工科数学分析教程上册最新版习题解答7.22

合集下载

数学分析上册课后习题答案(叶淼林)

数学分析上册课后答案(叶淼林版)材料提供人：13级信息二班全体同学答案仅供参考，最终解释权归信息二班所有，侵权必究。

目录-----------------------------------------------------------------第一章.....................3第七章 (106)1.1......................37.1. (106)1.2......................47.2. (114)1.3......................67.3. (124)1.4......................10第八章 (128)1.5......................148.1. (128)1.6......................168.2. (131)第二章.....................19第九章.. (133)2.1......................199.1 (133)2.2......................229.2 (135)2.3......................32第十章.. (138)2.4 (35)2.5 (39)2.6 (43)第三章 (49)3.1 (49)3.2 (52)3.3 (57)3.4 (61)第四章 (65)4.1 (65)4.2 (69)4.3 (71)4.4 (73)4.5 (78)4.6 (81)第五章 (84)5.1 (84)5.2 (86)5.3 (93)第六章 (98)6.2 (98)6.3 (100)6.4 (101)6.5 (103)第一章§1.11、（1）实数和数轴是一一对应的关系。

（2）是无限不循环小数，是无理数。

（3）两个无理数之和还是无理数，一个有理数与一个无理数之和是无理数，当有理数不为零时，一个有理数与一个无理数的乘积是无理数。

03-04-2工科数分03上及答案

东南大学考试卷 A 卷 2004.1课程名称工科数学分析（上）考试学期 03-04-2 得分适用专业数分班考试形式闭考试时间长度 150分钟共 4页一．填空题（每小题3分，共18分）： 1．设)20()(x x x f y <<=是由方程220sin 0yxt e dt t dt +=⎰⎰确定的隐函数，则()f x 的单调增加区间是，单调减少区间是。

2. 226(1)0lim x t e dt x x -→⎰= 。

3. 在点处沿任意方向的方向导数都为零。

4.2⎰= 。

5. 已知当x →+∞时，()f x =-()k cg x x=是等价无穷小，则c = ， k = 。

6．函数()f x 在区间I 上有上界的定义是 ,()f x 在区间I 无上界的定义是。

二．单项选择题（每小题4分，共16分）：1. 设212,2(),2x x f x ax b x ⎧≤=⎨+⎩ 在2x =处可导，则 [ ] (A) 2a b == (B) 2,2a b ==- (C) 2,2a b =-= (D) 2a b ==-2．设()f x 在0x =处可导，且()sin 1lim 2f x xe x -→=，则'(0)f = [ ] (A)12(B)2 (C) (D) -23．使得反常积分arctan 0()xx dx ββ+∞⎰为常数收敛的充要条件是β满足 [ ](A) 12β≤≤ (B) 21≤<β (C) 21<<β (D) 21<≤β4．若函数z f =（x ，y ）在点00（x ，y ）处不连续，则必定有 [ ] (A) 00(,)x x y y f x y →→lim 不存在 (B) 00(,)x f x y 不存在(C) 00(,)y f x y 不存在 (D) f 在点00(,)x y 处不可微三．计算下列各题（每小题6分，满分24分）： 1．x 0x → ;2.42⎰;3．41sin dx x ππ-+⎰ ; 4. 3sin 2cos sin cos x x x x e dx x-⎰ ; 四．（强化班及与强化班同班上课的同学做同一题号带*号的题，其余同学做不带*号的题）（每一题7分，共14分）：1．设(,)u f x y z xyz =++，其中f 存在二阶连续偏导数，求2u x z∂∂∂ 。

工科数学分析期末试卷部分参考答案

六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分）解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
第2页
10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2

