反比例函数的图象

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反比例函数的图像与性质

反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像，可以判断其单调性。当比例系数大于0时，函数图像在第一、三象限内单调递减；当比例系数小于0时，函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的综合应用
在解决某些实际问题时，可以将反比例函数与一次函数结合起来，例如分段函数中的一部分为反比例函数，另一部分为一次函数。通过比较和分析这两个函数的图像和性质，可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的综合应用
在某些复杂的问题中，可能需要同时考虑反比例函数和二次函数的性质。例如，在经济学中研究成本、收益与产量之间的关系时，可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上，那么点(y, x)和(-y, -x)也在图像上。

第14讲反比例函数的性质及其图象

，该函数的图象就不经过此点，四个选项中只有D不符合．
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是没有实数根．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．

高中数学-反比例函数的图像与性质

02 对于值域问题，由于反比例函数在定义域内总是大于0或小于0（取决于k的正负），因此其值域为 $y neq 0$的所有实数。
02 在求解具体问题时，需要注意题目中给出的其他条件，如函数的定义域限制等。
判断单调性和奇偶性问题
反比例函数在其定义域内没有单调性，即在不同的区间内可能具有不同的单调
反比例函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足f(-x)=f(x)，图像不关于y轴对称。
周期性探究
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不存在一个正数T，使得对于所有x ，都有f(x+T)=f(x)。
图像特征
反比例函数的图像是两条分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线，且无限接近于坐标轴但永不相交。
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01 求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性。
02 图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接得出其在不同区间上的单调性。
03 定义法
根据反比例函数的定义，结合不等式的性质，可以推导出函数在不同区间上的单调性。
奇偶性讨论
奇函数性质
劳动力供给与工资率关系
劳动力供给量通常与工资率成反比。当工资率提高时，劳动力供给量减少；当工资率降低时，劳动力供给量增加。这种关系也可以用反比例函数来表示。
工程学中应用场景
杠杆原理
在机械工程中，杠杆原理指出动力臂与阻力臂成反比。当动力臂增长时，阻力臂缩短；反之亦然。这种关系可以用反比例函数来描述。
性。
对于奇偶性的判断，可以根据函数的定义进行判断。若$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则函数

反比例函数图象性质

02
根据反比例函数的解析式，计算对应的函数值。
03
列表记录自变量和对应的函数值。
04
在坐标系中，以自变量为横坐标，函数值为纵坐标，描出各点。
描点法绘制技巧
在自变量的取值范围内，尽量多选几个点进行描点，以便更准确地反映函数的图像。
描点时要注意坐标轴的比例，的点。
浓度问题求解思路及过程展示
思路
在浓度问题中，通常涉及到溶质、溶剂和溶液三个量之间的关系。当其中一个量为常数时，另外两个量之间成反比例关系。因此，可以通过设立反比例函数来描述这两个量之间的关系，进而求解问题。
过程展示
例如，有一种盐水溶液，其浓度为20%。现在需要加入一定量的水，使得溶液的浓度降低为10%。设加入的水的量为x毫升，原溶液的体积为y毫升。根据反比例函数的性质，可以建立方程(x + y) / y = 2（因为新溶液的体积是原溶液体积的两倍）。通过解这个方程，可以求出需要加入的水的量。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解思路及过程展示
思路
根据反比例函数的性质，当两个量的乘积为常数时，它们之间成反比例关系。在面积问题中，通常涉及到两个量（如长度和宽度）的乘积等于一个常数（面积）的情况。因此，可以通过设立反比例函数来描述这两个量之间的关系，进而求解问题。
过程展示
例如，有一块矩形土地，其面积为100平方米。现在需要在这块土地上修建一条道路，使得道路的面积占总面积的20%。设道路的宽度为x米，长度为y米。根据反比例函数的性质，可以建立方程xy = 20（因为道路面积占总面积的20%）。通过解这个方程，可以求出道路的宽度和长度。
速度问题求解思路及过程展示
思路

