复变函数与积分变换复习题+答案

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【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复习题2一.单项选择题1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是()(A)),(y x u 在),(00y x 处连续(B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为()(A)3-(B)2-(C)1-(D)13.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件4.下列命题中,正确的是()(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x (B)若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析(D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析5.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()(A)iπ2-(B)0(C)iπ2(D)iπ46.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ()(A)1sin -(B)1sin (C)1sin 2i π-(D)1sin 2i π7.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)仅在零点不解析(D)处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是()(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数10.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是()(A)i +-43(B)i +43(C)i -43(D)i --4311.ii 的主值为()(A)0(B)1(C)2πe(D)2eπ-12.ze 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)有可导点,且在可导点集上解析(D)处处解析13.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是()(A))(z f 在复平面上处处解析(B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --=(D))(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i 6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i 6561+15.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()(A)2iπ(B)2i π-(C)0(D)(A)(B)(C)都有可能16.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()(B)i π2-(B)0(C)iπ2(D)iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦().A .()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦().A .()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()(A)0(B)i π2(C)10(D)5i π20.积分21sin z z zdz ==⎰()(A)0(B)61-(C)3i π-(D)iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A .一B .二C .三D .四22.下列等式成立的是().A .Lnz Lnz 77=;B .)1arg()1(r =g A ;C .112=i;D .)z z Re(z z =。

复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+;复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2;23Argz k pp =+;arg 3z p=;13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î,求解方程组可得,45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+;ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+;0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=;221cos ()22i e e pp p -=+;10 、21024z dzz z ==++ò ;1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=,则0z =是(一级极点);31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=,0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导?何处解析?在可导处求出导数。

(1)()22f z x iy=+;解:22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶,一阶偏导连续,因此当,x y y x u v u v ==-时,即x y =时可导,在z 平面处处不解析。

复变函数与积分变换试卷(答案)

复变函数与积分变换试卷(答案)

一、填空题(每题3分,共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-;2.i z -=1的指数式为i e 42π-;3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰c zdz i__ ; 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析,那么实常=a ___2__;5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21;6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ; 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______;8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点; 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ; 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-; 二、(本题12分)1、求21的所有值 解:1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ (2,1,0±±=k )…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + (2,1,0±±=k )……………………2分2、解方程0cos =z 解:02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ,即12-=iz e设iy x z +=,则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有:ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

2.-8i得三个单根分别为:、、。

3.Lnz在得区域内连续。

4.得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

5.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

7.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8.幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

10.若f(t)满足拉氏积分存在条件、则L [f(t)]= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)=0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2.C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。

五、(10分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

(2)七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0得解y (t )。

八、(10分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1.ﻩﻩ、ﻩ ﻩ2、ﻩ-i ﻩﻩ2iﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 4、 空集5、ﻩ2z ﻩ6.0 7、将常形域映为角形域ﻩ8、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ10、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0(3分)∴ﻩﻩ(2分)三、解:原式=(2分)ﻩ(2分)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(3分) z 1=0 ﻩz2=1ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2.解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)( ﻩﻩ(2分) ﻩ2.解: (1分)ﻩ(2分)六、1.解:∵ﻩ(3分)ﻩ∴结论成立 (2)解:∵ﻩ(2分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴(2分)七、解:∵ﻩﻩ(3分)S (2)-(1):∴ (3分)∴八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是f(z)在D 内解析得(ﻩ ﻩ)条件。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.的模 ,幅角 。

)31ln(i --2.-8i 的三个单根分别为: ,,。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.的解极域为:。

z z f =)(5.的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6.。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7.指数函数的映照特点是:。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若=F [f (t )],则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。

二、(10分)已知,求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数,且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2)1.⎰=-2||)1(z z z dz2. C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、(10分)求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z 六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1., 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6.07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解:∵∴(5分)yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴(2分)222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z (2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(∴原式=(2分) =23126⨯⨯i πi 63π-四、1.解:原式(3分)z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0(2分)]11[2+-=i π2.解:原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-=1ich π-五、1.解:ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分)(分)(分)((2分)11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)(2分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1.解:∵(3分)∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(2)解:∵(2分)1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴(2分))(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解:∵(3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S (2)-(1):∴(3分)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ;③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( )A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( )4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4.关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ).z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( )A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7.在下列复数中,使得ze i =成立的是( ).ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8.已知31z i =+,则下列正确的是( )12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9.积分||342z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于( ) A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上,条件收敛12.0=z 是函数(1cos )ze z z -的( )A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13.1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为( )A. 0.1B C.12D. 12-14.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π15.已知()[()]F f t ω=F ,则下列命题正确的是( ) A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 16. 设121,1z i z =-=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=,则映射在01z i =+处的旋转角为____________,伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =,则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到3-4i 的直线段,计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f '24.已知22(,)4u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题(共4小题,每题8分,共32分) 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=,使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =,arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。

