山东省济宁市梁山一中高中数学《3.3.2均匀随机数的产生》教案设计 新人教A版必修3
3.3.2 均匀随机数的产生教案
3.3.2均匀随机数的产生教学目标通过模拟试验，了解均匀随机数的概念；了解利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法。
1、培养学生自己动手，主动思考，发现创新的好习惯。
通过学习体会数形结合的思想方法。
2、通过学习使学生经历设计和运用模拟方法来近似计算概率，让学生深刻体会频率和概率的区别，通过大量模拟实验，充分感受“大数规律”，从而理解频率估计概率的科学性。
进而提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识。
3、营造和谐的课堂氛围，通过独立思考，合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式。
教学重点掌握使用EXCEL软件产生［0,1］及［a,b］上均匀随机数；学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.教学难点用适当的随机模拟法去估算几何概率.教学过程（一）创设情境，引入新知问题1：父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间 ,求父亲在7:30之后离开家上班的概率？问题2：如何判断这个问题是一个几何概型的？几何概型特点是什么？【师生活动】：学生思考、发言，教师补充．【设计意图】:引导学生把实际问题转化为数学问题，同时在几何概型中要把一个变量问题转化为长度比来解决问题，同时为例题《订报纸》，两个变量问题做铺垫。
问题3：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？问题4：对比上一个问题，都是时间问题，都是几何概型，怎么上一个是长度比，这道题用面积比，有什么区别？【师生活动】：教师引导学生通过类比、观察、交流后，得出方法。
帮助学生分析问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用数学符号语言表达，解题过程由学生思考陈述，教师板书过程，师生共同总结本题特点。
【设计意图】：这是本节课的难点，通过问题引发学生思考一个变量可否解决问题，自然是学生分析出需要设两个变量。
高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生导学案无答案新人教A版(1)
几何概型概率计算公式的应用。
的方法，掌握数学思想与逻辑
推理的数学方法；
学生树体会随机模拟中的统计思想.
【学习过程】
上的任何一点，而且是等可能的，如何产生
探究（二）
例2. 假设你家订了一份报纸，送报工人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲
离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家之前能得到报纸的概率是多少？例3：在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟方法估计圆周率的值.（试验模拟：真的撒一把豆子）
探究（三）
用几何概型解简单试验问题的方法：
1、适当选择观察角度，转化为_______________概型，
2、把__________________事件转化为与之对应的区域，
3、把随机事件A转化为与之对应的________________，
4、利用概率公式计算。
注意：1、如果事件A的区域不好处理，可以用______________事件来求。
2、要注意基本事件是__________________的。
当堂检测：
1.教材140页练习
2.教材145页复习参考题A组
我的（反思、收获、问题）：。
人教版高中数学《均匀随机数的产生》教学设计(全国特等奖)
3.3.2均匀随机数的产生教学设计教材：人教A版必修3 第三章概率 3.3几何概型教材地位分析在现实生活中，很多随机问题无法用公式求得准确概率，于是在高中数学的概率模块学习中，新增了随机模拟这一重要内容。
本课作为概率必修的章节的尾声，在掌握了概率定义，古典概型整数值随机数的产生及几何概型公式计算的基础上，学习均匀随机数的产生方法，并运用于随机模拟试验中，为解决现实生活中的随机问题，提供了另一个实用可操作的途径。
教学内容分析本课教学的主要内容是：学习用计算器（机）产生均匀随机数的一般方法；探究例2，一方面用随机模拟的方法统计事件发生的频率，并估计为概率，另一方面用几何概型的公式计算得到准确的概率，并验证随机模拟结果的可靠性；最后通过例3圆周率的估计问题来巩固随机模拟的思想方法。
●教学重点：学习用计算器（机）产生均匀随机数的一般方法；用随机模拟的方法解决例2的送报纸问题。
●教学难点：随机模拟试验的设计过程。
教学目标设置通过本课的学习，希望学生能达到以下三个层次的目标●知识目标：了解均匀随机数的特点；熟练掌握用计算器和计算机产生均匀随机数方法；通过例2和例3，学会设计随机模拟试验。
●能力目标：提升数据处理能力，实践操作能力和归纳总结能力●思想目标：巩固和深化频率估计概率的随机模拟思想。
学生学情分析本节课教学对象是高二学生，具备以下知识和能力：●已学习概率的定义，理解随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；●在古典概型的学习中，已初步接触了随机模拟试验；●已经学习几何概型的公式计算方法，并基本能识别不同几何测度的概率问题；教学策略分析在高考中，随机模拟试验的内容较少涉及，传统授课中，例2送报纸问题常以几何概型公式计算的方法为教学重点。
但在数学核心素养的培养中，数学建模与数据处理是重要的部分，而随机模拟是此能力培养的重点内容之一，教学中需提供大量实践操作的机会。
故本课采用数学试验的教学策略，从试验原理的引入到试验工具的学习，从设计试验的方案到体验试验的操作，应用理论对试验结果进行论证，最后提炼出试验的主要思路，并加以巩固运用，让学生体验随机模拟试验的全过程。
高中数学《3.3.2均匀随机数的产生》 新人教A版必修3
2．整数随机数与均匀随机数的联系与区别： (1)二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现 的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值， 相邻两个整数随机数的步长为1，而均匀随机数是个小数 或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是 人为设定的． (2)要产生[a，b]上的均匀随机数，利用计算器或计算机产 生[0,1]上的均匀随机数x1＝RAND，然后利用伸缩和平移 变换x＝x1]
落在半圆中的豆子数 所以 π≈落在正方形中的豆子数×4， 这样就得到 π 的近似值．
题型二 利用随机模拟试验估计图形的面积
【例2】如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在 中央边长为1的正方形内的概率．
审题指导 考查用随机模拟的方法求解．由于飞镖落在大 正方形内的位置是随机的，有无限个，并且是等可能的， 符合几何概型概率问题．
4．[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND， 然后利用伸缩和平移交换x＝x1] 概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件 也一定是必然事件吗？ 提示 如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、 面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不 是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除 一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事 件．