反比例函数一次函数二次函数性质及图像

反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交K≠0..2、性质：1.当k>0时;图象分别位于第一、三象限;同一个象限内;y随x的增大而减小；当k<0时;图象分别位于二、四象限;同一个象限内;y随x的增大而增大..2.k>0时;函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时;函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数..定义域为x≠0；值域为y≠0..3.因为在y=k/xk≠0中;x不能为0;y也不能为0;所以反比例函数的图象不可能与x轴相交;也不可能与y轴相交..4. 在一个反比例函数图象上任取两点P;Q;过点P;Q分别作x轴;y轴的平行线;与坐标轴围成的矩形面积为S1;S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形;又是中心对称图形;它有两条对称轴y=x y=-x即第一三;二四象限角平分线;对称中心是坐标原点..6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点m、n同号;那么A B两点关于原点对称..7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n;要使它们有公共交点;则n^2+4k·m≥不小于0..8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴..9.反比例函数关于正比例函数y=x;y=-x轴对称;并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线;交于q、w;则矩形mwqoo为原点的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合;k值不相等的反比例函数永不相交..12.|k|越大;反比例函数的图象离坐标轴的距离越远..13.反比例函数图象是中心对称图形;对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时;函数定义域为全体实数； 2关系式含有分式时;分式的分母不等于零；3关系式含有二次根式时;被开放方数大于等于零； 4关系式中含有指数为零的式子时;底数不等于零；5实际问题中;函数定义域还要和实际情况相符合;使之有意义.. （二）一次函数 1、一次函数的定义一般地;形如y kx b =+k ;b 是常数;且0k ≠的函数;叫做一次函数;其中x 是自变量..当0b =时;一次函数y kx =;又叫做正比例函数..⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+;要判断一个函数是否是一次函数;就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =;0k ≠时;y kx =仍是一次函数．⑶当0b =;0k =时;它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例;一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时;直线y=kx 经过三、一象限;从左向右上升;即随x 的增大y 也增大；当k<0时;•直线y=kx 经过二、四象限;从左向右下降;即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kxk 是常数;k ≠0 (2) 必过点：0;0、1;k(3) 走向：k>0时;图像经过一、三象限；k<0时;•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 3、一次函数及性一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;y=kx ＋b 即y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过0;b 和-kb;0两点的一条直线;我们称它为直线y=kx+b;它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移 1解析式：y=kx+bk 、b 是常数;k ≠0 2必过点：0;b 和-kb;0 3走向： k>0;图象经过第一、三象限；k<0;图象经过第二、四象限 b>0;图象经过第一、二象限；b<0;图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限4增减性： k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小.5倾斜度：|k|越大;图象越接近于y 轴；|k|越小;图象越接近于x 轴.6图像的平移：当b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次函数()0k kx b k =+≠k ;b 符号 0k >0k < 0b > 0b < 0b = 0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线;并且只能画出一条直线;即两点确定一条直线;所以画一次函数的图象时;只要先描出两点;再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：0;b;.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升;y 随x 的增大而增大k<0 经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降;y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线;它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;是y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点 0;0、1;k 0;b 和-k b ;0 走向 k>0时;直线经过一、三象限； k<0时;直线经过二、四象限 k ＞0;b ＞0;直线经过第一、二、三象限 k ＞0;b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0;b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0;b ＜0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0;y 随x 的增大而增大；从左向右上升 k<0;y 随x 的增大而减小..从左向右下降倾斜度 |k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴图像的平移 b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.7、直线11b x k y +=01≠k 与22b x k y +=02≠k 的位置关系 1两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ 2两直线相交⇔21k k ≠3两直线重合⇔21k k =且21b b = 4两直线垂直⇔121-=k k8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：1根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；2将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 3解方程得出未知系数的值；4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时;求相应的自变量的值. 从图象上看;相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大小于0时;求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组1以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地;形如2y ax bx c =++a b c ，，是常数;0a ≠的函数;叫做二次函数.. 这里需要强调：和一元二次方程类似;二次项系数0a ≠;而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数;右边是关于自变量x 的二次式;x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数;a 是二次项系数;b 是一次项系数;c 是常数项．二、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()()20f x a x m n a =++≠ ③ 零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠当240b ac∆=->时;二次函数的图像和x轴有两个交点()11,0M x;()22,0M x;线段1212M M x xa a=-==．当240b ac∆=-=时;二次函数的图像和x轴有两个重合的交点,02bMa⎛⎫-⎪⎝⎭．特别地;当且仅当0b=时;二次函数()()20f x ax bx c a=++≠为偶函数．