离散数学

离散数学试题（A 卷答案）

一、（10分）

（1）证明(P →Q )∧(Q →R )⇒(P →R )

（2）求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 解：（1）因为((P →Q )∧(Q →R ))→(P →R )

⇔⌝((⌝P ∨Q )∧(⌝Q ∨R ))∨(⌝P ∨R ) ⇔(P ∧⌝Q )∨(Q ∧⌝R )∨⌝P ∨R

⇔(P ∧⌝Q )∨((Q ∨⌝P ∨R )∧(⌝R ∨⌝P ∨R )) ⇔(P ∧⌝Q )∨(Q ∨⌝P ∨R )

⇔(P ∨Q ∨⌝P ∨R )∧(⌝Q ∨Q ∨⌝P ∨R ) ⇔T

所以，(P →Q )∧(Q →R )⇒(P →R )。

（2）(P ∨Q )→R ⇔⌝(P ∨Q )∨R ⇔(⌝P ∧⌝Q )∨R

⇔(⌝P ∨(Q ∧⌝Q )∨R )∧((P ∧⌝P )∨⌝Q ∨R )

⇔(⌝P ∨Q ∨R )∧(⌝P ∨⌝Q ∨R )∧(P ∨⌝Q ∨R )∧(⌝P ∨⌝Q ∨R ) ⇔2M ∧4M ∧6M ⇔0m ∨1m ∨3m ∨5m

所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。 二、（10分）分别找出使公式∀x (P (x )→∃y (Q (y )∧R (x ，y )))为真的解释和为假的解释。

解：设论域为{1，2}。

若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝F ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝F ，则 ∀x (P (x )→∃y (Q (y )∧R (x ，y )))

⇔∀x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2))))

⇔(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ⇔(T →((F ∧F)∨(F ∧F)))∧(T →((F ∧F)∨(F ∧F))) ⇔(T →F)∧(T →F) ⇔F

若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝T ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝T ，则 ∀x (P (x )→∃y (Q (y )∧R (x ，y )))

⇔∀x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2))))

⇔(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ⇔(T →((T ∧T)∨(T ∧T)))∧(T →((T ∧T)∨(T ∧T))) ⇔(T →T)∧(T →T) ⇔T

三、（10分）

在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个喜欢步行的人都不喜欢做汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。

解论域：所有人的集合。A(x)：x喜欢步行；B(x)：x喜欢坐汽车；C(x)：x喜欢骑自行车；则推理化形式为：

∀x(A(x)→⌝B(x))，∀x(B(x)∨C(x))，⌝∀x C(x)∃x⌝A(x)

下面给出证明：

(1)⌝∀x C(x) P

(2)∃x⌝C(x) T(1)，E

(3)⌝C(c) T(2)，ES

(4)∀x(B(x)∨C(x)) P

(5)B(c)∨C(c) T(4)，US

(6)B(c) T(3)(5)，I

(7)∀x(A(x)→⌝B(x)) P

(8)A(c)→⌝B(c) T(7)，US

(9)⌝A(c) T(6)(8)，I

(10)∃x⌝A(x) T(9) ，EG

四、（10分）

下列论断是否正确？为什么？

(1)若A∪B＝A∪C，则B＝C。

(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C。

(3)若A⊕B＝A⊕C，则B＝C。

解 (1)不一定。例如，令A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{2}，则A∪B＝A∪C，但B＝C不成立。

(2)不一定。例如，令A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，3}，则A∩B＝A∩C，但B＝C不成立。

(3)成立。因为若A⊕B＝A⊕C，对任意的x∈B，当x∈A时，有x∈A∩B⇒x∉A⊕B⇒x∉A⊕C＝(A∪C)－(A∩C)⇒x∈A∩C⇒x∈C，所以B⊆C；当x∉A时，有x∉A∩B，而x∈B⇒x∈A∪B，所以x∈A∪B－A∩B＝A⊕B⇒x∈A⊕C，但x∉ A，于是x∈C，所以B⊆C。

同理可证，C ⊆B。

因此，当A⊕B＝A⊕C时，必有B＝C。

五、（10分）若R是集合A上的自反和传递关系，则对任意的正整数n，R n＝R。

证明当n＝1时，结论显然成立。设n＝k时，R k＝R。当n＝k＋1时，R k+1＝R k*R＝R*R。下面由R是自反和传递的推导出R*R＝R即可。

由传递性得R*R⊆R。另一方面，对任意的∈R，由R自反得∈R，再由关系的复合得∈R*R，从而R⊆R*R。因此，R＝R*R。

由数学归纳法知，对任意的正整数n，R n＝R。

六、（15分）设函数f ：R ×R →R ×R ，f 定义为：f ()＝。

(1)证明f 是单射。 (2)证明f 是满射。 (3)求逆函数f －1

。

(4)求复合函数f －1 f 和f f 。

证明 (1)对任意的x ，y ，x 1，y 1∈R ，若f ()＝f ()，则＝，x ＋y ＝x 1＋y 1，x －y ＝x 1－y 1，从而x ＝x 1，y ＝y 1，故f 是单射。

(2)对任意的∈R ×R ，令x ＝

2

w u +，y ＝

2

w u -，则f ()＝<

2

w u +＋

2

w u -，

2

w u +－

2

w u ->＝，所以f 是满射。

(3)f －1

()＝<

2

w u +，

2

w u ->。

(4)f －1 f ()＝f －1

(f ())＝f －1

()＝<

2

y

x y x -++，2

)

(y x y x --+>＝

f f ()＝f (f ())＝f ()＝＝<2x ，2y >。

七、（15分）设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}

(1)画出R 的关系图。 (2)写出R 的关系矩阵。

(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 解 (1)R 的关系图如图所示： (2) R 的关系矩阵为：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=01

1

101110000

0111

)(R M (3)对于R 的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R 不是自反的；由于对角线上存在非0元，R 不是反自反的；由于矩阵不对称，R 不是对称的；

经过计算可得 )(01

1

1011100000111

)(2

R M R M =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=，所以R 是传递的。 八、（10分）若是群，H 是G 的非空子集，则是的子群⇔对任意的a 、b ∈H 有a *b

－1

∈H 。