数学分析部分习题参考解答

数学分析上册第三版华东师范大学数学系部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数.证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数.（2）假设ax 是有理数，于是aax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数.3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b .证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b .另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a . 这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b .5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤---=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=-+≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明 ||||2222c b c a b a -≤+-+证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有 ||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间. 证明因为1||1-=-<+-=-++ba b b a x b b a x b x a ，1||)()(-=-<+-=-++b a b b a x b b x a b b a x b x a 所以x b x a ++介于1与ba 之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数. 证明（反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得m n p =，其中m 、n 互素. 于是22n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =. 于是222p k p m =，p k m 22=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p .这与“m 、n 互素”矛盾. 所以p 是无理数.P.9 习题2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界.（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界）（2）S 无界.若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界.（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）3．试证明数集},2|{2R x x y y S ∈-==有上界而无下界.证明 S y ∈∀，有222≤-=x y ，故2是S 的一个上界.而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=12200，但M y -<0. 故数集S 无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）},2|{2R x x x S ∈<=解 2sup =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）. S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界.2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S .（2）},!|{+∈==N n n x x S解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup .下面证明：1inf =S .① S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；② 1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界. 所以 1inf =S .(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =解仿照教材P .6例2的方法，可以验证：1sup =S . 0inf =S⑷ },211|{+∈-==N n x x S n 解 1sup =S ，21inf =S 首先验证1sup =S .① S x ∈∀，有1211≤-=n x ，即 1 是S 的一个上界； ② 0>∀ε，取正整数0n ，使得ε<021n ，于是取02110n x -=. 从而S x ∈0，且ε->-=121100n x . 所以1sup =S5．设S 为非空有下界数集，证明：S S S min inf =⇔∈=ξξ证明：⇒）设S S ∈=ξinf ，则对一切S x ∈，有ξ≥x ，而S ∈ξ，故ξ是数集S 中的最小的数，即S min =ξ.⇐）设S min =ξ，则S ∈ξ；下面验证S inf =ξ；⑴ 对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是数集S 的下界；⑵ 对任何ξβ>，只须取ξ=0x ，则β<0x . 所以S inf =ξ.6．设S 为非空数集，定义}|{S x x S∈-=-. 证明： ⑴ S S sup inf -=- ⑵ S S inf sup -=-证 ⑴ 设-=S inf ξ，下面证明：S sup =-ξ.① 对一切S x ∈，有-∈-S x . 因为-=S inf ξ，所以有ξ≥-x ，于是ξ-≤x ，即ξ-是数集S 的上界；② 对任何ξα-<，有ξα>-. 因为-=S inf ξ，所以存在-∈S x 0，使得α-<0x .于是有S x ∈-0，使得α>-0x .由①，②可知S sup =-ξ.7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+；（2）B A B A inf inf )inf(+=+证明（1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在.B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界.B A sup sup +<∀α，（要证α不是数集B A +的上界），A B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α. 于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α. 从而α>+=000y x z ，且B A z +∈0. 因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是B A B A sup sup )sup(+≤+. ①由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2sup 0ε->A x ，B y ∈∃0，使得2sup 0ε->B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得 B A B A sup sup )sup(+≥+ ②由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+P.15 习题9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象解 )arcsin(sin x y =是以2π为周期，定义域为),(∞+-∞，值域为]2,2[ππ-的分段线性函数，其图象如图.11．试问||x y =是初等函数吗？解因为2||x x y ==，可看成是两个初等函数u y =与2x u =的复合，所以||x y =是初等函数.12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：（1）当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x （2）当0<x 时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111 证明（1）因为 1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，所以当0>x 时，有x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡111，从而有111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x .（2）当0<x 时，在不等式1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x 中同时乘以x ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x 111，从而得到所需要的不等式x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111. P.20 习题1．