经济数学基础3参考答案

经济数学基础3 作业分类答案一、单项选择题（共29 题）：A ,B 为两个事件，则（ B ）成立．⒈A. (A +B) −B AB. (A +B) −B ⊂AC. (A −B) +B AD.(A −B) +B ⊂A⒉如果（C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．A. AB =∅ A BB. UUC. ABA ∅B且UUD.A 与B 互为对立事件⒊袋中有5 个黑球，3 个白球，一次随机地摸出4 个球，其中恰有3 个白球的概率为（ A ）．5 3 3 5 4 3 3 5 3A. 4B. ( )C. C8 ( )D.C 8 8 8 8 88⒋10 张奖券中含有3 张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（ D ）．A. C3 ×0.72 ×0.3B. 0.3C. 0.72 ×0.3D. 3 ×0.72 ×0.310⒌同时掷3 枚均匀硬币，恰好有2 枚正面向上的概率为（ D ）．A. 0.5B. 0.25C. 0.125D. 0.375⒍已知P(B) >0, A A ∅，则（ B ）成立．1 2A. P(A1 B) >0B. P[(A1 +A2 ) B ] P (A1 B ) =+P (A2 B )C. P(A A B) ≠0D. P(A A B) 11 2 1 2⒎对于事件A , B ，命题（ D ）是正确的．A. 如果A , B 互不相容，则A , B 互不相容B. 如果A ⊂B ，则A⊂BC. 如果A , B 对立，则A , B 对立D. 如果A , B 相容，则A , B 相容⒏某随机试验每次试验的成功率为p (0 <p <1) ，则在3 次重复试验中至少失败1 次的概率为（ B ）．A. (1−p )3B. 1−p 3C. 3(1−p )D. (1−p )3 +p (1−p )2 +p 2 (1−p )⎛0 1 2 3 ⎞9.设离散型随机变量 cX 的分布列为X ~ ⎜⎟，若为常数，F (x) 为分布函数，则⎝0.2 c 0.3 0.1⎠（B ）．A. c 0.4, F (2) 0.3B. c 0.4, F (2) 0.9C. c 0.3, F(2) 0.3D. c 0.3, F(2) 0.9a10.设离散型随机变量X 的分布列为P(X k ) (k 1, 2,L,n) ，则a （D ）．3n1A. B. 1 C. 2 D. 33Ax , 0 ≤x ≤2⎧11. 设随机变量X 的密度函数的是f (x ) ⎨，则A （C ）．0, 其它⎩1 1A. 2B. 3C.D.2 312 设连续型随机变量X 的密度函数为f (x) ，分布函数为F (x) ，则对任意的区间(a , b) ，则P(a <X <b) （D ）．b bA. F (a) −F (b)B. ∫a F (x)dxC. f (a) −f (b)D. ∫a f (x)dxc, 3 ≤x ≤5⎧13 设随机变量X 服从均匀分布，其概率密度函数为 f (x ) ⎨，则c （ B ）．⎩0, 其它1 1A. B. C. 1 D. 23 214 设随机变量X ~ P(λ) ，且已知P(X 2) P(X 3) ，则常数λ（C ）．A. 5B. 4C. 3D. 1c c15. 设随机变量X ~ N (0,1) ，又常数满足P(X ≥c) P(X =<c) ，则（B ）．1A. −1B. 0C.D. 1216. 每张奖券中末尾奖的概率为0.1，某人购买了20 张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为X ，则X服从（C ）．A.泊松分布B. 指数分布C.二项分布D. 正态分布17. 设随机变量X ~ N (−3, 2) ，则X 的概率密度函数 f (x) （B ）．x2 (x+3)21 − 1 −A. e 2 (−∞<x <+∞)B. e 4 (−∞<x <+∞)2π 2 π(x+3)2 (x−3)21 − 1 −C. e 4 (−∞<x <+∞)D. e 4 (−∞<x <+∞)2π 2 π18 设随机变量X ~ B(n, p) ，且E (X ) 4.8,D(X ) 0.96 ，则参数n 与p 分别是（ A ）．