2．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是_R__A_N_D_函数． (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为rand()．
高中数学 3.3.2 均匀随机数的产生教案 新人教A版必修3
中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
人教A版数学必修三教案：§3.3.2均匀随机数的产生
wenjian§3.3.2 均匀随机数de产生一、教材分析本节在学生已经掌握几何概型de基础上,来学习解决几何概型问题de又一方法,本节课de教学对全面系统地理解掌握概率知识,对于培养学生自觉动手、动脑de习惯,对于学生辩证思想de进一步形成,具有良好de作用.通过对本节例题de模拟试验,认识用计算机模拟试验解决概率问题de方法,体会到用计算机产生随机数,可以产生大量de随机数,又可以自动统计试验de结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果de随机性和规律性有更深刻de认识.二、教学目标1、知识与技能：（1）了解均匀随机数de概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数de方法；（3）会利用均匀随机数解决具体de有关概率de问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识de形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界de联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题de方法，自觉养成动手、动脑de良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课de主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨de学习习惯。
三、重点难点教学重点：掌握［0,1］上均匀随机数de产生及［a,b］上均匀随机数de产生.学会采用适当de随机模拟法去估算几何概率.教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率de实际应用中.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型de问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型de试验呢？引出本节课题：均匀随机数de产生.思路2复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型de概率公式是怎样de？（3）几何概型de特点是什么？这节课我们接着学习下面de内容,均匀随机数de产生.（二）推进新课、新知探究、提出问题(1)请说出古典概型de概念、特点和概率de计算公式？(2)请说出几何概型de概念、特点和概率de计算公式？(3)给出一个古典概型de问题,我们除了用概率de计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样de处理方法呢？(4)请你根据整数值随机数de产生,用计算器模拟产生［0,1］上de均匀随机数.(5)请你根据整数值随机数de产生,用计算机模拟产生［0,1］上de均匀随机数.(6)［a,b］上均匀随机数de产生.wenjian 1。
高中数学 第三章 概率 3.3.2 均匀随机数的产生学案 新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学
3.3.2 均匀随机数的产生1．能用模拟方法估计事件的概率．(重点)2．设计科学的试验来估计概率．(难点)[基础·初探]教材整理均匀随机数的产生阅读教材P137～P139的内容，完成下列问题．1．[0,1]上均匀随机数的产生利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．2．随机模拟方法的基本思想是估计概率．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机数只能用计算器或计算机产生．( )(2)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数，对于试验结果在[2,5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验．( )(3)x是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值【解析】 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．【答案】 D3．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B.17 C.310 D.710【解析】 ∵a ∈(10,13)，∴P (a <13)＝13－1020－10＝310. 【答案】 C4．在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为____________.图338【解析】 设阴影区域的面积为S ，则S 4≈60100，S ≈125. 【答案】 125[小组合作型]用随机模拟法估计长度型几何概率取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？【精彩点拨】 用模拟方法并进行相应转化求概率．【尝试解答】 法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共N 个)0到1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换，a ＝a 1*3；(3)统计出[1，2]内随机数的个数N 1；(4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为概率P (A )的近似值．法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N 1及试验总次数，则f n (A )＝N 1N即为概率P (A )的近似值．1．用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；法一用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．2．用随机模拟方法估计几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A 发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A 对应的随机数并计算A 的频率来估计A 的概率．[再练一题]1．在区间[0,3]内任取一个实数，求该实数大于2的概率.【解】 (1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND ；(2)作伸缩变换：y ＝x *(3－0)，转化为[0,3]上的均匀随机数；(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m ；(4)则概率P (A )的近似值为mn. 用随机模拟法估计面积型几何概率如图339，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．图339【精彩点拨】 把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率．【尝试解答】 记事件A ＝{所投点落入小正方形内}．(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过伸缩平移变换，a ＝a 1*3－1.5,b =b 1*3－1.5,得［－1.5，1.5］上的均匀随机数.