复变函数与积分变换习题答案

复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解:2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解:1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i +解:()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解:2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解:()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解:()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7) 11ii-+ 解:3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值 (1) a ib +解:1ar 2ar 2222421ar 22421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a bi ctg abi ctg a a ib a b ea b ea b ea b e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=+=+⎧+⎪=⎨⎪-+⎩(2)3i解:62263634632323322322i k i i i i k i e i i eee e iπππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i解:()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)ii解:()1/2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解:由于:()()552cos5i i e e ααα-+=,而:()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以:()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解:由于:()()552sin 5i i e e ααα--=,所以:()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解:()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++解:()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π),在负实轴上(包括原点)不连续。

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解:2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解:1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解:()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解:2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解:()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解:()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解:3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解:1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解:6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解:()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解:()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解:由于:()()552cos5i i e e ααα-+=,而:()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以:()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解:由于:()()552sin 5i i ee ααα--=,所以:()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解:()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解:()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π),在负实轴上(包括原点)不连续。

大学复变函数复习题+答案

大学复变函数复习题+答案

《复变函数和积分变换》一.(本题30分,其每小题各3分)1. 方程()t i 1z +=(t 为实参数)给出的曲线是 ;2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-,z=0为 级极点,2i z ±=为 级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ,则其收敛半径 ; 6.计算留数:⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ;7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心,r 为半径的圆周,计算()⎰-Cna z dz(n 为正整数) ;10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题(25分,每小题各5分)(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为: ①连接由原点到1+i 的直线段;②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知:()()3z e 1zsinzz f -=求:]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4)、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-,其中2||=z C 为正向圆周:。

(5)计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-(7分)四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=,已知()233x y x y ,x u -= ,且()i 0f =. (7分)五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程,即0,0=∆=∆ψϕ;其中22yx ∂∂+∂∂=∆, 并求以此为虚部的解析函数()z f .(8分六、(8分)求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式(1).1|1|0<-<z (2)0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线(8分)八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换(7分)答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为: z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

复变函数及积分变换习题答案

复变函数及积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1)i 解:2cossin22ii e i πππ==+(2)-1解:1cos sin i e i πππ-==+(3)1+解:()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解:2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5)3z解:()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +解:()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解:3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解:1ar21ar21ar2bi ctg kabi ctgabi ctgaπ⎛⎫+⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解:6226363463222iki iiieie ee iπππππππ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i解:()2222ii k ki i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解:()1/2222ii k ke eππππ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解:由于:()()552cos5i ie eααα-+=,而:()()()()()()()()5555555555cos sin cos sincos sin cos sinn ni nnn ni nne i C ie i C iαααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以:()()()()()()()()()()()5555555543253543251cos5cos sin cos sin21cos sin1125cos sin cos sin cos5cos sin10cos sin cosn n n nnnn n nnnC i iC ii C iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解:由于:()()552sin5i ie eααα--=,所以:()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解:()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解:()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e ie e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π),在负实轴上(包括原点)不连续。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一)1.一、填空(3 分×10)1.ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。

2.-8i 的三个单根分别为: . . 。

3.Ln z 在的区域内连续。

4. f ( z ) = z 的解极域为: 。

5. f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。

7.指数函数的映照特点是: 。

8.幂函数的映照特点是: 。

9.若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。

10.若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。

、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6. Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2.c(z co-s i z)3 C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。

五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。

1.0 | z - i | 12.1 | z - i | +六、证明以下命题:(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。

+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。

八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)= 2i [-1+1] =02 分)一、1. 3. 8.二、解: 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解: 四、 4. 空集 5. 2z 6. 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分) - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= (2分)Re s 5 分) -2i z 2 2 分)z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21.解:原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解:①定义; ②C-R 充要条件 Th ; ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解:∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S (2)-(1):∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2.解: 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1.解:f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分)n =0 n =-12. 解: f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分)11+1 分)1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1.+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分) ∴结论成立++e -i t dt = 2() -(2 分)sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 (2) (3 分) Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2( w ) 与 1 构成傅氏对七、解:∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分)=1=02 分)复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7.若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。

复变函数与积分变换复习题汇总(答案)

复变函数与积分变换复习题汇总(答案)