1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大;抛物线的开口越小..2. 2y ax c=+的性质：上加下减..3. ()2y a x h=-的性质：左加右减..4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+;确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变;将其顶点平移到()h k ，处;具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移;负左移；k 值正上移;负下移”．概括成八个字“左加右减;上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看;()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式;后者通过配方可以得到前者;即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭;其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+;确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;然后在对称轴两侧;左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，;()20x ，若与x 轴没有交点;则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向;对称轴;顶点;与x 轴的交点;与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时;抛物线开口向上;对称轴为2bx a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时;y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时;y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时;y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时;抛物线开口向下;对称轴为2b x a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时;y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时;y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时;y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ;b ;c 为常数;0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ;h ;k 为常数;0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠;1x ;2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式;但并非所有的二次函数都可以写成交点式;只有抛物线与x 轴有交点;即240b ac -≥时;抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中;a 作为二次项系数;显然0a ≠．⑴ 当0a >时;抛物线开口向上;a 的值越大;开口越小;反之a 的值越小;开口越大；⑵ 当0a <时;抛物线开口向下;a 的值越小;开口越小;反之a 的值越大;开口越大．总结起来;a 决定了抛物线开口的大小和方向;a 的正负决定开口方向;a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下;b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下;当0b >时;02ba-<;即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时;02ba->;即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下;结论刚好与上述相反;即当0b >时;02ba->;即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时;02ba-<;即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ;在y 轴的右侧则0<ab ;概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时;抛物线与y 轴的交点在x 轴上方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时;抛物线与y 轴的交点为坐标原点;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时;抛物线与y 轴的交点在x 轴下方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来;c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之;只要a b c ，，都确定;那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式;通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点;选择适当的形式;才能使解题简便．一般来说;有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标;一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值;一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标;一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点;常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况;可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180° 2y ax bx c =++关于顶点对称后;得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后;得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质;显然无论作何种对称变换;抛物线的形状一定不会发生变化;因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时;可以依据题意或方便运算的原则;选择合适的形式;习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向;再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向;然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时;图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠;其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时;图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时;图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时;图象落在x 轴的上方;无论x 为任何实数;都有0y >；2' 当0a <时;图象落在x 轴的下方;无论x 为任何实数;都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交;交点坐标为(0;)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标;需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ;b ;c 的符号;或由二次函数中a ;b ;c 的符号判断图象的位置;要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称;可利用这一性质;求和已知一点对称的点坐标;或已知与x 轴的一个交点坐标;可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看;一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++<≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≥≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≤≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;与x 轴的交点的横坐标．。

