）2229x xy y --+2229x xy y =-+-()223x y =-- ()()33x y x y =-+--．【点睛】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．。
(完美版)北师大版八年级下册数学期末测试卷及含答案(易错题)
北师大版八年级下册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB 于点E，交BC于点D.CD＝3，则BC的长为（）A.6B.9C.6D.32、函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A.x＞0B.x＞1C.x＞0且x≠1D.x≥0且x≠13、分式的值为0，则（）A.x=﹣1B.x=1C.x=±1D.x=04、一个多边形的内角和比他的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是( )A.5B.6C.7D.85、下列各式：中，是分式的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、下列说法正确的是（）A.代数式是分式B.分式中，都扩大3倍，分式的值不变C.分式有意义D.分式是最简分式7、一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是( )A.五边形B.六边形C.八边形D.十二边形8、已知等腰三角形的两边长满足+（b﹣5）2＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A.13B.14C.13或14D.99、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C.D.10、已知直线y=x+ 与直线y=kx﹣1相交于点P，若点P的纵坐标为，则关于x的不等式x+ ＞kx﹣1的解集为（）A.x＞﹣1B.x≥﹣1C.x＜﹣1D.x≤﹣111、已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形12、下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.13、如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ABB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论都不正确14、若不等式组无解，则a的取值范围是（）A.a≥﹣1B.a≤﹣1C.a＞﹣1D.a＜﹣115、若分式无意义，则x的值为（）A.0B.1C.-1D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是________．17、如图，AC、AD是正五边形的对角线，则∠CAD的度数是________.18、如图，在△ABC中，BC=6，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若A′B′恰好经过AC的中点O，则AA′的长度为________．19、如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M，N．若AB＝8，AC＝10，则△AMN的周长是________．20、小华将直角坐标系中的猫眼的图案向右平移了3个单位长度，平移前猫眼的坐标为（– 4，3）、（– 2，3），则移动后猫眼的坐标为________。
解分式方程易错(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分(北师大版)
2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错13 解分式方程易错【典型例题】1．（2021·河南商丘市·八年级期末）解下列分式方程：（1）21133x x x x -=-- （2）2216124x x x ++=--- 【答案】（1）21133x x x x -=--， 两边同时乘以3(1)x -得：33(x 1)2x x --=，移项、合并同类项得：230x -=，系数化1得： 1.5x =，检验：当 1.5x =时，3(1)0x -≠，∴分式方程的解为 1.5x =；（2）2216124x x x ++=---， 两边同时乘以(2)(2)x x +-得：22(2)164x x -++=-，移项、合并同类项得：48x =，系数化1得：2x=， 检验，当2x=时，(2)(2)0x x +-=， ∴2x =是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解答本题的关键是掌握解分式方程的方法，并注意验根．【专题训练】一、解答题1．（2021·广西河池市·八年级期末）解分式方程：1212x x x -+=- 【答案】 解：1212x x x -+=- 两边同时乘以()2x x -得：223222x x x x x -++=-移项得：223 2 2 2x x x x x -+-+=-合并同类项得：2x =-检验：当2x =-时，(2)0x x -≠所以，原分式方程的解为2x =-．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）解方程：42133x x x x +-+=--【答案】 解：42133x x x x +-+=-- 去分母得：()()342x x x --+=-，去括号得：342x x x ---=-，解之得：5x=-， 经检验，5x =-是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·八年级期末）解方程：34122+=--x x x． 【答案】解：方程两边同时乘()2x -，得342x x =-－，解得1x =，检验：当1x =时，210x -=-≠，所以，原方程的解是1x =．【点睛】本题考查了解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）去分母时要注意符号的变化；（3）解分式方程一定注意要验根．4．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）解方程：1513162x x -=-- 【答案】解：1513162x x -=-- 化简，得()15131231x x -=--， 去分母，得 ()23125x --=去括号，得6225x --=移项，得 6522x =++合并同类项，得69x =系数化为1，得32x = 检验：当32x =时， ()2310x -≠ 所以32x =是原方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．5．（2021·西安市第二十三中学九年级开学考试）解方程：223111x x x +-=--． 【答案】解：方程两边同乘()21x -，得2(2)(1)31x x x +++=-，去括号、移项、合并同类项，得36x =-，解得2x =-，检验：当2x =-时，210x -≠，∴2x =-是原分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是解题的关键．6．（2021·安徽合肥市·八年级期末）解方程：125133x x x-=---． 【答案】解：两边同乘(3)x -得125(3)x x -=---，1253x x -=--+，2513x x -+=--+，3x -=-，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=，因此，3x =不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．7．（2021·广西玉林市·八年级期末）解分式方程：36122x x x+=--． 