2020江苏省南通市海门市数学一模试卷
数学Ⅰ卷试题2020届江苏省南通市高三年级期中第一次模拟考试 数学试题含附加题
绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级期中第一次模拟考试数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 已知集合{|0}U x x=>，={|2}A x x>，则UA= ▲．2. 若复数(1i)(1i)z a=+-(i为虚数单位，a∈R)满足||2z=，则a= ▲ ．3. 某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为▲．4. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线22(0)x py p=>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为▲．5. 下面求2582018++++的值的伪代码中，正整数m的最大值为▲ ．I←2S←0While I＜m S←S＋II←I＋3 End While Print S第5题7 98 5 7 7 7 79 1 3第6题6.如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s = ▲ ．7. 将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8. 两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ． 10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆2222310x y mx m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12. 在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13. 已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．（第16题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =． （1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，设椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()e xf x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数； （3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．A OB OC OP OF E。
2020年江苏省南通市中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省南通市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算：−3−|−6|的结果为()A. −9B. −3C. 3D. 92.将168000用科学记数法表示正确的是()A. 168×103B. 16.8×104C. 1.68×105D. 0.168×1063.下列计算正确的是()A. √(−4)2=2B. √5−√2=√3C. √5×√2=√10D. √6÷√2=34.如图，点A的坐标是(−2,1)，点B的坐标是(−2,−1).以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是()A. (1,−2)B. (−1,−2)C. (−1,2)D. (1,2)5.如图，AB//DE，∠D=130°，∠C=70°，则∠B的度数为()A. 50°B. 20°C. 70°D. 55°6.已知一组数据3，7，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的中位数是()A. 9B. 9.5C. 3D. 127.▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定▱ABCD是菱形的是()A. ∠A=∠DB. AB=ADC. AC⊥BDD. CA平分∠BCD8.如图是某几何体的三视图及相关数据(单位：cm)，则该几何体的侧面积为()A. 2πB. √33π C. 3π D. √3π9.如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s.若P，Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t的函数关系图象如图2，则CDBE的值为()A. √53B. √32C. √56D. √7410.如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥BC，∠EAC+∠EAF=180°，EF⊥AB于点F.若AF=3，AC=10，则AB的长为()A. 16B. 15C. 14D. 13二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）11.分解因式：xy−4xy2=_________．12.如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________．13.若x<√6−1<y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是______．14.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则△PBD与△PAC的面积比为______．15.《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长与宽分别是多少步？若设矩形长为x 步，可列方程____________．16. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m ，则旗杆AB 的高度约为______m.(精确到0.1m.参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)17. 若方程x 2−3x −2=0的两实数根为x 1，x 2，则x 1x 2的值是______ ．18. 如图，直线y =−x +5与双曲线y =k x (x >0)相交于A ，B 两点，与x 轴相交于C 点，△BOC 的面积是52.若将直线y =−x +5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y =k x (x >0)的交点坐标为________________．三、解答题（本大题共8小题，共90.0分）19. 计算：(1)(2a +b)(2a −b)−(2a +b)2+4ab ；(2)4x 2−12x x 2+8x+16÷x−3x+4+16x+4；20.如图，点A、B在⊙O上，CB为⊙O的切线，AC=BC，求证：AC为⊙O的切线．x−1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(2,0)，B(−1,3)，21.如图，直线l1的函数关系式为y=−12直线l1与l2交于点C．(1)求直线l2的函数关系式；(2)点C的坐标为____________；(3)求△ADC的面积．22.为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了一部分学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目)，并将调查结果绘制成如图统计图表，根据以上提供的信息，解答下列问题：节目人数(名)百分比最强大脑510%朗读者15b%中国诗词大会a40%(1)填空：被调查学生的总人数为______名，a=______，b=______；(2)补全上面的条形统计图；(3)若该校共有学生2000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？23.甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状图列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？24.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.求DF的长．x2+bx+c经过点A(4,0)和B(1,0)，与y轴交于点C．25.如图，抛物线y1=−12(1)求出抛物线的解析式；(2)求点C的坐标及抛物线的顶点坐标；(3)设直线AC的解析式为y2=mx+n，请直接写出当y1<y2时，x的取值范围．26.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】(1)如图1，当tan∠PAB=1，c=4√2时，a=______，b=______；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=______，b=______；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】(3)如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3√5，AB=3，求AF的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了绝对值和有理数减法．根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．解：−3−|−6|=−3−6=−9．故选A．2.答案：C解析：解：168000=1.68×105．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于168000有6位，所以可以确定n=6−1=5．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3.答案：C解析：解：A．√(−4)2=4，故A选项错误；B.√5与√2不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；C.√5×√2=√5×2=√10，故C选项正确；D.√6÷√2=√6÷2=√3，故D选项错误．故选：C．根据二次根式的性质与二次根式的乘除运算法则可得；本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．4.答案：A解析：本题考查图形与坐标的变化--旋转，解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．解：将△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O如图所示，则点B的对应点B1的坐标为(1,−2)，故选A.5.答案：B解析：本题主要考查平行线的性质有关知识，过C作CP//AB，利用平行线的性质可得到∠BCD和∠B、∠D之间的关系，可求得答案．解：如图，过C作CP//AB，∵AB//DE，∴CP//DE，∴∠1=180°−∠D=50°，∴∠2=70°−50°=20°，∴∠B=∠2=20°，故选B．6.答案：A解析：[分析]先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或中间两个数的平均数)为中位数，可得答案．本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．解题的关键是找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数位确定中位数．[详解]解：∵众数是9，∴x=9，从小到大排列此数据为：3，7，9，9，10，12，位于第3、4位的数都是9．所以这组数据的中位数是9．故选A．7.答案：A解析：解：A、错误．∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故A错误．B、正确．∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故B正确．C、正确．∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故C正确．D、正确．∵CA平分∠BCD，AB//CD∴∠BAC=∠ACD=∠BCA，∴BA=BC∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．故选A．根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题．本题考查平行四边形性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是记住邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形，属于中考常考题型．8.答案：A解析：解：由三视图易得此几何体为圆锥，由题意得底面圆的直径为2，母线长为2，∴该几何体的侧面积为12×2×2π=2π，故选：A．根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式=(底面周长×母线长)÷2可计算出结果．此题主要考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积公式的应用．9.答案：D解析：解：从图2可以看出，0≤t≤8时，△BPQ的面积的表达式为二次函数，8<t<10时，函数值不变，故BC=BE，当10≤t后函数表达式为直线表达式；①0≤t≤8时，BC=BE=2t=2×8=16；②当10≤t时，y=12×BC×CD=12×16×CD=32√7，即CD=4√7，故CDBE =4√716=√74，故选：D．从图2可以看出，0≤t≤8时，△BPQ的面积的表达式为二次函数，8<t<10时，函数值不变，故BC=BE，即可求解．本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10.答案：A解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，过点E作EG⊥CA，连接EB，EC，先证明△EGA≌△EFA，得到EF=EG，AG=AF=3，进而得到CG=13，再证明R t△EBF≌R t△ECG，得到BF=CG=13，从而求得答案．解：如图，过点E作EG⊥CA，连接EB，EC，∵∠EAC+∠EAF=180°，∠EAC+∠EAG=180°，∴∠EAG=∠EAF，∵EF⊥AB，∴∠EFA=∠EGA=90°，∵EA=EA，∴△EGA≌△EFA，∴EF=EG，AG=AF=3∵AC=10，∴CG=13，∵D是BC的中点，ED⊥BC，∴EB=EC，∴R t△EBF≌R t△ECG，∴BF=CG=13，∴AB=BF+AF=16，故选A．11.答案：xy(1−4y)解析：本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式xy即可分解．解：xy−4xy2=xy(1−4y).故答案为xy(1−4y)．12.答案：3解析：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=√OA2−AC2=√52−42=3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．13.答案：3解析：解：∵4<6<9，∴2<√6<3，即1<√6−1<2，∴x=1，y=2，则x+y=1+2=3，故答案为：3估算得出√6的范围，进而求出x与y的值，即可求出所求．此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．14.答案：1：9解析：解：∵BD//AC，BD=1，AC=3，∴△DBP∽△CAP，∴S△PBDS△PAC =(BDAC)2=19，故答案为1：9只要证明△DBP∽△CAP，利用相似三角形的性质即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．15.答案：x(60−x)=864解析：本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽.如果设矩形长为x步，那么宽就应该是(60−x)步，根据面积为864，即可得出方程．解：设设矩形长为x步，那么宽就应该是(60−x)步．根据矩形面积=长×宽，得：x(60−x)=864．故答案为x(60−x)=864．16.答案：9.5解析：解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°，∵BC=DE=6m，∴AE=DE⋅tan53°≈6×1.33=7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m，故答案为：9.5根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．此题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助辅助线构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．17.答案：−2解析：解：根据题意得x1x2=−2．故答案为−2．直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．18.答案：(2,2)解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键，求出B点的坐标，即可求出反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论．【解得】解：y=−x+5，当y=0时，x=5，即OC=5，设B点的坐标是(a,b)，∵△BOC的面积是52．∴12×5×b=52，解得：b=1，即B(a,1)，∵直线y=−x+5过B点，∴−a+5=1，解得：a=4，即B(4,1)，∵直线y=−x+5与双曲线y=kx(x>0)相交于A、B两点，∴k=4，即双曲线的函数关系式是y=4x，令直线y=−x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．将直线y=−x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y=−x+5−1=−x+4，将y=−x+4代入到y=4x 中，得：−x+4=4x，整理得：x2−4x+4=0，∵△=(−4)2−4×4=0，∴平移后的直线与双曲线y=4x只有一个交点，解x2−4x+4=0得：x=2，代入y=−x+4得：y=2，即交点坐标是(2,2)．故答案为(2,2)．19.答案：解：(1)原式=4a2−b2−4a2−4ab−b2+4ab =−2b2；(2)原式=4x(x−3)(x+4)2×x+4x−3+16x+4=4xx+4+16x+4=4(x+4)x+4=4；解析：(1)根据整式的运算法则即可求出答案．(2)根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．20.答案：证明：连接OC，如图所示：∵点A、B在⊙O上，∴OA=OB，∵CB为⊙O的切线，∴∠OBC=90°，在△OAC和△OBC中，{OA=OB AC=BC OC=OC,∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠OAC=∠OBC=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线．解析：本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．连接OC，由SSS证明△OAC≌△OBC，得出∠OAC=∠OBC=90°，即可得出结论．21.答案：解：(1)设直线l 2的函数关系式为：y =kx +b ，∵直线过点A(2,0)，B(−1,3)，∴{2k +b =0−k +b =3解得：{k =−1b =2， ∴直线l 2的函数关系式为：y =−x +2；(2)(6,−4)；(3)将y =0代入y =−12x −1得x =−2，∴点D 的坐标是(−2,0)，∵点A 的坐标是(2,0)，∴AD =4，∴△ADC 的面积是12×4×4=8．解析：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，求交点坐标可以转化为解两个函数的解析式组成的方程组．(1)设出直线l 2的函数关系式，因为直线过A(4,0)，B(−1,5)两点利用代入法求出k ，b ，从而得到关系式；(2)联立l 1和l 2的解析式，再解方程组可得C 点坐标；(3)首先求出D ，C 两点的坐标，D 点坐标是l 1与x 轴的交点坐标，C 点坐标是把l 1，l 2联立，求其方程组的解再求三角形的面积．解：(1)见答案；(2)∵l 1的解析表达式为y =−12x −1，∴D 点坐标是(−2,0)，∵直线l 1与l 2交于点C ，∴{y =−12x −1y =−x +2， 解得{x =6y =−4， ∴C(6,−4)；(3)见答案．22.答案：(1)50，20，30;(2)如图所示：;(3) 800．解析：解：∵被调查学生的总人数为5÷10%=50人，×100%=30%，即b=30，∴a=50×40%=20，b%=1550故答案为：50； 20； 30；(2)如图所示：(3)估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有2000×40%=800(名)．(1)根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；(2)根据a的值，补全条形统计图即可；(3)由中国诗词大会的百分比乘以2000即可得到结果．本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息．23.答案：解：用树状图分析如下：∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，∴甲、乙两人相邻的概率是46=23．解析：用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得．此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.答案：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，{∠ADF=∠CEF ∠AFD=∠CFE AD=CE，∴△ADF≌△CEF(AAS)，∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC−DF=4−x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=(4−x)2，解得：x =78，即DF 的长是78．解析：本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．由四边形ABCD 是矩形与△AEC 由△ABC 翻折得到，AD =CE ，∠ADF =∠CEF ，由AAS 证得△ADF≌△CEF ，的长FA =FC ，设DF =x ，则FA =4−x ，由勾股定理得：DA 2+DF 2=AF 2，即可求出DF 的长．25.答案：解：(1)将点A(4,0)，B(1,0)代入y 1=−12x 2+bx +c ，得：{−12×16+4b +c =0−12+b +c =0， 解得：{b =52c =−2， 则抛物线的解析式是y 1=−12x 2+52x −2；(2)在y =−12x 2+52x −2中令x =0，则y =−2，则C 的坐标是(0,−2)，y =−12x 2+52x −2=−12(x −52)2+98，则抛物线的顶点坐标是(52,98)；(3)由图象得：当y 1<y 2时，x 的取值范围是x <0或x >4．解析：本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的图象和性质.熟练掌握待定系数法确定解析式的步骤很关键．(1)把A 、B 两点坐标代入二次函数解析式求出b 、c 即可确定解析式；(2)令x=0求出y值，可确定C点坐标，利用抛物线的顶点式即可求写出顶点坐标；(3)y₁<y₂就是抛物线的图象在直线的下方的x的取值范围．26.答案：(1)4√5；4√5；√7；√13；(2)结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接MN．∵AM、BN是中线，∴MN//AB，MN=12AB，∴△MPN∽△APB，∴MPAP =PNPB=12，设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．(3)解：如图4中，在△AGE和△FGB中，{∠AGE=∠FGB ∠AEG=∠FBG AE=BF，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE//CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP//CE，∵BE ⊥CE ，∴FP ⊥BE ，即FH ⊥BG ，∴△ABF 是中垂三角形，由(2)可知AB 2+AF 2=5BF 2，∵AB =3，BF =13AD =√5， ∴9+AF 2=5×(√5)2， ∴AF =4．解析：(1)解：如图1中，∵CN =AN ，CM =BM ，∴MN//AB ，MN =12AB =2√2，∵tan∠PAB =1，∴∠PAB =∠PBA =∠PNM =∠PMN =45°，∴PN =PM =2，PB =PA =4，∴AN =BM =√42+22=2√5．∴b =AC =2AN =4√5，a =BC =4√5．故答案为4√5，4√5，如图2中，连接NM ，∵CN =AN ，CM =BM ，∴MN//AB ，MN =12AB =1，∵∠PAB =30°，∴PB =1，PA =√3，在Rt △MNP 中，∵∠NMP =∠PAB =30°，∴PN =12，PM =√32，∴AN =√132，BM =√72，∴a =BC =2BM =√7，b =AC =2AN =√13，故答案分别为√7，√13．(2)见答案(3)见答案(1)①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．②连接MN，在Rt△PAB，Rt△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．(2)结论a2+b2=5c2.设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．(3)取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用(2)中结论列出方程即可解决问题．本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用新的结论解决问题，属于中考压轴题．。
江苏省南通海门市2019-2020学年度第二学期九年级期中(一模)数学试卷解析版
2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）长江是亚洲第一长河，全长约6300000米．将数6300000用科学记数法表示为（）A．6.3×107 B．6.3×106 C．6.3×105D．63×1052．（3分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为（）A．34°B．56°C．124°D．146°6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，若∠BAC＝64°，则∠OBC等于（）A．36°B．32°C．26°D．24°7．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）28．（3分）如图是某市今年5月1日至7日的“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，日平均气温的众数和中位数分别是（）A．13，14B．13，13C．14，14D．14，139．（3分）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．710．（3分）一条笔直的小路上顺次有A，B，C三个道口，甲、乙两人分别从A、B道口同时出发，各自匀速前往C道口，约定先到者在C道口等待，甲、乙两人间的距离y（米）与甲步行的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）A．道口A、B相距660米B．道口B、C相距1440米C．甲的速度是70米/分D．乙的速度是64米/分二、填空题（本大题共8小题，11-13每小题3分，14-18每小题3分，共29分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是．12．（3分）计算|﹣4|﹣（）﹣2＝．13．（3分）分解因式：3x2﹣12y2＝．14．（4分）一个正n边形的内角和等于900°，则n＝．15．（4分）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的O 处测得旗杆底端B的俯角为30°，测得旗杆顶端A的仰角为45°，若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆AB的高度是m．（结果保留根号）16．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．17．（4分）如图，平面直角坐标系xOy中，点B是y＝（x＞0）的图象上一点，点A是直线x＝﹣3上的一动点，且∠AOB＝90°，OA═OB．当△AOB的面积等于5时，k的值为．18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为．三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝﹣3．20．（10分）求不等式组的正整数解．21．（10分）文峰超市花10000元购进了甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少10，甲、乙两种商品的进价和售价如表：甲乙进价（元/件）12080售价（元/件）160130（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）销售完该批商品的利润为多少元？22．（12分）如图，以AB为直径的⊙O过AC的中点D，过点D作⊙O的切线交线段BC 于点E，AB＝4，BE＝1．（1）求CE的长；（2）求点B到OD的距离；（3）求的长．23．（12分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．24．（12分）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx+m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．25．（12分）如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB 交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．26．（13分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy中的任意两点，给出如下定义：A，B两点之间的“加密距”T（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．例如：A（1，﹣2），B（4，﹣1）两点之间的“加密距”T（A，B）＝|1﹣4|+2|（﹣2）﹣（﹣1）|＝3+2＝5．（1）若矩形ABCD的顶点A（0，5），B（2，5），D（0，2），则T（D，B）＝，T（O，C）＝；（2）求所有符合条件T（O，F）＝4的动点F（x，y）组成图形的面积；（3）若点P（﹣3，3），动点Q（m，3），当半径为1的⊙Q上存在点M使T（P，M）＝8时，求m的取值范围（直接写出结果）．2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）长江是亚洲第一长河，全长约6300000米．将数6300000用科学记数法表示为（）A．6.3×107 B．6.3×106 C．6.3×105D．63×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将“6300000”用科学记数法表示为6.3×106．故选：B．2．（3分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】根据相反数的定义直接求得结果．【解答】解：数轴上表示﹣2的相反数的点是2，即D点．故选：D．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．4．（3分）一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是（）A．B．C．D．【分析】用绿球的个数除以球的总个数可得答案．【解答】解：搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是＝＝，故选：B．5．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝56°，则∠2的度数为（）A．34°B．56°C．124°D．146°【分析】根据平行线性质求出∠3＝∠1＝50°，代入∠2+∠3＝180°即可求出∠2．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1＝∠3，∵∠1＝56°，∴∠3＝56°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝124°，故选：C．6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，若∠BAC＝64°，则∠OBC等于（）A．36°B．32°C．26°D．24°【分析】由⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝64°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝64°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×64°＝128°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝＝＝26°．故选：C．7．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D．8．（3分）如图是某市今年5月1日至7日的“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，日平均气温的众数和中位数分别是（）A．13，14B．13，13C．14，14D．14，13【分析】根据中位数和众数定义可得答案．【解答】解：日平均气温：12，15，14，10，13，14，11，从小到大排列：10，12，11，13，14，14，15，众数为14，中位数为13，故选：D．9．（3分）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据题意可得，以点B为圆心，BA长为半径画圆，圆与格点的交点即为符合条件的点C．【解答】解：如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．10．（3分）一条笔直的小路上顺次有A，B，C三个道口，甲、乙两人分别从A、B道口同时出发，各自匀速前往C道口，约定先到者在C道口等待，甲、乙两人间的距离y（米）与甲步行的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）A．道口A、B相距660米B．道口B、C相距1440米C．甲的速度是70米/分D．乙的速度是64米/分【分析】根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可；【解答】解：根据题意，结合图象可知道口A、B相距660米，故选项A不合题意；甲的速度＝＝70米/分，故选项C不合题意；设乙的速度为x米/分．则有，660+24x﹣70×24＝420，解得x＝60，即乙的速度是60米/分，故选项D符合题意．24×60＝1440（米），即道口B、C相距1440米，故选项B不合题意．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，11-13每小题3分，14-18每小题3分，共29分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是x≠1．