A. 6, 0.8B. 8, 0.6C. 12, 0.4D. 14, 0.2⎧0, x <0⎪319.设随机变量X 的分布函数，F (x) ⎨x , 0 =≤x <1 ，则E (X ) （B ）．⎪⎩1, x ≥1(x +1)21 −20.设随机变量X 的密度函数的是f x e 18 −∞<x <+∞，则E (X ),D (X ) 的值为( ) ( )3 2π（B ）．A. E (X ) =−1,D(X ) 6B. E (X ) −1,D(X ) 9C. E (X ) 1,D(X ) 6D. E (X ) 1,D(X ) 921.设随机变量X ~U (2,8) ，则E(X 2 ) （C ）．A. 24B. 26C. 28D. 3022.设X 为随机变量，则D(2X −3) （D ）．A. 2D(X ) +3B. 2D(X )C. 2D(X ) −3D. 4D(X )223.设X 为随机变量，E(X ) μ,D(X ) σ，当Y （B ）时，有E (Y ) 0,D(Y ) 1 ．μ−X X −μ σ−X μ−σ A. B. C. D.σ σ μ X24. 设 2 Y aX +bX 是随机变量，D(X ) σ，设，则D(Y ) （B ）．A. 2B. 2 2C. 2D.2 2 （二）25.设X ,X ,L,X 是aσ +b a σ aσ a b σ +1 2 n来自正态总体 2 2N (μ,σ) （μ,σ均未知）的样本，则（A ）是统计量．X 2A. X 1B. X 1 +μC. 1D. μX 12σ26.设 2 2X 1,X 2 ,X 3 是来自正态总体N (μ,σ) （μ,σ均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计．1A. m ax{X ,X , X }B. (X +X )C. 2X −XD. X −X −X1 2 3 1 2 1 2 12 32ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,27.设θθθθθθθθθ1 2 3 4 都是参数的估计量，其中1 2 3 是参数的无偏估计量，若它们满足条件ˆ ˆ ˆ ˆ,Dθ<DθDθ>Dθ，则以下结论不正确的是（ C ）.1 2 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ θ θ θ θ θA. 1 比 2 有效 B. 3 比 2 有效 C. 2 最有效D. 3 最有效28. 设X θθX 1,X 2 ,L,X n 是来自总体的一个样本，对于给定的α(0 <α<1) ，若存在统计量和，使得P(θ≤θ≤θ) 1=−α，则称[θ,θ]是置信度为（ A ）的置信区间．α αA. 1−αB. αC. 1−D.2 229.对正态总体方差的检验用的是（C ）．U 2 FA. 检验法B. t 检验法C. χ检验法D. 检验法二、填空题（共35 题）2⒈从数字1,2,3,4,5 中任取3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．5⒉从个数字中有返回地任取个数（r ≤n ，且个数字互不相同），则取到的个数字中有重复数字n r n rn(n −1)L(n −r +1)的概率为1− ．rn⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人分配在同一间房间的概率为1/16，三个人分配在不同房间的概率为3/8．⒋已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 互不相容时，P(A +B)0.8，P(AB ) 0.3．⒌A , B 为两个事件，且B ⊂A ，则P(A +B) P(A) ．⒍已知P(AB) P(AB ) , P(A) p ，则P(B) 1-P ．⒎若事件A , B 相互独立，且P(A) p , P(B) q ，则P(A +B) p +q −pq ．⒏若A , B 互不相容，且P(A) >0 ，则P(B A) 0，若A , B 相互独立，且P(A) >0 ，则P(B A) P(B)．9 ．