【答案】解：去分母得：236x x -+=-，解得：1x=-，经检验，1x=-是原分式方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·河南周口市·八年级期末）解分式方程：51144xx x -=---【答案】解：51144xx x -=---方程两边同时乘以（x-4）得5-x=x-4+1，解得4x=，检验：当x=4时，40x-=，∴4x=不是分式方程的解，原分式方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意解分式方式中检验是必备步骤，不能省略．9．（2021·广东云浮市·八年级期末）解方程：112xx x-=-．【答案】解：两边同时乘以()2x x-得：()222x x x x--=-解得：2x=-经检验，2x =-是原方程的解，所以原方程的解是2x =-；【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验；10．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）解方程：22313294x x x -=+-．【答案】 解：()()231323232x x x x -=++-， 方程两边同时乘()()3232x x +-得：()()()23232323x x x x --+-=，整理得：()2264943x x x ---=，去括号得：2264943x x x --+=， 移项合并得：612x =，∴2x =．检验：当2x =时，()()32320x x +-≠，∴原方程的解是2x=． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．（2021·河南安阳市·八年级期末）解分式方程：14233x x x-=+--． 【答案】 解：14233x x x-=+--去分母得：()1423x x =-+-，去括号、移项得：2461x x -=--，解得：3x =，经检验：当3x =时，分母为零，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．12．（2021·江西赣州市·八年级期末）解方程：13233x x-=--． 【答案】解：方程两边同乘()3x -，得：()1233x --=-去括号，得：1263x -+=-移项，得：2316x -=---合并同类项，得：210x -=-系数化为1，得：5x =检验：5－3＝2≠0，5x =是原方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，且最后注意要验证是否是方程的根． 13．（2021·江西上饶市·八年级期末）解方程：32122x x x =--- 【答案】解：方程两边同时乘以2(x -1)，得234(1)x x =--，去括号，得2344x x =-+，移项，合并同类项，得67x =，系数化为1，得76x =， 经检验，76x =是原方程的根， 所以原方程的解为76x=. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练确定最简公分母是解题的关键，解后要验根是注意事项，不能漏落. 14．（2021·河南安阳市·八年级期末）解分式方程：4122x x x x-+=--． 【答案】解：方程两边同乘以2x -，得，2(4)x x x -+=--，解这个整式方程得，24x x x -+=-，+4+2x x x +=， 36x ∴=解得2x =，检验：当2x =时，20x -=，因此2x =不是原分式方程的解，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．（2021·山东烟台市·八年级期末）解方程：2236111x x x-=+--． 【答案】 解：2236111x x x-=+-- 整理，得：()()2361111x x x x +=-+-+-． 方程两边同乘以()()11x x +-，得()()21316x x -++=-． 解这个方程，得75x =-． 检验：当75x =-时，()()110x x +-≠． 所以，75x =-是原方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤和计算法则正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 16．（2021·湖北省直辖县级行政单位·八年级期末）解分式方程：24122x x x=---． 【答案】去分母得：224x x =-+， 移项合并得：2x =，检验：当2x=时，20x -= ∴2x =是增根，原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17．（2021·江苏九年级专题练习）解方程：2111x x x +=--． 【答案】解：方程两边同乘以（x -1），得(1)2+-=x x ． 解这个一元一次方程，得32x =． 经检验，32x =是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．18．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）解方程：（1）81877--=--x x x ； （2）21124x x x -=--． 【答案】解：（1）去分母得：()8187x x -+=-，整理得：749x =解得：x ＝7，经检验x ＝7是原方程的增根，∴原方程无解；（2）去分母得：()2214x x x +-=-，整理得：23x =-解得：x ＝32-， 经检验x ＝﹣32是分式方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是化分式方程为整式方程的方法，同时注意检验方程的根．19．（2021·山东潍坊市·八年级期末）解方程（1）156x x =+； （2）28142y y y =--- 【答案】解：（1）156x x =+， 方程两边乘6（x +5）得，6x =x +5，解得，x =1，检验：当x =1时，6（x +5）≠0，所以原分式方程的解为x =1．（2）28142y y y =---， 方程两边乘(2)(2)y y -+得，28(2)(4)y y y =+--， 解得，y =2，检验：当y =2时，(2)(2)0y y -+=，因此y =2不是原方程的解，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查分式方程的解法，解题关键是熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算，注意：分式方程要检验．20．（2021·山东菏泽市·八年级期末）解下列方程（1）213xx x+=+；（2）221142xx x=--+【答案】解：（1）213xx x+=+，方程的两边同乘x（x+3），得：()()23 23xx x x+++=，解得：x=6，经检验：x=6是原方程的解；（2）2211 42xx x=--+，方程的两边同乘（x+2）（x-2），得：()() 2222x x x x-=--+-，解得：x=-2，经检验：x=-2是原方程的增根，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．21．（2021·山东聊城市·八年级期末）解方程（1）11322x x x --=--； （2）241111x x x +=---． 【答案】(1)方程两边同乘以x -2，得1-3（x -2）= -(x -1)，去括号，得1-3x +6=-x +1，移项，得7-1=3x -x ，合并同类项，得2x =6，系数化为1，得x =3；经检验，得x =3是原方程的解.所以原方程的解为x =3.(2) 方程两边同乘以（x +1）(x -1)，得4= 2(1)(1)(1)x x x +-+-，去括号，得4= 22211x x x ++-+，移项，得4-2=2x ，合并同类项，得2x =2，系数化为1，得x =1；经检验，x =1时，x -1=0，210x -=，所以x =1是原方程增根.