王涛 实变函数报告

实变函数读书报告

姓名：王涛 班级：121132 学号：20131000513 摘 要 黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。我的读书报告主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义和一些定理的分析与比较，归纳总结出勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。两者之间的关系就像数钱一样，R 积分是你把钱分成按钱的张数分成堆，每堆数数有多少张1块，5块，100的然后求个和。然后把所有堆的钱数加起来。L 积分是你把1块的放一对，5快的放一堆，100的放堆，然后数出每堆的张数，求出总钱数。

关键词 黎曼积分 勒贝格积分 区别

1、可积函数的连续性

闭区间【a ，b 】连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。它将函数的可积性归结到了函数的内在性质—连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。

定理 为使【a ，b 】上的有界函数f 是R 可积，充分必要条件是f 在【a ，b 】上几乎处处连续。此外当f 为R 可积时，f 必L 可积，而且两个积分值相等。 例如黎曼函数

⎩⎨⎧>==为无理数，当为互质的整数）当x p q q q p x q x f 0,,0(/,/1)(

这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.（因为该函数在区间(0,1)内的极限处处为0）。虽然在[

]0,1中有无穷多个有理点，即黎曼函数在[]0,1上的不连续点有无穷多个，但这个函数在[

]0,1上仍是黎曼可积的，且有1

0()0

f x dx =⎰

事实上，[

]0,1中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数()f x 是黎曼

可积的

. 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。

（积分的绝对连续性）设()f L D ∈，则对任何ε>0，存在δ>0，使得对

D 上的任何可测子集A,只要m(A)< δ,就有|A fdx

⎰|< ε.

2．积分的可加性

这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性。黎曼积分具有有限可加性，但没有可数可加性。但对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可列可加性。

设f ()L D ∈, {}1k k E ≥是D 的一个分化，则

1k k D E fdx fdx ∞

==∑⎰⎰

Lebesgue 积分克服了黎曼积分的缺陷。对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解。我们知道，黎曼积分建立在区间之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而区间只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度的性质也就反映到了相应的积分上来了。 3．积分极限定理

Riemann 积分极限号与积分号要交换次序往往需要函数列一致收敛，但Lebesgue 积分的交换条件就弱了一些，我们有如下两个定理

（Lovi 单调收敛定理） （控制收敛定理）

推广设{}k f 和{}k g 是可测集E 上的两列可测函数，且{}{}k k f g ≤，今若f ()()()(),.k k x f x g x g x a e →→，并且()()k

E E g x dx g x dx →<∞⎰⎰则

()()k E E f

x dx f x dx →⎰⎰。

与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松得多，从而使我们又一次看到了勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性。

4. f 可积与|f|可积的不同，在黎曼可积中若f 黎曼可积，则绝对可积，但反过来不一定成立，但勒贝格积分中可积与绝对可积等价

5、总结

从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。

1、R积分的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；L积分的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。

2、勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

3、勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。由勒贝格控制收敛定理可知,只要所给函数列可测、有界、收敛,积分与极限就可换序,这一点在三角级数、热学研究中非常重要。

4、勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分,它把黎曼积分作为一种特例加以概括,并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分。由此可见,勒贝格积分和黎曼积分各有自己的优势和价值。在计算连续函数的积分时, 黎曼积分要比勒贝格积分简便、优越。但勒贝格积分是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透,促进了其它学科的发展,特别是三角级数和函数序列方面。概率论,泛函分析等学科也受到勒贝格积分的积极影响。

此外, 勒贝格积分作为纯粹数学研究的产物,后来在热学,统计力学,控制论等自然学科得到深刻而重要的应用。

参考文献

[1]、孙清华，孙昊实变函数内容、方法与技巧[M] 华中科技大学出版社，2004

[2]、程其襄，张奠宙，魏国强等实变函数与泛函分析基础[M] 高等教育出版社 2003

[3]、沈凤英浅谈勒贝格积分与黎曼积分[J] 苏州教育学院学刊 1987第一期

[4]、侯有良实变函数论[M] 武汉大学出版社 2008