(3)统计落入大正方形内点数N (即上述所有随机数构成的点(a ，b )数)及落入小正方形内的点数N 1(即满足－1<a <1且－1<b <1的点(a ，b )数)．(4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为概率P (A )的近似值．一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的x ，y 来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.[再练一题]2.如图3310，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm ，4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？图3310【解】 记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；(2)经过伸缩平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]的均匀随机数；(3)统计投中大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2＜36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N 2(即满足4＜a 2＋b 2＜16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足－8＜a ＜8，－8＜b ＜8的点(a ，b )的个数)；(4)计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N ，f n (C )＝N －N 1N，即分别为概率P (A )，P (B )，P (C )的近似值．利用随机模拟试验估计 不规则图形的面积利用随机模拟方法计算图3311中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积．图3311【精彩点拨】 在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比，从而求得阴影部分的近似值．【尝试解答】 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a ＝a 1[N 1，N )，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的次数N 1(满足条件b <2a 的点(a ，b ))．(4)计算频率N 1 N，即为点落在阴影部分的概率的近似值． (5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4. ∴N 1N ≈S 4. ∴S ＝4N 1N即为阴影部分面积的近似值．1．解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过方程求得阴影部分面积的近似值． 2.S 不规则图形S 规则图形＝N 1N，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N 为总的试验次数，N 1为落在不规则图形内的试验次数．[再练一题]3．如图3312所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．图3312【解】 记事件A 为“点落在半圆内”．(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；(2)进行平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*4，b ＝b 1]4－x 2)的点(a ，b )的个数)；(4)计算频率N 1N 就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)用几何概型公式求概率，P (A )＝S 半圆8，所以S 半圆8≈N 1N ，即S 半圆＝8N 1N ，为半圆面积的近似值．又2π＝8N 1N ，所以π≈4N 1N. [探究共研型][a ，b ]内的均匀随机数探究1 【提示】 利用计算机(或计算器)产生[0,1]上的均匀随机数x 1＝RAND ，然后利用伸缩和平移变换，令x ＝x 1]探究2 产生[a ，b ]内的均匀随机数时，[a ，b ]上的任何一个实数，都是等可能的吗？【提示】 产生[a ，b ]内的均匀随机数时，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为( )A．a＝a1*18 B.a＝a1*8+2C．a＝a1*8-2 D.a＝a1*6【精彩点拨】结合两个区间长度及对应的端点值对a1实施变换．【尝试解答】因为随机数x∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.【答案】 C[再练一题]4．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．【解析】0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．【答案】[－6，－3]1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率【解析】很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．【答案】 C2．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为( )A.23B.12C.13D.16【解析】 因为0<a <1，所以事件3a －1<0，即a <13的概率是13，故选C. 【答案】 C3．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5【解析】 当x ＝12时，y ＝2×12＋3＝4. 【答案】 C4．如图3313，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图3313【解析】 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.【答案】 0.185．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.【解】 记事件A ＝{硬币与格线有公共点}，设硬币中心为B (x ，y )．步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，则x ＝(x 1－0.5)*6，y ＝(y 1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及硬币与格线有公共点的次数N 1(满足条件|x |≥2或|y |≥2的点(x ，y )的个数)．(4)计算频率N 1N ，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 均匀随机数的产生》
3.3.2均匀随机数的产生一、教学目标：1、知识与技能（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题。
