第九章电磁感应电磁场(一)答案

一．选择题[ D ]1.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为 的正方向，则代表线圈内自感电动势 随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解答】 dt dI L L -=ε，在每一段都是常量。

dtdI[ D ]2. （基础训练5）在圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，如图所示．B的大小以速率d B /d t 变化．在磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线AB ，则 (A) 电动势只在导线AB 中产生． (B) 电动势只在AB 导线中产生． (C) 电动势在AB 和AB 中都产生，且两者大小相等．(D) AB 导线中的电动势小于导线中的电动势 【解答】连接oa 与ob ，ob ab ob oab εεεε++=。

因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以oa 和ob 上的涡旋电场方向处处垂直于oa 、ob ，即0=⋅==⎰→→l d E ob ob εεoab ob d dB S dt dtφεε==-=- o ab oabd d dtdtϕϕ∴<[ B ]3.（基础训练6）如图12-16所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B平行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) 0ε= 221l B U U ca ω=- (B) 0ε= 221l B U U c a ω-=- (C)2B l εω=221l B U U ca ω=- (D) 2B l εω= 221l B U U c a ω-=- 【解答】ab 边以匀速转动时 0=-=dtd abc φε 22l B l d B v U U U U L c b c a ω-=∙⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-=-⎰→→→ [ B ]4.（自测提高2）真空中一根无限长直细导线上通电流I ，则距导线垂直距离为a 的空间t t tt t (b)(a)Bab cl ω图12-16某点处的磁能密度为(A)200)2(21a I πμμ (B) 200)2(21aI πμμ (C) 20)2(21I a μπ (D) 200)2(21a I μμ 【解答】距离为a 的空间该点的磁感应强度大小为：aIB πμ20=磁能密度为 200022212⎪⎭⎫⎝⎛==a I B w m πμμμ[ B ]5.（自测提高5）用导线围成的回路(两个以O 点为心半径不同的同心圆，在一处用导线沿半径方向相连)，放在轴线通过O 点的圆柱形均匀磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图12-26所示．如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间减小，则(A)→(D)各图中哪个图上正确表示了感应电流的流向？ 【解答】根据公式S dt B d l E S L d d ⋅-=⋅⎰⎰⎰感，因为0<dtBd且磁场方向垂直图面向里，所以感应电流为顺时针方向，再由于感应电流是涡电流，故选B 图。

二. 填空题1.（基础训练11）真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比d 1 / d 2 =1/4．当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比为W 1 / W 2= 1：16 。

【解答】2.（基础训练15）如图12-20所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t 秒末导线两端的电势差=-N M U U ala Igt +-ln20πμ 【解答】长直导线在周围空间产生的磁场的磁感应强度为xIB πμ20=，方向与电流方向成右手螺旋关系。

在金属杆MN 处B的方向垂直纸面向内。

在MN 上取一微元x d，则该微元两端的电势差为：()dx xI gt dx x I v x d B v d i πμπμε2200-=-=⋅⨯=所以金属杆MN 两端的电势差为：ala Igt a l a Iv dx x I v U l a aMN +-=+-=-=⎰+ln 2ln 22000πμπμπμ图12-26Ld B V w W m 421202⨯==μ3.（基础训练16）如图12-21所示，aOc 为一折成∠形的金属导线(aO =Oc =L )，位于xy 平面中；磁感强度为B 的匀强磁场垂直于xy 平面．当aOc 以速度v沿x 轴正向运动时，导线上a 、c 两点间电势差U ac =θsin Bvl ；当aOc 以速度v沿y 轴正向运动时，a 、c 两点的电势相比较, 是 a 点电势高． 【解答】当沿x 轴运动时，导线oc 不切割磁力线，θsin ,Blv U U U U ac ao c o ===当沿y 轴运动时，Blv U oc =θcos Blv U oa =所以a 点电势高。

4.（自测提高9）面积为S 的平面线圈置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，若线圈以匀角速度ω绕位于线圈平面内且垂直于B 方向的固定轴旋转，在时刻t=0时，B 与线圈平面垂直。

则任意时刻t 时通过线圈的磁通量为t BS ωcos ，线圈中的感应电动势为t BS ωωsin 。

若均匀磁场B 是有由通有电流I 的线圈所产生，且B=kI （k 为常量），则旋转线圈相对于产生磁场的线圈最大互感为kS 。

【解答】⎰⎰⋅==d d φφdtd i φε-=MI =φ5．（自测提高10）在一个中空的圆柱面上紧密绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′(如图)．已知每个线圈的自感系数都为0.05 H ．若a 、b 两端相接，a ′、b ′接入电路，则整个线圈的自感L = 0 ．若a 、b ′两端相连，a ′、b 接入电路，则整个线圈的自感L = 0.2H ． 若a 、b 相连，又a ′、b ′相连，再以此两端接入电路，则整个线圈的自感L = 0.05H ． 【解答】 a 、b 两端相接，a ′、b ′接入电路，反接，21212L L L L L -+=； a 、b ′两端相连，a ′、b 接入电路，顺接，21212L L L L L ++=； a 、b 相连，又a ′、b ′相连，再以此两端接入电路，不变。