已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 相互独立时，P(A +B) 0.65，P(A B) 0.3．2 −210 设随机变量X ~ P(λ) ，且已知P(X 1) P(X 2) ，则常数P(X 4) e ．3⎧0, x ≤0⎪11 设随机变量X ~U (0, 1) ，则X 的分布函数F (x) ⎨x, 0 <x <1 ．⎪⎩1, x ≥18 212 设每次打靶中靶的概率是p ，则10 次独立射击中至多有2 次中靶的概率为(1−p ) (36p +8p +1) ．213 设X ~ N (μ, σ ) ，则P(| X −μ|≤3σ) 0.9974 ．2x t1 −( ) 214 设Φx ∫2πe dt ，则Φ(0) 0.5 ．−∞15 设随机变量X 的分布函数F (x) A =+B arctan x (−∞<x <+∞) ，则常数A 1/2，B 1/ π．16.设随机变量X 的分布函数是F (x) ，则P(a <X ≤b) F (b) −F(a) ．得P(θ≤θ≤θ) 1=−α，则称[θ,θ]是置信度为（ A ）的置信区间．α αA. 1−αB. αC. 1−D.2 229.对正态总体方差的检验用的是（C ）．U 2 FA. 检验法B. t 检验法C. χ检验法D. 检验法二、填空题（共35 题）2⒈从数字1,2,3,4,5 中任取3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．5⒉从个数字中有返回地任取个数（r ≤n ，且个数字互不相同），则取到的个数字中有重复数字n r n rn(n −1)L(n −r +1)的概率为1− ．rn⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人分配在同一间房间的概率为1/16，三个人分配在不同房间的概率为3/8．⒋已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 互不相容时，P(A +B)0.8，P(AB ) 0.3．⒌A , B 为两个事件，且B ⊂A ，则P(A +B) P(A) ．⒍已知P(AB) P(AB ) , P(A) p ，则P(B) 1-P ．⒎若事件A , B 相互独立，且P(A) p , P(B) q ，则P(A +B) p +q −pq．⒏若A , B 互不相容，且P(A) >0 ，则P(B A) 0，若A , B 相互独立，且P(A) >0 ，则P(B A) P(B)．9 ．已知P(A) 0.3, P(B) 05. ，则当事件 A , B 相互独立时，P(A +B) 0.65，P(A B) 0.3．2 −210 设随机变量X ~ P(λ) ，且已知P(X 1) P(X 2) ，则常数P(X 4) e ．3⎧0, x ≤0⎪11 设随机变量X ~U (0, 1) ，则X 的分布函数F (x) ⎨x, 0 <x <1 ．⎪⎩1, x ≥18 212 设每次打靶中靶的概率是p ，则10 次独立射击中至多有2 次中靶的概率为(1−p ) (36p +8p +1) ．213 设X ~ N (μ, σ ) ，则P(| X −μ|≤3σ) 0.9974 ．2x t1 −( ) 214 设Φx ∫2πe dt ，则Φ(0) 0.5 ．−∞15 设随机变量X 的分布函数F (x) A =+B arctan x (−∞<x <+∞) ，则常数A 1/2，B 1/ π．16.设随机变量X 的分布函数是F (x) ，则P(a <X ≤b) F (b) −F(a) ．ˆˆ ˆ( , , , ) [ ( , , , )] ( , , , )35 ．当参数θ的估计量θX 1 X 2 LX n 满足E θx1 x2 Lxn θ时，则θX 1 X 2 LX n 称为θ的无偏估计．（三）解答题（共题）⒈设A,B 为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：⑴A +B ；⑵AB ；⑶A −B ；⑷A −AB ；⑸AB ；⑹AB +AB ．