反比例函数图像与性质

三、典型例题
例1函数y= (x>0)的图象大致是( )
解析:函数y= 的图象是双曲线,当k<0时双曲线两分支分别在第二、四象限内,而已知中(x>0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.
答案:D.
例2函数y=kx+1与函数y= 在同一坐标系中的大致图象是( )
解:可用排除法,假设y= 中k>0,双曲线过第一、三象限,则直线y=kx+1也应过第一、第三象限且与y轴交于正半轴,故排除B、D.同理可排除C,故答案为A.
A.y1<0<y3B.y3<0<y1;C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
5.已知一次函数y=x+m与反比例函数y= (m≠-1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).
(1)求x0的值;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
6.如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (m≠0)的图象在第一象限交于C点, CD垂直于x轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,
7.已知反比例函数图象与直线和的图象过同一点.
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当＞0时，这个反比例函数值随的增大如何变化？
8.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
（1）自变量的取值范围是除0以外的一切实数
（2）当k>0时，它的两个分支分别在第一象限和第三象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而减小。当k<0时，它的两个分支分别在第二象限和第四象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而增大。

反比例函数的图像和性质课件

反比例函数的图像和性质课件反比例函数是数学中的一种重要函数类型，它的图像和性质在数学学习中占据着重要的地位。

本文将从图像和性质两个方面来探讨反比例函数的特点和应用。

一、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一种特殊的形状，即一条经过原点的斜线。

具体来说，反比例函数的图像是一条从左上方向右下方倾斜的直线。

这是因为反比例函数的定义域为实数集，而值域为除了0以外的实数集，因此函数的图像必然不会经过y轴上的任何点。

通过观察反比例函数的图像，我们可以发现，随着自变量的增大，函数的值会逐渐减小。

这是因为反比例函数的定义中包含有除法运算，而除法运算会使得结果随着被除数的增大而减小。

因此，反比例函数的图像呈现出一种渐近线的特点，即当自变量趋近于正无穷大时，函数的值趋近于0。

二、反比例函数的性质除了图像的特点之外，反比例函数还具有一些重要的性质。

首先，反比例函数的定义域为实数集，但值域为除了0以外的实数集。

这是因为在反比例函数中，除数不能为0，否则会导致无意义的结果。

因此，在计算反比例函数的值时，我们需要注意避免除以0的情况。

其次，反比例函数的导数为常数。

这是因为反比例函数的定义可以表示为y=k/x的形式，其中k为常数。

对该函数进行求导，我们可以得到dy/dx=-k/x^2。

可以看出，反比例函数的导数与自变量x无关，只与常数k有关。

这也意味着反比例函数的斜率在整个定义域上保持不变。

另外，反比例函数还具有一个重要的性质，即函数值的乘积为常数。

具体来说，对于反比例函数y=k/x，当x1和x2为定义域中的两个不同的实数时，有y1*y2=k。

这个性质在实际问题中有着广泛的应用，例如在电路中，电阻和电流的关系就符合反比例函数的性质。

三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，牛顿第二定律中描述了物体的加速度与施加在物体上的力成反比的关系。

根据牛顿第二定律的表达式F=ma，我们可以得到物体的加速度a与作用力F的关系为a=k/F，其中k为常数。

反比例函数的图象与性质课件

新课进行时
练一练
1.
反比例函数
y
3 x
的图象大致是
y
y
A.
o
x B.
o
(C )
x
y
C.
o
x D.
y
o x
新课进行时
典例精析例1：若双曲线y = 2k 1 的两个分支分别在第二、
x
四象限，则 k 的取值范围是( B )
A. k＞ 1 2
C. k= 1 2
B. k＜ 1 2
D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜ 1 .故选B.
x
则m的取值范围是__m_＞__2___
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 __(_1_)(_2_)_(3_)_____;
图象位于二、四象限的有___(_4_)______.
(1) y 1 ;(2) y 0.3 ;(3) y 10 ;(4) y 7
2x
x
x
100x
随堂演练
3.如图，已知直线y=mx与双曲线 y k 的一个交点 x
坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ( C )
A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3)
y
x O
随堂演练
4.
已知反比例函数
y
k x
经过点A(2，3)．
(k为常数，k≠0)的图象
(1)求这个函数的表达式；
解：∵反比例函数y =
k x
(k为常数，k≠0)的
图象经过点 A(2，3)，
y
4 x
的图象.
x
-8
-4

函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质

2023函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质CATALOGUE目录•反比例函数概述•反比例函数的图象特征•反比例函数的性质•反比例函数的应用•反比例函数与其他函数的区别与联系•研究反比例函数的展望与挑战01反比例函数概述形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的函数称为反比例函数。

定义当$k > 0$时，图象分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k < 0$时，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。