复变函数与积分变换复习题汇总(答案) 复变函数与积分变换复习题汇总(答案)一、填空2(cosisin)2ei41、33,2、(2k12)i3、1212i,1212i4、6xyi(3x23y2)5、z0,二级极点6、437、x[(2)(2)]8、1ss,Re(ss0)009、110、011、tan1bax12、z1,本性,z,可去13、mn14、nzn1,1015、2ki16、(t)12[(t2)(t2)]二、证明题1、ux2vxyyx2xuy0vxyvyx当xy0时,f(z)才可导,即f(z)仅在z0可导f(z)处处不解析2、|sin2i||ei(2i)ei(2i)2i||e2e22|1|cos2i|同理可证。

三、判断正误1、×2、×3、×4、√5、×6、√7、√√10、×11、×四、计算题1、由Cauclcy-Rieman方法易知,f(z)在复平面上处处解析且f"(z)(3x23y2)i6xy或f(z)(xiy)3z3f"(z)3z22、左式11dz2i[231dz24)zi]0C(z4)ziC(z或:左式Res[f(z),zi]Res[f(z),zi]03、a在c处解析,左式=0a在c处解析,za是三级极点左式2i2!(sinz)""zaisina4、f(z)2i(3271)"z2i[6z7]f"(z)12if"(1i)12i15、f(z)z12(1nz1n11z1)()022、×9、121122n36、左式22z(z1)zz0z2z3(111)21|1zz2z31zz|12jt2jtF(2sincost)F(sin2t)F(ee)7、2jtj[(2)(2)]t1a8、L(1ate)L(1)aL(te)S(s1)219、f(t)21||jwteedwecostd01jt1jte(ee)d220t扩展阅读:复变函数与积分变换复习题+答案复变函数与积分变换复习题汇总一、填空题1、1i3的三角函数表示为_____________________;2i的指数函数表示为______________________;1i2、ln(1)___________________;3、i有两个根,他们分别是_________________和_______________;4、f(z)y3xyi(x3xy),则3232f(z)___________________;5、ez1的孤立奇点为Z=______________,其类型为_________________;3z1e2z,0]________________;6、Res[4z7、g[1]2(),则g[cos2t]__________________;s0t[e]____________________;8、3nnz9、的收敛半径是_______________;n13ndz_____________,其中C:10、2z2z4c11、Zabi,a与b是实数,且a12、sin|z正向;0,b0,则argZ________;1有两个奇点,一个是Z=_______,是_________奇点;另一个是Z=________,是_________1z奇点;13、Z0是14、f(z)15、exp f1(z)与f2(z)的m级和n级极点,则Z0是f1(z)f2(z)的___________级极点;1展为Z的幂级数后的结果为________,其收敛半径为_____________;(1z)2z的周期是________________;216、2cos的Fourier逆变换为________________;二、证明题1、函数f(z)x2ixy在平面上处处不解析2、对于z2i,|sinz|1和|cosz|1均不成立三、判断正误(请在括号内划“√”或“×”)1、i2i;()2、z是任意复数,则z2|z|2;()3、f"(z0)存在,那么f(z)在z0处解析;()4、u和v都是调和函数,v是u的共轭调和函数,则-u是v的共扼调和函数;(5、u、v都是调和函数,则u+iv必为解析函数;()6、f(z)uiv解析,则uvuxy,yvx;()7、f(z)解析,则下面的导数公式全部正确。

复变函数与积分变换试题及答案1.

复变函数与积分变换试题及答案1.

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题:(每题3分)1.i 31--的三角表达形式: ; 指数表达形式: ; 几何表达形式: . 2.=-i 2)3( ;3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度,则≤⎰z z f C d )( . 4.级数21n z z z +++++L L 的和函数的解析域是 。

5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。

二、 判断正确与错误(画对错号,每题3分)1.因为|sin |1z ≤,所以在复平面上sin z 有界。

( ) 2、若函数()z f 在0z 处解析,则)()(z f n 也在0z 解析。

( ) 3.如果u (x ,y ),v (x ,y )的偏导数存在,那么f (z )=u +iv 可导。

( ) 4.在z o 处可导的函数,一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。

( )5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 ( )三、解答题(每题8分)1.设22()i f z xy x y =+,则()f z 在何处可导?何处解析?2.已知f (z )的虚部为222121),(y x y x v +-=,求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。

4.求sin d (1)Czz z z -⎰Ñ,其中C 为||2z =。

5.求e d cos zCz z ⎰Ñ,其中C 为||2z =。

6.把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。

7.指出 6sin )(z z z z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数。

8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内, 且满足0)21(=f ,2)21(arg π='f 的分式线性映照。

复变函数及积分变换试题及答案

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题(每小题3分,共21分)1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。

A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰( )。

A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的( )。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。