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣1≠0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0解得：x≠1．12．（3分）计算|﹣4|﹣（）﹣2＝0．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可化简整式，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：原式＝4﹣4＝0，故答案为：0．13．（3分）分解因式：3x2﹣12y2＝3（x﹣2y）（x+2y）．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣12y2，＝3（x2﹣4y2），＝3（x+2y）（x﹣2y）．14．（4分）一个正n边形的内角和等于900°，则n＝7．【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．【解答】解：这个多边形的边数是n，则：（n﹣2）180°＝900°，解得n＝7，故答案为：7．15．（4分）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的O 处测得旗杆底端B的俯角为30°，测得旗杆顶端A的仰角为45°，若旗杆与教学楼的距离为12m，则旗杆AB的高度是（12+4）m．（结果保留根号）【分析】作OC⊥AB于点C，根据题意可得，∠AOC＝45°，∠BOC＝30°，OC＝12，再根据特殊角三角函数即可求出AC和BC的值，进而可得AB的值．【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，∴∠ACO＝∠BCO＝90°，根据题意可知：∠AOC＝45°，∠BOC＝30°，OC＝12，∴AC＝OC＝12，∴BC＝OC•tan30°＝12×＝4．∴AB＝AC+BC＝12+4（m）．所以旗杆AB的高度是（12+4）m．故答案为：（12+4）．16．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣．【分析】利用判别式的意义得到△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，解得m＞﹣．故答案为m＞﹣．17．（4分）如图，平面直角坐标系xOy中，点B是y＝（x＞0）的图象上一点，点A是直线x＝﹣3上的一动点，且∠AOB＝90°，OA═OB．当△AOB的面积等于5时，k的值为3．【分析】由点A是直线x＝﹣3上，可知OM＝3，由等腰直角三角形△AOB的面积等于5，可求出OA的长，再根据勾股定理求出AM，通过三角形全等可以求出点B的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过点B作BN⊥x轴，垂足为N，直线x＝﹣3与x轴的交点为M，则OM＝3，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠BON＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠BON，又∵OA＝OB，∠AMO＝∠ONB＝90°，∴△AOM≌△OBN（AAS），∴OM＝BN＝3，∵S△AOB＝5，∴OA2＝5，即，OA＝（取正值），∴AM＝＝1＝ON，∴点B（1，3），∴k＝1×3＝3，故答案为：3．18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为10．【分析】在DC上截取DF＝BM，得△ABM与△ADF全等；再证明△MAN与△F AN全等，得MN＝NF，设MN＝x，用x表示CN，在Rt△CMN中由勾股定理列出x的方程便可求解．【解答】解：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠F AD．∴∠MAB+∠BAF＝∠F AD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△F AN（SAS）．∴MN＝FN，设MN＝FN＝x，∵BM＝DF＝2，BC＝CD＝6，∴DN＝DF+FN＝x+2，CM＝6+2＝8，∴CN＝DN﹣CD＝x﹣4，∵MC2+CN2＝MN2，∴82+（x﹣4）2＝x2，解得，x＝10，∴MN＝10，故答案为：10．三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝﹣3．【分析】直接利用将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝1﹣2．20．（10分）求不等式组的正整数解．【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把各个不等式的解集的公共部分表示出来，就是不等式组的解集．再写出解集中的正整数即可．【解答】解：解不等式5x＞3x﹣1，得x＞﹣，解不等式﹣2≤，得x≤3，所以不等式组的解集是﹣＜x≤3，其正整数解是1，2，3．21．（10分）文峰超市花10000元购进了甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少10，甲、乙两种商品的进价和售价如表：甲乙进价（元/件）12080售价（元/件）160130（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）销售完该批商品的利润为多少元？【分析】（1）设该超市购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据“购进甲商品件数比乙商品件数的2倍少10，且购进两种商品共花费10000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量（进货数量），即可求出结论．【解答】解：（1）设该超市购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，依题意，得：，解得：．答：该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品35件．（2）（160﹣120）×60+（130﹣80）×35＝4150（元）．答：销售完该批商品的利润为4150元．22．（12分）如图，以AB为直径的⊙O过AC的中点D，过点D作⊙O的切线交线段BC 于点E，AB＝4，BE＝1．（1）求CE的长；（2）求点B到OD的距离；（3）求的长．【分析】（1）连接OD，得出OD＝BC，OD∥BC，求出BC，CE，则可求出答案；（2）证明Rt△DBE∽Rt△CDE，得出，求出DE的长即可；（3）求出BD的长，证明△OBD为等边三角形，得出∠BOD＝60°，由弧长公式可得出答案．【解答】解：（1）连接OD，∵O，D分别是AB，AC的中点，∴OD＝BC，OD∥BC，∵直径AB为4，∴OD＝2，∴BC＝4，又∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3．（2）∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，又∵OD∥BC，∴∠DEC＝∠ODE＝90°，∴DE⊥BC，故点B到OD的距离即为线段DE的长，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又DE⊥BC，∴Rt△DBE∽Rt△CDE，∴，∴DE2＝BE•EC＝1×3＝3，∴DE＝，∴点B到OD的距离为．（3）在Rt△DBE中，BD＝＝＝2，∴BD＝OD＝OB，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴的长为．23．（12分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是20，其中C类女生有2名，D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为36度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360°乘以D类别人数占总人数的比例即可得；（2）根据以上所求结果可补全图形；（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次随机抽取的样本容量是（1+2）÷15%＝20，C类女生有20×25%﹣3＝2（名），D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为360°×＝36°，故答案为：20、2、1、36；（2）补全图形如下：（3）画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为＝．24．（12分）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx+m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）把（0，0）代入解析式，得到关于m的方程，解方程即可；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得到结论；（3）求得抛物线就A、B时的m的值，根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，∴m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2；（2）∵y═x2﹣mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴该抛物线的顶点坐标为（m，m），∴抛物线的顶点直线直线y＝x上；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2，令x+2＝x2﹣mx+m2+m，整理得x2﹣（m+）x+m2+m﹣2＝0，△＝（m+）2﹣4×（m2+m﹣2）＝0，解得m＝，∵此时对称轴为x＝﹣＝＞0，故舍去；把A（﹣4，0）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+5m+8＝0，解得m＝﹣2或﹣8；把B（0，2）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+m+﹣2＝0，解得m＝﹣1，由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，﹣8≤m≤﹣1﹣或﹣2≤m≤﹣1+．25．（12分）如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB 交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质可得BH＝CH＝BC，由锐角三角函数和勾股定理可求HC＝4，即可求解；（2）由旋转的性质可得AE＝AD，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACD，由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得∠ABE＝∠ACD＝∠ABC；（3）通过证明△BAD∽△BCA，可得，可求BD的长，即可求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC，∵tan∠ACB＝＝，∴设AH＝3k（k＞0），CH＝4k，∵AC2＝AH2+CH2，∴9k2+16k2＝25，∴k＝1，∴HC＝4，∴BC＝2CH＝8；（2）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∵将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，∴AE＝AD，又∵AB＝AC，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ABC；（3）∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），∵∠DAE＝∠BAC，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE，又∵∠BFE＝∠DF A，∴∠BEF＝∠DAF，∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ADF＝∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ABC＝∠ACB，又∵∠ABC＝∠ABD，∴△BAD∽△BCA，∴∴BD＝＝，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝．26．（13分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy中的任意两点，给出如下定义：A，B两点之间的“加密距”T（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．例如：A（1，﹣2），B（4，﹣1）两点之间的“加密距”T（A，B）＝|1﹣4|+2|（﹣2）﹣（﹣1）|＝3+2＝5．（1）若矩形ABCD的顶点A（0，5），B（2，5），D（0，2），则T（D，B）＝8，T（O，C）＝6；（2）求所有符合条件T（O，F）＝4的动点F（x，y）组成图形的面积；（3）若点P（﹣3，3），动点Q（m，3），当半径为1的⊙Q上存在点M使T（P，M）＝8时，求m的取值范围（直接写出结果）．【分析】（1）根据矩形的性质求出C点坐标，根据“加密距”的定义进行解答便可；（2）根据定义由T（O，F）＝4，列出x、y的绝对值方程，再根据绝对值的性质，分两种情况：当x≥0，y≥0时；当x≥0，y＜0时；当x＜0，y≥0时；当x＜0，y＜0时，得出四个函数解析式，再作出图形，根据图形的特征选择面积公式求出面积便可；（3）作菱形ABCD，顶点坐标分别为：A（﹣11，3），B（﹣3，﹣1），C（5，3），D（﹣3，7），由⊙Q在直线y＝3上运动所处的临界位置，结合图象可得结论．【解答】解：（1）T（D，B）＝|0﹣2|+2|5﹣2|＝2+6＝8，∵矩形ABCD的顶点A（0，5），B（2，5），D（0，2），∴C（2，2）T（O，C）＝|0﹣2|+2|0﹣2|＝6，（2）∵T（0，F）＝4，∴|x|+2|y|＝4，当x≥0，y≥0时，x+2y＝4，得y＝﹣x+2；当x≥0，y＜0时，x﹣2y＝4，得y＝x﹣2；当x＜0，y≥0时，﹣x+2y＝4，得y＝x+2；当x＜0，y＜0时，﹣x﹣2y＝4，得y＝﹣x﹣2；如图，动点F所组成的图形为菱形，其面积为：；（3）设M（x，y），∵T（P，M）＝8，P（﹣3，3），∴|x+3|+2|y﹣3|＝8，当x≥﹣3，y≥3时，x+3+2y﹣6＝8，得y＝﹣x+；当x≥﹣3，y＜3时，x+3﹣2y+6＝8，得y＝x+；当x＜﹣3，y≥3时，﹣x﹣3+2y﹣6＝8，得y＝x+；当x＜﹣3，y＜3时，﹣x﹣3﹣2y+6＝8，得y＝﹣x﹣；∴点M应在如下菱形ABCD上，则T（P，M）＝8，菱形ABCD，顶点坐标分别为：A （﹣11，3），B（﹣3，﹣1），C（5，3），D（﹣3，7），∵⊙Q的半径为1，圆心Q的坐标为（m，3），∴当点Q位于（6，3）或（﹣12，3）时，刚好存在唯一一个点M，使得T（P，M）＝8；当⊙Q在P点右边时，与CB，CD相切时，连接圆心Q和切点M，则QM⊥CD，QM＝1，∵∠CMQ＝∠CPD＝90°，∠MCQ＝∠PCD，∴△CMQ∽△CPD，∴，即∴CQ＝，∴Q（5﹣，3），∴当⊙Q在点P右边时，5﹣≤m≤6，符合要求；同理可得，当⊙Q在点P左边时，﹣12≤m≤﹣11+，符合要求．故m的取值范围为，﹣12≤m≤﹣11+或5﹣≤m≤6．。
2020江苏省南通市海门市中考数学模拟练习试卷
2020江苏省南通市海门市数学模拟练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1.下列选项中，比—1大的数字是（）A ．—4B ．—3C ．—2D ．0 2.已知a 、b 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,632,423b a b a 则ab 的值为A ．0B ．1C ．2D ．3 3.化简√45=A ．3√3B ．3√4C ．3√5D ．3√6 4.在下列几何体中，主视图是圆的是A. B.C.D.5.如图，正比例函数y x =和反比例函数(0)ky k x=≠的图象在第一象限交于点,A 且2,OA =则k 2的值为A ．√2B ．1C.2D ．46.关于x 的方程x 2+4x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A．1B．2 C．3 D．47.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①3a+2b+c＜0；②3a+c＜b2-4ac；③方程2ax2+2bx+2c-5=0没有实数根；④m（am+b）+b＜a （m≠-1）．其中错误结论的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A.2√2B. 4C. 4√2D. 2x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，10.如图，直线y=−341为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）A.5B.10C.15D.20二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11.化简X3-16X12.计算（1+√3）0＋√213.现在各国在研制6G ，6G 的运行速度是5G 300000000m/s 的10倍，6G 运行速度用科学计数法表示为14.已知圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为15πcm 2，则该圆锥的母线长为cm ．15.若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 16.如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，3 √3），∠ABO=30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为________．17.如图，已知直角坐标系中，点O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，点A ，C 的坐标分别为A(10，0)，C(0，3)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为18.如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是________．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本小题满分8分）解不等式：5x−32－x ≥32，并在数轴上表示解集．20.（本小题满分8分）先化简，再求值：（m+4）（m−4）m÷（m+4）m，其中22-=m ．21.（本小题满分8分）有,A B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2,B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1,2-和2.小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为,x 再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为()x y ，.()1用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标; ()2求点Q 落在直线3y x =-上的概率.22.（本小题满分9分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．(精确到0.01米)(参考数据：cos 75°≈0.258 8，sin 75°≈0.965 9，tan 75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)图1 图2 23.（本小题满分8分）列方程解应用题：在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为30元，70元，该商场购进甲、乙两种商品共50件需要2 300元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该商场共投入9 500元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？24.（本小题满分10分）某校为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从该校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A ，B ，C ，D 表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表．(1)m ＝n ＝x ＝y ＝(2)在扇形图中，C 等级所对应的圆心角是度；(3)若该校九年级共有600名男生参加了立定跳远测试，请你估计成绩等级达到优秀、良好的男生共有多少人？25.（本小题满分9分）如图，⊙Q 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，圆心Q 的坐标为（0，1），半径为2，y 轴上的一点P 的坐标是（0，﹣3）（1）过点P 作经过二、三象限且和⊙Q 相切的直线l ，求出直线l 的解析式； （2）过点E 为直线l 上的一点，若AOC EOP S S ∆∆=2，试求出点E 的坐标； （3）设点M 为⊙Q 上的一点，直线PM 交⊙Q 于另一点N ，连结OM ，ON ，试问：当点M 在⊙Q 上运动时，OM·ON 的值是否会发生变化？若不变，请说明理26.（本小题满分12分）如图，已知直线l 交于,A B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持//n l ，直线n 与x 轴、y 轴分别相交于,D C两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束.(1)求,A B两点的坐标;(2)求S与t的函数表达式及自变量t的取值范围;(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切?②是否存在这样的t值，使得半圆面积12ABCDS S梯形?若存在，求出t的值;若不存在说明理由.27.（10分）如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）；(2)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．28.（14分）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当圆O 的半径为1时，①点11(,0)2P ,2P ,3(0,3)P 中，圆O 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是圆O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.。
2020年江苏省南通市中考数学一模测试试卷 (解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．﹣3的相反数是（）A．﹣3B．3C．D．2．下列计算中，正确的是（）A．+＝B．×＝C．（2）2＝12D．÷＝3．《2019中国大数据产业发展报告》显示，截止2019年，我国大数据产业规模超过8000亿元，将数据“8000亿”用科学记数法表示应为（）A．0.8×104B．0.8×1012C．8×108D．8×10114．下列图标中，可以看作既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，且AD∥CF，若∠ACF＝25°，则∠B的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°6．若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．1B．2C．3D．47．若不等式组的解集是m﹣2＜x＜4，则m的取值范围是（）A．4≤m＜6B．m≥3C．m≥6D．3＜m≤48．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx﹣4（k＞0）与x轴所夹的锐角的正弦值为，则k的值为（）A．B．C．D．9．甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①甲、乙两地相距1800千米；②点B的实际意义是两车出发后4小时相遇；③m＝6，n＝900；④动车的速度是450千米/小时．其中不正确的是（）A．①B．②C．③D．④10．如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，第11-13小题每小题3分，第14-18小题每小题3分，共29分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．计算：2﹣1＝．12．分解因式：m3﹣4m＝．13．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，若OD＝13cm，CD＝8cm，则AB ＝cm．14．某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为m．（结果保留根号）16．若2a2+b2﹣2ab﹣6a≤﹣9，则a b＝．17．如图，直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，点C在y轴负半轴上，若∠ACB ＝90°，△ABC的面积为50，则k的值为．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE ＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于．三、解答题（本大题共8小题，共91分．）19．（1）计算：[xy（2x2y﹣xy2）﹣y（3x2y2+x3y）]÷2x2y；（2）解方程组：．20．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？21．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，求证AB∥DE．22．某校开展“传统文化”知识竞赛，已知该校七年级男生和女生各有学生200人，从中各随机抽取20名学生进行抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（满分100分），并进行整理，得到下面部分信息．男生：74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74女生：76 87 93 65 78 94 89 68 95 54 89 87 89 89 77 94 86 87 92 91成绩50≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100男生011018女生12a86平均数、中位数、众数、方差如表所示：成绩平均数中位数众数方差男生847774145.4女生84b89115.6根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）你认为七年级学生中，男生还是女生的总体成绩较好，为什么？（至少从两个不同的角度说明）（3）若在此次竞赛中，该校七年级学生中有四人取得100分的好成绩，且恰好是两个男生两个女生．现从这四人中随机抽取两人参加市里的竞赛，求这两人恰好是一男一女的概率．23．如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．24．已知抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2）．（1）求c的值，并通过计算说明点（2，4）是否也在该抛物线上；（2）若该抛物线与直线y＝5只有一个交点，求a的值；（3）若当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．25．如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝60°，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB运动，到点B停止运动．过点E作EF∥BD交AD于点F，将△AEF 绕点E顺时针旋转得到△GEH，且点G落在线段EF上，设点E的运动时间为t（秒）（0＜t＜3）．（1）若t＝1，求△GEH的面积；（2）若点G在∠ABD的平分线上，求BE的长；（3）设△GEH与△ABD重叠部分的面积为T，用含t的式子表示T，并直接写出当0＜t＜3时T的取值范围．26．平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出如下定义：若△ABC是等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”；特别的，若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点”．（1）若B（﹣2，0），C（2，0），则在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G （0，）中，线段BC的“等直点”是；（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．①若双曲线y＝上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求k的值；②在直线y＝x+6上是否存在点P，使得点P为BC的“等直点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半径为3，圆心为T（t，0）．当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣3的相反数是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】依据相反数的定义解答即可．解：﹣3的相反数是3．故选：B．2．下列计算中，正确的是（）A．+＝B．×＝C．（2）2＝12D．÷＝【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝＝，不符合题意；C、原式＝12，符合题意；D、原式＝＝，不符合题意．故选：C．3．《2019中国大数据产业发展报告》显示，截止2019年，我国大数据产业规模超过8000亿元，将数据“8000亿”用科学记数法表示应为（）A．0.8×104B．0.8×1012C．8×108D．8×1011【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：8000亿＝8000 0000 0000＝8×1011，故选：D．4．下列图标中，可以看作既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故选：A．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，且AD∥CF，若∠ACF＝25°，则∠B的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】根据平行线的性质得出∠DAC＝25°，进而利用角平分线的定义得出∠BAC的度数，利用互余得出∠B的度数即可．解：∵AD∥CF，∴∠DAC＝∠ACF＝25°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC＝50°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：D．6．若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案．解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长＝4π，∴圆锥的底面圆半径＝＝2，故选：B．7．若不等式组的解集是m﹣2＜x＜4，则m的取值范围是（）A．4≤m＜6B．m≥3C．m≥6D．3＜m≤4【分析】根据不等式组的解集得出不等式组，进而解答即可．解：∵不等式组的解集是m﹣2＜x＜4，∴，解得：6＞m≥4，故选：A．8．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx﹣4（k＞0）与x轴所夹的锐角的正弦值为，则k 的值为（）A．B．C．D．【分析】根据直线y＝kx﹣4（k＞0）与x轴所夹的锐角的正弦值为，可以得到点A和点B的坐标，从而可以求得k的值．解：∵直线y＝kx﹣4（k＞0）与x轴所夹的锐角的正弦值为，∴当x＝0时，y＝﹣4，即点A的坐标为（0，﹣4），∴＝，∴AB＝5，∴OB＝3，∴点B的坐标为（3，0），∴0＝3k﹣4，解得，k＝，故选：D．9．甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①甲、乙两地相距1800千米；②点B的实际意义是两车出发后4小时相遇；③m＝6，n＝900；④动车的速度是450千米/小时．其中不正确的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：由图象可知，甲、乙两地相距1800千米，故①说法正确；点B的实际意义是两车出发后4小时相遇，故②说法正确；普通列车的速度为：1800÷12＝150（km/h），动车的速度为：1800÷4﹣150＝300（km/h），故④说法错误；150×4÷300+4＝6，∴m＝6，n＝150×6＝900，故③说法正确；故选：D．10．如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】连接BF，求出平行四边形ABEF与平行四边形ABCD的面积关系，再求得△BEF与△BEF的面积关系，进而得△BDE与平行四边形ABCD的面积的关系，再证明△GBE∽△GDF，得出GE：GF，进而得△BEG与△BEF的面积关系，最后得y与x 的关系式，根据函数关系式确定函数图象．解：连接BF，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE＝x，∴＝，∵AD∥BC，∴△GBE∽△GDF，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴，∴S△GED＝S△BED﹣S△BEG＝＝，∴＝，即y＝（0＜x＜3），∵，∴y＝（0＜x＜3）是开口向下的抛物线，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11-13小题每小题3分，第14-18小题每小题3分，共29分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．计算：2﹣1＝．【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．解：2﹣1＝．故答案为．12．分解因式：m3﹣4m＝m（m﹣2）（m+2）．【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：m3﹣4m，＝m（m2﹣4），＝m（m﹣2）（m+2）．13．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，若OD＝13cm，CD＝8cm，则AB ＝24cm．【分析】直接垂径定理得出AC＝BC，结合勾股定理得出AC的长进而得出答案．解：∵OD＝13cm，CD＝8cm，∴OC＝5cm，AO＝13cm，连接AO，在Rt△OCA中AC＝＝＝12（cm），故AB＝24cm．故答案为：24．14．某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为1000（1+x）2＝4000．【分析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：1000（1+x）2＝4000．故答案为：1000（1+x）2＝4000．15．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为（30+30）m．（结果保留根号）【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD＝AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD＝AD•tan∠CAD，再根据BC＝BD+CD，代入数据计算即可．