用图像的投影数据进行重建程序

用图像的投影数据进行重建程序

宋利国赵向阳王春蔡国宝

摘要

本文通过引入Radon 变换来应用于CT图像重建问题，并且给出 Radon 变换在图像重建中的具体形式，并对滤波（卷积）逆投影法作了详细的研究，介绍其重建的基本思想和算法原理将问题转化为求解函数积分的形式。最后本文设计了一个人体脑部图像重建例子，通过matlab仿真说明如何投影才能重建准确的图像。

关键词：CT；图像重建；Radon变换；滤波逆投影法；matlab

1.问题重述

计算机断层成像技术（CT）是一种非介入式的检测技术，它极大地增强了人类观察物体内部结构的能力，在许多科学领域都得到了应用。特别在医学研究诊断中，它被用来作为一种获取人体内部信息的有效手段。我们在查阅许多资料，了解了CT成像的原理的基础上，选择采用在医学CT领域中的应用较为广泛，也是最基本最常用的图像重建算法──滤波逆投影法进行模型的仿真。

CT的工作原理就是投影重建（投影图像重建）。投影重建一般指从一个物体的多个（轴向）投影重建目标图像的过程。CT成像的基本数学原理是Radon 变换及其逆变换。目前，Radon变换及其逆变换是图像处理中的一种重要研究方法，许多图像重建便是有效地利用了这种方法，它不必知道图像内部的具体细节，仅利用图像的摄像值即可很好地反演出原图像。滤波逆投影法是当前用得较多的一种图像重建方法，在当代X 射线CT系统中几乎都用这种方法构成系统。它的特点是精度高，能快速实现。对于大量精确的投影数据来说，这是一种具有高效率的重建算法。滤波逆投影法又叫卷积逆投影法。这是因为频域上的滤波相当于空间域上的卷积运算。

我们通过引入Radon 变换来应用于CT图像重建问题，并且给出 Radon 变换在图像重建中的具体形式，对截面函数沿着特定直线进行积分就是它的 Radon 变换。滤波—逆投影法图像重建就是将截面函数沿若干个不同的角度下的特定直线进行积分产生的投影函数进行逆变换就得到了截面函数。滤波—反投影法能正确重建物体内部的吸收值图像，它把投影值按投影路线反过去赋予该路线上所有像元，使吸收值增加了该射线所经过的像元数目的倍数，经各个角度的投影反投回去与之叠加，最后能重建断面的图像。但由于反投影把投影路径的各处皆赋予该投影值，导致边缘较为模糊，所以通常把投影数值与某种校正函数卷积后再反投影，就能获得边缘清晰的图像。因为其中涉及到滤波函数的选取，也称为滤波反投影法。该重建方法兼顾了重建时间和重建质量两个方面，是医学上应用的最广泛的一种图像重建算法。

CT是X线照相术与复杂的计算机信号处理方法结合的产物，无论在医学放射诊断方面，还是在工业领域中均有着广泛的应用。采用滤波逆投影法成像技术，主要是因为医用CT可以采集到大量密集的投影数据，利用滤波逆投影法成像技术可以快速地得到具有一定质量的重建图像。

2.问题分析

2.1内容的选取

滤波逆投影法图像重建技术在医用CT 应用中的基本原理是由测量到的穿过人体横截面沿着许多直线的X 射线减的数据,重建出人体横截面的图像，是一种获取人体内部信息的有效手段，极大地增强了人类观察物体内部结构的能力，在医学成像方面发挥了巨大的作用。现代CT 成像的数学原理是Radon 变换及其逆变换。该变换是由函数在直线的线积分值来确定的,其逆变换就是由函数在空间所有直线上的线积分值确定这一函数（此函数对应实际中被扫描物体的密度函数或物体对X-射线的衰函数）。相对于早期的联立方程法和投影法克服了庞大的计算量和重建图像模糊精确度低的缺点。

2.2 影响因素的选取

在许多领域中，由于受客观条件的限制，经常会遇到不完全数据重建问题。

对于这类问题重建的讨论，不仅在理论上而且在实际应用中都有很重要的意义。这类问题可归结为以下几种情况：

[1]角度受限问题。这类不完全投影数据是由于在某些角度上无法采集到投影数据，从而导致投影角度覆盖范围缺损。在工业无损检测中，采集时间的限制或探测区域周围有障碍物都会导致这类不完全投影数据。

[2]外部问题。这类不完全投影数据是由于无法采集到穿过被探测区域某一部分的所有投影数据造成的。这种情况多发生在被探测物体内有对探测射线“不透明”物质存在时的情形。

[3]内部问题。这类不完全投影数据是由于射线的覆盖范围不能包含整个被探测的物体产生的。当被探测物体过大时或只想探测内部某一局部感兴趣区域时，就会发生这类不完全投影数据。内部问题也称为局部图像重建问题。在实际应用中，往往还会遇到以上三种类型中的组合情况，这时的重建问题更为复杂。对于不完全投影数据重建问题，基于各种重建判据的优化迭代重建算法是目前比较有效的种已知的先验知识进行外推，从而得到对缺失投影数据的估计，使迭代结果逐步向原图像逼近。

2.3 模型的选取

我们采用的是滤波反投影算法，该算法是目前广泛应用于所有直线透射断层成像的算法。此算法采用逆Radon变换以及投影定理，不仅极其准确而且保证了快速执行的稳定性。它是通过转换极坐标中Radon逆变换和将所有的定点依次积分得到了重建的图像来实现的。

3. 符号说明与基本假设

3.1 符号说明

由于变量与记号较多，为方便阅读，所有符号说明都将在其第一次出现时进行说明。

3.2 模型基本假设

H1：由于无法真正的利用医学仪器进行CT成像，我们采用的数据均是利用互联网搜集的，所以我们假设数据都是真实可靠的；

H2: 假设采集数据无不完全投影数据，可用于Radon变换及其逆变换；

H3：在无明显误差的情况下，我们假设重建后的图像与原图像基本吻合，建立的模型是正确的。

4. 模型处理的流程

反投影一般步骤为：

程序流程：

5.模型的建立与求解

5.1 Radon 变换及逆变换

设直角坐标系(,)x y 转动θ 角后得到旋转坐标系(,)x y ∧∧

，由此得知

= xcos + ysin x θθ∧

p (,)x θ∧为原函数f (,)x y ∧∧的投影（f (,)x y 沿着旋转坐标系中x ∧

轴θ 方向的线积分）。 根据定义公式知其表达式为：

(,)(,)(cos sin ),,0def p x f x y x y x dxdy x θδθθθπ∞∞

∧

-∞-∞

=

+--∞∞≤≤⎰⎰

这就是函数f (,)x y 的radon 变换。

从理论上讲图像重建过程就是逆radon 变换过程。即由投影函数p (,)x θ∧

逆向算出原函数f (,)x y 。其表达式为：