“四招”判断函数零点个数(1)
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x
g x 2 f x x 4, x 6, 2 ，则函数 g x 的零点个数为（ ）
A. 7 B. 8
【答案】B
C. 9
D. 10
,
∵函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x）+1，即自变量 x 每增加 2 个单位，函数图象向上平移 1 个单位，自变
1
量每减 少 2 个单位，函数图象向下平移 1 个单位，分别画出函数 y=f（x）在 x∈[﹣6，2]，y= x+2 的图
f
x 与函数
y
1 2x
图象有 2 个交点
故函数
F
x
的零点个数为
252
4
2
2
2020
故选 ,
A
.
第二招 数形结合，判定函数零点个数
例 2.【2018 届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在 R 上的函数 f x
满足 f x 2 f x 1，且 x 0,1 时， f x 4x ； x 1, 2 时， f x f 1 . 令
当 x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以 x＝1 是φ（x）的唯一极值点，且是极 大值点，因此 x＝1 也是（x）的最大值点，
φ（x）的最大值为
.
又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：
①当 时，函数 g（x）无零点；
②当 时，函数 g（x）有且仅有一个零点；
时， 在 有一个零点；
当
时， 在 无零点.
第四招 构造函数，判定函数零点个数
例 4．【山东省菏泽市 2019 届高三上学期期末】已知函数 f（x）＝lnx+ ﹣1，a∈R. （1）当 a＞0 时，若函数 f（x）在区间[1，3]上的最小值为 ，求 a 的值； （2）讨论函数 g（x）＝f′（x）﹣ 零点的个数.
2
象，
1
∴y=f（x）在 x∈[﹣6，2]，y= x+2 有 8 个交点，故函数 g（x）的零点个数为 8 个．故选：B．
2
第三招 应用零点存在性定理，判定函数零点个数 例 3. 【广西桂林市、贺州市、崇左市 2019 届高三下学期 3 月联合调研】已知函数
2
.（1）讨论 的单调性；（2）讨论 在 上的零点个数.
f’（x）min＝f（a）＝lna，令
，得
.
当 a≥3 时，f’（x）＜0 在（1，3）上恒成立，这时 f（x）在[1，3]上为减函数，
∴
综上知
.
，令
得 a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.
（2）∵函数 令 g（x）＝0，得
， .
4
设
，
，
当 x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，
5
时，
， 在 单调递增，
∴当
，
.பைடு நூலகம்
，即
时，
，根据零点存在性定理，此时， 在 内有零点.
∵ 在 内单调递增，∴此时， 在 有一个零点.
当
时，
，∴此时， 在 无零点.
③当 则在
时，即 单调递减，在
，当
时，
单调递增.
；当
时，
；
3
∴
在 上恒成立，∴此时， 在 内无零点.
∴综上所述：当
时， 在 内有 1 个零点；当
∴当 当
时， 在 时， 在
（2）设 ①当
时，即
，
上单调递增. 上单调递减，在
上单调递增 .
，则由（1）知
，当
时，
， 在 单调递减
∴当
，即
，
时，
在 上恒成立，
∴当
时， 在 内无零点.
当
，即
，
时，
，
根据零点存在性定理知，此时， 在 内有零点，
∵ 在 内单调递减，∴此时， 在 有一个零点.
②当 时，即
，当
的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，
例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招 应用函数性质，判定函数零点个数
例
1.已知偶函数
f
x
{
log4x , 0 x 4
f 8 x,4 x 8
，且 f x 8
f x ，则函数 F x
f
x
专题一 “四招”判断函数零点个数
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数
的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——
零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数
1 2x
在区间
2018, 2018 的零点个数为（ ）
A. 2020 B. 2016 【答案】A 【解析】
C. 1010
D. 1008
,
当0
x 8 时，函数
f
x 与函数
y
1 2x
图象有 4 个交点
2018 2528 2 ,由
f
2
log4 2
1 1 2 22
1 知， 4
1
当0
x 2 时函数
③当
时，函数 g（x）有两个零点；
④a≤0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；
综上所述，当 时，函数 g（x）无零点；当 或 a≤0 时，函数 g（x）有且仅有一个零点；
当
时，函数 g（x）有两个零点.