证明1)(2+=x x x f 是R 上的有界函数. 证明因为对R 中的任何实数x 有21212=≤+x x x x )||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明21)(x x f =为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. 解（1）设函数D x x f ∈)(，若对任何0>M ，都存在D x ∈0，使得M x f >|)(|0，则称 f 是D 上的无界函数.（2）分析：0>∀M ，要找)1,0(0∈x ，使得M x >201. 为此只需Mx 10<. 证明 0>∀M ，取110+=M x ，则)1,0(0∈x ，且M M x >+=1120，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101)(x x x x f 是闭区间 [0，1] 上的无界函数.7．设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足)()(x g x f ≤，D x ∈证明：⑴ )(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤；⑵ )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤证 ⑴ D x ∈∀，有)(sup )()(x g x g x f D x ∈≤≤，即)(sup x g Dx ∈是f 在D 上的一个上界，所以)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤.⑵ D x ∈∀，有)()()(inf x g x f x f D x ≤≤∈，即)(inf x f Dx ∈是g 在D 上的一个下界，所以)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 8．设f 为定义在D 上的有界函数，证明：⑴ )(inf )}({sup x f x f D x D x ∈∈-=-； ⑵ )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=-证 ⑴ D x ∈∀，有)}({sup )(x f x f D x -≤-∈，于是)}({sup )(x f x f Dx --≥∈，即)}({sup x f D x --∈是f 在D 上的一个下界，从而)}({sup )(inf x f x f Dx D x --≥∈∈，所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≥- ①反之，D x ∈∀，有)(inf )(x f x f D x ∈≥，于是)(inf )(x f x f D x ∈-≤-，即)(inf x f Dx ∈-是f -在D 上的一个上界，从而)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≤- ②由①，②得，)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-.9．证明：x tan 在)2,2(ππ-上无界，而在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上有界.证 0>∀M ，取)1arctan(0+=M x ，于是)2,2(0ππ-∈x . 则有M M x >+=1tan 0，所以x tan 在)2,2(ππ-上无界. 在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上，取|}tan ||,tan max{|b a M =，则],[b a x ∈∀，必有M x ≤|tan |，所以x tan 在],[b a 上有界.10．讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ，x x D 0,1)(，的有界性，单调性与周期性. 解函数)(x D 是有界函数：1|)(|≤x D . 不是单调函数.)(x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则r x ±是有理数，于是)(1)(x D r x D ==±；若 x 是无理数，则r x ±是无理数，于是)(0)(x D r x D ==±.任何无理数都不是)(x D 的周期.11．证明：x x x f sin )(+=在R 上严格增.证设21x x <，于是2sin 2cos2sin sin )()(121212112212x x x x x x x x x x x f x f -++-=--+=- 因为0>∀x ，有x x <sin ，所以12121212|2sin |2|2sin 2cos 2|x x x x x x x x -<-≤-+，从而121212212sin 2cos 2x x x x x x x x -<-+<-. 所以有 02sin 2cos2)()(211212121212=-+->-++-=-x x x x x x x x x x x f x f 即x x x f sin )(+=在R 上严格增.P.21 总练习题1．设R b a ∈,，证明：⑴ |)|(21},max{b a b a b a -++=证若b a ≥，则a b a =},max{，a b a b a b a b a =-++=-++)(21|)|(21，这时有|)|(21},max{b a b a b a -++=；若b a <，则b b a =},max{，=-++|)|(21b a b a b b a b a =+-+)(21，也有|)|(21},max{b a b a b a -++=，所以|)|(21},max{b a b a b a -++= 2．设f 和g 都是初等函数，定义)}(),(max{)(x g x f x M =，)}(),(min{)(x g x f x m =，D x ∈试问)(x M 和)(x m 是否为初等函数？解由第1题有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x M -++==，因为f 和g 都是初等函数，于是)()(x g x f -是初等函数，再由212})]()({[|)()(|x g x f x g x f -=-，知|)()(|x g x f -是初等函数，所以)(x M 是初等函数.8．设f 、g 和h 为增函数，满足)()()(x h x g x f ≤≤，R x ∈，证明：))(())(())((x h h x g g x f f ≤≤证因为f 、g 为增函数，再由)()(x g x f ≤，得))(())((x g f x f f ≤，))(())((x g g x g f ≤，所以有))(())((x g g x f f ≤. 同理可得))(())((x h h x g g ≤.9．设f 、g 为区间),(b a 上的增函数，证明)}(),(max{)(x g x f x =ϕ，)}(),(min{)(x g x f x =ψ也都是区间),(b a 上的增函数.证 ⑴ 先证)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是区间),(b a 上的增函数.设21x x <，于是有)()()}(),(m ax {)(12222x f x f x g x f x ≥≥=ϕ，)()()}(),(m ax {)(12222x g x g x g x f x ≥≥=ϕ，从而)()}(),(m ax {)(1112x x g x f x ϕϕ=≥，所以)(x ϕ是增函数.⑵ 其次证明)}(),(min{)(x g x f x =ψ是区间),(b a 上的增函数设21x x <，于是有)()()}(),(m in{)(21111x f x f x g x f x ≤≤=ψ)()()}(),(m in{)(21111x g x g x g x f x ≤≤=ψ从而 )()}(),(m in{)(2221x x g x f x ψψ=≤12．设f 、g 为D 上的有界函数，证明：⑴ )(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ ⑵ )}()({sup )(inf )(sup x g x f x g x f Dx D x D x +≤+∈∈∈证 ⑴ 由p.17例2 (i)，有)(inf )}({inf )}()({inf x f x g x g x f Dx D x D x ∈∈∈≤-++ ① 再由p.20习题8，有)(sup )}({inf x g x g Dx D x ∈∈-=- ② 结合①、②可得)(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ 13．设f 、g 为D 上的非负有界函数，证明：⑴ )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ ⑵ )(inf )(sup )}()({sup x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈⋅≤⋅证 ⑴ D x ∈∀，有)()(inf x f x f D x ≤∈，)()(inf x g x g D x ≤∈，从而)()()(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x ⋅≤⋅∈∈. 