所以原方程的无解.【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练确定最简公分母，化分式方程为整式方程是解题的关键，其次，千万注意要验根. 22．（2021·山东临沂市·八年级期末）解方程：（1）22510x x x x -=+- （2）28124x x x -=-- 【答案】解：（1）()()51011x x x x -=+- 去分母得：5510x x ---=， 解得：32x =， 经检验32x=是分式方程的解．（2）()()81222x x x x -=-+- 两边都乘以(2)(2)x x +-，得：(2)(2)(2)8x x x x +-+-=，解得2x=， 当2x =时，(2)(2)0x x +-=，所以x =2是原方程的增根，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项． 23．（2021·云南大理白族自治州·八年级期末）解方程：（1）54441236x x x x --+=--； （2）214111x x x++=-- 【答案】解：（1）54441236x x x x --+=-- 解：方程两边乘3(x -2)，得3(x -2)+3(5x -4)=4x -4．解得x =1．检验：当x =1时，3(x -2) ≠0．所以x =1为原分式方程的解（2）214111x x x++=-- 解：去分母，方程两边乘()()11x x +-，得：222141x x x++-=-，解得x=1．检验：当x=1时，210x-=，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题关键．24．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程：（1）11322xx x--=--（2）25231xx x x+=++【答案】解：（1）去分母得：1-3（x-2）=-（x-1），解得：x=3，经检验：x=3是原方程的解，即原方程的解为x=3；（2）去分母得：5x+2=3x，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的增根，即原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．25．（2021·山东聊城市·八年级期末）解下列分式方程（1）42122x x x x++=--； （2）()()21112x x x x =+++-． 【答案】解：（1）方程左右两边同乘(2x -)，得422x x x +-=-，移项合并同类项，得26x -=-，系数化为1，得3x =，经险验，3x =是原方程的根； （2）方程左右两边同乘()()12x x +-，得()()()2212x x x x -=++-， 去括号，得22222x x x x -=+--，移项合并同类项，得0x=， 经检验：0x =是原方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。
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八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ）A ．7㎝B ．9㎝C ．12㎝或者9㎝D ．12㎝考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，因此只能是：5cm ，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．40°或70°考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即h .10.218.6.21 解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°∴∠A=90°-30°=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴底边上的高为23×6=33 综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】 6.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60°则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8. 如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB，P 为OC 上任意一点，PD∥OA 交OB 于点D ，PE⊥OA 于点E ，若PE=2cm ，则PD=_________cm ．解：过点P 作PF ⊥OB 于F ，∵∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD ∥OA ，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO ，∴PD=OD=4cm ，∵∠AOB=30°，PD ∥OA ，∴∠BDP=30°，∴在Rt △PDF 中，PF=21PD=2cm ， ∵OC 为角平分线，PE ⊥OA ，PF ⊥OB,∴PE=PF ，∴PE=PF=2cm9.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ，∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ，∴BM=ME ，EN=CN ，∴MN=BM+CN ，∵BM+CN=9，∴MN=9考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（B ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5解：作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ，∵在△AED 和△AMD 中∴△AED ≌△AMD∴ADM ADE S S V V∵DE=DG ，DM=DE ，∴DM=DG ，∵AD 是△ABC 的外角平分线，DF ⊥AB ，∴DF=DN ，在Rt △DEF 和Rt △DMN 中，Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，∴ADM ADG MDG S S S V V V -==50-39=11MDG DEF DNM S S S V V V 21===21×11=5.5考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（A ）A. B. C.D.解：在Rt △ABC 中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222=+=+BC AC过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，则由ABC S V =21AC ．BC=21AB ．CD ，得CD=AB BC AC .=1512x 91=536考查知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC 中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（A ）A.1 B.2 C.3 D.4解：∵AD ⊥BC ，∴∠EAH+∠B=90°，∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∴∠B=∠AHE ，∵EH=EB ，在△AEH 和△CEB 中，∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴CE=AE ，∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于点F ，AB=5,AC=2,则DF 的长为23.