三. 计算题1.（基础训练17）如图12-22两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求x =NR 时(N 为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 【解答】x ×××××图12-21在轴线上的磁场()()22003322222IR IR B x R x R xμμ=≈>>+32202xr IR BS πμφ==v x r IR dt dx x r IR dt d 422042202332πμπμφε=--=-=x NR =当时204232I r v N R μπε=2.（基础训练19）一密绕的探测线圈面积S=4cm 2匝数N=160，电阻R=50Ω。

线圈与一个内阻r=30Ω的冲击电流计相连。

今把探测线圈放入一均匀磁场中，线圈法线与磁场方向平行。

当把线圈法线转到垂直磁场方向时，电流计指示通过的电量为4×10-5C 。

求磁感强度的大小。

【解答】3.（基础训练20）一长直导线旁有一矩形线圈，两者共面(如图12-24)。

求长直导线与矩形线圈之间的互感系数。

【解答】x b xIs B Φd π2d d 0μ=⋅=)ln(π2d π200dda Ibx b xIΦad d+==⎰+μμ )ln(π20dd a b I ΦM +==μ4.（自测提高18）无限长直导线通以电流I ．有一与之共面的直角三角形线圈ABC ，已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示．若线圈以垂直导线方向的速度v向右平移，当B 点与长直导线的距离为d 时，求线圈ABC内的感应电动势大小和感应电动势的指向．图12-24()21212121φφφφφφ-=-=-==⎰⎰⎰RN d R N dt dt d R N dt I q t t t t i i TNS R q B i 2105-⨯==【解答】rIB π20μ=xax x aIbIab dr x r abr I ax x+-=-=⎰+lnπ2π2)(π2000μμμφ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-=v a x a a Ib v x ax a Ib dt d π2ln π200μμφε—i 时当d x =⎪⎭⎫⎝⎛++=d a d a d av a Ib ln π20—μεi5、（附录D ：20）均匀磁场B被限制在半径R =10 cm 的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里．取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示．设磁感强度以d B /d t =1 T/s 的匀速率增加，已知π=31θ，cm 6==Ob Oa ，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。

解：由法拉第电磁感应定律有感生电动势大小）（）（V dt dB oa ab R S dt dB dt d 3-2221068.316cos 06.02131.0212cos 2121⨯-=⨯⨯⨯-⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=-=-=ππθθφε负号表示感生电动势逆时针绕向。

[附加题]1.（自测提高15）有一水平的无限长直导线, 线中通有交变电流 I = I 0cos(ωt) ,其中I 0和ω为常数, t 为时间, I > 0的方向如图所示,导线离地的高度为h, D 点在导线的正下方, 地面上有一N 匝平面矩形线圈其一边与导线平行, 线圈中心离D 点水平距离为d 0 ,线圈的边长为a ( a / 2 < d 0)及b ,总电阻为R, 取法线n竖直向上, 试计算导线中的交流电在线圈中引起的感应电流 (忽略线圈自感)。

【解答】解：选如图坐标系，在x 处取面元ds=bdx ，则通过ds 的磁通量为θπμcos 20ds r IN d =ψc2222cos x h x x h r +=+=θ202202002/2/220)/()2/(ln 4)cos(2a a d h a d h b t I N x h xdx Ib N Ψa d a d -+++=+=⎰+-πωμπμ线圈中的感应电动势为t a d h a d h Nb I dt d Ψi ωπωμεsin )()(ln 4221022210200-+++== t a d h a d h R Nb I R I ii ωπωμεsin )()(ln 4221022210200-+++== 2、（自测提高17）有一很长的长方的U 形导轨，与水平面成θ角，裸导线ab 可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B竖直向上的均匀磁场中，如图12-35所示．设导线ab 的质量为m ，电阻为R ，长度为l ，导轨的电阻略去不计，abcd 形成电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab 下滑的速度v 与时间t 的函数关系 【解答】安培力图12-35 θαεcos sin Bvl Bvl ==RBvl R i θεcos ==θθcos sin B F mg ma -=mR vl B g dt dv θθ222cos sin -=⎰⎰=-t v dt mR vl B g dv00222cos sin θθ()()2cos cos sin 12θθθBl mgR e vt mRBl ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-R vl B B l Id F B θcos 22=⨯=⎰。