A.22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. ks 1.二、填空题(每小题3分,共18分)1.23(1)i += [1] ;----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z !收敛于 [2] ;3. 设0Z 为复函数)(z f 的可去奇点,则)(z f 在该点处的留数为 [3] . ;4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-(k 为待定复常数)可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<;5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成,分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ; 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ;三、判断题 (每小题2分,共10分)1. 平面点集D 称为一个区域,如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来,这样的集合称为连通集。

复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本

复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本

《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析,且'()0f z ,则()f z C (常数).( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导,则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析,且'()0f z ,则()f z C (常数).( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限,则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ,则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点,其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =( )A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ,则arg z ( )A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的( )A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是( )。

复变函数及积分变换试卷及答案

复变函数及积分变换试卷及答案

«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i-的幅角是〔〕;2.)1(iLn+-的主值是〔〕;3.211)(zzf+=,=)0()5(f〔〕;4.0=z是4sinzzz-的〔〕极点;5.zzf1)(=,=∞]),([Re zf s〔〕;二.选择题〔每题3分,共计15分〕1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕;〔A〕yxiuuzf+=')(;〔B〕yxiuuzf-=')(;〔C〕yxivuzf+=')(;〔D〕xyivuzf+=')(.2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf〔〕,那么0d)(=⎰C zzf.〔A〕23-z;〔B〕2)1(3--zz;〔C〕2)2()1(3--zz;〔D〕2)2(3-z. 3.如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛,那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 〕.(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成以下各题〔每题10分,共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a〔2〕.计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ;〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数; 〔1〕110<-<z ,〔2〕10<<z ,〔3〕∞<<z 1五.〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕;2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕; 3.211)(z z f +=,=)0()5(f 〔 0 〕,4.0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s 〔-1 〕; 二.选择题〔每题4分,共24分〕1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕;〔A 〕 y x iu u z f +=')(; 〔B 〕y x iu u z f -=')(;〔C 〕y x iv u z f +=')(; 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f 〔 D 〕,那么0d )(=⎰Cz z f .〔A 〕23-z ; 〔B 〕2)1(3--z z ; 〔C 〕2)2()1(3--z z ; 〔D 〕2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 D 〕.的可去奇点;为、zA 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成以下各题〔每题10分,共40分〕〔1〕.设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换期末试题及答案

复变函数与积分变换期末试题及答案

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题:(每题3分)1.i 31--的三角表达形式: ; 指数表达形式: ; 几何表达形式: . 2.=-i 2)3( ;3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度,则≤⎰z z f C d )( . 4.级数21n z z z +++++的和函数的解析域是 。

5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 二、解答题(每题8分)1.设22()i f z xy x y =+,则()f z 在何处可导?何处解析?2.已知f (z )的虚部为222121),(y x y x v +-=,求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。

4.求sin d (1)Czz z z -⎰,其中C 为||2z =。

5.求e d cos zCz z⎰,其中C 为||2z =。

6.把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。

7.指出 6sin )(z zz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数。

8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内, 且满足0)21(=f ,2)21(arg π='f 的分式线性映照。

四、利用拉氏变换求解微分方程(6分)⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t (提示:1[]1t L e s -=+)试题答案一、填空题:(每题3分) 1.i 31--的三角表达形式:222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式:2(2)32k i eππ-+ ;几何表达形式:|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2.=-i 2)3(222ln3k ieππ--+;3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度,则()d Cf z z ML ≤⎰.4.级数21n z z z +++++的和函数的解析域是||1z <。

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复变函数与积分变换复习题汇总
一、填空题
1、31i +的三角函数表示为_____________________; i
i +-12的指数函数表示为______________________; 2、=-)1ln(___________________;
3、i 有两个根,他们分别是_________________和_______________;
4、)3(3)(2323xy x i y x y z f -+-=,则=)(z f ___________________;
5、31z
e z -的孤立奇点为Z=______________,其类型为_________________; 6、=-]01[Re 42,z
e s z
________________; 7、)(2]1[ωπδ=g ,则=]2[cos t g __________________;
8、£
=][0t s e ____________________; 9、n n n n
z ∑∞
+313的收敛半径是_______________; 10、=+-⎰c z z dz 422_____________,其中C :|z|=1 正向;
11、bi a Z +=,a 与b 是实数,且00><b a ,,则=Z arg ________;
12、z
-11sin 有两个奇点,一个是Z=_______,是_________奇点;另一个是Z=________,是_________奇点;
13、0=Z 是
)(1z f 与)(2z f 的m 级和n 级极点,则0=Z 是)(1z f ·)(2z f 的___________级极点; 14、2)
1(1
)(z z f -=展为Z 的幂级数后的结果为________,其收敛半径为_____________; 15、exp z 的周期是________________;
16、ω2cos 2的Fourier 逆变换为________________;
二、证明题
1、函数ixy x z f +=2
)(在平面上处处不解析
2、对于1|cos |1|sin |,2≤≤=z z i z 和均不成立
三、判断正误(请在括号内划“√”或“×”)
1、i i 2<;( )
2、z 是任意复数,则22||z z =;( )
3、)('0z f 存在,那么)(z f 在0z 处解析;( )
4、u 和v 都是调和函数,v 是u 的共轭调和函数,则-u 是v 的共扼调和函数;