解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．故答案为：（30+30）．16．若2a2+b2﹣2ab﹣6a≤﹣9，则a b＝27．【分析】已知不等式移项后结合，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a 与b的值，代入原式计算即可求出值．解：移项得：（a2+b2﹣2ab）+（a2﹣6a+9）≤0，变形得：（a﹣b）2+（a﹣3）2≤0，∵（a﹣b）2≥0，（a﹣3）2≥0，∴a﹣b＝0，a﹣3＝0，解得：a＝b＝3，则原式＝33＝27．故答案为：27．17．如图，直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，点C在y轴负半轴上，若∠ACB ＝90°，△ABC的面积为50，则k的值为40．【分析】设设点A坐标为（a，a），想办法构建方程即可解决问题．解：设点A的坐标为（a，a），则OA＝＝﹣a，∵点C为y轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为50，∴OA＝OB＝OC＝﹣a，∴S△ACB＝×OC×（B x﹣A x）＝×（﹣a）×（﹣a）＝50，解得，a＝﹣或（舍弃），∴点A（﹣，﹣），∴k＝﹣×（﹣）＝40，故答案为40．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE ＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于．【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，当H、P、N'、Q四点共线时，MN+NP＝PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，则MN'＝QN'，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴PH＝，∵M点是BC的中点，∴BM＝MC＝CQ＝，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ＝的值最小，∴PQ的最小值为，此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，故答案为．三、解答题（本大题共8小题，共91分．）19．（1）计算：[xy（2x2y﹣xy2）﹣y（3x2y2+x3y）]÷2x2y；（2）解方程组：．【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式，进而合并同类项，再利用整式的除法运算法则计算即可；（2）直接利用加减消元法则解方程组得出答案．解：（1）[xy（2x2y﹣xy2）﹣y（3x2y2+x3y）]÷2x2y＝（2x3y2﹣x2y3﹣3x2y3﹣x3y2）÷2x2y＝（x3y2﹣4x2y3）÷2x2y＝xy﹣2y2；（2）②﹣①得：3x＝6，解得：x＝2，则2+3y＝5，解得：y＝1，故方程组的解为：．20．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，甲、乙两个工厂每天分别生产该种口罩多少万只？【分析】设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，依题意，得：＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的解，且符合题意，∴x+5＝8．答：甲厂每天生产该种口罩8万只，乙厂每天生产该种口罩3万只．21．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，求证AB∥DE．【分析】根据全等三角形的判定SSS，可以判定△ABC和△DEF全等，然后即可得到∠B＝∠E，从而证明AB∥DE．【解答】证明：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E，∴AB∥DE．22．某校开展“传统文化”知识竞赛，已知该校七年级男生和女生各有学生200人，从中各随机抽取20名学生进行抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（满分100分），并进行整理，得到下面部分信息．男生：74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74女生：76 87 93 65 78 94 89 68 95 54 89 87 89 89 77 94 86 87 92 91成绩50≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100男生011018女生12a86平均数、中位数、众数、方差如表所示：成绩平均数中位数众数方差男生847774145.4女生84b89115.6根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝3，b＝88；（2）你认为七年级学生中，男生还是女生的总体成绩较好，为什么？（至少从两个不同的角度说明）（3）若在此次竞赛中，该校七年级学生中有四人取得100分的好成绩，且恰好是两个男生两个女生．现从这四人中随机抽取两人参加市里的竞赛，求这两人恰好是一男一女的概率．【分析】（1）统计出70≤x≤79的人数，可得a的值，根据中位数的定义求出b的值．（2）从中位数，众数，方差的大小可以得出结论．（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．解：（1）由题意a＝3，b＝＝88，故答案为：3，88．（2）从中位数看：女生的成绩比男生的成绩好，从众数看：女生的成绩比男生的成绩好，从方差看：女生的方差比男生的方差小，成绩比较稳定．综上所述，女生的成绩比较好．（2）画树状图如下：所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，则P＝＝．23．如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；（2）先计算出∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH＝，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵O与边AB相切，且切点恰为点B．∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠A+∠AOB＝90°，∵∠AOB＝2∠C，∴∠A+2∠C＝90°；（2）解：在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，作OH⊥BC于H，则BH＝CH，∵∠C＝∠AOB＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝3，∴BC＝2CH＝6，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD＝×6×+＝3+2π．24．已知抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2）．（1）求c的值，并通过计算说明点（2，4）是否也在该抛物线上；（2）若该抛物线与直线y＝5只有一个交点，求a的值；（3）若当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2），可以得到c的值，然后将x＝2代入抛物线解析式，即可得到y的值，从而可以判断点（2，4）是否也在该抛物线上；（2）根据该抛物线与直线y＝5只有一个交点，可知该抛物线顶点的纵坐标是5，从而可以求得a的值；（3）根据当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，可知a＜0，该抛物线的对称轴≥2，从而可以求得a的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2），∴c＝2，∴抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+2，当x＝2时，y＝4a+2（1﹣2a）+2＝4a+2﹣4a+2＝4，即点（2，4）在该抛物线上；（2）∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+2，该抛物线与直线y＝5只有一个交点，∴＝5，解得，a＝，即a的值是或；（3）∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+2，∴a＜0，≥2，解得，a，即a的取值范围是﹣≤a＜0．25．如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝60°，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB运动，到点B停止运动．过点E作EF∥BD交AD于点F，将△AEF 绕点E顺时针旋转得到△GEH，且点G落在线段EF上，设点E的运动时间为t（秒）（0＜t＜3）．（1）若t＝1，求△GEH的面积；（2）若点G在∠ABD的平分线上，求BE的长；（3）设△GEH与△ABD重叠部分的面积为T，用含t的式子表示T，并直接写出当0＜t＜3时T的取值范围．【分析】（1）解直角三角形求出AE，AF即可解决问题．（2）当点G在∠ABD的平分线上时，可证AE＝EB即可解决问题．（3）首先求出点H落在BD上的时间，分两种情形：①如图3中，当0＜t≤1时，重叠部分是△EGH．②如图4中，当1＜t＜3时，重叠部分是四边形MNGE，作EJ⊥BD 于J．分别求解即可．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵EF∥BD，∴∠AEF＝60°，∵AE＝2，∴AF＝AE•tan60°＝2，∴S△EGH＝S△AEF＝•AE•AF＝×2×2＝2．（2）如图2中，由题意得，BG平分∠ABD，∴∠EBG＝∠ABD＝30°，∵∠AEG＝∠EBG+∠EGB＝60°∴∠EBG＝∠EGB＝30°，∴BE＝EG＝AE＝3．（3）如图1﹣1中，当点H落在BD上时，作EJ⊥BD于J．∵EF∥BD，∴∠FEH＝∠EHB＝60°，∴△EBH是等边三角形，∴EH＝EB＝EF＝2AE，∴AE＝2，BE＝4，∴t＝1，如图3中，当0＜t≤1时，重叠部分是△EGH，T＝S△AEF＝×2t×2t×＝2t2．如图4中，当1＜t＜3时，重叠部分是四边形MNGE，作EJ⊥BD于J．在Rt△EBJ中，∵BE＝6﹣2t，∠EBJ＝60°，∴BJ＝BE＝3﹣t，EJ＝BJ＝3﹣t，∵△EBM是等边三角形，∴BJ＝JM＝3﹣t，∵四边形EGNJ是矩形，∴EG＝NJ＝2t，∴MN＝NJ﹣MJ＝3t﹣3，∴T＝•（MN+EG）•EJ＝•（3t﹣3+2t）•（3﹣t）＝﹣t2+9t﹣．综上所述，T＝．26．平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出如下定义：若△ABC是等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”；特别的，若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点”．（1）若B（﹣2，0），C（2，0），则在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G （0，）中，线段BC的“等直点”是D和F；（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．①若双曲线y＝上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求k的值；②在直线y＝x+6上是否存在点P，使得点P为BC的“等直点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半径为3，圆心为T（t，0）．当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）如图1，哪个点与线段BC构建等腰直角三角形，哪个点就是线段BC的“等直点”，观察图形可得；（2）①分两种情况：点A在第一象限和第四象限，作辅助线，构建三角形全等，设AE ＝x，利用勾股定理列方程可得A的坐标，代入双曲线y＝中，可得k的值；②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，证明△PEC ∽△COB，得＝，设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，根据OE＝4x﹣6＝8﹣3x，可得x的值，得△ABC是等腰直角三角形，可得结论；（3）分三种情况：①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，根据勾股定理计算OT的长，确定T的坐标，即t的值，可得结论．解：（1）如图1，观察图形可知：△BDC和△FBC是等腰直角三角形，所以线段BC的“等直点”是D和F，故答案为：D和F；（2）①分两种情况：i）当点A在第四象限时，如图2，∵点A为BC的“完美等直点”，∴△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∵B（0，﹣6），C（8，0），∴OB＝6，OC＝8，∴BC＝10，∴AB＝AC＝5，过A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠CAE＝∠BAF，∵AB＝AC，∠AEC＝∠AFB＝90°，∴△AEC≌△AFB（AAS），∴AE＝AF，设AE＝x，则AF＝OE＝x，CE＝8﹣x，∴AC2＝CE2+AE2，即，解得：x＝1（舍）或7，∴A（7，﹣7），∴k＝﹣7×7＝﹣49；ii）当点A1在第一象限时，如图2，同理可得A1（1，1），∴k＝1×1＝1，综上，k的值是﹣49或1；②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，∵∠PCB＝∠PCE+∠BCO＝∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠PCE＝∠OBC，∵∠PEC＝∠BOC＝90°，∴△PEC∽△COB，∴＝，设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，∵OA＝6，∴OE＝4x﹣6＝8﹣3x，∴x＝2，∴PC＝10＝BC，∵∠PCB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴点P为BC的“等直点”，且P（2，8）；（3）分三种情况：①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，如图4，△ABC，△BCG，△OBC都是等腰直角三角形，当⊙T经过点G时，连接TG，∵OG＝OC＝2，TG＝3，∴OT＝＝，如图5，⊙T经过点F时，△BCF，△BCH，△BCP是等腰直角三角形时，连接TF，同理得TC＝，∴OT＝﹣2，∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围﹣＜t≤2﹣；②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，如图6，⊙T经过点A时，OT＝AT﹣OA＝3﹣2＝1，如图7，⊙T经过点P时，连接TP，过P作PE⊥x轴于E，∴TE＝，∴OT＝OE﹣TE＝4﹣，∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围1≤t≤4﹣；③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，如图8，⊙T经过点G时，同理得：OT＝，如图9，⊙T经过点O时，此时OT＝3，∴在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围≤t＜3；综上，在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围﹣＜t≤2﹣或1≤t≤4﹣或≤t＜3．。
江苏省南通市2020届高三一模数学试卷及答案
南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。
江苏省海门市(海门中学)2020届高三第一次教学质量调研数学含附加题
2020届高三第一次教学质量调研数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，清把答案填写在答题卡祖应位置上.1.函数=1-sin 2f(x)x 的最小正周期为 ▲.2.已知集合A = {0,1,2,3,4} , B ={}1log |3≤x x ,则=⋂B A ▲.3.在△ ABC 中，若 A = 60°, AC = 2, BC = 7 ,则sin B 的值为 ▲ ,4.己知集合A = {x │|x|<1}.若“x A ∈”'是“不等式a-4<x<2a-1成立”的充分条件，则实a 的最大值为▲.5.函数f(x) = )34log 21-x （的定义域为 ▲ .6.在△ABC 中，己知D 是BC 边的中点，E 是线段AD 的中点.若,AC AB BE μλ+=则μλ+ 的 值为 ▲.7.己知,),1),3sin(3(),sin 2,1(R b a ∈-==θπθθ a 丄b,则 tan θ的值为▲.8.曲线y = e x +x 在x = 0处的切线方程为y = kx + b ,则实数b= ▲.9.在△ABC 中，若C =ACBC B A A 则，且,tan tan 1sin214+=π的值为▲. 10.已知函数22)(+-=x x x f ，则不等式)22()(2+<+x f x x f 的解集为▲.11.如图所示，在△的值为则，中，。
DE BF FD EF EC AE AD AB AC AB BAC ABC ⋅======∠,2,2,2,6,460▲ .12.己知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,)()4(x f x f =+ .若-2≤x <0时,2)(2++-=ax x x f ,则实数a 的值为▲.13.若函数f (x) = x 3 -ax 2-+x , x >0存在零点，则实数a 的取值范围为▲.14.己知函数⎩⎨⎧>+≤-=0,,0,2)(3x ax x x ax x f 的值域为［-2,+∞ ),则实数的取值范围为▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分.谓在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骡.15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a, b, c, cosC = 31. (1)若c 2=(b a -)2+4,求△ABC 的面积； (2) 若Cc B b cos 6cos 4=，求sin A 的值.16.(本小题满分14分)已知函数.22)(xx x f -+=(1)试判断函数)(x f 的单调性，并证明你的结论：(2)若对∈∀x (0,2],不等式f(tx-2)≤f(x-4)成立,求实数t 的取值范围.17.(本小题满分14分) 已知.55sin ,342tan ,2,20=-=<<<<βαπβππα (1) 求αtan 的值.(2) 求)2cos(βα-的值.18.（本小题满分16分）某农场计划设计建造一条2000米长的水渠，其横断面如图所示其中，底部是半径为1米的圆 弧AB,上部是有一定倾角的线段AD 与BC,渠深MN 为23米，且圆弧的圆心为O 在MN 上，AD 丄OA , BC 丄OB , AD = BC , AB//DC .据测算，水渠底部曲面每平方米的造价为53百元，上部矩形壁面每平方米的造价为1百元，其他费用忽略不计.设20,πθθ<<=∠BON（1） 试用θ表示水渠建造的总费用)(θf （单位:百元）：（2） 试确定θ的值，使得建造总费用最低.19.（本小题满分16分）设∈a R,函数)(',12)(223x f x a ax x x f -+-=⑴为函数)(x f 的导函数，⑴讨论函数)(x f 的单调性:（2） 若函数)('x f 与函数)(x f 对存在相同的零点，求实数〉的值;（3） 求函数)(x f 在区间［l, + oo ）上的最小值. 20.（本小题满分16分）己知函数f .,ln R a ax xx x ∈-=）（（1） 若对e x x <<<210时，不等式0(-(1221<x x f x x f ））恒成立，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）；（2） 当a =e 21时，求函数的极大值；（3） 求证：当时，曲线y = xf （x ）与直线y = -x 有且只有一个公共点.2020届高三第一次教学质量调研数学Ⅱ 附加题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.(本小题満分10分) 在边长为2的等边△OAB 。
2020-2021学年江苏南通市海门区九年级(下)期中数学试卷(一模+)
2020-2021学年江苏南通市海门区九年级（下）期中数学试卷（一模）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算|﹣2+1|的结果是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．12．数0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为（）A．﹣2B．﹣3C．2D．33．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a54．如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点恰好落在一把标准直尺的对边上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（）A．23°B．22°C．21°D．20°5．一个口袋中装有2个红球，m个绿球，n个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出一个球是红球的概率是，则m+n的值为（）A．2B．3C．4D．66．某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（）A．53，56B．53，63C．56，56D．56，637．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（）A．48cm3B．72cm3C．144cm3D．288cm38．如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（）A．4B．6C．8D．109．甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地同时出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A 地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，四边形ABCD中∠ABC＝90，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD，连接DD'，当DD的长取得最大值时，AB长为（）A．3B ．C ．D．2二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．计算：+（π﹣3）0﹣2sin30°的值等于．12．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题“今有三人共车，两车空：两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人需步行．问人数和车数分别为多少？设人数为x ，由题意可列出的一元一次方程是．13．已知4x2+x﹣5＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2的值为．14．若圆锥的母线长为12cm，侧面积为60πcm2，则该圆锥的底面半径为cm．15．若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为．16．如图，△ABC中∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，项点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为．17．已知α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，且α2﹣α+β＝5，则k的值为．18．如图，已知直线y＝kx+b与函数y＝（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．先化简，再求值：其中x＝3+．20．“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表：社团名称A（环保义工）B（绿植养护）C（酵素制作）D（回收材料）E（垃圾分类）人数4m16n4请你根据以上信息解答下列问题：（1）填空：m＝；n＝；p＝；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于度；（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，6）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．22．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？23．如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC＝6，OD＝8．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径面弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；③作射线OG；④分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；⑤作直线HI，交射线OG于点P．回答下列问题：（1）连接PC、PD，填空：由作法可知，点P在∠AOB的上，∴点P到OA、OB的相等．由作法可知，点P在线段CD的上，∴PC＝．（2）若OP＝5，求PC的长．24．如图（1），矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△P AB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关系如图（2）所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．（1）直接写出AD 的长是，AB的长是；（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+2a过点A（﹣2，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）当0≤x≤1时，y的最小值为4，求抛物线的顶点坐标；（3）若点B（n﹣3，y1）、C（n，y2）、D（n+2，y3）都在该抛物线上，且总有y1＜y3＜y2≤，求n的取值范围．26．对于平面直角坐标系xOy中的点T和线段PQ（PQ≥2），给出如下定义：如果线段PQ上存在两个点A、B，使△TAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB长不大于2，则称点T为线段PQ的“美妙点”．（1）已知点P（﹣2，0），Q（2，0），在点T1（，1），T2（﹣1，），T3（，﹣1），T4（，）中，是线段PQ的“美妙点”有点；（2）已知点P（﹣3，0），Q（0，4），当点T（x，y）既是线段OP的“美妙点”，又是线段OQ的“美妙点”时，请结合图象写出y与x的关系式，并写出x的取值范围；（3）直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，当点T（t，2t+b）是线段PQ的“美妙点”时，直接写出b的取值范围．。
2020年江苏省南通市中考数学一模试卷及解析
2020年江苏省南通市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.−3的倒数是()A. 3B. 13C. −3 D. −132.南通市区今年人口大约1780000，将1780000用科学记数法表示为()A. 178×104B. 17.8×105C. 1.78×106D. 0.178×1073.下列运算正确的是()A. 5ab−ab=4B. a2⋅a3=a6C. a6÷a2=a4D. (a2b)3=a5b34.下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是()A. B. C. D.5.要判断小刚的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的()A. 方差B. 中位数C. 平均数D. 众数6.已知x1，x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，下列结论正确的是()A. x1+x2=−32B. x1⋅x2=1C. x1，x2都是有理数D. x1，x2都是无理数7.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是()A. 8B. 9C. 10D. 118.如图，两个反比例函数y=k1x 和y=k2x(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为()A. k1+k2B. k1−k2C. k1⋅k2D. k1k29.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，错误的作法有()A.1种B. 2种C. 3种D. 4种10. 如图，P 是半圆O 上一点，Q 是半径OA 延长线上一点，AQ =OA =1，以PQ 为斜边作等腰直角三角形PQR ，连接OR ，则线段OR 的最大值为( )A. 3B. 3√22C. 2√2D. √2 二、填空题（本大题共8小题，共24分）11. 代数式√x −1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 12. 因式分解：ab 2−a =______．13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D.若∠A =32°，则∠D =______度． 14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒各多少？设买美酒x 斗，买普通酒y 斗，则可列方程组为______． 15. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长是4cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2(结果保留π)． 16. 如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为______海里.(结果保留根号) 17. 已知直线y 1=kx +1(k <0)与直线y 2=nx(n >0)的交点坐标为(13,13n)，则不等式组nx −3<kx +1<nx 的解集为______．18. 若关于x 的方程x 2−2ax +a −2=0的一个实数根为x 1≥1，另一个实数根x 2≤−1，则抛物线y =−x 2+2ax +2−a 的顶点到x 轴距离的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 先化简，再求值m 2−4m+4m−1÷(3m−1−m −1)，其中m =√2−2．20. 计算：(1)(13)−1+(2019−π)0−|√3−2|−2cos30°；(2)求不等式组：{2(x +3)−4≥0x+12>2x −1．21.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC=8，BD=12，且AC⊥BD，求▱ABCD的面积．22.为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③、④表示，化学题目用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．(1)小李同学抽到物理实验题目①的概率为______；(2)小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率是多少？23.月收入/45000180001000055005000340030002000元人数111361112请计算以上样本的平均数和中位数；(2)甲乙两人分别用样本平均数和中位数来估计推断公司全体员工月收入水平，请你写出甲乙两人的推断结论；(3)指出谁的推断比较科学合理，能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说出另一个人的推断依据不能真实反映公司全体员工月收入水平的原因．24.某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20m和11m的矩形大厅内修建一个60m2的矩形健身房ABCD.该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图为平面示意图)，已知装修旧墙壁的费用为20元/m2，新建(含装修)墙壁的费用为80元/m2.设健身房的高为3m，一面旧墙壁AB的长为xm，修建健身房墙壁的总投入为y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足条件：8≤x≤12，当投入的资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少？25.如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．(1)求证：DF⊥AC；(2)求tan∠E的值．26.已知抛物线y=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)当抛物线经过点P(4,6)时，求抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线开口向上，当−1≤x≤5时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为11，求点M和点N的坐标；2(3)点A(x1,y1)、B(x2,y2)为抛物线上的两点，设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，求t的取值范围．27.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB 于N．(1)tan∠DEH=______；(2)连接NH，求证：NE平分∠ANH；(3)若AD=8，直接写出折痕GH的长度．28.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=|x1−x2|+|y1−y2|为两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，之间的“折线距离”.例如A(2,−3)，B(5,2)，则d(A,B)=|2−5|+|−3−2|=3+5=8．(1)已知点A(1,0)，动点P(a−1,2a+2)，求d(A,P)的最小值；(2)平面直角坐标系中，若点P(m,−m2+4m−3)，Q(n+1,2n+6)，则d(P,Q)的最小值为______；(3)在平面直角坐标系xOy中，P为动点，且d(O,P)=3，⊙M圆心为M(t,0)，半径为1.若⊙M上存在点N使得PN=1，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】D．【解析】解：−3的倒数是−13故选：D．根据倒数的定义即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可得出答案．此题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.【答案】C【解析】解：1780000=1.78×106．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵5ab−ab=4ab，∴选项A不符合题意；∵a2⋅a3=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C符合题意；∵(a2b)3=a6b3，∴选项D不符合题意．故选：C．根据同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．