2、过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感与价值观本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、教学重点、难点：教学重点：体会随机模拟中的统计思想教学难点：如何把求未知量的问题转化为几何概型概率的问题三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用随机模拟的方法解决几何概型问题的方法，掌握数学思想、算法思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学过程：（一）创设情景、导入课题[0，1]（展示{试验模拟计算机模拟872121211=⨯⨯-871/87)(==AP试验的总次数纸的次数父亲在离家前能得到报1”x 3.3A的水中有一个草履虫，现从中随机取出2m 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．B．C．D．不能确定（2）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．（3）某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？（4）曲线=-21与轴、轴围成一个区域A，直线=1、直线=1、轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
2020学年高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生学案新人教A版必修3
3.3.2均匀随机数的产生授课日期: 姓名: 班级:一、学习目标1.知识与技能：1.了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率2.进一步体会几何概型的意义2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、学习重难点重点：均匀随机数的产生，设计模型并运用随机模拟方法估计未知量．难点:如何把未知量的估计问题转化为随机模拟问题．三、学法指导1．通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法；阅读教材137—140页完成导学案 2．小班完成100%，重点班完成90%，平行班完成80%。
四、知识链接1.几何概型的特点：⑴⑵2.在几何概型中， P（A）=五、学习过程A问题1：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，阅读教材137页了解利用计算器产生0~1之间的均匀随机数的方法.(一) 利用随机模拟的方法估计几何概型中随机事件的概率值；B例1：假如你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是在早上7：00~8：00，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？解法一:几何概型法解法二:随机模拟法(二)利用随机模拟方法估计几何图形的面积B例2：在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值。
B例3：利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积.六、达标训练B1. 甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。
求二人能会面的概率。
高中数学人教A版必修三3.3.2【教学设计】《均匀随机数的产生》
《均匀随机数的产生》1、知识与技能:（1）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （2）了解均匀随机数的概念；（3）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（4）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题。
2、过程与方法:(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力；(2)通过模拟试验,感知应用数学解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观:通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术在数学中的应用;通过动手模拟,动脑思考,体会做数学的乐趣；通过合作试验,培养合作与交流的团队精神。
【教学重点】掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b ］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率。
【教学难点】利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中。
（一）新课导入假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，则事件A的概率是多少？计算该事件的概率有两种方法：1、利用几何概型的公式：找到试验的全部结果构成的区域及父亲离开家前能拿到报纸的区域；2、用随机模拟的方法。
那么如何应用这两种方法来求解呢？（二）新课讲授试用计算器来产生一个0～1之间的均匀随机数。
解析：实验结果是[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数，而且出现任何一个实数都是等可能的，因此，就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟。
思考1：计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？答：首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X＝RAND，然后利用伸缩和平移变换：Y＝X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数。
人教版高中必修33.3.2均匀随机数的产生课程设计
人教版高中必修33.3.2均匀随机数的产生课程设计一、课程背景均匀随机数的产生是计算机科学和数学中的重要问题，在许多领域都有广泛的应用，比如模拟、数值计算、密码学、游戏、统计学等。
在高中数学中，均匀随机数的产生也是必修内容之一，是培养学生计算机思维和创新能力的重要途径。
二、教学目标1.掌握使用计算机生成均匀随机数的方法；2.理解均匀随机数的性质和应用；3.能够运用均匀随机数解决实际问题。
三、教学内容及教学方法1. 教学内容本课程主要涉及以下内容：1.均匀分布及其概率密度函数；2.伪随机数的产生方法；3.随机数序列的统计检验方法。
2. 教学方法本课程采用“讲授 + 实践”相结合的教学方法，具体为：1.讲解均匀分布的概念和性质；2.演示如何使用计算机生成伪随机数；3.手把手教学生编写生成均匀随机数的程序；4.引导学生进行随机数序列的统计检验。
四、实验设计1. 实验目的通过本实验，学生将掌握如何使用计算机生成均匀随机数，理解随机数的性质和应用，培养学生的计算机思维和创新能力。
2. 实验步骤Step 1. 模拟掷骰子的实验掷一颗六面骰子，将每个面出现的次数记录下来，并统计所有试验的次数和各面出现的频率。
根据频率统计结果和理论分布比较，探讨随机现象的规律性和数量特征，进而引出均匀随机数的概念。
代码实现：```python import randomcount = [0] * 6 for i in range(10000): point = random.choice([1, 2, 3, 4, 5, 6]) count[point-1] += 1for i in range(6): print(。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 均匀随机数的产生》
“几何概型”教学设计四川省眉山中学校谢维勇一、教材分析“几何概型”是人教A版高中数学必修3第三章概率第三节的内容，安排在“随机事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知识为概率的统计定义和等可能事件定义，下位知识为运用计算机产生均匀随机数估计”几何概型”的概率等内容。
”几何概型”是新课程新增加的内容，介绍”几何概型”主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对”几何概型”的要求仅限于初步体会”几何概型”的意义。