即)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈⋅是)()(x g x f ⋅在D 上的一个下界，所以有 )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ 15．设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在 [ a , a +h ] 上有界，则f 在R 上有界.证设f 在 [ a , a +h ] 上有界，即存在0>M ，使得],[h a a x +∈∀，有M x f ≤|)(|.R x ∈∀，必存在整数m 和实数],[0h a a x +∈，使得0x mh x +=. 于是M x f mh x f x f ≤=+=|)(||)(||)(|00，所以f 在R 上有界.16．设f 在区间I 上有界. 记)(sup x f M I x ∈=，)(inf x f m Ix ∈=，证明m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,证 I x ∈∀，有M x f ≤)(，m x f ≥)(. 于是I x x ∈'''∀,，有m M x f x f -≤''-'|)()(|，即m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的一个上界. 下面证明：m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.由上确界，下确界的定义知，0>∀ε，I x x ∈'''∃,，使得2)(ε->'M x f ，2)(ε+<''m x f ，从而εεε--=+-->''-'m M m M x f x f )2(2)()(. 所以m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.所以m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1．（北京科技大学，1999年）叙述数集A 的上确界的定义，并证明：对任意有界数列}{n x ，}{n y ，总有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+证明定义参考教材.由上确界的定义，有}sup{n n x x ≤，}sup{n n y y ≤，（ ,2,1=n ）. 于是}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+，即实数}sup{}sup{n n y x +是数列}{n n y x +的一个上界，所以有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+2．（中国人民大学）设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域和)]7([-f f . 解由049,13,032≥-≠->-x x x 解得)(x f 的定义域为)3,2()2,7[⋃-110lg 1)7(==-f ，所以342lg 1)]7([+=-f f 3．（华中理工大学）设1)(-=x x x f ，试验证x x f f f f =))]}(([{，并求])(1[x f f （0≠x ，1≠x ）.解由x x x x xx f x f x f f =---=-=1111)()()]([，得x x f f x f f f f ==)]([))]}(([{. x xx x x x x f x f f -=---=-=1111]1[])(1[ 4．（同济大学）设⎩⎨⎧≥<+=010,1)(x x x x f ，求)]([x f f . 解当0≥x 时，1)1()]([==f x f f ，当01<≤-x 时，1)1()]([=+=x f x f f ，当1-<x 时，2)1()]([+=+=x x f x f f ，所以⎩⎨⎧-≥-<+=111,2)]([x x x x f f 5．（西北工业大学）设2)(x x x f +=，求 ⑴ )(x f 的定义域⑵2)]}([{21x f f ⑶ x x f x )(lim 0→ 解 ⑴ ⎩⎨⎧>≤=+=0,20,0||)(x x x x x x f ，所以)(x f 的定义域为),(∞+-∞. ⑵ 因为)(22)()]([2222x f x x x x x x x f f =+=+++=，所以22)()]}([{21x x x f x f f +== ⑶ 因为00lim )(lim 00==--→→x x x f x x ，+∞==-+→→x x x x f x x 2lim )(lim 00，所以x x f x )(lim 0→不存在6．（清华大学）设函数)(x f 在),(∞+-∞上是奇函数，a f =)1(且对任何x 值均有)2()()2(f x f x f =-+⑴ 试用a 表示)2(f 与)5(f⑵ 问a 取什么值时，)(x f 是以2为周期的周期函数.解 ⑴ 因为对任何x 值均有)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x 得a f f f f f f f a -=-=-+=+-==)2()1()2()1()2()21()1(，所以a f 2)2(=.a f f f 3)2()1()3(=+=，a f f f 5)3()2()5(=+=⑵ 由)2()()2(f x f x f +=+知当且仅当0)2(=f ，即0=a 时，)(x f 是以2为周期的周期函数.7．（合肥工业大学）证明：定义在对称区间),(l l -内的任何函数)(x f ，必可表示成偶函数)(x H 与奇函数)(x G 之和的形式，且这种表示法是唯一的.证明令)]()([21)(x f x f x H -+=，)]()([21)(x f x f x G --=，则)()()(x G x H x f +=，且容易证明)(x H 是偶函数，)(x G 是奇函数.下证唯一性. 若还有偶函数)(1x H 与奇函数)(1x G ，满足)()()(11x G x H x f +=，则有)()()()(11x G x G x H x H -=-， ①用x -代入①式，得)()()()(11x G x G x H x H -=- ②①+② 得 )()(1x H x H =，再代入②式得)()(1x G x G =8．（内蒙古大学）作函数||2|2|x y --=的图形解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<≤<-=44424200x x x x x x x x y 9．（上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间]1,0[上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.答存在，例如⎩⎨⎧>==1000,,)(或为无理数或为且互质x ，n ，n m n m x n ，x f 10．（武汉大学，1994年）设}{n x 为一个正无穷大数列，E 为}{n x 的一切项组成的数集，试证：必存在自然数p ，使得E x p inf =证明因为}{n x 为一个正无穷大数列，所以存在自然数N ，使得当N n >时，1x x n >. 于是},,,m in{inf 21N x x x E =，由于},,,{21N x x x 为有限集，所以存在p x ，使得E x x x x N p inf },,,min{21== .11．（天津大学）证明：2是满足不等式22>r 的一切正有理数的下确界；证设}0,2,|{2>>∈=r r Q r r A . 要证2是数集A 的下确界. A r ∈∀，有22>r ，所以2>r ，即2是数集A 的一个下界.0>∀ε，由有理数的稠密性，在)2,2(ε+上存在无穷多个有理数，于是可取)2,2(1ε+∈r ，即A r ∈1且ε+<21r . 所以2inf =A12．（华中师范大学）设函数)(x f 定义在区间I 上，如果对于任何I x x ∈21,，及)1,0(∈λ，恒有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，证明：在区间I 的任何闭子区间上)(x f 有界.证 I b a ⊂∀],[，要证)(x f 在],[b a 有界. ),(b a x ∈∀，存在)1,0(∈λ，使 )(a b a x -+=λ，即a b x )1(λλ-+=.M M M a f b f a b f x f =-+≤-+≤-+=)1()()1()())1(()(λλλλλλ ① 其中)}(),(max{b f a f M =],[b a x ∈∀，令x b a y -+=)(，则22y x b a +=+， M x f y f x f y x f b a f 21)(21)(21)(21)22()2(+≤+≤+=+，所以 M b a f x f -+≥)2(2)( ② 由①、②可得，],[b a x ∈∀，有M x f M b a f ≤≤-+)()2(2，所以)(x f 在],[b a 有界.。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案7.0