4.【答案】B【解析】A、是三棱锥的展开图，故选项错误；B、是三棱柱的平面展开图，故选项正确；C、两底有4个三角形，不是三棱锥的展开图，故选项错误；D、是四棱锥的展开图，故选项错误．故选：B．根据三棱柱的展开图的特点进行解答即可．此题主要考查了几何体展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．5.【答案】A【解析】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好． 故选：A ．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．本题考查方差、中位数、众数、平均数的意义．在实际中要用适当的统计量对问题进行分析，得出较合理的结论． 6.【答案】C【解析】解：x 1+x 2=32，x 1x 2=12，所以A 、B 选项错误，因为△=(−3)2−4×2×1=1，所以x 1，x 2都是有理数，则A 选项正确，D 选项错误． 故选：C ．利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；根据根的判别式对C 、D 进行判断．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=c a .也考查了根的判别式的意义．7.【答案】C【解析】解：∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， ∴BO =DO ，AO =CO ，∵AB ⊥AC ，AB =4，AC =6， ∴BO =√32+42=5， ∴BD =2BO =10， 故选：C ．利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO 的长，进而可求出BD 的长．本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单． 8.【答案】B【解析】解：根据题意可得四边形PAOB 的面积=S 矩形OCPD −S OBD −S OAC ， 由反比例函数y =kx 中k 的几何意义，可知其面积为k 1−k 2．故选：B ．四边形PAOB 的面积为矩形OCPD 的面积减去三角形ODB 与三角形OAC 的面积，根据反比例函数y =k x 中k 的几何意义，其面积为k 1−k 2．主要考查了反比例函数y =kx 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点． 9.【答案】A【解析】解：①根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，此作图正确；②根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，此作图正确；③根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，此作图正确；④无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，此作图错误．故选：A．根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．此题考查了作图−基本作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．10.【答案】B【解析】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER=RO，∠ERO=90°，PE=OQ=2∴EO=√2RO，∵EO≤PO+EP=3∴√2RO≤3∴OR的最大值=3√22故选：B．将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER=RO，∠ERO=90°，PE=OQ=2，由直角三角形的性质可得EO=√2RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP=3，即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．11.【答案】x≥1【解析】解：∵√x−1在实数范围内有意义，∴x−1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12.【答案】a(b+1)(b−1)【解析】解：ab2−a，=a(b2−1)，=a(b+1)(b−1)．首先提取公因式a，再运用平方差公式继续分解因式．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进行二次因式分解，因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．13.【答案】26【解析】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠D =90°−∠COD =26°， 故答案为：26．连接OC ，根据圆周角定理得到∠COD =2∠A ，根据切线的性质计算即可．本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14.【答案】{x +y =250x +10y =30【解析】解：依题意得：{x +y =250x +10y =30．故答案是：{x +y =250x +10y =30．设买美酒x 斗，买普通酒y 斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 15.【答案】8π【解析】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=12×4π×4=8πcm 2． 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 16.【答案】5√2【解析】解：如图，作BH ⊥AC 于H ．在Rt △ABH 中，∵AB =10海里，∠BAH =30°， ∴∠ABH =60°，BH =12AB =5(海里)，在Rt △BCH 中，∵∠CBH =∠C =45°，BH =5(海里)， ∴BH =CH =5海里， ∴CB =5√2(海里)． 故答案为5√2．如图，作BH ⊥AC 于H.在Rt △ABH 中，求出BH ，再在Rt △BCH 中，利用等腰直角三角形的性质求出BC 即可．本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】13<x <43【解析】解：把(13,13n)代入y 1=kx +1，可得13n =13k +1，解得k =n −3，∴y 1=(n −3)x +1， 令y 3=nx −3，则当y 3<y 1时，nx −3<(n −3)x +1， 解得x <43；当kx +1<nx 时，(n −3)x +1<nx ， 解得x >13，∴不等式组nx −3<kx +1<nx 的解集为13<x <43， 故答案为：13<x <43．由nx −3<(n −3)x +1，即可得到x <43；由(n −3)x +1<nx ，即可得到x >13，进而得出不等式组nx −3<kx +1<nx 的解集．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．18.【答案】169【解析】解：∵关于x 的方程x 2−2ax +a −2=0的一个实数根为x 1≥1，另一个实数根x 2≤−1， ∴{1+2a +a −2≤01−2a +a −2≤0，解得：−1≤a ≤13．抛物线y =−x 2+2ax +2−a 的顶点坐标为(a,a 2−a +2)， ∵a 2−a +2=(a −12)2+74， ∴当a =13时，a 2−a +2取最小值169． 故答案为：169．由一元二次方程根的范围结合图形，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，利用配方法即可求出抛物线y =−x 2+2ax +2−a 的顶点到x 轴距离的最小值．本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，通过解一元一次不等式组求出a 的取值范围是解题的关键．19.【答案】解：原式=(m−2)2m−1÷(3m−1−m 2−1m−1) =(m −2)2m −1÷4−m 2m −1=(m −2)2m −1⋅m −1−(m +2)(m −2)=−m−2m+2，当m =√2−2时， 原式=√2−2−22−2+2=√2−4√2=−1+2√2．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：(1)原式=3+1−2+√3−2×√32=3+1−2+√3−√3=2；(2){2(x +3)−4≥0①x +12>2x −1②解不等式①得：x ≥−1， 解不等式②得：x <1，则不等式组的解集为−1≤x <1，【解析】(1)本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值化简、特殊角三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； (2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，求不等式的解集，遵循“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 21.【答案】(1)证明：∵AB//CD ， ∴∠ABO =∠CDO ，∵OB =OD ，∠AOB =∠COD ， ∴△AOB≌△COD(ASA)， ∴AB =CD ． 又∵AB//CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，∴S 菱形ABCD =12⋅AC ⋅BD =12×8×12=48．【解析】(1)利用全等三角形的性质证明AB =CD 即可解决问题． (2)证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式计算即可．本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】14【解析】解：(1)小李同学抽到物理实验题目①的概率为14，故答案为：14．(2)画树状图得：∵共有16种等可能的结果，他两科都抽到准备得较好的实验题目的有4种情况，∴他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为：416=14．(1)直接利用概率公式计算可得；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他两科都抽到准备得较好的实验题目的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】解：(1)样本的平均数为：45000+18000+10000+5500×3+5000×6+3400+3000×11+2000×21+1+1+3+6+1+11+2=6150(元)；这组数据共有26个，第13、14个数据分别是3400、3000，所以样本的中位数为：3400+30002=3200(元)．(2)甲：由样本平均数6150元，估计公司全体员工月平均收入大约为6150元；乙：由样本中位数为3200元，估计公司全体员工约有一半的月收入超过3200元，约有一半的月收入不足3200元．(3)乙的推断比较科学合理．由题意知样本中的26名员工，只有3名员工的收入在6150元以上，原因是该样本数据极差较大，所以平均数不能真实的反映实际情况．【解析】(1)要求平均数只要求出各个数据之和再除以数据个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可；(2)甲从员工平均工资水平的角度推断公司员工月收入，乙从员工中间工资水平的角度推断公司员工的收入；(3)推断的合理性取决于数据的极差、某些数据的集中程度等因素．本题考查了计算平均数和中位数，并用中位数和平均数说明具体问题．题目难度不大，有的问题的答案不唯一．24.【答案】解：(1)根据题意，AB=x，AB⋅BC=60，所以BC=60x．y =20×3(x +60x )+80×3(x +60x)，即y =300(x +60x).(2)把y =4800代入y =300(x +60x)，得4800=300(x +60x). 整理得x 2−16x +60=0． 解得x 1=6，x 2=10．经检验，x 1=6，x 2=10都是原方程的根． 由8≤x ≤12，只取x =10．所以利用旧墙壁的总长度10+6010=16m ．【解析】(1)根据题意可得AB =x ，AB ⋅BC =60，所以BC =60x.求得y 与x 的函数解析式．(2)把y =4800代入函数解析式整理解得x 的值即可．本题考查的是二次函数的实际应用同时也考查了矩形的面积计算公式． 25.【答案】(1)证明：如图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC =90°， ∴CD ⊥AB ， ∵AC =BC ， ∴AD =BD ， ∵OB =OC ，∴OD 是△ABC 的中位线 ∴OD//AC ，∵DF 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DF ， ∴DF ⊥AC ；(2)解：如图，连接BG ， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BGC =90°，∵∠EFC =90°=∠BGC ， ∴EF//BG ， ∴∠CBG =∠E ，Rt △BDC 中，∵BD =3，BC =5， ∴CD =4，S △ABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BG ， 6×4=5BG ， BG =245，由勾股定理得：CG =√52−(245)2=75，∴tan∠CBG =tan∠E =CG BG=75245=724．【解析】(1)连接OD ，根据圆周角定理得∠BDC =90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D 为AB 的中点，所以OD 是中位线，由三角形中位线性质得：OD//AC ，根据切线的性质可得结论；(2)如图，连接BG ，先证明EF//BG ，则∠CBG =∠E ，求∠CBG 的正切即可．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角的正切进行转移是基本思路，利用面积法求BG 的长是解决本题的难点． 26.【答案】解：(1)因为P(4,6)在二次函数y =ax 2−2ax −2图象上， ∴6=16a −8a −2，解得a =1， 当抛物线经过点P(4,6)时，抛物线的解析式为：y =x 2−2x −2=(x −1)2−3， ∴抛物线的顶点坐标为(1,−3)；(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x =−−2a 2a=1，∴当1≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大， ∴当x =5时，y 取的值最大112， 即M(5,112).把M(5,112)代入y =ax 2−2ax −2， 解得a =12，∴该二次函数的表达式为y =12x 2−x −2， 当x =1时，y =−52， ∴N(1,−52)；(3)当a >0时，种情况不存在，当a <0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x =1，∵t ≤x 1≤t +1，当x 2≥3时，具有y 1≥y 2，点A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)在该函数图象上， ∴{t +1≤3t ≥1−(3−1)， ∴−1≤t ≤2．故t 的取值范围−1≤t ≤2．【解析】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)抛物线经过点P(4,−6)，代入抛物线即可求出顶点坐标；(2)根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M ，点N 的横坐标；(3)根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．27.【答案】34【解析】(1)解：设正方形的边长为2a，DH=x，则CH=2a−x，由翻折的性质，DE=12AD=12×2a=a，EH=CH=2a−x，在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2，即a2+x2=(2a−x)2，解得x=34a，∴tan∠DEH=DHDE =34，故答案为34．(2)证明：如图2−1中，连接NH交EF于K．∵AB//EF//CD，AE=ED，∴NK=KH，∴EK=NK=KH，∴∠KEN=∠KNE，∵∠ANE=∠KEN，∴∠ANE=∠EKN，∴NE平分∠ANH．(3)解：如图2−2中，连接而成，作GJ⊥CD于J．∵E，C关于GH对称，∴EC⊥GH，易证△EFC≌△GJH(AAS)，∴GH=EC，∵EC=√42+82=4√5，∴GH=4√5．(1)设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据同角的余角相等求出∠ANE=∠DEH，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．(2)如图2−1中，连接NH交EF于K.证明NK=KH，利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．(3)连接EC，作GJ⊥CD于J，证明GH=EC即可．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】258【解析】解：(1)如解图1，∵动点P(a −1,2a +2)，∴过P 点平行y =x 的直线解析式为y =x +a +3，过P 点作PH ⊥y 轴，过A 点作AP′平行y 轴，交y =x +a +3于P′， ∵A(1,0)，∴P′(1,a +4)∵∠P′PH =45°，PH ⊥P′A ， ∴PH =P′H ，∴d(A,P)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|=PH +AH =PH′+AH ，∴当H 点在线段P′A 上时，d(P,Q)=P′A =a +4，∴此时2a +2≥0，即当a =−1时，d(P,Q)取最小值3， 当H 点在A 点下方时，则d(P,Q)=PH′+AH >P′A ，不是d(P,Q)的最小值，综上所述：d(A,P)的最小值=3．(2)如解图2.由P(m,−m 2+4m −3)，可知P 在抛物线：y p =−x 2+4x −3上， 过Q(n +1,2n +6)平行y =x 的直线解析式为y Q′=x +n +5，过Q 点作PH ⊥y 轴，过P 点作PQ′平行y 轴，交y =x +n +5于Q′，由(1)可知当H 点在线段Q′P 线段上，即Q y ≥P y 时，d(P,Q)=QH +PH =HQ′+PH =PQ′，∴PQ′=y Q′−y P =x +n +5−(−x 2+4x −3)即PQ′=(x −32)2+(n +234)即当x =32时PQ′最小，最小值为n +234，当x =32时，y P =34， ∵Q y ≥P y ，即2n +6≥34，∴n ≥−218，∴当m =x =32，n =−218时，PQ′=258．则d(P,Q)的最小值为258．(3)作正方形ABCD ，顶点坐标分别为：A(−3,0)，B(0,−3)，C(3,0)，D(0,3)， 由题意，满足d(O,P)=3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为6的正方形ABCD 上(如图4)， 当M 在正方形ABCD 外时，若MA =2，则t =−5，若MC =2，则t =5，当M 在正方形ABCD 内部时， 若M 到正方形AD ，AB 边的距离恰好为2， 则t =−3+2√2，若M 到正方形DC ，BC 边的距离恰好为2， 则t =3−2√2，运动观察可知，t 的取值范围为−5≤t ≤−3+2√2或3−2√2≤t ≤5．( 1 )先根据动点P(a −1,2a +2)的坐标求出过P 点平行y =x 直线解析式为y =x +a +3(用含a 的式子表示)，过P 点作PH ⊥y 轴，过A 点作AP′平行y 轴，交y =x +a +3于P′，可得PH =PH′，由d(P,Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|=PH +AH =PH′+AH 可知，当2a +2≥0时，即H 点在A 点上方时，当P′A 最小时d(P,Q)的值最小，即可得出结论．当2a +2<0时，则d(A,P)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|=PH +AH =PH′+AH >P′A ，不是最小值，( 2)易得过Q(n +1,2n +6)平行y =x 的直线解析式为y Q′=x +n +5，过Q 点作PH ⊥y 轴，过P 点作PQ′平行y 轴，交y =x +n +5于Q′，同(1)可得d(P,Q)=QH +PH =HQ′+PH =PQ′=(x −32)2+(n +234)；即当x =32时PQ′最小，最小值为n +234，而Q y ≥P y ，即2n +6≥34，进而可得当m =x =32，n =−218时，PQ′=258.即d(P,Q)的最小值为258．( 3 )可判断满足d(O,P)=3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为6的正方形ABCD 上，作正方形ABCD ，顶点坐标分别为：A(−3,0)，B(0,−3)，C(3,0)，D(0,3)，由⊙M 在X 轴上运动所处的临界位置，根据直线和圆的位置关系，分别求出⊙M 与正方形边(在y 轴左右两边)最近距离为2时t 的值．结合图象可得结论．本题题考查的是函数综合题，涉及到一次函数、二次函数的应用、直线与圆的位置关系等相关知识，属新定义型题目，难度大．将d(P,Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|利用平行y =x 的直线转化为直线段和是解题关键．。
2020年南通市中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年南通市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.5的相反数是()A. 2B. −5C. 5D. 15 2.下列计算中正确的是()A. √3+√2=√5B. √3−√2=1C. 3+√3=3√3D. √34=√323.据中国电子商务研究中心()发布《2017年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为()A. 1159.56×108元B. 11.5956×1010元C. 1.15956×1011元D. 1.15956×108元4.下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是()A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，MN//BC，∠BAC的平分线交BC于点D，若∠1=60°，∠3=130°，则∠2的度数为()A. 70°B. 85°C. 95°D. 105°6.用一个圆心角为90°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则圆锥的高为()A. √17B. √15C. 2√3D. √77.若不等式组{2x−a<1x−2b>3的解集为−1<x<1，则(a−3)(b+3)的值为()A. 1B. −1C. 2D. −28.如图，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则下列结论正确的是()A. sin∠BAO=2√55B. tan∠BAO=√2C. tan∠ABO=−√2D. cos∠ABO=129.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，它们离甲地的路程y(km)与客车行驶时间x(ℎ)间的函数关系如图，下列信息：(1)出租车的速度为100千米/时；(2)客车的速度为60千米/时；(3)两车相遇时，客车行驶了3.75小时；(4)相遇时，出租车离甲地的路程为225千米．其中正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点P是线段AC上的一动点，过点P作PQ//AB交BC于点Q.设AP=x，S△PCQ=y，则y关于x的函数图象大致是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共29.0分）)−1无意义，则x−1=_________．11.若(x−1212.分解因式：ab2−4a3=______．13.如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，若CD=1，OA=3，则弦AB的长为______．14.某经济技术开发区今年一月份工业产值达60亿元，且一月份、二月份、三月份的产值总和为198亿元，若设平均每月的增长率为x，则x满足的方程是______．15.如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为______m(结果不作近似计算)．16.若m2+n2=5，m+n=3，则mn=______．17.如图，直线y1=−43x与双曲线y2=kx交于A、B两点，点C在x轴上，连接AC、BC.若∠ACB=90°，△ABC的面积为10，则k的值是_______．18.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线BD上一个动点，作∠APE=90°交直线BC于点E，点F是边AD的中点，则EP+FP的最小值为____________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：(1)(12a3−6a2+3a)÷3a;(2)(x−y)(x2+xy+y2);(3)2(a2−3)−(2a2−1)．四、解答题（本大题共7小题，共81.0分）20.某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？21.已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，AE//FD，且AE=DF.求证：∠E=∠F．22.某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下(单位：分)：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表年级最高分平均分中位数众数方差七年级9894a m7.6八年级98n9493 6.6根据以上信息，完成下列问题(1)填空：a=______；m=______；n=______；(2)两个年级中，______年级成绩更稳定；(3)七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．23.如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？24.已知抛物线y=mx2−(2m+1)x+m+1(m为常数)．(1)抛物线与x轴有两个不相同的交点，且两个交点间的距离小于1．(2)若m>0，当x>1，y随着x的增大而增大．(3)抛物线的顶点在直线y=1−x上．请你分别判断这三条结论是否正确，并给出理由．225.如图1，矩形DEFG中，DG=2，DE=3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG=2，OC=4.将△ABC绕点O逆时针旋转α(0°≤α< 180°)得到△A′B′C′．(1)当α=30°时，求点C′到直线OF的距离．(2)在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q(P,Q可以重合)，使得AP=2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B(0,3)．(1)①点B到⊙O的最大值，最小值；②在A1(5,0)，A2(0,10)，A3(√2,√2)这三个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是____；(2)在直线y=√3x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；3(3)正方形MNST的顶点M(m,1)，N(m+1,1)，若正方形上的所有点与点B都是⊙O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：5的相反数是−5．故选：B．依据相反数的定义解答即可．本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.答案：D解析：本题考查了二次根式的加减，二次根式乘除等知识.先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．解：A．√3与√2不能合并，所以A选项错误；B.√3与√2不能合并，所以B选项错误；C.√3与3不能合并，所以C选项错误；D.√34=√32，则D正确．故选D．3.答案：C解析：解：1159.56亿元=1.15956×1011元，故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．4.答案：B解析：解：A、可以看作是中心对称图形，不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；B、既可以看作是中心对称图形，又可以看作是轴对称图形，故本选项正确；C、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；D、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．故选B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.答案：C解析：本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用平行线的性质和三角形的外角的性质求出∠BAC，再利用角平分线的性质求出∠BAD=35º，最后利用三角形的外角的性质求出∠2即可解决问题．解：∵MN//BC，，∴∠BAC=∠3−∠B=130º−60º=70º，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB，∴∠BAD=35º，∴∠2=∠BAD+∠B=35º+60º=95º，故选C．6.答案：B解析：解：设圆锥的底面圆的半径为r，，解得r=1，根据题意得2πr=90⋅π⋅4180所以圆锥的高=√42−12=√15．故选B．设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=90⋅π⋅4180，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.答案：D解析：本题主要考查解不等式组和方程的能力，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程是解题的关键．解不等式组后根据解集为−1<x<1可得关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，代入代数式计算可得．解：解不等式2x−a<1，得：x<1+a2，解不等式x−2b>3，得：x>2b+3，∵不等式组的解集为−1<x<1，∴{1+a2=12b+3=−1，解得：a=1，b=−2，当a=1，b=−2时，(a−3)(b+3)=−2×1=−2，故选D．8.答案：A解析：本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识点，先求出A，B 两点的坐标，从而得到AO和BO的长，再根据勾股定理得到AB的长，最后根据锐角三角函数的定义进行判断即可．解：因为一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，所以A(−1,0)，B(0,2)，所以AO=1，BO=2，所以AB=√12+22=√5，，故A正确；，故B错误；，故C错误；=√5=2√55，故D错误．故选A．9.答案：D解析：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．解：由图象可得，出租车的速度为：600÷6=100千米/时，故(1)正确，客车的速度为：600÷10=60千米/时，故(2)正确，两车相遇时，客车行驶时间为：600÷(100+60)=3.75(小时)，故(3)正确，相遇时，出租车离甲地的路程为：60×3.75=225千米，故(4)正确，故选：D．10.答案：D解析：解：∵AC=2，AP=x，∴PC=2−x，∵PQ//AB，∴△PCQ∽△ACB，∴PCAC =CQBC，即：2−x2=CQ4，∴CQ=4−2x，∴y=12(2−x)(4−2x)=(x−2)2，故选D．由已知条件得到PC=2−x，通过△PCQ∽△ACB，根据相似三角形的性质得到PCAC =CQBC，求得CQ=4−2x，由三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质求得QC是解题的关键．11.答案：2解析：负整数指数幂的意义解答即可，幂的负整数指数运算中，底数不能为0，底数为0，则无意义；幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．解：∵(x−12)−1无意义，∴x−12=0，解得x=12，∴x−1=1x =112=2．故答案为2．12.答案：a(b+2a)(b−2a)解析：解：ab2−4a3，=a(b2−4a2)，=a(b+2a)(b−2a)．先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式来分解因式．13.答案：2√5解析：解：Rt△OAD中，OD=2，OA=3；根据勾股定理，得：AD=√OA2−OD2=√32−22=√5；∴AB=2AD=2√5；故答案为：2√5可先在Rt△OAD中，根据勾股定理求出AD的长，进而可根据垂径定理，得AB=2AD，由此求得AB的值．此题主要考查勾股定理以及垂径定理的应用，关键是根据勾股定理求出AD的长．14.答案：60+60(1+x)+60(1+x)2=198解析：解：设平均每月的增长率为x，则二月份的产值为60(1+x)亿元，三月份的产值为60(1+x)2亿元，根据题意得：60+60(1+x)+60(1+x)2=198．故答案为：60+60(1+x)+60(1+x)2=198．设平均每月的增长率为x，则二月份的产值为60(1+x)亿元，三月份的产值为60(1+x)2亿元，由一月份、二月份、三月份的产值总和为198亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.答案：12√3解析：解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC⋅tan∠ACB=18×tan60°=18√3(m)，在Rt△ADE中，AE=DE⋅tan∠ADE=18×tan30°=6√3(m)，∴DC=BE=AB−AE=18√3−6√3=12√3(m)．故答案为：12√3．首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．16.答案：2解析：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式变形得出mn=(m+n)2−(m2+n2)2是解题关键．根据完全平方公式，可得答案．解：由(m+n)2=m2+n2+2mn，得mn=(m+n)2−(m2+n2)2=32−52=2，故答案为：2．17.答案：−6解析：本题主要考查的是一次函数的图象和性质及其应用，勾股定理，反比例函数的图象，性质和应用，三角形的面积的有关知识，设点A为(a,−43a)，想办法构建方程即可解决问题．解：设点A为(a,−43a)，则OA=√a2+(43a)2=−53a，∵点C为x轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB的面积为10，∴OA=OB=OC=−53a，∴S△ACB=12×OC×(A y+|B y|)=12×(−53a)×(−83a)=10，解得，a=−3√22或3√22(舍弃)，∴点A为(−3√22,2√2)，∴k=−3√22×2√2=−6，故答案为−6．18.答案：√5解析：本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，连接FC交BD于点P，则点P 就是使EP+FP的最小值的位置所在，证明PC=PE是关键，过P作MN//AB交AD、BC于M、N，证明△AMP≌△PNE和△ADP≌△CDP得出AP=CP=PE，再利用勾股定理解答即可．