解：⑴A +B 表示事件A 与事件B 至少有一个发生；⑵AB 表示事件A 与事件B 同时发生；⑶A −B 表示事件A 发生但事件B 不发生；⑷A −AB AB 表示事件A 发生同时事件B 不发生；⑸AB A UB 表示事件A 不发生同时事件B 也不发生；⑹AB +AB A =+B −AB 表示事件A 发生或事件B 发生，但两事件不同时发生．⒉设A , B , C 为三个事件，试用A , B , C 的运算分别表示下列事件：⑴A , B , C 中至少有一个发生；A UB UC⑵A , B , C 中只有一个发生；ABC UABC UABC⑶A , B , C 中至多有一个发生；AB UBC UCA ；⑷A , B , C 中至少有两个发生；AB UBC UAC⑸A , B , C 中不多于两个发生；ABC⑹A , B , C 中只有C 发生．ABC⒊袋中有3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率：⑴ 2 球恰好同色；⑵ 2 球中至少有1 红球．0.4 0.9⒋一批产品共50 件，其中46 件合格品，4 件次品，从中任取3 件，其中有次品的概率是多少? 次品不超过2 件的概率是多少?C3解：有次品的概率为1− 46 ；C350C3次品不超过2 件的概率为 41− .C350⒌设有100 个圆柱形零件，其中95 个长度合格，92 个直径合格，87 个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：⑴该产品是合格品的概率；⑵若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；⑶若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率．解：⑴该产品是合格品的概率为0.87 ；87⑵已知该产品直径合格，则该产品是合格品的概率为；9287⑶已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为．95⒍加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解：加工出来的零件是正品的概率为0.97×0.98 0.9506 ．⒎市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：买到一个热水瓶是合格品的概率为0.9×0.5+0.85×0.3+0.8×0.2 0.865⒏一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得5 件样品，分别计算这5 件样品中恰有3 件次品和至多有3 件次品的概率．解：,5 件样品中恰有 3 件次品的概率为 3 3 2 ;X ~ B(5,0.2) P{X 3} C5 ×0.2 ×0.8 0.05125 件样品中至多有3 件次品的概率为P {X ≤3} 1=−P {X 4}=−P{X 5} 0.00672 ．⒐加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%，并假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．1解：加工出来的零件的次品率为(0.02 +0.03+0.05) 0.033310.袋中装有5 个大小、形状相同的球，编号为1~ 5 ，现从中任取3 个球，设X 表示取出的3 个球中最大号码数，试求（1）X 的概率分布列；（2 ）X 的分布函数F (x) ；（3）P(2 ≤X <4.5) ．⎛3 4 5 ⎞解：（1）X ~ ⎜⎟；⎝0.1 0.3 0.6⎠⎧0, x <3⎪⎪0.1, 3 ≤x <4(2）F (x) ⎨；0.4, 4 ≤x <5⎪⎪⎩1, x ≥5（3）P(2 ≤X <4.5) P(X 3) +P(X 4) 0.1+0.3 0.411.已知100 个产品中有5 个次品，现从中任取1 个，有放回地取3 次，求在所取的3 个产品中恰有2 个次品的概率．95×52解：所取的3 个产品中恰有2 个次品的概率为312.设随机变量X 的概率分布列为⎛0 1 2 3 4 5 6 ⎞X ~ ⎜⎟，⎝0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03⎠试求P(X ≤4),P(2 ≤X ≤5),P(X ≠3) ．