性质定义与性质描述生活中常见的数量关系例如，当两个变量成反比例关系时，可以用反比例函数来描述它们之间的关系。

例如，路程一定时，速度与时间成反比；物体重量一定时，浮力与排开液体的体积成反比等。

广泛应用于工程、科研等领域例如，在物理学中，欧姆定律可以用反比例函数来描述；在电力学中，交流电的功率与频率和电流之间的关系可以用反比例函数来表示。

反比例函数的重要性1研究反比例函数的意义与发展23反比例函数是函数的一种特殊形式，研究反比例函数有助于加深对函数概念、性质和图象的理解。

加深对函数的理解反比例函数的图象是数形结合的典范，通过研究反比例函数的图象，可以培养学生的数形结合思想。

培养数形结合思想反比例函数在现实生活中有着广泛的应用，研究反比例函数可以促进数学与实际问题的结合，拓展数学应用领域。

促进数学应用的拓展02反比例函数的图象特征中心对称反比例函数图象以原点为中心对称。

双曲线反比例函数图象表现为双曲线，两支曲线永远不会相交。

形状特征当反比例函数解析式中的常数为正数时，其图象在第一、三象限；当常数为负数时，其图象在第二、四象限。

水平位置由于反比例函数的图象关于原点对称，因此其图象与坐标轴无交点。

垂直位置位置特征当自变量x增大时，函数值y会减小。

当自变量x减小时，函数值y会增大。

变化特征对于反比例函数 $y = \frac{k}{x}$，当$k>0$时，其图象关于原点对称。

反比例函数图像与性质

可以避免常见的问题
探究绘制反比例函数图象
1．分组利用描点法画出几组反比例函数的图象
目的:纠正学生画图过程中出现的问题
同时为以下研究反比例函数的性质作好准备
探索反比例函数图象的性质
你能给这些函数图象分类吗？
y y= 2 x y
0 1
y= 4 x
y
0 1
y= 6 x x
0 1
0 1
y
y -6 y= x x
0 1
x
0 1
x
分类二：观察图象特征归纳总结：当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内， y 随 x 值的增大而增大
反比例函数图象本身所具有的特征是关于原点对称,要结合自己的情况考虑是否给学生做一引导.
观察几何画板课件，验证猜想
归纳小结
6 y x
的图象
什么样的关系?
y x k
归纳总结：在同一
直角坐标系内这样的两个反比例函数的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，具有对称关系的两个反比例函数的值互为相反数。
反比例函数性质的应用
1.已知反比例函数
4k y x
，分别根据下
列条件求出字母k的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y随x的增大而增大
x
x
y y = -2 x
0 1
y = -4 x x
y
y = -6 x
x
y
0 1
0
1
x
y
y= 2 x x
y
0 1
y= 4 x x
y
0 1
y= 6 x x
0 1
分类一：观察图象特征

反比例函数图象及性质

反比例函数图象及性质【知识点】定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。

表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0）函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.函数的性质：Y 与x 的变化：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。

因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。

面积：在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=½|k|。

对称性：类型一：函数性质，比较大小例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数xy 1=的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x ky x+＝（k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数；②当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而减小； ③函数图象与x 轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是。

反比例函数的图象及性质

第一讲：反比例函数图象及性质一、知识点：(1)反比例函数及其图象如果)0,(≠=k k xky 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象（2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

二、例题：1.下列函数，①y=2x ，②y=x ，③y=x -1，④y=11x +是反比例函数的个数有 2．反比例函数k kx y 21-=，当0〉x ，y 随x 的增大而 .3．反比例函数y=-x2的图象是，分布在第象限，在每个象限内， y 都随x 的增大而；若 P1 (x1 , y1)、P2 (x2 , y2) 都在第二象限且X1<X2 , 则y 1 y 2。