解：如图：连接FC，交BD于点P，则线段FC的长就是EP+FP的最小值；如图，过P作MN//AB，交AD于M，交CB于N，∵PA⊥PE，∴∠APE=90°，∴∠MPA+∠EPN=90°，∵四边形ABCD是正方形，AB//MN，∴∠AMP=∠PNE=90°，∴∠MPA+∠MAP=90°，∴∠EPN=∠PAM，在Rt△PNB中，∠PBN=45°，∴△PNB是等腰直角三角形，∴PN=BN，∵∠AMP=∠PNB=∠ABC=90°，∴四边形MABN是矩形，∴AM=BN，∴AM=PN，∴△AMP≌△PNE(ASA)，∴PA=PE；在△ADP和△CDP中，AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，∴△ADP≌△CDP，∴PA=PC，∴PE=PC，∵正方形ABCD的边长为2，点F是边AD的中点，∴CD=2，DF=1，∠FDC=90°，∴FC=√DF2+CD2=√12+22=√1+4=√5，∴EP+FP的最小值为√5．故答案为√5.19.答案：解：(1)原式=12a3÷3a−6a2÷3a+3a÷3a=4a2−2a+1；(2)原式=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3=x3−y3；(3)原式=2a2−6−2a2+1=−5．解析：此题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式和多项式乘以多项式的运算法则及去括号、合并同类项方法．(1)根据多项式除以单项式法则展开计算可得；(2)根据多项式乘多项式的运算法则计算可得；(3)先去括号，再合并同类项即可得．20.答案：解：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产(x+25)个零件，根据题意得：600x+25=450x，解得：x=75，经检验，x=75是原方程的解．答：原计划平均每天生产75个零件．解析：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产(x+25)个零件，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．21.答案：证明：∵AE//DF，∴∠A=∠D．∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC．即AC=BD．在△AEC和△DFB中，{AE=DF ∠A=∠D AC=BD，∴△AEC≌△DFB(SAS)，∴∠E=∠F．解析：根据平行线的性质可得到∠A=∠D，根据等式的性由已知AB=CD可得AC=BD，从而可利用SAS来判定△AEC≌△DFB，再根据全等三角形的对应角相等即可得到∠E=∠F．此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，ASA，HL等．22.答案：(1)94；92 ；94 ；(2)八；(3)列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P(这两人分别来自不同年级的概率)=812=23．解析：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．(1)根据中位数、众数和平均数的定义求解；(2)根据方差的意义进行判断；(3)列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．解：(1)a=94；m=92，(88+93+93+93+94+94+95+95+97+98)=94；n=110故答案为94；92；94；(2)七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；故答案为八；(3)见答案23.答案：解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O的半径为2，∴OE=1，CE=DE=√3，∴CD=2√3，∴图中阴影部分的面积解析：本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积−三角形OCD的面积．过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积−三角形OCD的面积，列式计算即可求解．24.答案：解：(1)∵Δ=(2m+1)2−4m(m+1)>0，∴抛物线与x轴的两个交点，令y=0，得(mx−m−1)(x−1)=0，∴x1=m+1m，x2=1，∴|x1−x2|=|1m|，当−1≤m≤1时，|x1−x2|≥1，∴结论错误．(2)错误，抛物线对称轴x=−−(2m+1)2m =1+12m，∵m>0，∴x≥1+12m时，y随x的增大而增大，x≤1+12m时，y随x的增大而减小，取m=1时，当1<x≤32时，y随x增大而减小．(3)正确，顶点x=1+12m ，y=4m(m+1)−(2m+1)24m=−14m，顶点坐标为(1+12m ,−14m)，对于直线y=1−x2，当x=1+12m 时，y=1−(1+12m)2=−14m，顶点在直线y=1−x2上，结论正确．解析：本题考查的是二次函数图象，一元二次方程根的判别式有关知识．(1)利用一元二次方程根的判别式进行解答即可；(2)利用二次函数的图象进行解答即可；(3)先求顶点坐标，然后再代入直线y=1−x看是否满足即可．225.答案：解：(1)如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O=α=30°，∴C′H=C′O⋅cos30°=2√3，∴点C′到直线OF的距离为2√3．(2)①如图2中，当C′P//OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．∵C′P//OF，∴∠O=180°−∠OC′P=45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′=4，∴C′M=2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2−2．如图3中，当C′P//DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N=2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2+2．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．∵OA′=2√5，OM=2，∠OMA′=90°，∴A′M=√A′O2−OM2=√(2√5)2−22=4，∴A′D=2，即d=2，如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．∵PQ=1，OQ=5，∴OP=√52+12=√26，∴PM=√26−4=√22，∴PD=√22−2，∴d=√22−2，∴2≤d≤√22−2．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G=2√5−2，即d=2√5−2，如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR//OQ交OB′于R，连接OP．∵OP=√26，OF=5，∴FP=√OP2−OF2=√26−25=1，∵OF=OT，PF=PT，∠F=∠PTO=90°，∴Rt △OPF≌Rt △OPT(HL)，∴∠FOP =∠TOP ，∵PR//OQ ，∴∠OPR =∠POF ，∴∠OPR =∠POR ，∴OR =PR ，∵PT 2+TR 2=PR 2，∴12+(5−PR)2=PR 2，∴PR =2.6，RT =2.4，∵△B′PR∽△B′QO ， ∴B′R B′O =PR QO ，∴3.46=2.6OQ ，∴OQ =7817，∴QG =OQ −OG =4417，即d =4417 ∴2√5−2≤d <4417，第三种情形：当A′P 经过点F 时，如图7中，显然d =3．综上所述，2≤d ≤√22−2或d =3．解析：(1)如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H.解直角三角形求出CH即可．(2)①分两种情形：如图2中，当C′P//OF时，过点C′作C′M⊥OF于M.如图3中，当C′P//DG时，过点C′作C′N⊥FG于N.分别求出C′M，C′N即可．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M.如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q.结合图象可得结论．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G=2√5−2，即d=2√5−2，如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR//OQ交OB′于R，连接OP.求出QG可得结论．第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d=3.综上所述可得结论．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．26.答案：解：(1)①点B到⊙O的最大值是BO+r=3+1=4；点B到⊙O的最小值是BO−r=3−1=2；②A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP=2BQ，则A1与B是⊙O的一对“倍点”，故答案为A1；(2)∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2∴4≤2BQ≤8，∵O到直线y=√3x+b的最大距离是9，即OD=9，3∵∠DCO=60°，∴CO=6√3∴b=±6√3∴−6√3≤b≤6√3；(3)当m>0时，S(m+1,0)，T(m,0)，则m+1≥4，∴m≥3，S(m+1,2)，T(m,2)，则OS≤9，∴√(m+1)2+22≤9，∴m≤√77−1；∴3≤m≤√77−1；当m<0时，S(m+1,0)，T(m,0)，则m≤−4，S(m+1,2)，T(m,2)，则OT≤9，∴√m2+22≤9，∴m≥−√77，∴−√77≤m≤−4；综上所述：3≤m≤√77−1或−√77≤m≤−4；解析：本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键．(1)①点B到⊙O的最大值是BO+r=3+1=4；点B到⊙O的最小值是BO−r=3−1=2；(2)A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP=2BQ，则A1与B 是⊙O的一对“倍点”；(3)当m>0时，m+1≥4，S(m+1,0)，T(m,0)，可得m≥3；S(m+1,2)，T(m,2)，√(m+1)2+22≤9，可得m≤√77−1；当m<0时，S(m+1,0)，T(m,0)，则m≤−4，S(m+1,2)，T(m,2)，则OT≤9，则m≥−√77；。
2020中考一模江苏南通海门0515答案
20．（本小题满分 10 分）
解：解不等式①，得 x＞－1． 2
………………………………3 分
解不等式②，得 x≤3．
………………………………6 分
∴原不等式组的解集为－1＜x≤3． 2
………………………………7 分
其正整数解为：1，2，3
…………………… …10 分
21．（本小题满分 10 分）
解：（1）超市购进乙种商品 x 件，则购进甲种商品(2x－10)件．…………………1 分
（第 22 题）
∴BC＝4， 又 BE＝1，
∴CE＝BC－BE＝4－1＝3.
…………………4 分
（2）∵DE 切⊙O 于点 D，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°.
又 OD∥BC，
∴∠DEC＝∠ODE＝90°，∴DE⊥BC，
故点 B 到 OD 的距离即为线段 DE 的长. ………………………………………6 分
（3）列树状图如下：
……………………………………………………4 分 ……………………………………………………6 分
A类
男
女
女
D类
男 女 男 女男 女 ………………………………………9 分
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 6 种，这些结果出现的可能性相等．其 中一男一女的有 3 种．所以 P（一男一女）＝ 3 ＝ 1 ．…………………………12 分
由题意，得 120(2x－10)＋80x＝10000． …………………………………………4 分
解得 x＝35．
…………………………………………6 分
∴2x－10＝60．
答：超市购进甲种商品 60 件，乙种商品 35 件． …………………………7 分
2020学年江苏省南通市高考一模数学
2020年江苏省南通市高考一模数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为 . 解析：根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期等于2πω，得出结论.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为23π.答案：23π.2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}，则A ∪B= .解析：由交集的定义，可得a+2=3，解得a ，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求.集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}， 可得a+2=3，解得a=1， 即B={3，5}，则A ∪B={1，3，5}. 答案：{1，3，5}.3.复数z=(1+2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 . 解析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.∵z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i ， ∴z 的实部为-3. 答案：-3.4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 . 解析：利用对立事件的概率公式，可得结论.∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35， ∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17. 答案：0.17.5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 .解析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足a ＜16的最大n 值，模拟程序的运行过程可得答案.当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3. 满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5. 满足进行循环的条件，退出循环. 故输出n 值为5. 答案：5.6.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=3x+2y 的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=3x+2y 得3122y x z +-=， 平移直线3122y x z +-=，31312222y x z A y x z =+=+--由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z 最大. 由2437x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得A(1，2)，代入目标函数z=3x+2y 得z=3×1+2×2=7. 即目标函数z=3x+2y 的最大值为7. 答案：7.7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 . 解析：根据题意，对于甲，其平均数6580708575755x ++++==甲，其方差S甲2=15[(65-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(85-75)2+(75-75)2]=50. 对于乙，其平均数8070758070755x ++++==乙，其方差S乙2=15[(80-75)2+(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(70-75)2]=20.比较可得：S 甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳定. 答案：20.8.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1-A 1BD 的体积为 cm 3.解析：∵在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， ∴三棱锥D 1-A 1BD 的体积：1111111111311133326213D A BD B A D D A D D V V SAB A D DD AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=(cm 3). 答案：32.9.在平面直角坐标系xOy 中，直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .解析：利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可.直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，可得b=2a ，即c 2-a 2=4a 2，可得ca=10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升. 解析：设最上面一节的容积为a 1，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组：111()43432986596()422a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩， 解得11322a =. 答案：1322.11.在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC的值为 . 解析：根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出sin sin AC的值. 在△ABC 中，设三条边分别为a 、b ，c ，三角分别为A 、B 、C ， 由2BC BA AC AB CA CB +=， 得ac ·cosB+2bc ·cosA=ba ·cosC ， 由余弦定理得：()()()2222222221122a c b b c a b a c +-++-=+-，化简得222a ac c==，则，由正弦定理得sin sin A aC c==.12.已知两曲线f(x)=2sinx ，g(x)=acosx ，x ∈(0，2π)相交于点P.若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 . 解析：联立两曲线方程，可得sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0，设交点P(m ，n)，分别求出f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a 的值. 由f(x)=g(x)，即2sinx=acosx ， 即有sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0， 设交点P(m ，n)，f(x)=2sinx 的导数为f ′(x)=2cosx ， g(x)=acosx 的导数为g ′(x)=-asinx ， 由两曲线在点P 处的切线互相垂直， 可得2cosm ·(-asinm)=-1，且tan 2a m =， 则222sin cos 1sin cos a m m m m=+， 分子分母同除以cos2m ， 即有22tan 11tan a mm=+，2214a a a =+=即为，解得.13.已知函数f(x)=|x|+|x-4|，则不等式f(x 2+2)＞f(x)的解集用区间表示为 .解析：令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，x ≥4时，g(x)=2x 2-2x+4＞0，解得：x ≥4.≤x ＜4时，g(x)=2x 2-4＞0，解得： 4x x x -＜＜.0≤x 时，g(x)=0＞0，不合题意.≤x ＜0时，g(x)=2x ＞0，不合题意.x ＜时，g(x)=2x 2+2x-4＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故x ＜-2，即不等式的解集用区间表示为(-∞，-2)∪，+∞).答案：(-∞，-2)∪，+∞).14.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 .解析：在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，如图所示：当BC ⊥OA 时，|BC|取得最小值或最大值.由2214y x y =⎧⎨+=⎩，可得B ())，由2211x x y =⎧⎨+=⎩，可得C ((1或， 解得：min max BC BC ===故线段BC 的长的取值范围为.答案：+.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB=5.(1)求cosβ的值.解析：(1)由条件利用余弦定理，求得cosβ的值.答案：(1)在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，∴222222113 cos22115OA OB ABAOBOA OB+-+-∠===⨯⨯⎝⎭，即cosβ=35.(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标.解析：(2)利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标.答案：(2)∵30 52cosπββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴4sin5β===.55cos1313Aα=点的横坐标为，由三角函数定义可得，，∵α为锐角，∴12sin13α===.∴5312433 cos cos cos sin si()n13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，1235456sin sin cos cos sin135165 ()35αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，即点B33566565⎛⎫⎪⎝-⎭，.16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP=OC ，PA ⊥PD.求证：(1)直线PA ∥平面BDE.解析：(1)连结OE ，说明OE ∥PA.然后证明PA ∥平面BDE. 答案：(1)证明：连结OE ，∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点， ∴O 为AC 中点. ∵E 为PC 的中点， ∴OE ∥PA.∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴直线PA ∥平面BDE.(2)平面BDE ⊥平面PCD.解析：(2)证明OE ⊥PD.OE ⊥PC.推出OE ⊥平面PCD.然后证明平面BDE ⊥平面PCD. 答案：(2)证明：∵OE ∥PA ，PA ⊥PD ， ∴OE ⊥PD.∵OP=OC ，E 为PC 的中点， ∴OE ⊥PC.∵PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD=P ， ∴OE ⊥平面PCD. ∵OE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PCD.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程.解析：(1)由已知条件可得21c a c a c =-=，然后求解椭圆的方程. 答案：(1)由题意得，221c a c a c=-=， 解得a=2，c=1，b=1.所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线于点Q ，求2211OP OQ+的值. 解析：(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，求解结果.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.联立方程组，推出OP 2=222221k k ++.OQ 2=2k 2+2.然后求解即可. 答案：(2)由题意知OP 的斜率存在. 当OP 的斜率为0时，22111OP OQ OP OQ ==+=. 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.()22222222222121222121x k y k x x y k k y kx⎧+=⎪+===⎨++⎪=⎩由得，解得，所以， 所以OP 2=222221k k ++. 因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为1y kx =-.由1k y y x-⎧=⎪⎨=⎪⎩得x =，所以OQ 2=2k 2+2. 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++. 综上，可知22111OP OQ+=.18.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P)，再沿直线PE 裁剪.(1)当∠EFP=4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积. 解析：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π.可得FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形.即可得出. 答案：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π. 所以∠FPE=2π.所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形.所以四边形MNPE 的面积S=PN ·MN=2m 2.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由. 解析：(2)解法一：设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ.可得()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.四边形MNPE 面积为：()22223326sin 2tan tan si 112n 22S NP ME MN θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪⨯=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，化简利用基本不等式的性质即可得出.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t ，可得PE=PFt BP =-，()()22131332323t t BP NP t t t --==-+--，，四边形MNPE面积为()()()()213231132226263233t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝-⎭⎣=+=-++-⨯=--+--⎦，利用基本不等式的性质即可得出. 答案：(2)解法一： 设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ. 所以()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.2230sin 232ta 2sin 32ta n 000232n θθθθππθθ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩＞＞由＞得＞＜＜＜＜ (*)所以四边形MNPE 面积为()221122sin tan tan si 22223326222n (sin cos )tan tan sin cos tan 2366662S NP ME MN θθθθθθθθθθθ⎛⎫=+=-+-⨯=-- ⎪⎝⎭+⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢-=-+≤-=- ⎪⎝⎭⎣⎭⎥⎝⎦当且仅当tan tan tan 33πθθθθ===，即时取“=”. 此时，(*)成立. 答：当∠EFD=3π时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE面积最大， 最大值为2.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t. 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PFt BP =-.所以()()()22131333332323t t BP NP PF PE t BP t t t --==-=-=--=-+--，. ()()22236361302312310133023t t tt t t t t t t ⎧⎪⎪⎧⎪⎪-⎪⎨⎨-⎪⎪-+⎩⎪-⎪-+-⎪⎩＜＜＜＜由＞得＜＞(*).所以四边形MNPE 面积为()()()()2133612232636312232t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛-=+=-++-⨯-=--⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡+≤⎢⎥⎣⎦--⎤()3232333t t t -==+=+-当且仅当，即“=”. 此时，(*)成立.答：当点E 距B 点3+233m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为2.19.已知函数f(x)=ax 2-x-lnx ，a ∈R.(1)当a=38时，求函数f(x)的最小值. 解析：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx.求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值. 答案：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx. 所以()()()32113424x x f x x x x+-'=--=(x ＞0). 令f'(x)=0，得x=2，当x ∈(0，2)时，f'(x)＜0.当x ∈(2，+∞)时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增. 所以当x=2时，f(x)有最小值()122ln 2f =--.(2)若-1≤a ≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点.解析：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=，x ＞0.当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点，当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞，推出结果.答案：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=(x ＞0).所以当a ≤0时，()2210ax x f x x--'=＜，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.因为当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞， 所以当-1≤a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上有零点.综上，当-1≤a ≤0时，函数f(x)有且只有一个零点.(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围.解析：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.说明a ＞0，由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，说明函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增.要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要ax 02-x 0-lnx 0＜0.通过函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，推出0＜a ＜1.验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点.证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，利用导数求解函数的最值即可.答案：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点. 因为函数f(x)有两个零点，所以a ＞0.由f(x)=ax2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，令g(x)=2ax 2-x-1.因为g(0)=-1＜0，2a ＞0，所以函数g(x)在(0，+∞)上只有一个零点，设为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g(x)＜0，f'(x)＜0.当x ∈(x 0，+∞)时，g(x)＞0，f'(x)＞0. 所以函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增. 要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要函数f(x)的极小值f(x 0)＜0，即ax 02-x 0-lnx 0＜0＜0.又因为g(x 0)=2ax 02-x 0-1=0，所以2lnx 0+x 0-1＞0，又因为函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，且h(1)=0，所以x 0＞1，得0＜1x ＜1. 又由2ax 02-x 0-1=0，得2200011241112a x x x =+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎭⎝⎭-⎝+，所以0＜a ＜1.以下验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点. 当0＜a ＜1时，2121110a a g a aa a ⎛⎫ -==⎝--⎪⎭＞， 所以1＜x 0＜1a. 因为2221110a e e a f e e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+=-+=⎭＞，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(1e，x 0)上有一个零点. 又因为224222ln 2110a f a a a a a a =-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭---=＞(因为lnx ≤x-1)，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(x 0，2a)上有一个零点. 所以当0＜a ＜1时，函数f(x)在12ea ⎛⎫⎪⎝⎭，内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围为(0，1).下面证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，所以()111x t x x x-'=-=(x ＞0). 令t'(x)=0，得x=1.当x ∈(0，1)时，t'(x)＜0.当x ∈(1，+∞)时，t'(x)＞0. 