”几何概型”在概率论中占有重要的地位，它将”古典概型”中等可能事件数量从有限推广到无限，更广泛地满足随机模拟的需要，进一步完善了人类对概率模型的认识。
教材中”几何概型”这一节共分两个课时，这里是针对第一节课的教学设计，主要涉及”几何概型”的定义、计算公式及其简单应用。
“几何概型”的课堂教学活动应侧重学生对”几何概型”本质的理解和计算公式的掌握教学的关键是处理好以下几个方面：一是克服”古典概型”思维定势的影响，阐释并引入”几何概型”的意义；二是归纳”几何概型”特征，理解”几何概型”与”古典概型”的本质区别；三是一维、二维到三维”几何概型”中测度的具体内容。
因此，将本节课教学的重难点确定为：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算。
二、教学目标1了解”几何概型”的基本特点及与”古典概型”的异同。
2会依据具体问题选择恰当测度进行简单的”几何概型”计算。
3依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征发展学生直观想象的数学素养4通过”几何概型”概念的建构过程和选择恰当的概率模型进行概率计算发展学生数学建模的数学素养三、教学重难点教学重点：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算教学难点：”几何概型”概念的建构和依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征。
四、教学方法本节课采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，注重启发式教学，多以问题链的形式出现，并结合多媒体辅助教学。
在课堂教学过程中，通过分组讨论、合作交流的形式，使学生体验数学活动中的发现与创造，让学生亲身经历”几何概型”概念的建构过程，从观察到分析再到归纳，感受事物从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，逐渐培养透过现象看本质的思维方法和能力。
高中数学 第三章 概率 3.3.2均匀随机数的产生学案 新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学学
3．3.2 均匀随机数的产生1．问题导航(1)如何产生均匀随机数？(2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？(3)如何计算不规则图形的面积？2．例题导读通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法求概率；通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值或不规则图形的相关量的值；通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法近似计算不规则图形的面积．1．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数是RAND函数．(2)Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand(__)”．2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)随机模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；( )(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( )(3)计算器只能产生均匀随机数．( )解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等；(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到；(3)计算器也可以产生整数值随机数．答案：(1)×(2)×(3)×2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果B．旋转的次数越多，估计的结果越精确C．旋转时可以按规律旋转D．转盘的半径越大，估计的结果越精确解析：选B.旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以B 正确，A不正确．3．b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．解析：0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是[－6，－3]，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．答案：[－6，－3]4．整数值随机数与均匀随机数有何异同？解：二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的机率是均等的，但是整数值随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握．用随机模拟法估计长度型的概率取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？(链接教材P137例2)[解] 设剪得两段的长都不小于2 m为事件A.法一：(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；(2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数；(3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数m；(4)则概率P(A)的近似值为m n .法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0，5](这里5和0重合)；(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数m及试验总次数n；(3)则概率P(A)的近似值为mn.方法归纳用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数．1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．解：记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b ＜c 的次数N 1，满足b ＜c ＜a 的次数N 2； ③计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．用随机模拟法估计面积型的概率利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函数y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积．[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1*4－3，b ＝b 1*3得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3)统计试验总数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b ＜2－2a －a 2的点(a ，b )数)．(4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S .由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S 12，所以S 12≈N 1N .所以S ≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值．方法归纳解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标，从而确定点的位置．