解：P(X ≤4) 0.1=+0.15 +0.2 +0.3+0.12 0.87 ；P(2 ≤X ≤5) 0.2 =+0.3+0.12 +0.1 0.72 ；P(X ≠3) 1=−P(X 3) 1−0.3 0.7 ．13.设随机变量X 具有概率密度2x, 0 ≤x ≤θ⎧f (x ) ⎨0, 其它⎩试求（1）θ；（2 ）P(X ≤0.5),P(0.25 <X <2) ．+∞θ解：（1） 2 θ 2 ；∫f (x )dx ∫2xdx x |0 θ 1 ⇒θ 1−∞00.5 11 1 15（2 ）P X ≤xdx P <X < xdx ．( 2) ∫2 0.25, (4 2) ∫2 160 0.2514. 已知某型号电子管的寿命X （单位：h ）服从指数分布，其概率密度为x⎪ e 1000 , x >0( ) ，f x ⎨1000⎪0, 其它⎩一台仪器中有3 只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作，求仪器正常工作1000h 以上的概率．1000 x1 − 11000解:P X > =−P X ≤=− e dx ．( 1000) 1 ( 1000) 1 ∫1000 e⎧ 0, x <0⎪ 2F (x) Ax , 0 x 115.设随机变量X 的分布函数为⎨≤< ，试求：（1）常数A ；⎪⎩ 1, x ≥1（2 ）X 的密度函数f (x) ．解: （1）由，得lim Ax2 A 1 ；lim F (x) F (1) 1−−x →1 x→12x, 0 ≤x ≤1⎧f (x )（2）⎨．⎩0, 其它16.设随机变量X ~ N (2, 0.04) ，计算⑴P(1.8 <X <2.4) ；⑵P(| X −2 |≥0.2) ．解: ⑴P(1.8 <X <2.4) =Φ(2) −Φ−( 1) 0.9772 =+0.8413−1 0.8185 ；⑵P (| X −2 |≥0.2) 1=−P (| X −2 |<0.2) 2[1=−Φ(1)] 2(1=−0.8413)0.3174 ．17 设随机变量X ~ N (1, 0.64) ，计算⑴P(0.2 <X <1.8) ；⑵P(X >0) ．解: ⑴P(0.2 <X <1.8) =Φ(1) −Φ−( 1) 2=×0.8413−1 0.6826 ；⑵P(5 <X <7) P (X =>0) 1=−P(X ≤0) 1=−Φ−( 1.25) =Φ(1.25)0.8944 ．18.一批零件中有9 个正品，3 个次品，在安装机器时，从这批零件中任取1 个，若取出的次品不放回再取 1 个，直到取出的是正品安在机器上，求在取到正品之前，已取出的次品数X 的数学期望和方差．⎛0 1 2 3 ⎞⎜⎟ 3 2 9 9 9 351解：X ~ ⎜⎜3 9 9 1 ⎟⎟；E(X ) 10,E(X ) 22,D(X ) 22 −100 1100 ．⎝4 44 220 220 ⎠19. 已知随机变量X 的概率分布列为⎛2 1 0 −1⎞X ~ ⎜1 1 1 1 ⎟，试求E (X ),D (X ) ．⎜⎜⎟⎟⎝2 6 6 6 ⎠2 8 8 2 5解：E (X ) 1,E (X ) ,D(X ) −1 ．3 3 320.设随机变量X 具有概率密度2(1−x), 0 ≤x ≤1⎧f (x ) ⎨，试求E (X ) ，D(X ) ．0, 其它⎩112 1 2 23 1 1 1 1解：E (X ) ∫2(x =−x )dx 3 , E(X ) ∫2(x −x )dx 6 , D(X ) 6 −9 180 021.设随机变量X 的密度函数为⎧−xe , x ≥0 −2Xf (x ) ⎨，试求（1）E (X ) ；（2 ）D(X ) ；（3）E(e ) ．0, x <0⎩+∞−x解：（1）E(X ) ∫xe dx 1 ；+∞（2 ） 2 2 −x 2 ；E (X ) ∫x e dx 2, D(X ) 2 −1 12X +∞2x x +∞3x 1（3）( − ) − − − ．E e ∫e e dx ∫e dx 30 0122.设随机变量X 的概率密度为( ) −|x| ( ) ，试求（1）；（2 ）；（3）f x e =−∞<x <+∞E (X ) D(X )2E (−2X +3) ．