所以函数t(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以当x=1时，t(x)有最小值t(1)=0. 所以t(x)=x-1-lnx ≥0，得lnx ≤x-1成立.20.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，kn a ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1)若k 1=1，k 2=3，k 3=8，求1a d的值. 解析：(1)由已知得：a 1，a 3，a 8成等比数列，从而4d 2=3a 1d ，由此能求出1a d的值.答案：(1)由已知可得：a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1+2d)2=a 1(a 1+7d)，整理可得：4d 2=3a 1d. 因为d ≠0，所以143a d =. (2)当1a d为何值时，数列{k n }为等比数列. 解析：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3，推导出11a d=，从而n k n a k d =，进而k n =k 1q n-1.由此得到当11a d=时，数列{k n }为等比数列. 答案：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3. 又因为ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1+(k 1-1)d][a 1+(k 3-1)d]=[a 1+(k 2-1)d]2.整理，得a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(k 1k 3-k 22-k 1-k 3+2k 2).因为k 22=k 1k 3，所以a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(2k 2-k 1-k 3). 因为2k 2≠k 1+k 3，所以a 1=d ，即11a d=. 当11a d=时，a n =a 1+(n-1)d=nd ，所以n k n a k d =. 又因为1111n n n k k a a qk dq --==，所以k n =k 1q n-1.所以1111nn n n k k q q k k q+-==，数列{k n }为等比数列. 综上，当11a d=时，数列{k n }为等比数列.(3)若数列{k n }为等比数列，且对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立，求a 1的取值范围.解析：(3)由数列{k n }为等比数列，a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).得到111112n n k q a n k q --+＞，111111121022n n nn k q q na k q k q--+=+＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n q ＜ε. 要证11n n q＜ε，即证lnn 1＜n 1lnq+ln ε.由此能求出a1的取值范围.答案：(3)因为数列{k n }为等比数列，由(2)知a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，a n =a 1+(n-1)d=na 1.因为对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立.所以不等式1111112n n na k a q k q --+＞，即111111111112101222n n n n nk q n k q q na n k q a k q k q----+=++＞，＜＜恒成立. 下面证明：对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n q ε＜. 要证11n n qε＜，即证lnn 1＜n 1lnq+ln ε. 因为1ln 21x x x e ≤＜，则1ln n=1ln ln n q ε+，即2ln 0q ln ε＞，21n⎝⎭＞. 不妨取201n ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则当n 1＞n 0时，原式得证. 所以10211a ≤＜，所以a 1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞).附加题：选做题本题包括四小题，请选2题作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21.已知圆O 的直径AB=4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE=2CD ，求△OCE 的面积.解析：由相交弦定理，得CD ，DE 中点H ，则OH ⊥DE ，利用勾股定理求出OH ，即可求出△OCE 的面积.答案：设CD=x ，则CE=2x. 因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA ·CB=CD ·CE ，所以1×3=x ·2x=2x 2，所以取DE 中点H ，则OH ⊥DE.因为222235284OH OE EH x =-=-⎫ ⎪⎭=⎛⎝，所以.又因为，所以△OCE 的面积1122S OH CE ==⨯=.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)，求矩阵A. 解析：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a 、b 、c 和d 的值，求得A. 答案：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∵向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量， ∴()1111111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎢⎥--⎣⎥⎣⎦⎦⎣⎦⎣⎦. ∴11a b c d -=-⎧⎨-=⎩∵点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)，∴1313a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎢⎥⎣⎦⎦⎡. ∴33a b c d +=⎧⎨+=⎩解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以A=1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中，求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长. 解析：极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A ，B 的坐标，即可求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.答案：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ=4πρ∈R)的直角坐标方程为y=x ①， 曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2-4y=0②. 由①②得0202x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 所以A(0，0)，B(2，2)， 所以直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.[选修4-5：不等式选讲]24.求函数3sin y x =+.解析：利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可.答案：3sin 3sin y x x =+=+，由柯西不等式得(()()222222334sin sincos 25y x x x =+≤++=，所以y max =5，此时sinx=35.所以函数3sin y x =+ 5.[必做题]共2小题，满分20分25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ=λBB 1(λ≠0).(1)若λ=12，求AP 与AQ 所成角的余弦值. 解析：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.求出()20)2(121AP AQ ==，，，，，，利用数量积求解AP 与AQ 所成角的余弦值.答案：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.∵()20)2(121AP AQ ==，，，，，，∴1cosAP AQ AP AQ AP AQ⨯===＜，＞∴AP 与AQ 所成角的余弦值为15.(2)若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值.解析：(2)1()00)2(022AA AQ λ==，，，，，.求出平面APQ 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可.答案：(2)由题意可知，1()00)2(022AA AQ λ==，，，，，. 设平面APQ 的法向量为n =(x ，y ，z)，2202200n AP x y z x z n AQ λ⎧=++=⎧⎪⎨⎨+=⎩=⎪⎩则，即 令z=-2，则x=2λ，y=2-λ. ∴n =(2λ，2-λ，-2).∵直线AA 1与平面APQ 所成角为45°，∴111cos 22(n AA n AA n AA ===＜，＞， 可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以λ=45.26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2py(p ＞0)上的点M(m ，1)到焦点F 的距离为2.(1)求抛物线的方程.解析：(1)求出抛物线x 2=2py(p ＞0)的准线方程为2py =-，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程.答案：(1)抛物线x 2=2py(p ＞0)的准线方程为2p y=-， 因为M(m ，1)，由抛物线定义，知MF=1+2p ， 所以1+2p=2，即p=2， 所以抛物线的方程为x 2=4y.(2)如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值.解析：(2)求出函数的y ′=12x.设点E(t ，24t )，t ≠0，得到抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.求出P(2t，0).推出直线PF 的方程，点E(t ，24t )到直线PF 的距离，联立2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩求出AB ，表示出△EAB 的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可. 答案：(2)21142y x y x ='=因为，所以. 设点E(t ，24t )，t ≠0，则抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.令y=0，则x=2t ，即点P(2t， 0). 因为P(2t，0)，F(0，1)，所以直线PF 的方程为22t y x t ⎛=--⎫ ⎪⎝⎭，即2x+ty-t=0.则点E(t ，24t )到直线PF的距离为d ==.联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得t 2y 2-(2t 2+16)y+t 2=0. 因为△=(2t 2+16)2-4t 4=64(t 2+4)＞0， 所以12y y ==，所以()22121222442161122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=. 所以△EAB 的面积为()()322221122444t t S tt++=⨯=⨯.不妨设()()()()()22122223()44024x x g x x g x xxx++='=-＞，则.因为x ∈(0，2)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，2)上单调递减.x ∈(2，+∞)上，g'(x)＞0，所以g(x)在(2， +∞)上单调递增.())3224min x g x +===所以当所以△EAB 的面积的最小值为。
江苏南通市2020届高三学校第一次大联考数学试题含附加题及参考答案
2020届高三基地学校第一次大联考数学 I参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 球体的体积公式34π3V R =球体，其中R 为球体的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}101B =-，，，则AB = ▲ ．2． 已知复数z 满足10i z z =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4． 若样本数据3，4，5，x ，y 的平均数为4，且12xy =， 则此样本的方差为 ▲ ．5． 从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10 的概率为 ▲ ．6． 现有一个半径为3 cm 的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为3 cm 的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为 ▲ cm ．7． 已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=+>的图象关于点π(0)2，对称，则ω的最小值为▲ ．8． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ≠，323a a =，则105S S 的值为 ▲ ． 9． 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线C ：22(0)x py p =>在点1x =处的切线为（第3题）l ．若l 与该抛物线的准线的交点横坐标为732，则p 的值为 ▲ ． 10． 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()log 2(1)f x x =+．则满足不等式2(2)40f a a -+>的实数a 的取值范围是 ▲ ． 11． 已知x ，y 为正实数，则292y x x x y++的最小值为 ▲ ． 12． 在ABC ∆中，已知π3A =，3AB =．若D 为BC 中点，且72AD =，则AC AD ⋅=▲ ．13． 在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：224x y +=的直径．若与圆O 外离的圆1O ：222(6)(8)(0)x y r r -+-=>上存在点M ，连接AM 与圆O 交于 点N ，满足BMON ，则半径r 的取值范围是 ▲ ．14． 已知函数2()(1)1f x x m x =-+-与()ln 22g x x x m =--的零点分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，BC BD ⊥．E 为CD 的中点，O 为BD 上 一点，且AO ⊥平面BCD ． 求证：（1）BC平面AOE ；（2）平面ABD ⊥平面AOE ．（第15题）16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，所对边分别为a b c ，，．已知sin sin 2B Ca Bb +=． （1）求角A 的值； （2）若π1cos()64B +=，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(0)F，点1()2A ，在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O ：222x y a +=，连接FA 并延长交圆O 于点B ，H 为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆C 和圆O 于点P ，Q （P ，Q 均在x 轴上方）．连接PA ，QB ，记PA 的斜率为1k ，QB 的斜率为2k ．①求21k k 的值； ②求证：直线PA ，QB 的交点在定直线上．（第17题）18．（本小题满分16分）某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中4AB =百米，2AD =百米，半圆形池塘的半径为 1 百米，圆心O 与线段AB 的中点重合，半圆与AB 的左侧交点为E ．该农场计划分别在AE 和CD 上各选一点P ，Q ，修建道路A P Q C →→→，要求 PQ 与半圆相切．（1）若 60QPE ∠=︒，求该道路的总长；（2）若AP ，PQ 为观光道路，修建费用是4万元/百米，CQ 为便道，修建费用是 1 万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值．19．（本小题满分16分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2n n n S Aa Ba C =++（A B C ，，为常数）对任意n *∈N 恒成立．（1）若2nn a =，求A B C ，，的值；（2）若16A =，12B =，13C =，且1n a >． ①求数列{}n a 的通项公式；②若数列{}n b 满足212n an n b b +=，且238b b =，求证：数列{}n b 为等比数列．（第18题）20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x a x x =-，（a ∈R ，0a ≠），1()()gx x x=-+（0x >）． （1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求a 的值； （2）记()()()F x f x g x =-．①若在区间(]0e ，（e 为自然对数底数）上至少存在一点0x ，使得0()0F x <成立，求a 的取值范围；②若函数()F x 图象存在两条经过原点的切线，求a 的取值范围．2020届高三基地学校第一次大联考数 学 II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4–2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为4，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为2,2x s y s ⎧=⎨=⎩（s 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，求弦AB 的长．C ．[选修4–5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式x a b -<的解集为{}24x x <<，【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在某次数学测验中，学号为(1234)i i =，，，的四位同学的考试成绩{}()90929698f i ∈，，，，且满足(1)f ≤(2)f ≤(3)f ≤(4)f ．（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；（2）设四位同学中恰有X 位同学的考试成绩为96分，求随机变量X 的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）已知2012(1)()n n n x a a x a x a x n *+=+++⋅⋅⋅+∈N ．（1）若215a =，求n 的值； （2）求01(1)nkn k kS a ==-∑的值．。
江苏省南通市2020年中考数学一模试卷解析版
A. ①②③④
B. ①③⑤
C. ①③④
10. 已知：如图，AC，BC 分别是半圆 O 和半圆 O'的直
径，半圆 O 的弦 MC 交半圆 O'于 N．若 MN=2，
则 AB 等于（ ）
D. ①③④⑤
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A.
B. C. 2•cosα D. 2•sinα
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 11. 比较大小： ______ ．（填“＞”或“＜”号）． 12. 在比例尺为 1：500000 的地图上，量得 A、B 两地的距离为 3cm，则 A、B 两地的
三、计算题（本大题共 1 小题，共 12.0 分） 19. 在平面直角坐标系中，已知 A（t，0），B（0，-t），C（t，2t）三点，其中 t＞0，
双曲线 y= 分别与线段 BC，AC 交于点 D，E． （1）当 t=1 时，求点 D 的坐标；
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（2）当 S△ABE= 时，求△ADE 的面积； （3）若 S△DAB-S△BDE= ，求 t 的值．
）
A. a+1
B.
C.
D. a
9. 一辆货车早晨 7：00 出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程 y（km）与 行驶时间 x（h）的完整的函数图象（其中点 B、C、D 在同一条直线上），小明研 究图象得到了以下结论： ①甲乙两地之间的路程是 100km； ②前半个小时，货车的平均速度是 40km/h； ③8：00 时，货车已行驶的路程是 60km； ④最后 40km 货车行驶的平均速度是 100km/h； ⑤货车到达乙地的时间是 8：24． 其中，正确的结论是（ ）
24. 已知，矩形 ABCD 中，AB=6，AD=10，E 是边 DC 上一点，连接 AE，将△ADE 沿 直线 AE 翻折得△AFE． （1）如图①，点 F 恰好在 BC 上，求证：△ABF∽△FCE； （2）如图②，当 DE=2 时，延长 AF 交边 CD 于点 G，求 CG 的长．
江苏省南通市海门市2020届中考数学一模试卷 (含解析)
江苏省南通市海门市2020届中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.我囯最长河流长江全长约6300km.用科学记数法表示为()A. 63×102kmB. 6.3×102kmC. 0.63×103kmD. 6.3×103km2.如图，数轴上有E，F，G，P四个点，其中表示2的相反数的点是()A. EB. FC. GD. P3.下列各交通标志中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中，则袋中黑球的个数为()有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是110A. 27B. 23C. 22D. 185.如图，直线a//b，∠1=70°，那么∠2的度数是()A. 130°B. 110∘C. 70∘D. 80°6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠OCB等于()A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°7.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是()A. 5米B. 6米C. 7米D. 8米8.张老师家1月至12月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是()A. 25和17.5B. 30和20C. 30和22.5D. 30和259.如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有()个A. 3B. 4C. 5D. 610.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是()A. 甲的速度是60米/分钟B. 乙的速度是80米/分钟C. 点A的坐标为(38,1400)D. 线段AB所表示的函数表达式为y=40t(40≤t≤60)二、填空题（本大题共8小题，共29.0分）11.在函数y=x−3中，自变量x的取值范围是______．4x−2|+3−2=______．12.计算：|−2313.分解因式：4x2−144=________．14.如果一个正多边形的内角是140°，则它是______ 边形．15.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为______米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．16.已知关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+a−2=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x(x>0)与AB相交于点D，与轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kxBC相交于点E，若BE=4EC，且△ODE的面积是5，则k的值为______ ．18.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3√5，且∠ECF=45°，则CF的长为__________．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）19.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是BF⏜的中点．(1)求证：AD⊥CD；(2)若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE−EC−CB⏜爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14,√3≈1.73，结果保留一位小数)．四、解答题（本大题共7小题，共79.0分）20. 先化简，再求值：(1x+3+6x 2−9)÷1x 2−6x+9，其中x =12．21. 求不等式组{2(x −1)≥x −4x+72>x +2的正整数解．22. 某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本15元、35元，甲、乙两种图书的售价分别为每本20元、45元．(1)若书店购书恰好用了2300元，求购进的甲、乙图书各多少本？(2)销售时，甲图书打8.5折，乙图书不打折．若甲、乙两种图书全部销售完后共获利15，求购进的甲、乙图书各多少本？23. 学校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A ：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差)绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为______度；(3)学校想从被调查的A类(1名男生2名女生)和D类(男女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．x+n经过点A(−4,2)，分24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−14别与x，y轴交于点B，C，抛物线y=x2−2mx+m2−n的顶点为D．(1)求点B，C的坐标；(2)①直接写出抛物线顶点D的坐标(用含m的式子表示)；②若抛物线y=x2−2mx+m2−n与线段BC有公共点，求m的取值范围．25.已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连结CB．(1)问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为____________，BD，AB，CB之间的数量关系为_______________；(2)拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并给与证明；(3)解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时(点C，D在直线MN的两侧)，若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB=_____________．x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．26.如图，已知直线l的函数表达式为y=34(1)求点A、点B的坐标；(2)设F是x轴上一动点，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，设⊙P的圆心坐标为P(x,y)，求y与x的函数关系式；(3)是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：将6300km用科学记数法表示6.3×103km．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.答案：B解析：此题主要考查了数轴，正确把握相反数的定义是解题关键．直接利用相反数的定义得出答案．解：数轴上有E，F，G，P四个点，其中表示2的相反数的点是：−2所在的点，即F点．故选：B．3.答案：A解析：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．根据中心对称图形的定义可直接选出答案．解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、C、D是中心对称图形，故B、C、D选项错误；故选：A．4.答案：C解析：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．。
2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.绝对值等于9的数是()A. 9B. −9C. 9或−9D. 192.河池市总面积为33500平方公里，其中数据33500用科学记数法表示为()A. 0.335×104B. 0.335×105C. 3.35×104D. 3.35×1053.如图，在数轴上表示无理数√8的点落在()A. 线段AB上B. 线段BC上C. 线段CD上D. 线段DE上4.袋子中装有5个红球、3个绿球，从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为()A. 35B. 38C. 58D. 255.下列运算正确的是()A. (b2)3=b5B. x3÷x3=xC. 5y3·3y2=15y5D. a+a2=a36.如图，BD//EF，AE与BD交于点C，∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为()A. 135°B. 125°C. 115°D. 105°7.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是()A. 289(1−x)2=256B. 256(1−x)2=289C. 289(1−2x)=256D. 256(1−2x)=2898. 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =2，按照如下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径画弧，两弧分别相交于点M ，N ；②作直线MN 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连结BE ，则BE 的长是( ) A. 4√33 B. 3C. √5D. 2√339. 小带和小路两个人开车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A 城的距离y(千米)与行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．有下列结论； ①A 、B 两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t =54或t =154．其中正确的结论有( )A. ①②③④B. ①②④C. ①②D. ②③④10. 如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(−2,5)的对应点A′的坐标是( )A. (2,5)B. (5,2)C. (2,−5)D. (5,−2)二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 若代数式x+1x−2÷x−1x+4有意义，则x 的取值范围是________．12.分解因式：ab2−4a3=______．13.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为______．14.甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树的棵数是乙植树棵数的1.5倍.若设甲植树x棵，乙植树y棵，则可列方程组为_______．15.若α、β是方程x2+2016x+1=0的两个根，则(1+2018α+α2)(1+2018β+β2)的值为___________．16.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m.已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则这盏路灯的高为m.17.如图，在△ABC中，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为____________．18.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(−1,0)和(0,0)之间(包括这两点)，顶点P是线段BC上(包括端点)的一个动点，其中B(1,−3)，C(3,−3)，则a的取值范围是_____________．三、解答题（本大题共10小题，共91.0分）19.(1)计算：2√23+|(−12)−1|−2√2tan30°−(π−2019)0；(2)先化简，再求值：(aa2−b2−1a+b)÷bb−a，其中a=√2，b=2−√2．20. 解不等式组：{−2x <6,3(x −2)≤x −4,并把解集在数轴上表示出来．21. 如图，E 、F 分别为▱ABCD 的边BC 、AD 上的点，且∠1=∠2.求证：四边形AECF 是平行四边形．22.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”.如图是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为400人，如表是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：图书种类频数频率科普常识1600本B名人传记 1280本0.32漫画丛书A本0.24其他160本0.04(1)求该校八年级的人数占全校总人数的百分率为_____；(2)表中A=_____，B=_____；(3)该校学生平均每人读多少本课外书？23.A、B两个港口相距100海里，港口B在港口A的北偏东31°方向上，有一艘船从A港口出发，沿北偏西44°方向匀速行驶3小时后，到达位于B港口南偏西76°方向的C处．求此船行驶的速度(结果精确到1海里/时，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449)24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与双曲线y=k的一个交点为P(m,2)．x(1)求k的值；(2)M(2019,a)，N(n,b)是双曲线上的两点，直接写出当a>b时，n的取值范围．100925.如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O交AB于E，交AD的延长线于F，连结EF，∠1=∠F．(1)求证：AE=BE；(2)若tanB=1，EF=4√5，求CD的长．226.已知抛物线y=x2−(m+2)x+(2m−1)．(1)求证：抛物线与x轴一定有两个交点；(2)点A(−2,y1)、B(1,y2)、C(4,y3)是抛物线上的三个点，当抛物线经过原点时，比较y1、y2、y3的大小关系．