2017绵阳二诊理科答案

绵阳市高2015级第二次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

DBBCA CDDCA BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．93

14．-5

15．1

16．①④

16题提示：③设|BM |=|BO |=m ，|CN |=|CO |=n ， 由①得|PM |=|PN |=9．

由题知圆E 与x 轴相切，于是圆E ：x 2+(y -2)2=4是△PBC 的内切圆， 根据公式S △PBC =)(2

1

c b a r ++(其中r 为内切圆半径，a ，b ，c 为△PBC 的边长)得：

21|BC |•y 0=21×2×2(|PM |+|BO |+|CO |),即2

1

(m +n )×9=2(9+m +n )，解得536=+n m ，故S △PBC 5162

953621=⨯⨯=．

④同③可得

2

1

(m +n )•y 0=2(y 0+m +n )， 解得4400-=+y y n m ，

故S △PBC ]8)

4(16

)4[(24421)(210002

00+-+-⋅=-⋅

=+=y y y y y n m ≥32． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 3

1

tan 21tan ==

，

∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ， 在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=A

A

A C

B

C B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-

=-+-

，………3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =

4

π

．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，

可得sin B =2cos B ，sin C =3cos C ， ……………………………………………7分 结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1， 可得sin B =

5

2，sin C =

10

3， (负值已舍) ……………………………………9分

在△ABC 中，由

B

b

A a sin sin =

，得b =a a a A B 51022

2

5

2

sin sin ==， …………11分

于是S △ABC =

21

ab sin C =25

3103510221a a a =⨯⨯

， ∴

2

5

3a =15，解得a =5．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，

∴ 879.7249.845

554060)20152540(1002

2

>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分

∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的9人中，年轻人有=⨯960406，中老年人=⨯960

203人． 于是X =0，1，2，3，

∴ 8420

)0(393

6

===C C X P ，8445)1(3

9

1326===C C C X P ， 8418)2(392

316=

=

=C C C X P ，841

)3(39

33===C C X P ， ∴ X 的分布列为：

………………………………………………………10分 ∴ X 的数学期望184

13841828445184200)(=⨯+⨯+⨯+⨯

=X E ．…………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ，

∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分

∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，

∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2

)

1(+=

n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn

++

n k ．……………………………………………………7分 ①当n 为偶数时，原式变为24

++

n k ， ∵ 24++

n n ≥242+⋅n n =6（当且仅当n =n

4

，即n =2时“=”成立）

∴ n =2时，24

++

n

n 取最小值6， 故k <6． …………………………………………………………………………9分

②当n 为奇数时，原式变为2)4

(-+->n

n k ，

令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x >0，则2

22)

2)(2(4)(x

x x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ， 即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 由f (1)=-7

19-(n 为奇数)， ∴ k >3

19

-

． ……………………………………………………………………11分 综上所述，k 的取值范围为(3

19

-

，6)． ……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，

∴ =DP (0，y 0)，DM =(x -x 0，y )，

由DP =，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，

∴ 曲线C 的方程为：14

82

2=+y x ． …………………………………………4分