2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m ，宽为14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m ，2 m ，5 m ．若着陆点在圆环B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．解：设事件A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8＜a ＜8，－7＜b ＜7的点(a ，b )的个数N .满足1＜a 2＋b 2＜4的点(a ，b )的个数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为所求概率的近似值．用随机模拟法近似计算不规则图形的面积利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积．[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝b 1*2，得到一组[－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b ＜2a的点(a ，b )数)． (4)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分的面积为S .用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4，所以N 1N ≈S 4，所以S ≈4N 1N即为阴影部分面积的近似值．方法归纳解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值．3．如图所示，曲线y ＝x 2与y 轴、直线y ＝1围成一个区域A (图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据落在区域内的豆子数落在正方形内的豆子数≈区域A 的面积正方形的面积，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001 000＝0.7.法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x ，y )的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，可求得区域A 的面积S ≈M N.数学思想用随机模拟的方法求曲边梯形面积的近似值用随机模拟方法求函数y ＝x 与x 轴和直线x ＝1围成的图形的面积．[解] 如图所示，阴影部分是函数y ＝x 的图象与x 轴和直线x ＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S .随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件y <x 的点(x ，y )的个数)； (3)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形面积是1，由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1＝S .则S ≈N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N. [感悟提高](1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．(2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．1．与均匀随机数特点不符的是( ) A ．它是[0，1]内的任何一个实数 B ．它是一个随机数C ．出现每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数解析：选D.A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积约为( )A.43B.83C.23 D ．无法计算解析：选B.∵S 阴影S 正方形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83. 3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为( ) A ．0.25 B ．0.5 C ．0.6D ．0.75解析：选D.由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P ＝1.52＝0.75.[A.基础达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．2．要产生[－3，3]上的均匀随机数y ，现有[0，1]上的均匀随机数x ，则y 可取为( ) A ．－3x B ．3x C ．6x －3D ．－6x －3解析：选C.法一：利用伸缩和平移变换进行判断； 法二：由0≤x ≤1，得－3≤6x －3≤3，故y 可取6x －3.3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.49πB.94πC.4π9D.9π4解析：选A.由题意知所求的概率为P ＝0.5×0.5π×（1.52）2＝49π.4．(2015·青岛高一检测)某人下午欲外出办事，我们将12：00～18：00这个时间段称为下午时间段，则此人在14：00～15：00之间出发的概率为( )A.13B.14C.16D.18解析：选C.所有可能结果对应时间段为18－12＝6，事件发生的时间段为15－14＝1，∴P ＝16.5．如图所示，四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个扇形．转动转盘，转盘停止转动后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是( )A ．转盘1和转盘2B ．转盘2和转盘3C ．转盘2和转盘4D ．转盘3和转盘4解析：选C.根据每个转盘中白色区域面积与转盘总面积的比值分别计算出指向白色区域的概率，P 1＝38，P 2＝26＝13，P 3＝212＝16，P 4＝13，故P 2＝P 4.6．如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：∵矩形的长为6，宽为3，则S 矩形＝18， ∴S 阴S 矩＝S 阴18＝125300，∴S 阴＝152. 答案：1527．(2013·高考福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．解析：由3a －1<0，0≤a ≤1，得0＜a <13，而0～1的“长度”为1，故所求概率为13.答案：138．如图，在一个两边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为14a 与12a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________．解析：∵图中梯形的面积为s ＝12×(14a ＋12a )×b ＝38ab ，矩形的面积为S ＝ab ，∴落在梯形内部的概率为：P ＝s S ＝38ab ab ＝38.答案：389．如图所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．解：记事件A 为“点落在半圆内”．(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*4，b ＝b 1*2；(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足a 2＋b 2<4的点(a ，b )个数)； (4)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率近似值； (5)用几何概型的概率公式求概率，P (A )＝S 半圆8，所以S 半圆8≈N 1N ，即S 半圆≈8N 1N，为半圆面积的近似值．