3.2实数导学案

3.2 实数
【要点预习】
1.无理数的概念:象2这种 小数叫做无理数.
2.实数的概念: 和 统称为实数.
3.实数的分类:
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪
⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正有理数有理数零负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 4.实数与数轴上的点 .
5.实数的大小比较:在数轴上表示的两个实数, 的数总比 的数大.
【课前热身】
1. 9的算术平方根是_____________. 答案：3
2. 如果一个数的平方根是±3，那么这个数是 . 答案：9
3.请任意写出一个无理数 . 答案：2
4.
5的绝对值是 .
答案：5
【讲练互动】
【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1) 无理数是循环小数；
(2) 无理数是除有限小数以外的所有小数； (3) 有理数是除无理数以外的所有小数.
【分析】应搞清无理数的概念及实数的分类.无限不循环小数叫做无理数.有理数与无理数统称为实数.
解：（1）错. 因为无理数是无限不循环小数.
（2）错. 无限小数中还有无限循环小数，它是有理数；只有无限不循环小数才是无理数. （3）对. 在所有小数中，除了无限不循环小数（无理数）以外，还有有限小数和无限循环小数，它们都是有理数.
【绿色通道】要特别注意无理数和有理数的区别，注意无限不循环小数与无限循环小数的差别，前者不能化为分数，后者则可以. 【变式训练】
1. 下列说法：①无尽小数是无理数；②有理数都是有尽小数；③带根号的数都是无理数. 其中正确的有…………………………………………………………………………（ ）
A. 0句
B. 1句
C. 2句
D. 3句 答案：A
【例2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
23-，0， 3.141592-,1.313113111…(两个“3”之间依次多一个“1”)，2.95∙
，2
π
，25，3. 【分析】根据有理数与无理数的概念来判别.
解：有理数有2
3
-、0、 3.141592-、2.95∙
、25；
无理数有 1.313113111…、
2
π
、3. 【绿色通道】所有的整数和分数都是有理数，无限不循环小数是无理数. 注意25=5. 【变式训练】
2.下列实数中是无理数的是…………………………………………（ ） Ａ.0
Ｂ.0.38 Ｃ.2
Ｄ.
35
答案：C
【例3】在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接：
－∙
3.0，－2，
2
5
，0，π 【分析】对于－2,可以通过画边长为1的正方形的对角线得到.对于π等无理数,可取适当的近似值,近似地表示在数轴上. 解: －∙
3.0，－2，2
5
，0，π在数轴上表示如图所示.
由图得到: 5
0.302
π∙
<-<<
<-2. 【绿色通道】对于实数的比较大小,可把实数表示在数轴上,根据”在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大”得到结果. 【变式训练】 3.在三个数0.5、
5
3、13
-中，最大的数是……………………………（ ） A. 0.5 B.
5
3 C. 13
- D. 不能确定 解析：∵13-=13,0.5=1.5
3
,5的整数部分是2, ∴可知最大的数是
53. 答案：B
【同步测控】
基础自测 1.
25的相反数是…………………………………………………………（ ）
A ．5
B ．5-
C ．5±
D ．25
2.比较2.537-，，的大小，正确的是……………………………………（ ）
Ａ．3 2.57-<< Ｂ．2.537<-< Ｃ．37 2.5-<<
Ｄ．7 2.53<<-
3.下列说法正确的是………………………………………………………（ ）
A ．无限小数是无理数
B ．不循环小数是无理数
C ．无理数的相反数还是无理数
D ．两个无理数的和还是无理数
4. 写出一个有理数和无理数，使它们都是大于2-的负数： .
5. 用“＜”、“＞”号或数字填空：
∵ 2.2362
()52
2.237
2
∴ 2.236
5 2.237
∴5≈ （保留三个有效数字）
6. 比较大小：2-_________3-（填：“＜、＞、＝”）。