5、u 、v 都是调和函数,则u+iv 必为解析函数;( )
6、iv u z f -=)(解析,则x v
y u
y v
x u
∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,;( )
7、)(z f 解析,则下面的导数公式全部正确。

( )
x v
i x u
z f ∂∂+∂∂=)(',y u
i y v
z f ∂∂-∂∂=)(',y u
i y v z f ∂∂+∂∂=1)(';
8、设有级数∑∞
0n a ,如果0lim =∞→n n a ,则
∑∞
n a 收敛;( )
9、Taylor 级数n n z z c )(00
-∑∞
在其收敛圆周上一点处可能收敛,也可能发散;(

10、0=z 是函数z
z f 1sin 1
)(=的本性奇点;( )
11、每个幂级数在它的收敛内与收敛圆上都绝对收敛。

( )
三、计算题
1、指出i y xy yi x x z f 322333)(--+=的解析区域,并求)('z f ;
2、⎰++C z z dz
322)4)(1(,其中C 为23
||=z ;
3、dz a z z
C
⎰-3)(sin ,C 为简单正向封闭曲线,a 是常数;
4、设ζζζζζd z z f z ⎰=-++=||22)(173)(,求)1('i f +;
5、将1
1)(+-=z z z f 展为Z-1的幂级数; 6、将)1(1)(2-+=z z z z f 在+∞<<||1z 内展为Laurent 级数;
7、求函数t t cos sin 2的Fourier 变换;
8、求函数1
1-=ate 的Laplace 变换;9、||)(ωββπω-=e F ,求)([1ωF g -;
一、填空
1、)3sin 3(cos 2ππi +,i e 42π-
2、i k π)2
12(- 3、i 21
21
+,i 21
21
--
4、)33(622y x i xy -+-
5、0=z ,二级极点
6、3
4-
7、)]2()2([-++ωδωδx 8、0
1s s -,0)Re(0>-s s 9、1
10、0
11、x a b --1
tan 12、1=z ,本性,∞=z
,可去
13、n m +
14、∑∞-01n nz ,1
15、i k π2
16、)]2()2([21
)(-+++t t t δδδ
二、证明题
1、2x u = xy v =
x x y
2=∂∂ 0=∂∂y u y x v
=∂∂ x y v
=∂∂
当0==y x 时,)(z f 才可导,即)(z f 仅在0=z 可导 )(z f ∴处处不解析
2、1|2||2||2sin |2
2)
2()2(>-=-=--e e i e e i i i i i
|2cos |i 同理可证。

三、判断正误
1、×
2、×
3、×
4、√
5、×
6、√
7、√
8、×
9、√ 10、× 11、×
四、计算题
1、由Cauclcy-Rieman 方法易知,)(z f 在复平面上处处解析
且xy i y x z f 6)33()('22+-=或33)()(z iy x z f =+= 23)('z z f =∴
2、左式0])4(1)4(1[21232=++--+=⎰⎰i
z dz
z i z dz
z i C C
或:左式0]),([Re ]),([Re =-=+==i z z f s i z z f s
3、 a 在c 处解析,左式=0
a 在c 处解析,a z =是三级极点 左式a i z i
a z sin ')'(sin !22πππ-===
4、]76[2)'173(2)(2+=++==z i i z f z πζζπζ
i z f π12)('=∴ i i f π12)1('=+∴
5、10)21()1(2
11121)(+∞--=-+-=∑n n z z z z f 6、左式∑∞++=-+=03222121)1(21n z
z z z z 3232)111(112
z z z z z +++=- +∞<<||1z
7、)(21)2(sin )cos sin 2(22jt jt e e F j t F t F --=
=+ )]2()2([--+=ωδωδπj
8、
2)1(1)()1()1(+-=-=---s a S te aL L ate L t t 9、dw e e t f jwt ||21
)(ωββππ
-⎰∞-∞+= ωωββωtd e cos 0
1-⎰∞+= t d e e e t j t j +=+∞+=--⎰21)(021βωβωωβω。

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