又2π≈8N 1N ，所以π≈4N 1N.10．在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ，以A 为圆心，以线段AM 为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间的概率．解：设事件A 表示“圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换a ＝14a 1得到一组[0，14]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和[3，4]内的随机数个数N 1(即满足3≤a ≤4的个数)； (4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为概率P (A )的近似值．[B.能力提升]1．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为( )A ．1－π16B.π16C.π4D.3π4解析：选B.由题意知，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，如图所示，因此P ＝π×124×4＝π16.2．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm ，4 cm ，6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8，8]内的均匀随机数． (3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( )A.N 1N ，N 2N ，N －N 1NB.N 2N ，N 1N ，N －N 2NC.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2ND.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N解析：选A.P (A )的近似值为N 1N，P (B )的近似值为N 2N，P (C )的近似值为N －N 1N. 3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是________．解析：设正方体的棱长为2.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.答案：π64．图形ABC 如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m 的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：总的投掷次数50 150 300 石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的次数m14 43 93 石子落在阴影内次数n2985186则估计封闭图形ABC 的面积为________ m 2. 解析：由记录m n≈1∶2， 可见P (落在⊙O 内)＝mn ＋m ＝13， 又P (落在⊙O 内)＝⊙O 的面积阴影面积＋⊙O 的面积，所以S ⊙O S ABC ＝13，S ABC ＝3π(m 2)． 答案：3π5．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，设点A 是圆C 上任意一点，求点A 到直线l 的距离小于2的概率．解：由x 2＋y 2＝12，知圆心O (0，0)， ∴圆心到直线l 的距离d ＝|0＋0－25|32＋42＝5， 如图所示，设与直线l ：4x ＋3y ＝25平行且到该直线的距离为2的直线为l ′，且l ′与圆C 交于P 、Q 两点．因此点O (0，0)到l ′的距离为3， 又圆C 的半径r ＝23，∴在△POQ 中，可求|PQ |＝23，则∠POQ ＝π3.记“点A 到直线l 的距离小于2”为事件M ，则事件M 发生即点A 在弧PQ ︵上， ∴P (M )＝PQ ︵2πr ＝π3r 2πr ＝16.6．(选做题)平面上有一个边长为43的等边△ABC 网格，现将直径等于2的均匀硬币抛掷在此网格上(假定都落在此网格上)，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．解：设事件M ＝{硬币落下后与等边△ABC 的网格线没有公共点}． 要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC 内部， 故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC .当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置．如图，所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG 区域，因此事件M 所构成的区域为△EFG 区域．经计算得△EFG 的边长为2 3.∴P (M )＝S △EFGS △ABC ＝34×23×2334×43×43＝14.。
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3.3.2 均匀随机数的产生整体设计教学分析本节在学生已经掌握几何概型的基础上,来学习解决几何概型问题的又一方法,本节课的教学对全面系统地理解掌握概率知识,对于培养学生自觉动手、动脑的习惯,对于学生辩证思想的进一步形成,具有良好的作用.通过对本节例题的模拟试验,认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法,体会到用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.三维目标1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.重点难点教学重点：掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.课时安排1课时教学过程导入新课思路1在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.思路2复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？这节课我们接着学习下面的内容,均匀随机数的产生.推进新课新知探究提出问题(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(6)［a,b］上均匀随机数的产生.活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.讨论结果：(1)在一个试验中如果a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability ）,简称古典概型.古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P （A ）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A . (2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.(5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter 键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.b.选定A1格,按Ctrl+C 快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V 快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.