1+∞解：（1）( ) −|x| 0E X 2 ∫xe dx ；−∞+∞（2 ） 2 2 −x 2 ；E (X ) ∫x e dx 2, D(X ) 2 −0 2（3）E (−2X +3) =−2E (X ) +3 0 =+3 3 ．3 2 7 623.设X 为离散型随机变量，且P(X a) ,P(X b) ,a<b ，若E (X ) ,D(X ) ，试求5 5 5 25a,b ．⎛a b ⎞解：⎜⎟， 3 2 7 ；X ~ ⎜3 2 ⎟ E (X ) a =+ b =⇒3a +2b 7⎜⎟ 5 5 5⎝5 5 ⎠2 3 2 2 2 6 49 11 2 2E (X ) a =+ b =+ =⇒3a +2b 11；5 5 25 25 59 4解得：；以及 a <ba 1,b 2 a ,b （由于，舍去）．5 524.设随机变量X 的密度函数为Ax +B , 1≤x ≤2⎧19f x( ) ⎨，且E(X ) ，试求A,B和D(X ) ．0, 其它12⎩+∞23解：由∫f (x )dx ∫(Ax =+B )dx 2A =+B 1；−∞ 1+∞ 22 73 19E(X ) ∫xf (x)dx ∫(Ax +Bx)dx 3 A =+2 B 12 ；−∞ 1x −0.5, 1≤x ≤2⎧解得：A 1,B −0.5，于是f (x ) ⎨．⎩ 0, 其它2 231 31 19 112 3 2 ⎛⎞( ) ( 0.5 ) , ( )E X ∫x =− x dx D X −⎜⎟．12 12 12 1441 ⎝⎠25. 已知E (X ) =−1,D(X ) 3 ，试求E[3(X 2 −1)]．解： 2 2 2 ．E[3(X −1)] 3E (X )=−3 3[3=+(−1) ]−3 12=−3 92 1 n26 设X 1,X 2 , L,X n 是独立同分布的随机变量，已知 E (X ) μ,D(X ) σ，设X ∑X ，求1 1 in i 1E (X ),D (X ) ．⎛1 n ⎞ 1 n 1 n( )解：E X E X E X μμ；( ) ⎜∑i ⎟∑i ∑⎝n i 1 ⎠ n i 1 n i 1⎛1 n ⎞ 1 n 1 n 2 σ2( )D X D X D X σ( ) ⎜∑i ⎟ 2 ∑i 2 ∑⎝n i 1 ⎠ n i 1 n i 1 n27 ．设对总体X 得到一个容量为10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值X 和样本方差S 2 ．2 1 10 2解：x 3.6 , s ∑(xk =−3.6) 2.8329 k 128 ．在测量物体的长度时，得到三个测量值：3.00 2.85 3.15若测量值 2 2X ~ N (μ, σ) ，试求μ,σ的极大似然估计值．ˆ ˆ 2 2 1 2 2 2解：μx 3, σs (0.15 +0.15 ) 0.15229 ．设总体X 的概率密度函数为⎧θ(θ+1)x , 0 <x <1f (x ; θ) ⎨，0, 其它⎩试分别用矩估计法和极大似然估计法估计参数θ．1ˆθ θ+1 θ+1解：E (X ) ∫x(θ=+1)x dx θ+2 , 令ˆX ,θ+2ˆ 1−2X得θ的矩估计量为θ;X −1nθ n θ似然函数L(θ) ∏(θ=+1)x (θ=+1) (x x Lx ) ,i 1 2 ni 1nln L(θ) n ln(θ=+1) +θ ln x ,∑ii 1d ln L(θ) n n令=+∑ln xi 0 ,dθ θ+1 i 1ˆ n得θ最大似然估计量为θ=− − ．1n∑ln xii 130. 设有一批钢珠，其直径服从 2X ~ N (μ,σ) ，今随机抽查了八个，测得直径如下（单位mm ）：5.90,6.01,6.12,5.98,6.00,5.94,6.07,5.92对给定的α0.01 ，(1)已知 2 ；(2)未知 2 ，请给出μ的置信度为0.99 的置信区间．σ 1 σ2 1 8 2x 5.9925解：, s ∑(xk =−5.9925) 0.005621,s 0.075 ．