27.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求AB的值．BC28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P′在⊙C上，则称P为⊙C的反射点．下图为⊙C的反射点P的示意图．(1)已知点A的坐标为(1,0)，⊙A的半径为2，①在点O(0,0)，M(1,2)，N(0,−3)中，⊙A的反射点是______；②点P在直线y=−x上，若P为⊙A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是⊙C的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵|9|=9，|−9|=9，∴绝对值等于9的数是9或−9．故选：C．根据绝对值的意义得|9|=9，|−9|=9．本题考查了绝对值：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=−a．2.答案：C解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：数据33500用科学记数法表示为3.35×104，故选：C．3.答案：C解析：解：∵2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，∴2.8<√8<2.9，即√8在线段CD上，故选：C．先估算出√8的范围，再得出选项即可．本题考查了估算无理数的大小和数轴，能估算出√8的范围是解此题的关键．4.答案：B解析：解：布袋中球的总数为：5+3=8，．取到绿球的概率为：38故选B．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A．出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn5.答案：C解析：本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘以单项式及合并同类项等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．解：A．(b2)3=b6，故错误；B.x3÷x3=1，故错误；C.5y3·3y2=15y5，故正确；D.a与a2不是同类项，不能合并，故错误；故选C．6.答案：D解析：解：∵∠B=30°，∠A=75°，∴∠ACD=30°+75°=105°，∵BD//EF，∴∠E=∠ACD=105°．故选：D．直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．7.答案：A解析：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=256，把相应数值代入即可求解．解：第一次降价后的价格为289×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，则289×(1−x)×(1−x)，则列出的方程是289(1−x)2=256．故选A．8.答案：A解析：本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和含30°角的直角三角形的性质是解答此题的关键．先根据含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，再由作法可知DE是线段AB的垂直平分线，故可得出BD=AD，BE=AE，再解直角三角形即可得出结论．解：∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4．∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BD=AD=12AB=2，BE=AE，∴∠ABE=∠A=30°，∴BE=BDcos30=√32=4√33．故选A．9.答案：C解析：本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t ，可判断④，可得出答案．解：由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 甲=kt ，把(5,300)代入可求得k =60，∴y 甲=60t ，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 乙=mt +n ，把(1,0)和(4,300)代入可得{m +n =04m +n =300， 解得：{m =100n =−100， ∴y 乙=100t −100，令y 甲=y 乙，可得：60t =100t −100，解得：t =2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t =2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y 甲−y 乙|=50，可得|60t −100t +100|=50，即|100−40t|=50，当100−40t =50时，可解得t =54，当100−40t =−50时，可解得t =154，又当t =56时，y 甲=50，此时乙还没出发，当t =256时，乙到达B 城，y 甲=250；综上可知当t 的值为54或154或56或256时，两车相距50千米，∴④不正确；故选：C．10.答案：B解析：解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，{∠ACO=∠A′C′O ∠AOC=∠A′OC′AO=A′O，∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A(−2,5)，∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′(5,2)．故选：B．由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y 轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．11.答案：x≠2且x≠1且x≠−4解析：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．把除法变成乘法，根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义解答．解：由代数式x+1x−2÷x−1x+4=x+1x−2×x+4x−1有意义，得x −2≠0且x +4≠0且x −1≠0，解得x ≠2且x ≠1且x ≠−4．故答案为x ≠2且x ≠1且x ≠−4． 12.答案：a(b +2a)(b −2a)解析：解：ab 2−4a 3，=a(b 2−4a 2)，=a(b +2a)(b −2a)．先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式来分解因式． 13.答案：12+15π解析：解：由几何体的三视图可得：该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，该几何体的表面积为：S =2×2×3+270π×22360×2+270π×2180×3=12+15π，故答案为：12+15π．由几何体的三视图得出该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，结合图中数据求出组合体的表面积即可．本题考查了由几何体三视图求几何体的表面积的应用问题，考查了空间想象能力，由三视图复原成几何体是解决问题的关键． 14.答案： {x +y =20x =1.5y解析：本题考查了二元一次方程组的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解题的关键．根据两人共植树20棵，甲植树的棵数是乙植树棵数的1.5倍即可列出方程．解：由题意，得：{x +y =20x =1.5y， 故答案为{x +y =20x =1.5y． 15.答案：4解析：此题主要考查了根与系数的关系有关知识，α，β是方程x 2+2016x +1=0的两个根，由方程根的意义及根与系数关系，可得出四个等式：α2+2016α+1=0，β2+2016β+1=0，α+β=−2016，α⋅β=1，再根据(1+2018α+α2)(1+2018β+β2)=4α⋅β代值即可．解：∵α，β是方程x 2+2016x +1=0的两个根，∴α2+2016α+1=0，β2+2016β+1=0，且α⋅β=1，由此可得：1+2018α+α2=2α，1+2018β+β2=2β，∴(1+2018α+α2)(1+2018β+β2)=4α⋅β=4．故答案为4．16.答案：3解析：本题考查了相似三角形的应用和中心投影，根据CD//AB//MN ，得到△ABE∽△CDE ， △ABF∽ △MNF ，根据相似三角形的性质可知CD AB = DE BE ， FN FB =MN AB ，进而可得答案．解：如图，因为CD // AB // MN ，所以 △ ABE ∽△ CDE ， △ ABF ∽ △ MNF ．所以 CD AB = DE BE ， FN FB =MN AB ，即 1.8AB = 1.81.8+BD ， 1.5AB = 1.51.5+2.7−BD ，解得AB =3m ．17.答案：解析：本题主要考查旋转的性质，勾股定理和弧长公式的应用，求出半径BC 的长是解决问题的关键.首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据弧长公式可得答案．解：∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AB =3，∴AC =32，BC =3√32， ∵旋转角为60°，∴点B 转过的路径长为．故答案为． 18.答案：316≤a ≤3解析：本题主要考查了抛物线的解析式y =ax 2+bx +c 中a 、b 、c 对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给线段上运动进行判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决.顶点C 是线段BC 上的一个动点，当顶点P 与B 点重合，可以知道顶点坐标为(1,−3)且抛物线过(0,0)时a 最大，由此可求出a ；当顶点P 与C 点重合，顶点坐标为(3,−3)且抛物线过(−1,0)时a 最小，由此也可求a ，然后由此可判断a 的取值范围.解：∵顶点P 是线段BC 上(包括端点)的一个动点，∴当顶点P 与B 点重合，顶点坐标为(1,−3)，则抛物线解析式y =a(x −1)2+3，∴{a(0−1)2−3≤0a(−1−1)2−3≥0 ，解得34≤a ≤3； 当顶点P 与C 点重合，顶点坐标为(3,−3)，则抛物线解析式y =a(x −3)2−3，∴{a(0−3)2−3≤0a(−1−3)2−3≥0解得316≤a ≤13；∴316≤a ≤3．故答案为316≤a ≤3.19.答案：解：(1)2√23+|(−12)−1|−2√2tan30°−(π−2019)0=2√63+2−2√2×√33−1=2√63+2−2√63−1=1；(2)原式=a(a+b)(a−b)×b−ab−1a+b×b−ab=−ab(a+b)−b−ab(a+b)=−bb(a+b)=−1a+b，当a=√2，b=2−√2时，原式=−√2+2−√2=−12．解析：(1)根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；(2)根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则、实数的混合运算法则是解题的关键．20.答案：解：解不等式−2x<6，得x>−3，解不等式3(x−2)≤x−4，得x≤1，所以不等式组的解集为−3<x≤1.将不等式组的解集表示在数轴上如下：解析：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，会用数轴表示解集．先解每一个不等式，再求解集的公共部分，并用数轴表示解集即可．21.答案：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠1=∠EAF，∵∠1=∠2，∴∠EAF=∠2，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．解析：本题主要考查平行四边形的性质和判定，利用平行四边形的性质证得AE//CF是解题的关键．由条件可证明AE//FC，结合平行四边形的判定可证明四边形AECF是平行四边形．22.答案：(1)40%；(2)960；0.4；(3)4(本)．解析：(1)八年级的人数占全校总人数的百分率=1−32%−28%；(2)由频率的意义可知，B=1−0.32−0.24−0.04，再求出样本容量，利用样本容量×0.24即可求出A的值；(3)先求出全校总人数，再求该校学生平均每人读的本数即可．【详解】解：(1)该校八年级的人数占全校总人数的百分率为1−32%−28%=40%，故答案为40%；(2)B=1−0.32−0.24−0.04=0.4，由160÷0.04=4000得图书总数是4000本，所以A=4000×0.24=960(本)；故答案为960；0.4；(3)因为八年级的人数是400人，占40%，所以求得全校人数有：400÷40%=1000(人)，所以全校学生平均每人阅读：4000÷1000=4(本)．本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，考查分析频数分布直方图和频率的求法．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23.答案：解：根据题意得∠1=∠2=31°，∠BAC=31°+44°=75°，∠ABC=76°−31°=45°，∴∠ACB=180°−75°−45°=60°，作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ABH中，BH=AH=√22AB=50√2在Rt△ACH中，CH=√33AH=√33×50√2=50√63，AC=2CH=100√63，∴此船行驶的速度=100√633=100×2.4499≈27．答：此船行驶的速度为27海里/时．解析：利用方向角的定义得到∠1=∠2=31°，则∠BAC=31°+44°=75°，∠ABC=76°−31°=45°，在利用三角形内角和得到∠ACB=60°，作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ABH中，利用等腰直角三角形的性质得BH=AH=50√2在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=√3 3AH=50√63，AC=2CH=100√63，然后计算此船行驶的速度．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．24.答案：解：(1)∵直线y=x+1与双曲线y=kx的一个交点为P(m,2)．∴{m+1=2 km=2∴m=1，k=2；(2)∵k=2，∴双曲线每个分支上y随x的增大而减小，当N在第一象限时，∵a>b∴n>20191009，当N在第三象限时，∴n<0综上所述：n>20191009或n<0．解析：(1)将点P坐标代入两个解析式可求m，k的值；(2)根据反比例函数图象性质可求解．本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，函数图象的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．25.答案：解：(1)证明：连接DE，∵∠B，∠F为同弧所对圆周角，∴∠B=∠F，∵∠1=∠F∴∠1=∠B∴△ADB为等腰三角形∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∴根据等腰三角形三线合一可知E为AB中点，即AE=BE．(2)∵∠1=∠F，∴AE=EF=4√5，∴AB=2AE=8√5，在Rt△ABC中，∵tanB=12，∴BC=2AC，∴AB2=AC2+BC2，即(8√5)2=5AC2，∴AC=8，∴BC=16，设CD=x，则AD=BD=16−x，∵AC2+CD2=AD2，即82+x2=(16−x)2，解得x=6，即CD=6．解析：本题考查了圆周角定理，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．(1)连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于∠B，∠F为同弧所对圆周角，得到∠B=∠F，进而得到∠1=∠B.根据等腰三角形三线合一性质可得结论；(2)根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=4√5，推出AB=2AE=8√5，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC，设CD=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．26.答案：(1)证明：y=x2−(m+2)x+(2m−1)，∵△=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4>0，∴抛物线与x轴一定有两个交点；(2)解：∵抛物线y=x2−(m+2)x+(2m−1)经过原点，∴2m−1=0．，解得：m=12x.∴抛物线的解析式为y=x2−52当x=−2时，y1=9；当x=1时，y2=−3；2当x=4时，y3=6．∴y2<y3<y1．解析：本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得m的值是解题的关键．(1)根据一元二次方程的根的判别式求出即可；(2)由抛物线经过原点可求得m=12，从而得到抛物线的解析式，然后可求得y1、y2、y3的值，然后再比较大小即可．27.答案：解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=12∠FBC=15°；(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE =ABDF，∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=3，∴DF=√EF2−DE2=√32−22=√5，∴AF=√5=2√5，∴BC=AD=AF+DF=2√5+√5=3√5．(3)过点N作NG⊥BF于点G，∵NF=AN+FD，∴NF=12AD=12BC，∵BC=BF，∴NF=12BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43x.∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.∴ABBC =ABBF=2x103x=35．解析：(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；(2)证明△FAB∽△EDF ，由相似三角形的性质得出AF DE =AB DF ，可求出DE =2，求出EF =3，由勾股定理求出DF =√5，则可求出AF ，即可求出BC 的长；(3)过点N 作NG ⊥BF 于点G ，证明△NFG∽△BFA ，NG AB =FG FA =NF BF =12，设AN =x ，设FG =y ，则AF =2y ，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x +y)2，解出y =43x ，则可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 28.答案：(1)①M 、N ；②设直线y =−x 与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，如图． ′可求得点D 的横坐标为−3√22． 同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为−√22，√22，3√22．点P 是⊙A 的反射点，则⊙A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点P′在⊙A 上，则OP =OP′． ∵1≤OP′≤3，∴1≤OP ≤3．反之，若1≤OP ≤3，⊙A 上存在点Q ，使得OP =OQ ，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与⊙A相交．因此点P 是⊙A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是−3√22≤x ≤−√22，或√22≤x ≤3√22. (2)如图3中，当C 坐标为(4,0)时，⊙C 的反射点P 是以C′为圆心的⊙C′，此时⊙C′与y 轴相切，x>0时，当C点的横坐标x>4时，圆C的反射点P是以C关于切线OT的对称点C′为圆心，2为半径的圆C′上的点，但x>4时，圆C′与y轴无交点，故不符合题意；当0<x≤4时，同理可知符合题意；由图象的对称性可知x≤0时，−4≤x<0符合题意；所以满足条件的圆心C的横坐标x的取值范围是−4≤x≤4．解析：本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、反射点的定义、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．(1)①根据⊙A的反射点的定义，画出图形即可判断；②设直线y=−x与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作DH⊥x轴于点H，如图．求出点D、E、F、G的横坐标，结合反射点的定义即可解决问题；(3)如图3中，当C坐标为(4,0)时，⊙C的反射点P是以C′为圆心的⊙C′，此时⊙C′与y轴相切，由此即可判断．解：(1)①如图1中，观察图象可知：⊙A的反射点是M，N.故答案为M、N．②见答案；(2)见答案．。
2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷
2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位上） 1．（3分）3的绝对值是( ) A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．（3分）江苏省南通市总面积约有8544平方公里，将数8544用科学记数法表示为( ) A ．854.410⨯B ．285.4410⨯C ．38.54410⨯D ．40.854410⨯3．（3分）如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数2-，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段( )A ．AO 上B ．OB 上C ．BC 上D ．CD 上4．（3分）一个不透明的盒子中装有9个除颜色外其他完全相同的乒乓球，其中3个是黄球，6个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是( ) A ．13B ．25C ．12D ．235．（3分）下列运算正确的是( ) A ．224347x x x +=B ．333236x x x =gC ．632x x x ÷=D ．248()x x =6．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O ，60A ∠=︒，45D ∠=︒，//AB OC ，DC 与OB 交于点E ，则DEO ∠的度数为( )A ．85︒B ．80︒C ．75︒D ．65︒7．（3分）某件商品原价为1000元，连续两次都降价%x 后该件商品售价为640元，则下列所列方程正确的是( ) A ．21000(1%)640x -= B ．21000(1%)360x -= C ．1000(12%)640x -=D ．1000(12%)360x -=8．（3分）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：（1）作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点C ； （2）以C 为圆心，以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接BD ，BC ．则下列说法中不正确的是( )A ．90ABD ∠=︒B ．22sin cos 1A D +=C ．3DB AB =D ．点C 是ABD ∆的外心9．（3分）甲、乙两车都从A 地出发，都匀速行驶至B 地，先到达的车停在B 地休息．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 地的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法： ①A ，B 两地相距300千米；②甲车比乙车早出发1小时，且晚1小时到达B 地； ③乙车只用了1.5小时就追上甲车； ④当甲、乙两车相距40千米时，23t =，32，72或133小时． 其中正确的说法有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,0)O ，(2,0)A ，3)B ，(2,0)C -．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转(0360)αα︒<<︒得到△(OA B ''（其中点A 旋转到点A '的位置），设直线AA '与直线BB '相交于点P ，则线段CP 长的最小值是( )A ．222-B ．232-C ．2D ．252-二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（3分）如果代数式1xx -有意义，那么x 的取值范围是 ． 12．（3分）分解因式：324a ab -= ．13．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 2cm ．14．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x 只，树为y 棵，则可列出方程组为 ．15．（3分）设α，β是方程220190x x --=的两个实数根，则22ααββ++的值为 ． 16．（3分）如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m ，1.6m ，小华、小强之间的水平距离为15.6m ，小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为4m ，3.2m ，则这盏路灯的高度为m ．17．（3分）如图，已知半径为4cm 的扇形OAB ，其圆心角45AOB ∠=︒，将它沿射线OA 方向作无滑动滚动，当第一次滚动到扇形O A B '''的位置时，点O 运动到点O '所经过的路径长为 cm ．18．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2441(0)y ax ax a a =+++<交x 轴于A ，B 两点，若此抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：202(3)|33|2cos30π----+-+︒； （2）先化简，再求值：112(1)11x x x x x -+-÷-++，其中23320x x +-=． 20．（8分）解不等式组：253(1)942x x x x +>+⎧⎪⎨-->⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）如图，ABCD Y 中，点E 是BC 边的一点，延长AD 至点F ，使DFC DEC ∠=∠． 求证：四边形DECF 是平行四边形．22．（8分）阅读对每个人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某初中倡导学生课外读书，下面的表格是该校学生去年阅读课外书籍情况统计表，如图是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为612人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： 图书种类 频数 频率 科普常识 2520 b名人传记 2448c中外名著 a0.25 其 他4320.06（1）求该校初中三个年级学生的总人数； （2）求表中a ，b ，c 的值；（3）问该校学生去年读课外书籍的平均本数是否超过4.5？请说明理由．23．（8分）如图，甲船在港口P 的南偏西60︒方向，距港口80海里的A 处，沿AP 方向以每小时18海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P ，已知两船同时出发，经过2小时乙船恰好在甲船的正东方向．求乙船的行驶速度．（结果保留根号）24．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =-与双曲线ky x=的一个交点为(3,)P m -． （1）求k 的值；（2）将直线2y x =-向下平移(0)b b >个单位长度时，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，与双曲线ky x=的其中一个交点记为Q ．若2BQ AB =，求b 的值． 25．（9分）如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G ． （1）若10AB =，12BC =，求DFC ∆的面积； （2）若tan 2C ∠=，6AE =，求BG 的长．26．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x -++=． （1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2(21)2y mx m x =-++与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为负整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若1(,)P n y ，2(1,)Q n y +是此抛物线上的两点，且12y y >，请结合函数图象直接写出实数n 的取值范围．27．如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、AD 上，连接BE 、BF 、EF ，且有AF CE EF +=．（1）求(1)(1)AF CE ++的值；（2）探究EBF ∠的度数是否为定值，并说明理由；（3）将EDF ∆沿EF 翻折，若点D 的对应点恰好落在BF 上，求EF 的长．28．（14分）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形M ，如果线段OP 与图形M 有公共点时，就称点P 为关于图形M 的“亲近点”．已知平面直角坐标系xOy 中，点3)A ，3)B ，连接AB ．（1）在1(1,2)P ，2(3,2)P ，3(5,2)P 这三个点中，关于线段AB 的“亲近点”是 ； （2）若线段CD 上的所有点都是关于线段AB 的“亲近点”，点(,2333)C t t -、(6,2333)D t t +-，求实数t 的取值范围；（3）若A e 与y 轴相切，直线:3l y x b =+过点B ，点E 是直线l 上的动点，E e 半径为2，当E e 上所有点都是关于A e 的“亲近点”时，直接写出点E 横坐标n 的取值范围．2020年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位上） 1．（3分）3的绝对值是( ) A ．3B ．3-C ．13D ．13-【解答】解：|3|3=． 故选：A ．2．（3分）江苏省南通市总面积约有8544平方公里，将数8544用科学记数法表示为( ) A ．854.410⨯B ．285.4410⨯C ．38.54410⨯D ．40.854410⨯【解答】解：将数8544用科学记数法表示为38.54410⨯， 故选：C ．3．（3分）如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数2-，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段( )A ．AO 上B ．OB 上C ．BC 上D ．CD 上【解答】解：124<<Q ， 122∴<，故选：C ．4．（3分）一个不透明的盒子中装有9个除颜色外其他完全相同的乒乓球，其中3个是黄球，6个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是( ) A ．13B ．25C ．12D ．23【解答】解：3Q 个是黄球，6个是白球，∴从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是：3193=． 故选：A ．5．（3分）下列运算正确的是( ) A ．224347x x x +=B ．333236x x x =gC ．632x x x ÷=D ．248()x x =【解答】解：A 、22243477x x x x +=≠Q ，故本选项错误； B 、3333323236x x x x +=⨯≠Q g，故本选项错误； C 、6x Q 和3x 不是同类项，不能合并，故本选项错误；D 、24248()x x x ⨯==Q ，故本选项正确．故选：D ．6．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O ，60A ∠=︒，45D ∠=︒，//AB OC ，DC 与OB 交于点E ，则DEO ∠的度数为( )A ．85︒B ．80︒C ．75︒D ．65︒【解答】解：//AB OC Q ，60A ∠=︒， 180A AOC ∴∠+∠=︒， 120AOC ∴∠=︒，1209030BOC ∴∠=︒-︒=︒，453075DEO C BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；故选：C ．7．（3分）某件商品原价为1000元，连续两次都降价%x 后该件商品售价为640元，则下列所列方程正确的是( ) A ．21000(1%)640x -= B ．21000(1%)360x -= C ．1000(12%)640x -=D ．1000(12%)360x -=【解答】解：Q 第一次降价后的价格为1000(1%)x ⨯-，第二次降价后的价格为21000(1%)(1%)1000(1%)x x x ⨯-⨯-=⨯-，∴方程为21000(1%)640x -=．故选：A ．8．（3分）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：（1）作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点C ；（2）以C 为圆心，以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接BD ，BC ．则下列说法中不正确的是( )A ．90ABD ∠=︒B ．22sin cos 1A D +=C ．3DB AB =D ．点C 是ABD ∆的外心【解答】解：由作图可知：CA CB CD ==，90ABD ∴∠=︒，点C 是ABC ∆外接圆的圆心，故A ，D 正确， AC BC AB ==Q ， ABC ∴∆是等边三角形， 60A ∴∠=︒，30D ∠=︒， 3BD ∴=，故C 正确，2233sin cos 144A D ∴+=+≠，故B 错误， 故选：B ．9．（3分）甲、乙两车都从A 地出发，都匀速行驶至B 地，先到达的车停在B 地休息．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 地的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法： ①A ，B 两地相距300千米；②甲车比乙车早出发1小时，且晚1小时到达B 地； ③乙车只用了1.5小时就追上甲车； ④当甲、乙两车相距40千米时，23t =，32，72或133小时． 其中正确的说法有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y kt =甲，把(5,300)代入可求得60k =，60y t ∴=甲，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y mt n =+乙，把(1,0)和(4,300)代入可得，04300m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100100m n n =⎧⎨=-⎩， 100100y t ∴=-乙，令y y =乙甲可得：60100100t t =-，解得 2.5t =，即甲、乙两直线的交点横坐标为 2.5t =，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确； 令40y y -=乙甲，可得|60100100|40t t -+=，即|10040|40t -=，当1004040t -=时，可解得32t =， 当1004040t -=-时，可解得72t =， 又当23t =时，40y =甲，此时乙还没出发， 当133t =时，乙到达B 城，260y =甲； 综上可知当t 的值为23t =，32，72或133小时，23t =，32，72或133小时．