1. 证明：闭区间[,]a b 的全体聚点的集合就是[,]a b 本身。

证：0[,]x a b ∀∈及0,ε∀>均有00(;)[,],U x a b ε⋂≠∅故0x 是集合[,]a b 的聚点。

1[,],x a b ∀∉不妨设1,x b >取0112(),x b ε=-则010(;)[,],U x a b ε⋂=∅故1x 不是[,]a b 的聚点。

综上所述，闭区间[,]a b 的全体聚点的集合就是[,]a b 本身。

2．设f 为R 上连续的周期函数。

证明：f 在R 上有最大值与最小值。

证：设函数f 的周期为0(),T T >由题设函数f 在闭区间0[,]T 上连续，故在0[,]T 上有最大值与最小值，分别设为,.M m 对0[,]\[,],x a b T ∀∈由于f 为R 上的周期函数，存在10[,],x T ∈使得1()(),f x f x =而1(),m f x M ≤≤进而有(),m f x M ≤≤故,M m 分别是函数f 在区间[,]a b 上的最大值与最小值。

3.证明:sin ()x f x x=在(0,)+∞上一致收敛. 证: 因sin lim ()lim 0:x x x f x x →+∞→+∞==0,0,M x M ε∀>∃>∀>时,有|()|.2f x ε< 令sin ,0(),1, 0x xg x x x ⎧⎪>=⎨=⎪⎩则0lim ()1(0),x g x g +→==即()g x 在0x =右连续,进而()g x 在[0,)+∞连续,由此可得()g x 在[0,2]M 上一致连续,故()f x (0,2]M 上一致连续,因此对上述的0,ε>0()M δδ∃><对于任意1,2(0,2]x x M ∈,当12||x x δ-<时有11|()()|.f x f x ε-<对于任意12,(0,),x x ∈+∞当12||x x δ-<时,(i) 若12,(0,2]x x M ∈时,由上述有11|()()|.f x f x ε-<(ii) 若1,2x x 至少有一个不属于(0,]M 时,不妨设2(0,2],x M ∉则有2.x M >又12||,x x M δ-<<由此可得212,M x M x x M <-<<+故1212|()()||()||()|.22f x f x f x f x εεε-≤+<+=综上所述,()f x 在(0,) 上一致收敛.。

(完整word版)数学分析上册第三版华东师范大学数学系编(word文档良心出品)

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。

这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是aaxx =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。

证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。

这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。

因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba之间。

数学分析习题课讲义上册答案

8.2 函数的单调性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.3 函数的极值与最值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3 变限积分与微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.4 定积分的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.6 数列的上极限和下极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 对于教学的建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 有界性定理与最值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
目录
5.4 一致连续性与 Cantor 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5 单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.6 周期 3 蕴涵混沌 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.7 对于教学的建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

工科数学分析教程修订版上册教学设计 (2)

工科数学分析教程修订版上册教学设计概述本篇文档主要针对修订版上册的教学设计进行介绍，旨在提高学生的数学分析能力和应用能力，为学生打下坚实的数学理论基础。

教师目标1.建立学生对数学分析的兴趣和信心。

2.帮助学生掌握数学分析的基本概念和基本方法。

3.培养学生的数学分析思维能力，能够解决实际问题。

4.促进学生的数学思维和数学能力的提高，为未来的学习和科研打下坚实的基础。

学生目标1.理解数学分析的基本概念和基本方法。

2.熟悉各种函数的性质和图形。

3.掌握微积分的基本概念和定理，能够进行简单的微积分计算。

4.能够用数学分析的方法解决实际问题。

教学内容1.函数与图像–函数的概念及其性质–常见函数（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）–函数的图像表征方法–函数的极限及其性质–函数的连续性和间断点2.微积分–泰勒公式–反常积分–定积分的概念和性质–可积性的充分条件，可积性的有限性3.矢量分析–空间直线与平面的一般方程式–空间曲线的向量表示及其导数、曲率–空间曲面的向量表示及其法向量、一般方程式–梯度、散度、旋度的概念和性质4.常微分方程–微分方程的一般概念–常微分方程的一阶线性方程–常微分方程的二阶线性方程–微分方程的定性理论教学方法1.讲解+例题。