(6)［a,b ］上均匀随机数的产生：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a 就可以得到［a,b ］上的均匀随机数,试验结果是［a,b ］内任何一实数,并且是等可能的.这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.应用示例思路1例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A 是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D 列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.解法二：以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y 表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生,所以P(A)=8712121211=⨯⨯-. 例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.解法1：随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数正方形的面积圆的面积≈. 假设正方形的边长为2,则422ππ=⨯=正方形的面积圆的面积. 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数×4, 这样就得到了π的近似值.解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a 1=RAND （）,b 1=RAND （）.（2）经过平移和伸缩变换,a=(a 1-0.5)*2,b=(b 1-0.5)*2.（3）数出落在圆x 2+y 2=1内的点（a,b ）的个数N 1,计算π=NN 14（N 代表落在正方形中的点（a,b ）的个数）.点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x 2所围成的部分）的面积.分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a 1=RAND （）,b=RAND （）.（2）进行平移和伸缩变换,a=(a 1-0.5)*2.（3）数出落在阴影内（即满足0<b<1且b-a 2>0）的样本点数N 1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N 1=698,所以S≈N N 12=1.396. （N 代表落在矩形中的点（a,b ）的个数）.思路2例1 取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应［0,3］上的均匀随机数,其中取得的［1,2］内的随机数就表示剪断位置与端点距离在［1,2］内,也就是剪得两段长都不小于1 m.这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的个数之比就是事件A 发生的概率.解法一：(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND.(2)经过伸缩变换,a=a 1×3.(3)统计出［1,2］内随机数的个数N 1和［0,3］内随机数的个数N.(4)计算频率f n (A)=NN 1即为概率P(A)的近似值. 解法二：做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度［0,3］(这里3和0重合).转动圆盘记下指针在［1,2］(表示剪断绳子位置在［1,2］范围内)的次数N 1及试验总次数N,则f n (A)即为概率P(A)的近似值.点评：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 例2 利用随机模拟方法计算曲线y=x1,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积. 活动：在直角坐标系中画出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1所围成的部分）,用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.解：（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,a 1=RAND,b=RAND ；（2）进行平移变换：a=a 1+1；（其中a,b 分别为随机点的横坐标和纵坐标）（3）数出落在阴影内的点数N 1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N 1=689, 所以N N S 11≈=0.689,即S≈0.689. 点评：模拟计算的步骤：（1）构造图形（作图）；（2）模拟投点,计算落在阴影部分的点的频率nm ； （3）利用nm ≈P(A)=的测度的测度D d 算出相应的量. 变式训练在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M,并以线段AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率.分析：正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M,求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率.解：(1)用计算机产生一组［0,1］内均匀随机数a 1=RAND.(2)经过伸缩变换,a=a 1×12得到［0,12］内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和［6,9］内随机数个数N 1.(4)计算频率.记事件A={面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}={长度介于6 cm 与9 cm 之间},则P(A)的近似值为f n (A)=NN 1. 知能训练有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,试求硬币完全落入圆内的概率.解：由题意,如右图,因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的,所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O 内,且只有中心落入与圆O 同心且半径为4的圆内时,硬币才完全落入圆内.记“硬币完全落入圆内”为事件A,则P(A)=946422=⨯⨯ππ.答：硬币完全落入圆内的概率为94. 拓展提升如右图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB 上任取一点C,试求：（1）△AOC 为钝角三角形的概率；（2）△AOC 为锐角三角形的概率.解：如右图,由平面几何知识：当AD⊥OB 时,OD=1；当OA⊥AE 时,OE=4,BE=1.（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时,△AOC 为钝角三角形,记“△AOC 为钝角三角形”为事件M,则P(M)=511+=+OB EB OD =0.4, 即△AOC 为钝角三角形的概率为0.4.（2）当且仅当点C 在线段DE 上时,△AOC 为锐角三角形,记“△AOC 为锐角三角形”为事件N,则P(N)=53=OB DE =0.6, 即△AOC 为锐角三角形的概率为0.6.课堂小结 均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 作业课本习题3.3B 组题.设计感想本节课我们根据问题的需要利用一组随机数进行模拟试验,也利用两组随机数进行模拟试验.用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；相信通过本节的学习一定会提高同学们的应用能力,也能解决平常不能解决的一些问题.。