故④正确． 综上可知正确的有①②③④共四个．故选：D ．10．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,0)O ，(2,0)A ，B ，(2,0)C -．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转(0360)αα︒<<︒得到△(OA B ''（其中点A 旋转到点A '的位置），设直线AA '与直线BB '相交于点P ，则线段CP 长的最小值是( )A ．2B ．2C ．2D ．2-【解答】解：OAB ∆Q 是直角三角形，点P 在以AB 为直径的圆上运动，(2,0)A Q ，B ，4AB ∴=，AB 的中点为，(2,0)C -Q ，CP ∴的最小值为2；故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）如果代数式1x x -有意义，那么x 的取值范围是 1x ≠ ． 【解答】解：Q 代数式1x x -有意义， 10x ∴-≠，解得1x ≠．故答案为：1x ≠．12．（3分）分解因式：324a ab -= (2)(2)a a b a b +- ．【解答】解：324a ab -22(4)a a b =-(2)(2)a a b a b =+-．故答案为：(2)(2)a a b a b +-．13．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 6π 2cm ．【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是221cm ÷=，高是3cm ． 所以该几何体的侧面积为22136()cm ππ⨯⨯=．故答案为：6π．14．（3分）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”若诗句中谈到的鸦为x 只，树为y 棵，则可列出方程组为 355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩． 【解答】解：设诗句中谈到的鸦为x 只，树为y 棵，则可列出方程组为：355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩． 故答案为：355(1)x y x y =+⎧⎨=-⎩． 15．（3分）设α，β是方程220190x x --=的两个实数根，则22ααββ++的值为 2020 ． 【解答】解：αQ ，β是方程220190x x --=的两个实数根由韦达定理可得：1αβ+=，2019αβ=-，而222()ααββαβαβ++=+-12019=+2020=故答案为2020．16．（3分）如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m ，1.6m ，小华、小强之间的水平距离为15.6m ，小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为4m ，3.2m ，则这盏路灯的高度为 5.4 m ．【解答】解：如图，////CD AB MN Q ，ABE CDE ∴∆∆∽，ABF MNF ∆∆∽， ∴CD DE AB BE =，FN MN FB AB=， 即4 1.81.8BD AB =+， 3.2 1.61.615.6BD AB =+-， 解得： 5.4AB m =，故答案为：5.4．17．（3分）如图，已知半径为4cm 的扇形OAB ，其圆心角45AOB ∠=︒，将它沿射线OA 方向作无滑动滚动，当第一次滚动到扇形O A B '''的位置时，点O 运动到点O '所经过的路径长为 5π cm ．【解答】解：Q 扇形OAB 的圆心角为45︒，半径为4cm ，AB ∴弧长454()180cm ππ⨯==g ， ∴点O 到点O '所经过的路径长90425()180cm πππ⨯=⨯+=g ． 故答案为：5π．18．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2441(0)y ax ax a a =+++<交x 轴于A ，B 两点，若此抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a 的取值范围是 11916a -<-… ． 【解答】解：22441(2)1y ax ax a a x =+++=++Q ，∴顶点坐标为(2,1)-，令0y =，得2x =-，设(2A -+，0)，(2B -，0)， Q 此抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为(2,1)-，625∴-<-+-，122-<„， 解得：11916a -<-„； 故答案为：11916a -<-„． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：202(3)3|2cos30π----++︒；（2）先化简，再求值：112(1)11x x x x x -+-÷-++，其中23320x x +-=． 【解答】解（1）原式11324=--+74= 74=； （2）原式11211x x x x x x -++=--+g 121x x x x ++=-+ 2(1)(2)(1)x x x x x +-+=+ 1(1)x x =+ 21x x=+ 由23320x x +-=．得223x x +=． ∴原式13223==．20．（8分）解不等式组：253(1)942x x x x +>+⎧⎪⎨-->⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：()2531942x x x x +>+⎧⎪⎨-->⎪⎩①② Q 解不等式①，得2x <，解不等式②，得1x >-，∴不等式组的解集是12x -<<，在数轴上表示为：．21．（8分）如图，ABCD Y 中，点E 是BC 边的一点，延长AD 至点F ，使DFC DEC ∠=∠． 求证：四边形DECF 是平行四边形．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴ADE DEC ∴∠=∠，且DFC DEC ∠=∠ADE DFC ∴∠=∠//DE CF ∴，且//DF BC∴四边形DECF 是平行四边形． 22．（8分）阅读对每个人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某初中倡导学生课外读书，下面的表格是该校学生去年阅读课外书籍情况统计表，如图是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为612人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： 图书种类频数 频率 科普常识2520 b 名人传记 2448 c中外名著a0.25其他4320.06（1）求该校初中三个年级学生的总人数；（2）求表中a，b，c的值；（3）问该校学生去年读课外书籍的平均本数是否超过4.5？请说明理由．【解答】解：（1）该校初中三个年级学生的总人数612(128%38%)1800÷--=（人)；（2）样本容量为4320.067200÷=，则72000.251800c=÷=；b=÷=，244872000.34a=⨯=，252072000.35（3）不超过，÷=<，720018004 4.5∴该校学生去年读课外书籍的平均本数不超过4.5．23．（8分）如图，甲船在港口P的南偏西60︒方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以每小时18海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P，已知两船同时出发，经过2小时乙船恰好在甲船的正东方向．求乙船的行驶速度．（结果保留根号）【解答】解：设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则2=海里，PC x过P作PD BCBP=-⨯=（海里），⊥于D，则8021844在Rt PDB∠=︒，60∠=︒，BPDPDB∆中，90∴=︒=g（海里），cos6022PD PB在Rt PDC∠=︒，DPC∆中，90PDC∠=︒，452cos4522PD PC x x ∴=︒==g g ， ∴222x =，即112x =，答：乙船的航行速度约为每小时112海里．24．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =-与双曲线k y x =的一个交点为(3,)P m ． （1）求k 的值；（2）将直线2y x =-向下平移(0)b b >个单位长度时，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，与双曲线k y x=的其中一个交点记为Q ．若2BQ AB =，求b 的值． 【解答】解：（1）Q 直线2y x =-与双曲线k y x =的一个交点为(3,)P m ， 3(2)3m ∴=--=3k m =-，6k ∴=-；（2）Q 直线2y x =-向下平移(0)b b >个单位长度，∴可设平移后得到的直线为：2y x b =--，Q 平移后得到的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，(2b A ∴-，0)，(0,)B b -， 2BQ AB =Q ，∴①当Q 在第二象限时，AB AQ =，即点A 是线段BQ 的中点，(,)Q b b ∴-，Q Q 在双曲线6y x=-的图象上， 6()b b ∴-=-⨯，解得：6b ；②当Q 在第四象限时，点B 是线段AQ 的三等分点，(,3)Q b b ∴-，Q Q 在双曲线6y x =-的图象上， 6(3)b b ∴-=-⨯，解得：2b =；6b ∴=或2．25．（9分）如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G ．（1）若10AB =，12BC =，求DFC ∆的面积；（2）若tan 2C ∠=，6AE =，求BG 的长．【解答】解：（1）连接AD ，AB Q 是O e 的直径，AD BC ∴⊥，10AB AC ==Q ，DF AC ∴⊥，6BD CD ==Q ，DF AC ⊥Q ，∴由射影定理得，2CD CF AC =g ，2610CF ∴=g ，3.6CF ∴=，22 4.8DF CD CF ∴=-，DFC ∴∆的面积11 3.6 4.88.6422CF DF ==⨯⨯=g ； （2）连接BE ，AB Q 是O e 的直径，BE AC ∴⊥，DF AC ⊥Q ，tan 2C ∠=，//BE DF ∴，2DF CF =，BD CD =Q ，CF EF ∴=，2BE DF ∴=，设CF EF x ==，则2DF x =， 4BE x ∴=，62AB AC x ==+， 222AB AE BE ∴=+，222(62)6(4)x x ∴+=+，2x ∴=，0x =（舍去）， 10AB ∴=，8BE =，//BE FG Q ，ABE AGF ∴∆∆∽， ∴AB AE AG AF =， ∴106108BG =+， 103BG ∴=．26．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x -++=．（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2(21)2y mx m x =-++与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为负整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若1(,)P n y ，2(1,)Q n y +是此抛物线上的两点，且12y y >，请结合函数图象直接写出实数n 的取值范围．【解答】解：（1）一元二次方程2(21)20mx m x -++=的判别式△22(21)42(21)m m m =+-⨯⨯=-，Q 此方程有两个不相等的实数根，2(21)0m ∴->，12m ∴≠， 又0m ≠Q ，∴当12m ≠且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根； （2）令0y =，则2(21)20mx m x -++=，解得12x =，21x m=， Q 抛物线2(21)2y mx m x =-++与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为负整数， 1m ∴=-，∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（3）当点P 和Q 在抛物线对称轴同侧时，1n n <+Q ，且12y y >P ∴、Q 两点在抛物线的对称轴右侧， 即12n … 当P 和Q 在抛物线对称轴异侧时，222(1)(1)2n n n n -++>-++++解得0n >综上，0n >．27．如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、AD 上，连接BE 、BF 、EF ，且有AF CE EF +=．（1）求(1)(1)AF CE ++的值；（2）探究EBF ∠的度数是否为定值，并说明理由；（3）将EDF ∆沿EF 翻折，若点D 的对应点恰好落在BF 上，求EF 的长．【解答】解：（1）设CE x =，AF y =，则1DE x =-，1DF y =-， AF CE EF +=Q ，EF x y ∴=+，Q 四边形ABCD 是矩形，90D ∴∠=︒，222EF DE DF ∴=+，222()(1)(1)x y x y ∴+=-+-，1xy x y ++=，(1)(1)(1)(1)1112AF CE y x xy x y ∴++=++=+++=+=；（2）EBF ∠的度数为定值，理由是：如图1，将ABF ∆绕点B 顺时针旋转90︒得到BCG ∆，此时AB 与CB 重合．由旋转可得AB BC =，BF BG =，ABF CBG ∠=∠，90BCG A ∠=∠=︒．9090180BCG BCD ∴∠+∠=︒+︒=︒．∴点G 、C 、E 在同一条直线上．AF CE EF CG CE EG +==+=Q ，在FBE ∆和GBE ∆中，Q BF BG BE BE EF EG =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()FBE GBE SSS ∴∆≅∆，EBF EBG CBG CBE ABF CBE ∴∠=∠=∠+∠=∠+∠， 90ABC ∠=︒Q ，45EBF ∴∠=︒；（3）如图2，由折叠得：DFE BFE ∠=∠，由（2）可知：AFB EFB ∠=∠，60AFB EFB DFE ∴∠=∠=∠=︒，30FED ∴∠=︒，设DF x =，则2EF x =，3ED x =，1AD =Q ，1AF x ∴=-，AF CE EF +=Q ，12x CE x ∴-+=，31CE x =-，11(31)23ED CE x x ∴=-=--=-，233x x ∴-=，33x +，4(33)623233EF x --∴====+． 28．（14分）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形M ，如果线段OP 与图形M 有公共点时，就称点P 为关于图形M 的“亲近点”． 已知平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(5,3)B ，连接AB ．（1）在1(1,2)P ，2(3,2)P ，3(5,2)P 这三个点中，关于线段AB 的“亲近点”是 2P 和3P ；（2）若线段CD 上的所有点都是关于线段AB 的“亲近点”，点(,2333)C t t -、(6,2333)D t t +-，求实数t 的取值范围；（3）若A e 与y 轴相切，直线:3l y x b =-+过点B ，点E 是直线l 上的动点，E e 半径为2，当E e 上所有点都是关于A e 的“亲近点”时，直接写出点E 横坐标n 的取值范围．【解答】解：（1）如图1:由“亲近点”的定义可以判断2OP 与3OP 与AB 线段有公共点，∴线段AB 的“亲近点”是2P 与3P ，故答案为2P 和3P ；（2）线段CD 上的所有点都是关于线段AB 的“亲近点”， 6t t +>Q ，O ∴、A 、C 在一条直线上，O 、B 、D 在一条直线上， 此时线段CD 上的所有点都是关于线段AB 的“亲近点”， ∴23333t -= 3t ∴=，∴32333t -=，73t ∴=， ∴733t 剟；（3）y b =+过点B ，b ∴=y ∴=+如图2:过原点的直线与A e 相切于点F ，连接OA ，过点A 作AG x ⊥轴，2OA =Q ，1AF =，30AOF ∴∠=︒，AG Q 1OG =，60AOG ∴∠=︒，30FOG ∴∠=︒，当E e 与A e 的切线相切时，E e 上所有点都是关于A e 的“亲近点”， OP PE ∴⊥，(6,0)Q Q ，3PQ ∴=，E Q e 的半径2PE =，5EQ ∴=，E ∴点横坐标57622n =-=； 如图3：当E e 与y 轴相切时，E e 上所有点都是关于A e 的“亲近点”，E ∴点横坐标2n =，722n ∴剟；。
江苏省海门第一中学2020-2021学年第一学期高二第一次质量调研数学试题
江苏省海门第一中学高二第一学期第一次质量调研---数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22ac bc >B ．222a b c >> C ．2a c b +>D ．a c b c ->-2．函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞-C ．(2,2]-D ．(2,2)-3．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S 等于（ ） A ．44B ．64C ．81D ．1084．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C．2y =D ．122xx y =+5．已知0,0a b >>，且1a b +=，则49aba b+的最大值为（ ）A ．124B ．125C ．126D ．1276．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ，A ．()20-，B ．()42-，C ．()()20-∞-⋃+∞，，D ．()()42-∞-+∞，，7．已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列11{}n n a a +的前10项的和为（ ） A ．2223B ．1123C ．2021 D ．10218．已知n a =，，n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ， A ．150,a a B ．81,a a C ．89,a a D ．590,a a二、多选题9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{|6}x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞10．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（ ） A ．1058b b = B ．{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T12．下列说法正确的是（ ）.A ．若,0x y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最大值为-1C ．若,0x y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 三、填空题13．对任意x ∈R ，函数f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________.14．已知数列{}n a 满足125a =，12n n a a n +=+，则na n的最小值为__________. 15．若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________． 16．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______.四、解答题17．设()()21 1,m f x m x x m m -+-=+∈R ．（1）若方程()0f x =有实根，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0f x >的解集为∅，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 18．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．19．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1b c +=，且()()()a c a c b b c +-=-.（1）求角A 的大小； （2）求三角形面积ABCS的最大值.20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为（1）设总造价y （元）表示为长度()x m 的函数；（2）当()xm 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.21． 已知数列{}n a 中，11(1)2,,()2nn nn a a a n N n a *++==∈+.（1）求证：n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若5n b n =，且数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的最小项.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）令3n n n a c na -=（*n N ∈），若对于一切正整数n ，总有80n mc ≤成立，求实数m 的取值范围.答案一、单选题1．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．222a b c >>C ．2a c b +>D ．a c b c ->-【答案】D2．函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．(,2)-∞-C ．(2,2]-D ．(2,2)-【答案】C3．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S 等于（ ） A ．44 B ．64C ．81D ．108【答案】B4．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．2y =D ．122xxy =+【答案】D5．已知0,0a b >>，且1a b +=，则49aba b+的最大值为（ ）A ．124B ．125 C ．126D ．127【答案】B6．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ，A ．()20-，B ．()42-，C ．()()20-∞-⋃+∞，，D ．()()42-∞-+∞，，【答案】B7．已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列11{}n n a a +的前10项的和为（ ） A ．2223B ．1123C ．2021 D ．1021【答案】D 8．已知7980n n a n -=-，，n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ， A ．150,a a B ．81,a aC ．89,a aD ．590,a a【答案】C二、多选题9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{|6}x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD10．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（ ） A ．1058b b = B ．{}n b 是等比数列 C ．130105a b = D ．357246209193a a a a a a ++=++【答案】BD11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9S D ．n T 的最大值为7T【答案】AD12．下列说法正确的是（ ）.A ．若,0x y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最大值为-1C ．若,0x y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 【答案】BD 三、填空题13．对任意x ∈R ，函数f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________. 【答案】{0}14．已知数列{}n a 满足125a =，12n n a a n +=+，则na n的最小值为__________. 【答案】915．若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________． 【答案】816．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______.【答案】14四、解答题17．设()()21 1,m f x m x x m m -+-=+∈R ． （1）若方程()0f x =有实根，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0f x >的解集为∅，求实数m 的取值范围；（3）若不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）m ≤≤（2）m ≤（3）m > 18．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. （1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++19．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1b c +=，且()()()a c a c b b c +-=-.（1）求角A 的大小； （2）求三角形面积ABCS的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）16. （1）由()()()a c a c b b c +-=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为角A 为三角形内角，所以3A π=；（2）由（1）知3A π=，所以sin A =，又1b c +=，所以211sin sin 22216ABCb c Sbc A A +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12==b c 时取“=”，所以三角形面积ABCS的最大值为16. 20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为()xm .（1）设总造价y （元）表示为长度()x m 的函数；（2）当()xm 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【答案】（1）20018400400y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，(4,50)x ∈（2）当x =时，总造价最低为18400+ 【详解】（1）由矩形的长为()xm ，则矩形的宽为200()m x， 则中间区域的长为()4x m -，宽为2004()m x-，则定义域为(4,50)x ∈则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，(4,50)x ∈ （2）200x x +≥=当且仅当200x x=时取等号，即(4,50)x =所以当x =18400+21． 已知数列{}n a 中，11(1)2,,()2nn nn a a a n N n a *++==∈+.（1）求证：n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若5n b n =，且数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的最小项. 解：（1）由题可知，11(1)2,,()2nn nn a a a n N n a *++==∈+，1212n n n n n a n na a a +++∴==+ ， 112n n n n a a ++∴-=，且1112=a ， n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以12为首项，2为公差的等差数列，322n n n a ∴=-. （2）已知数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， ()2121222n n n n S n n -⨯∴=+=-，2211522n n n S b n n n n ∴-=--=-， 设n n n T S b =-，即 2211111212416n T n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 可知，当n 取与114靠近的整数时，n T 取得最小值， 所以当3n =时，n T 的最小项为：23111211534162T ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 即数列{}n n S b -的最小项为152-.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）令3n n n a c na -=（*n N ∈），若对于一切正整数n ，总有80n m c ≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12n n a ；（2）()121n n -⋅+；（3）13m ≥. 【详解】解：（1）由题意，当2n ≥时，有1111n n n n a S a S +-=+⎧⎨=+⎩ 两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=（2n ≥）， 所以，当2n ≥时{}n a 是等比数列，又22a =，有212a a =， 所以数列{}n a 是等比数列，从而得出12n n a . （2）由（1）知12n n b n -=⋅，()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅， ()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ 所以()()012111222222212112n n n n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=-⋅--故()121nn T n =-⋅+ （3）由（1）得113232n n n n n a c na n ----==⋅ 则()()111232336212212n n nn n n n n n c c n n n n -+---+--=-=+⋅⋅+⋅， ∵*n N ∈，∴()120nn n +⋅>， 又当4n ≤时，3620n n +->，当5n ≥时，3620n n +-<， ∴当5n =时数列{}n c 有最大值1380. ∴实数m 的取值范围为13m ≥.。
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2020江苏省南通市海门市数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1.下列选项中，比—1大的数字是（ ）
A ．—4
B ．—3
C ．—2
D ．0
2.已知a 、b 满足方程组⎩
⎨⎧=+=+,632,423b a b a 则ab 的值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3.化简√45=
A ．3√3
B ．3√4
C ．3√5
D ．3√6
4.在下列几何体中，主视图是圆的是
A. B. C. D.
5.如图，正比例函数y x =和反比例函数(0)k y k x =≠的图象在第一象限交于点,A 且2,OA =则k 2的值为
A ．√2
B ．1 C. 2 D ．4
6.关于x 的方程x 2
+4x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，
且△AOD的度数为90°，则△B的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c＜0；②3a+c＜b2-4ac；③方程2ax2+2bx+2c-5=0没有实数根；④m（am+b）+b＜a （m≠-1）．其中错误结论的个数是（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
9.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE△AC于点E，PF△BD于点F，则PE+PF的值为（）
A.2√2
B.4
C.4√2
D.2
x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆10.如图，直线y=−3
4
心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）
A.5
B.10
C.15
D.20
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）
11.化简X3-16X
12.计算（1+√3）0＋√2
13.现在各国在研制6G，6G的运行速度是5G300000000m/s的10倍，6G运行速度用科学计数法表示为
14.已知圆锥的底面半径为3cm，侧面积为15πcm2，则该圆锥的母线长为cm．
15.若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
16.如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3 √3），△ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为________．
17.如图，已知直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，点A，C的坐标分
别为A(10，0)，C(0，3)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为
18.如图，直线l与半径为4的△O相切于点A，P是△O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB△l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是________．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本小题满分8分）解不等式：5x−32－x ≥32
，并在数轴上表示解集． 20.（本小题满分8分）先化简，再求值：（m+4）（m−4）m ÷（m+4）m ，其中22-=m ．
21.（本小题满分8分）有,A B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2,B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1,2-和2.小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为,x 再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为()x y ，.
()1用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标;
()2求点Q 落在直线3y x =-上的概率.
22.（本小题满分9分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．(精确到0.01米)
(参考数据：cos 75°≈0.258 8，sin 75°≈0.965 9，tan 75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)。