4. 反比例函数1k y x +=,1122(,)(,)x y x y 为其图象上两点,若12x x <0<,12y y >则k 的取值范围 . 5.一个反比例函数y=kx（k ≠0）的图象经过点P （-2，-1），则该反比例函数的解析式是________．6. 已知关于x 的一次函数y=kx+1和反比例函数y=6x的图象都经过点（2，m ），则一次函数的解析式是________．7. 矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数之间的函数关系图象大致应为( )8. 如图2，函数k kx y +=与ky x=在同一坐标系中，图象只能是下图中的( ) 图2 三、巩固练习：1．函数21+-=x y 中自变量x 的取值范围是。

２．写出一个经过二、四象限的反比例函数的解析式３. 反比例函数xky =过A （-1，4）和B （2，m ）两点，则m= ；４.反比例函数y=21039n n x--的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n=_______．５. 双曲线xky =和直线mx y =的一个交点坐标为（2，-3）则它们的另一个交点坐标为６．如果反比例函数的图象经过点)2,3(，那么下列各点在此函数图象上的是（） A. )23,2(-B. )32,9(C. )32,3(-D. )23,6(7．已知一次函数y=3x+m 与反比例函数y=3m x-的图象有两个交点，当m=_____时，有一个交点的纵坐标为6． 8．已知点A （-3，y 1），B （-2，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y=4x的图象上，则（）．A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 39．如图3，已知关于x 的函数)1(-=x k y 和x ky -=（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）O xyAO xyBO xyCO xy D图3 图4 图510.如图4，某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa 时，•气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（）． A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C ．不大于2437m 3D ．不小于2437m 311．如图5，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________． 12. 如图6，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2009，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2009，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2009年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2009分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2009（x 2009，y 2009），则y 2009=________．图6 图713．一次函数21y y y -=，1y 与2x 成正比，2y 与x 成反比，其中x=1时，y=3；x=-1时，y=7；（1）求y 与x 之间的函数关系式（2）求x=2时，y 的值14．反比例函数x ky =的图象经过点)3,2(A .（1）求这个函数的解析式；（2）请判断点)6,1(B 是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.CD11米20米15．已知反比例函数x ky =的图象与一次函数m kx y +=的图象相交于点)1,2(.（1）分别求这两个函数的解析式. （2）试判断点)5,1(--P 关于x 轴的对称点'P 是否在一次函数m kx y +=的图象上16．（如图7）某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB 的长为x 米，修建健身房的总投入为y 元. （1）求y 与x 的函数关系式；（2）为了合理利用大厅，要求自变量x 必须满足8≤x ≤12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？。

反比例函数的图象

巩固练习：
一、三
减小
<0
三、用待定系数法求函数解析式
小结：
请谈一谈这节课你学到了哪些知识，你有哪些收获和体会？
通过这节课的学习，你还有什么不明白的问题？
作业
1曲线只能与坐标轴无限靠近，永远不能与坐标轴相交。为什么？
反比例函数及其图象
问题1：当路程s一定时，时间t与速度v成 —— 关系。
v t = s （s是常数）问题2：当矩形面积s一定时，长a与宽b成 ——关系。 a b = s （s是常数）
反比例
反比例
学习目标
1、理解反比例函数的意义。 2、会画出反比例函数的图象，
并能说出它的性质。
3、会用待定系数法确定反比
例函数的解析式。
重点：反比例函数的图象的性质难点：描点、画图
一、反比例函数的意义
巩固练习：
ˇ ˇ
二、反比例函数的图象
想一想：
当k>0时,双曲线两分支各在哪个象限?在每个象限内,y随x的增大怎样变化?
当k<0时呢?
1、当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小； 2、当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

反比例函数的图象

反比例函数的图像与性质

第14讲 反比例函数的性质及其图象

高中数学-反比例函数的图像与性质

反比例函数图象性质

反比例函数一次函数二次函数性质及图像

反比例函数图像与性质

反比例函数的图像和性质课件

反比例函数的图象与性质课件

函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质

反比例函数图像与性质

反比例函数图象及性质

反比例函数的图象及性质

反比例函数的图象

第14讲反比例函数的性质及其图象