【规律与方法】
函数零点个数的求解与判断：
(1)直接求零点：令 f x 0 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a,b 上是连续不断的曲线，且 f a f b 0 ，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点． (4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、 先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.
g x 2 f x x 4, x 6, 2 ，则函数 g x 的零点个数为（ ）
A. 7 B. 8
【答案】B
C. 9
D. 10
,
∵函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x）+1，即自变量 x 每增加 2 个单位，函数图象向上平移 1 个单位，自变
1
量每减 少 2 个单位，函数图象向下平移 1 个单位，分别画出函数 y=f（x）在 x∈[﹣6，2]，y= x+2 的图
f
x 与函数
y
1 2x
图象有 2 个交点
故函数
F
x
的零点个数为
252
4
2
2
2020
故选 ,
A
.
第二招 数形结合，判定函数零点个数
例 2.【2018 届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在 R 上的函数 f x
满足 f x 2 f x 1，且 x 0,1 时， f x 4x ； x 1, 2 时， f x f 1 . 令
当 x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以 x＝1 是φ（x）的唯一极值点，且是极 大值点，因此 x＝1 也是（x）的最大值点，
φ（x）的最大值为
.
又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：
①当 时，函数 g（x）无零点；
②当 时，函数 g（x）有且仅有一个零点；
时， 在 有一个零点；
当
时， 在 无零点.
第四招 构造函数，判定函数零点个数
例 4．【山东省菏泽市 2019 届高三上学期期末】已知函数 f（x）＝lnx+ ﹣1，a∈R. （1）当 a＞0 时，若函数 f（x）在区间[1，3]上的最小值为 ，求 a 的值； （2）讨论函数 g（x）＝f′（x）﹣ 零点的个数.
2
象，
1
∴y=f（x）在 x∈[﹣6，2]，y= x+2 有 8 个交点，故函数 g（x）的零点个数为 8 个．故选：B．
2
第三招 应用零点存在性定理，判定函数零点个数 例 3. 【广西桂林市、贺州市、崇左市 2019 届高三下学期 3 月联合调研】已知函数
2
.（1）讨论 的单调性；（2）讨论 在 上的零点个数.
f’（x）min＝f（a）＝lna，令
，得
.
当 a≥3 时，f’（x）＜0 在（1，3）上恒成立，这时 f（x）在[1，3]上为减函数，
∴
综上知
.
，令
得 a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.
（2）∵函数 令 g（x）＝0，得
， .
4
设
，
，
当 x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，
5
时，
， 在 单调递增，
∴当
，
.பைடு நூலகம்
，即
时，
，根据零点存在性定理，此时， 在 内有零点.
∵ 在 内单调递增，∴此时， 在 有一个零点.
当
时，
，∴此时， 在 无零点.
③当 则在
时，即 单调递减，在
，当
时，
单调递增.
；当
时，
；
3
∴
在 上恒成立，∴此时， 在 内无零点.
∴综上所述：当
时， 在 内有 1 个零点；当
∴当 当
时， 在 时， 在
（2）设 ①当
时，即
，
上单调递增. 上单调递减，在
上单调递增 .
，则由（1）知
，当
时，
， 在 单调递减
∴当
，即
，
时，
在 上恒成立，
∴当
时， 在 内无零点.
当
，即
，
时，
，
根据零点存在性定理知，此时， 在 内有零点，
∵ 在 内单调递减，∴此时， 在 有一个零点.
②当 时，即
，当
的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，
例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招 应用函数性质，判定函数零点个数
例
1.已知偶函数
f
x
{
log4x , 0 x 4
f 8 x,4 x 8
，且 f x 8
f x ，则函数 F x
f
x
专题一 “四招”判断函数零点个数
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数
的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——
零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数
1 2x
在区间
2018, 2018 的零点个数为（ ）
A. 2020 B. 2016 【答案】A 【解析】
C. 1010
D. 1008
,
当0
x 8 时，函数
f
x 与函数
y
1 2x
图象有 4 个交点
2018 2528 2 ,由
f
2
log4 2
1 1 2 22
1 知， 4
1
当0
x 2 时函数
③当
时，函数 g（x）有两个零点；
④a≤0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；
综上所述，当 时，函数 g（x）无零点；当 或 a≤0 时，函数 g（x）有且仅有一个零点；
当
时，函数 g（x）有两个零点.
【规律与方法】
函数零点个数的求解与判断：
(1)直接求零点：令 f x 0 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a,b 上是连续不断的曲线，且 f a f b 0 ，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点． (4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、 先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.