7 k 1⑴当 2 时, μ的置信度为0.99 的置信区间为:σ 1σ 1x ±z0.995 5.9925=±×2.575 5.9925=±0.9104 [5.0821,6.9029] ；n 8⑵当σ2 未知的情况下，μ的置信度为0.99 的置信区间为:s 0.075x ±t0.005 (7) 5.9925=±×3.4995 9.9925=±0.0928 [5.8997,6.0853] ．n 831 ．测两点之间的直线距离5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可认为是服从正态分布 2 的，求 2 2 2N (μ,σ) 与的估计值，并在⑴；⑵未知的情况下，μ σ σ 2.5 σ分别求μ的置信度为0.95 的置信区间．ˆ ˆ 2 2 1 5 2解：μ x 110 , σ s ∑(xk −110) 1.875 ．4 k 1⑴当 2 时, μ的置信度为0.95 的置信区间为:σ 2.5σ 2.5x ±z0.975 110=±×1.96 110=±1.386 ；n 5⑵当σ2 未知的情况下，μ的置信度为0.95 的置信区间为:s 1.875x ±t0.025 (4) 110 =±×2.7764 110 ±1.7 ．n 532．测试某种材料的抗拉强度，任意抽取10 根，计算所测数值的均值与方差，得1 102 1 10 2X ∑X 20 S ∑(ξ =−ξ) 2.5i i10 i 1 10−1 i 1假设抗拉强度,试以95％的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间.s 2.5解：所求置信区间为x ±t0.025 (9) 20 =±×2.2622 20=±1.1311n 10233．设某产品的性能指标服从正态分布N (μ,σ) ，从历史资料已知σ4 ，抽查10 个样品，求得均值为17，取显著性水平α0.05 ，问原假设H0 :μ20 是否成立？X −20 17−20解：取检验统计量U ~ N(0,1) ，|U | 3>1.96 z , 故拒绝H ．0.975 0σ/ n 4 / 1634．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化？（α0.05 ）．2 X −20解：设H0 :μ20, x 20.05,s 0.67 ,取检验统计量t ~ t(7) , 则S / n20.05 −20|t | 0.173 <2.3646 t0.025 (7) ,0.67 / 8故接受H 0 , 认为用新材料做的零件平均长度没有起变化．35 ．从一批袋装食盐中随机抽取5 袋称重，重量分别为（单位：g）：1000，1001，999，994，998假设这批食盐的重量服从正态分布，试问这批食盐重量的均值可否认为是1000g?( α0.05 ).2 X −1000 解：设H0 :μ100, x 999.88,s 10.038 ,取检验统计量t ~ t(4) ,S / n999.88−1000 0.12则|t | 0.083 <2.7764 t0.025 (4) ,10.038 / 5 1.44故接受H 0 , 认为这批食盐重量的平均值为1000g ．36. 正常人脉搏数均值为72 次/分， 2 ，现某医生测得10 例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏如下：σ 30α0.05 ）.（单位：次/分）68，70，66，67，54，78，67，70，65，69 （脉搏数服从正态分布，取问：(1) 四乙基铅中毒患者的脉搏数与正常人脉搏数有无显著差异？(2) 如果方差σ2 未知，则两者的脉搏数有无显著差异？2 1 10 2解：x 67.4, s ∑(x −67.4) 35.155,s 5.93．i9 i 1X −72 （1）设H0 :μ72,H1 :μ≠72 ,取检验统计量U ~ N(0,1) , 则σ/ n67.4 −72 4.6| U | 2.565 >1.96 u ,0.02530 / 10 1.732故拒绝H 0 ，认为两者脉搏数有显著差异．X −72（2 ）设H0 :μ72,H1 :μ≠72 ,取检验统计量t ~ t(9) , 则S / n67.4 −72 4.6|t | 2.4536 >2.2622 t0.025 (9) ,5.93/ 10 1.8748故拒绝H 0 ，认为两者脉搏数有显著差异．。