解：延长CF 交AB 于点G ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠GAF=∠CAF ，∵AF 垂直CG ，∴∠AFG=∠AFC ，在△AFG 和△AFC 中，∴△AFG ≌△AFC （ASA ）∴AC=AG ，GF=CF ，又∵点D 是BC 的中点，∴DF 是△CBG 的中位线，∴DF=21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=23点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，交AD 于E ，交BC 的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.∵FE 垂直平分AD ，∴FA=FD ，∴∠FAD=∠ADF ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD ，∠B=∠ADF-∠BAD ，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA 、OB 表示两条相交的公路，点M 、N 是两个工厂，现在要在∠AOB 内建立一个货物中转站P ，使中转站到公路OA 、OB 的距离相等，并且到工厂M 、N 的距离也相等，用尺规作出货物中转站P 的位置．解：①作∠AOB 的角平分线；②连接MN ，作MN 的垂直平分线，交OM 于一点，交点就是所求货物中转站的位置．16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(1)证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（2）解：∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，∴BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°又∠AFE=∠BFD∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90°∴△ADC≌△BDF∴AC=BF∵AB=BC，BE⊥AC∴AC=2AE∴BF=2AE(2)解：设AD=x，则BD=x∴AB=BC=2+x∵△ABD是等腰直角三角形∴AB=2AD∴2+x=2x解得x=2+2即AD=2+218.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）∴DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.证明：延长AE 、BC 交于点F∵AE ⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF 和△BCD 中∴△ACF ≌△BCD （ASA ）∴AF=BD又AE=21BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点∴AB=BF∴BD 是∠ABC 的角平分线20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME证明：过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ，CE 于M ，N 两点∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形，∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC ，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ，∴△EAC ≌△BAD ，∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .21.21===V V CE=BD ∴AN=AM∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.证明：连接AD.∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF∴易证△BED ≌△AFD （SAS ）∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°∴∠ADF+∠ADE=90°∴ED ⊥FD第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（C ）A ．x-2＜y-2B ． 2x ＜2y C ．-2x ＜-2y D ．-x ＞-y 1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围.(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-12 ，则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0 （3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5. 提示：解得不等式组的解集为：a<x <-b而不等式组的解集为：3<x <5∴a=3,b=-5(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8 无解,那么m 的取值范围是 （B ） A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是(A )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得而该不等式组的解集是3>x ，∴m≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是65-＜a ≤32-． 解：解该不等式组得∵有三个整数解∴2＜x ＜6a+10∴三个整数解应该是3,4,5∴5＜6a+10≤6 解得65-＜a ≤32- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围. 提示：先将m 当作已知数，将x 、y 用含m 的式子表示出来，然后利用x ，y 均为正数，列出含m 的不等式组，解出m 的取值范围【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不能写成大括号的形式】（1）解不等式1213312+-≥+）（x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上. 3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b>0的解集为（C ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-14.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x 解：设可以打x 折．那么（600×10x -500）÷500≥8% 解得x ≥9．故答案为：9．◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2y x +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B ） x <y B ．x >y C ．x ≤y D ．x ≥y定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款。