在讲解课程时，可以针对每个概念设置例题，帮助学生更好地理解和掌握知识点。

2.课后习题训练。

每个章节可以设置10~20个左右的习题，持续训练学生的数学思维和应用能力。

3.互动式教学。

教师可以设置小组讨论或互动，激发学生的学习兴趣和互动性。

教学时长本课程建议每周授课364学时。

4学时，总授课时间为16周左右，共计48教材选用本课程建议使用Cengage的《工科数学分析》（上册），旨在培养学生对数学分析的专业理解能力，并加深对相关领域内知识的理解。

总结数学分析是现代科技中的一项重要应用，理解数学分析能力是一项伟大的挑战，同时也是一次难得的机会。

通过本课程的学业训练，学生将掌握数学分析的基本原理，同时也为日后的研究和工作打下了坚实的基础。

工科数学分析教程上册最新版习题解答5.3

5.3典型计算题四计算下列不定积分1、 ⎰⎰⎰⋅+==dx e x x e xde xdx e x x x x sin cos cos cos ⎰+=x x xde e sin cos⎰-+=xdx e x e x e x x x cos sin cos ∴⎰++=C x x e xdx e x x )cos (sin 21cos 2、2ln sin cos ln sin ln sin sin sin x x dx xdctgx ctgx x ctgxdx x x =-=-+⋅⎰⎰⎰221sin ln sin sin x ctgx x dx x-=-+⎰ 2ln sin (csc 1)ctgx x x dx =-+-⎰ln sin ctgx x ctgx x C =---+3、⎰+dx x 21，令tgt x =，则tdt dx 2sec =dt tt t dt t tdt t ⎰⎰⎰+==⋅=32232cos cos sin cos 1sec sec 21(sec )sec cos cos dt tg t t dt tgtd t t t=+=+⎰⎰⎰ 32cos sec sec 1sin t tgt t tdt dt t=⋅-+-⎰⎰ 3111sec sec ()sin 21sin 1sin tgt t tdt d t t t =⋅-++-+⎰⎰ ∴⎰+-++=C t t t tgt dt sin 1sin 1ln 41sec 21sec 2 4、dx x x sin ⎰，令t x =，则tdt dx 2=⎰⋅=tdt t t 2sin ⎰⎰-==t d t tdt t cos 2sin 222⎰⎰+-=+-=t td t t tdt t t t sin 4cos 2cos 4cos 22222cos 4sin 4sin t t t t tdt =-+-⎰22cos 4sin 4cos t t t t t C =-+++C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 25、⎰令t x =3，则dt t dx 23= ⎰⎰⎰-==⋅=dt te e t de t dt t e t t t t 63332222236366t t t t t t e tde t e te e dt =-=-+⎰⎰6C =-++6、⎰dx x arctg ，令t x =，则tdt dx 2= ⎰⎰⎰+-==⋅=dt t t arctgt t arctgtdt tdt arctgt 222212 ⎰++-=+--=C arctgt t arctgt t dt tarctgt t 222111( C x arctg x x xarctg ++-=7、⎰⎰-=xdx x x x x dx x .)cos(ln )sin(ln )sin(ln =-)sin(ln x x cos(ln )x dx ⎰=--)cos(ln )sin(ln x x x x ⎰dx x )sin(ln ⎰=∴dx x )sin(ln C x x x x +-)cos(ln 21)sin(ln 21 8、21x xx x x x x x xarctge e dx arctge de e arctge e dx e e ---=-=-++⎰⎰⎰ ⎰⎰++-=++-=--)1(122x x x x x x xx e e dx e arctge e e dx arctge e 21()1xx xx x x e e arctge de e e -=-+-+⎰ 221ln 21xx x xx de e arctge e e -=-+-+⎰ 21ln(1)2x x x e arctge x e C -=-+-++ 9、⎰dx e x 令t x =，则2t x =，tdt dx 2=⎰⎰⎰-==⋅=dt e te tde tdt e t t t t 2222C e te t t +-=22C e ex x x +-=22 10、dx x x ⎰++1)1ln( 令t x =+1，则tdt dx 2=⎰=tt 2ln ⎰⎰-==⋅dt t t tdt tdt 4ln 4ln 42C t t t +-=4ln 41)x C =+-11、dx x x ⎰++11arccos x d x ++=⎰11arccos 2dx x x x x x +⋅--++++=⎰11112121arccos 12 ⎰-+++=x dxx x 1arccos 12C x x x +--++=21arccos 1212、⎰dx x )cos(ln ⎰+=dx x x x )sin(ln )cos(ln(ln )cos(ln )sin(ln )cox x x x x x xdx x=+-⋅⎰ 所以⎰++=C x x x x dx x )sin(ln )cos(ln )cos(ln 2 ⎰++=C x x x dx x )]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln 13、⎰⎰-=dx x dx x 2)ln 2cos(1)(ln sin 2 11cos(2ln )22x x dx =-⎰ （1） 11cos(2ln )sin(2ln )22x x x x dx =--⎰ 11cos(2ln )sin(2ln )2cos(2ln )22x x x x x x dx =--+⎰ （2）由（1）、（2）式有11cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )2cos(2ln )22x dx x x x x x dx -=--+⎰⎰所以121cos(2ln )[cos(2ln )sin(2ln )]52x dx x x x x C =---+⎰ 12cos(2ln )225x x dx =+⋅⎰[cos(2ln )sin(2ln )]2x x x x C --+ 1[sin(2ln )cos(2ln )]252xxx x x C =-++14、arcsin xx e dx e ⎰ sin ,ln sin x e t x t ==令则2cos sin sin sin sin t t tdtdt t t t =⋅=⎰⎰⎰⎰+-=-=tdt t t t td csc csc sin 1C t t t t +-+-=|cot csc |ln cscC e e e e e x x x x x +--+-=21ln arcsin15、⎰⎰==dx x x xdx x ctgx sin ln sin cos sin ln ⎰x x xd sin ln sin sinln sin ln ln sin ln sin d xx C x ==+⎰16、因为⎰⎰-==x e xde xdx e x x x sin sin sin ⎰xdx e x cos ⎰-=x x xde x e cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin 所以C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin17、21cos 11cos cos 222dx x +==+⎰⎰⎰t = 11cos 2222x t tdt =+⋅⎰⎰+=tdt t x 2cos 21⎰+=t td x 2sin 2121⎰-+=tdt t t x 2sin 212sin 2121111sin 2cos 2224x t t t C =+++x e 21- x eC x x x x +++=2cos 412sin 2121 18、⎰ 令1(,222x tgt t ππ=∈- （1） 21sec sec 2t tdt =⋅⎰ 2111sec sec sec 222tdtgt t tgt t tg tdt ==⋅-⋅⎰⎰ 211sec sec (sec 1)22t gt t t dt =⋅-⋅-⎰ 3111sec sec sec 222t tgt tdt tdt =⋅-+⎰⎰ （2）由（1）、（2）式有311sec sec sec 22tdt t tgt tdt =⋅+⎰⎰ 11sec ln |sec |22t tgt t tgt C =⋅+++所以原式112244x x C =++12)4x C =++ 19、⎰tan t =22tan sec sec t t tdt t=⋅⋅⎰ 2tan sec 2sec t t tdt td t ==⎰⎰⎰-=tdt t t sec 2sec 2C tgt t t t ++-=sec ln 2sec 2C x x x x arctg +++-+⋅=)1ln(21220、arcsin x e dx ⎰ 令arcsin x t =，则sin x t =cos cos t t e tdt tde =⋅=⎰⎰⎰⋅+=dt e t t e t t sin cos⎰+=t t tde t e sin cos⎰-+=dt te t e t e t t t cos sin cos241x +x 2所以⎰++=C t t e tdt e t t )sin (cos 21cos 原式C x x e x ++-=)1(212arcsin 21、23sin sin 22cos x t t tdt t d t ⋅=-⎰⎰ ⎰+-=tdt t t t cos 6cos 223⎰+-=t d t t t sin 6cos 223⎰-+-=tdt t t t t t sin 12sin 6cos 223⎰++-=t td t t t t cos 12sin 6cos 223⎰-++-=tdt t t t t t t cos 12cos 12sin 6cos 223C x x x x x x x x +-++-=sin 12cos 12sin 6cos 2 22、⎰⎰=21arccos 211arccos dx xdx x x2221111arccos 22x x dx x -=+2111arccos 22x x =- 1cos ,[0,)(,]22t t x πππ=∈ 令2111arccos 22x t tgtdt x =-⋅ 21111arccos sec 22sin x t tgtdt x t =-⋅⎰ 22111arccos sec 22x tdt x =-⎰ 2111arccos 22x tgt C x =-+211arccos 2x C x x =-+211arccos 2x C x =+ 23、tdt te tgt x dx x e t arctgx23232sec sec )1(⋅=+⎰⎰ cos cos t t e tdt tde ==⎰⎰cos sin t t e t t e dt =+⋅⎰cos sin t t e tde =+⎰cos sin cos t t t e t e t t e dt =+-⋅⎰所以12cos sin cos t t t e tdt e t e t C =++⎰ 原式1(sin cos )2t e t t C =++ 24、2sin 1cos 211cos 2222x x x x x x dx dx e e xdx e e ---==--⎰⎰⎰ ⎰--+-=x x xde e 2cos 2121 11cos 2sin 222x x x e e x x e dx ---=-++⋅⎰ 11cos 2sin 222x x x e e x x de ---=-+-⋅⎰ 11cos 2sin 22cos 222x x x x e e x e x x e dx ----=-+-+⋅⎰ 所以151cos 2cos 2sin 222x x x e xdx e x e x C ---=-++⎰ 原式111(cos 2sin 2)252x x e e x x C --=-+-+ 25、⎰⎰⎰==tdt t x x d x dx x xarcsin 2arcsin 2arcsindt t tt t ⎰--=212arcsin 2⎰--=221arcsin 2t dt t tC t t t +-+=212arcsin 2C =+26、因为dx x dx x ⎰⎰+=2)ln 2cos(1)(ln cos 2⎰+=dx x x )ln 2cos(2121 ++=)ln 2cos(2121x x x xdx x x ⋅⎰)ln 2sin(221 ⎰++=dx x x x x )ln 2sin()ln 2cos(2121 ⎰-++=dx x x x x x x )ln 2cos(2)ln 2sin()ln 2cos(2121 所以⎰+=)ln 2cos(21)ln 2cos(25x x dx x 1sin(2ln )x x C + 原式111[cos(2ln )sin(2ln )]252x x x x C =+++ 27、⎰⎰⎰-=⋅=t td tdt t t x dx x cos 22sin sin ⎰+-=tdt t t cos 2cos 2C t t t ++-=sin 2cos 2C x x x ++-=sin 2cos 228、sin sin cos cos t t dxx t tdt t⋅=⋅⎰⎰ ⎰⎰-==t td tdt t cos sin⎰+-=tdt t t cos cosC t t t ++-=sin cosC x x x ++-⋅-=21arcsin29、因为⎰⎰⎰-=-=x x x x xde e de x xdx e 2cos 212122cos 1sin 2 ⎰⋅--=dx e x x e e x x x 2sin 2cos 2121 ⎰--=x x x xde x e e 2sin 2cos 2121 ⎰⋅+--=dx e x x e x e e x x x x 2cos 22sin 2cos 2121 所以⎰++=⋅12sin 2cos 212cos 25c x e x e dx e x x x x 原式11(cos 2sin 2)252x x e e x x C =-++30、⎰⎰=xdtgx dx x x cos ln cos cos ln 2tgxdx xx x tgx ⋅+⋅=⎰cos sin cos ln ⎰+⋅=xdx tg x tgx 2cos ln ln cos tgx x tgx x C =+-+。