7.如图，在数轴上，A B ，两点之间表示整数的点有
个．
8. 在1
3.14,,2,8,81,0.4,9,
4.262262226
3
π∙---.(612两个之间依次多个）中：
属于有理数的有 ； 属于无理数的有 ；
属于正实数的有 ； 属于负实数的有 .
9.在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接：1
5,0,2,3,4
π--.
能力提升
10. 如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是………………（ ） A ．2
1
1
B ．1.4
C ．3
D ．2
11. 满足大于π-而小于7的整数有 个.
12. 在数轴上，到原点距离为5个单位的点表示的数是 . 13.探索下列结论是否正确?如不正确,请举例说明:
(1)两个无理数之和仍为无理数; (2)两个无理数之积仍为无理数;
(3)一个有理数与一个无理数之和仍为无理数;
Ａ Ｂ
3- 5
第7题
(4) 一个有理数与一个无理数之积仍为无理数.
-. 14. 利用4×4方格，作出面积为8平方厘米的正方形，然后在数轴上表示实数8
创新应用
⨯方格作正方形,你能作出几个边长为无理算术平方根的正方形(要求顶点在格点15.利用55
上)?它们的边长分别是多少?(要求画出四个)
参考答案
基础自测 1.
25的相反数是…………………………………………………………（ ）
A ．5
B ．5-
C ．5±
D ．25
解析：把数从有理数扩充到实数后,有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用于实数.因为25=5,则25的相反数是-5.
答案：B
2.比较2.537-，，的大小，正确的是……………………………………（ ）
Ａ．3 2.57-<< Ｂ．2.537<-< Ｃ．37 2.5-<<
Ｄ．7 2.53<<-
答案：A
3.下列说法正确的是………………………………………………………（ ）
A ．无限小数是无理数
B ．不循环小数是无理数
C ．无理数的相反数还是无理数
D ．两个无理数的和还是无理数
解析：∵无理数是无限不循环小数, ∴A 、B 都是错误的. ∵220-+=,∴D 是错误的. 答案：C
4. 写出一个有理数和无理数，使它们都是大于2-的负数： .
解析：根据有理数与无理数的概念,再结合条件,可写出. 答案：如1,3--
5. 用“＜”、“＞”号或数字填空：
∵ 2.2362
()52
2.237
2
∴ 2.236
5 2.237
∴5≈ （保留三个有效数字）
答案：< < < < 2.24
6. 比较大小：2-_________3-（填：“＜、＞、＝”）。

答案：B
7.如图，在数轴上，A B ，两点之间表示整数的点有
个．
解析：符合题意的整数有1,0,1,2,-四个. 答案：4
8. 在1
3.14,,2,8,81,0.4,9,
4.262262226
3
π∙---.(612两个之间依次多个）中：
属于有理数的有 ； 属于无理数的有 ；
属于正实数的有 ； 属于负实数的有 .
解：有理数有：,9,4.0,81,3
1
,14.3--∙
无理数有： 262262226.4,8,2-π 正实数有 262262226.4,81,2,3
1
,14.3π 负实数有：,9,4.0,8---∙
9.在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接：1
5,0,2,3,4
π--.
解: 15,0,2,3,4
π--在数轴上表示如图所示. 由图得到: 1
5024
π<-<<<-3.
能力提升
10. 如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是………………（ ） A ．2
1
1
B ．1.4
C ．3
D ．2
解析：根据教材第70页中图3-2可知,边长为1的正方形的对角线长为2,则点A 表示的数是2.这种数学思想方法称为”数形结合”.
Ａ
Ｂ
3- 5
第7题
答案：D
11. 满足大于π-而小于7的整数有 个.
解析：∵π- 3.14≈-,7的整数部分是2, ∴符合的整数有: 3,2,1,0,1,2---. 答案：6
12. 在数轴上，到原点距离为5个单位的点表示的数是 .
解析：∵一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值, ∴数轴上，到原点距离为5个单位的点表示的数是5±.
答案：5±
13.探索下列结论是否正确?如不正确,请举例说明:
(1)两个无理数之和仍为无理数; (2)两个无理数之积仍为无理数;
(3)一个有理数与一个无理数之和仍为无理数; (4) 一个有理数与一个无理数之积仍为无理数.
分析：∵无限不循环小数叫做无理数, ∴一个有理数与一个无理数之和仍为无限不循环小数,即仍为无理数. ∴(3)是正确的,其余皆可用例子说明是错误的.
解：(1)是错误的. 举例：220-+=； (2) 是错误的.举例：222⨯=； (3) 是正确的；
(4) 是错误的.举例：020⨯=.
14. 利用4×4方格，作出面积为8平方厘米的正方形，然后在数轴上表示实数8-.
分析：∵4×4方格的总面积是16, ∴只要依次连接各边中点所得正方形面积即为8.而
正方形边长就是正方形的面积的算术平方根8,则在数轴上只要以原点为圆心,以所做正方形边长为半径画弧与数轴在原点左侧的交点表示的数即是8
-.
解：如上图即是所求的正方形.
创新应用
⨯方格作正方形,你能作出几个边长为无理算术平方根的正方形(要求顶点在格点15.利用55
上)?它们的边长分别是多少?(要求画出四个)
分析: 要作出边长为无理算术平方根的正方形,且正方形的顶点要在格点上,则这种正方形必是斜的正方形,通过尝试分别作出.
解:如图.。