工程数学基础教程课后习题答案

.工程数学基础习题解答习题一A一、判断题1.√；，2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.√；10.×.二、填空题1.;C C A B2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R3.满;4.2sup =E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .B1.证 ()y f A B ∀∈⋂,x A B ∃∈⋂使得)(x f y =.由x A B ∈⋂,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈⋂,因此()()()f A B f A f B ⋂⊂⋂.当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂即可： ()()(),y f A f B f ∀∈⋂⊂R f 由是单射知,().(),(),1X y f x y f A y f B x ∃=∈∈∈使得且,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈⋂=∈⋂且即从而故()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂.是可能的，例如,2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f xx A B A B =-=-⋂=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ⋂=-=于是而[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ⋂=⋂=从而有 .2. 证（1）n ∀∈,有)2 ,2(12 ,12][-⊂-+-n n ,故 ∞=-⊂-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .另一方面,)2 ,2(-∈∀x ,k ∃∈,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞=-+-∈1][12 12n n ,n x ,于是⊂-)2 ,2( ∞=-+-1][12 12n n,n .因此, ∞=-+-=-1][12 ,12)2 ,2(n nn .（2）n ∀∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--⊂-,故 ∞=+--⊂-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .另一方面,对任意]2 ,2[-∉x ,即2>x ,k ∃∈,使得212>+>kx ,即)12 ,12(k k x +--∉,从而 ∞=+--∉1)12 ,12(n n n x ，故 ∞=-⊂+--1]2,2[)12 ,12(n n n .因此,∞=+--=-1)12,12(]2,2[n nn . 3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可sup ,,,sup ,,;.inf .A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是的上界故因此类似地可以证明是唯一的 4. 证设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈⋂也是的线性子空间.显然D Y αα∈⋂≠∅，z 只需证明.D Y X αα∈⋂对的线性运算是封闭的事实上，,Dx y Y αα∈∀∈⋂及,λ∀∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈⋂,D x Y ααλ∈∈⋂.因此,DY αα∈⋂是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ∀∈∀∈证显然包含零多项式故非空；又及，有()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即[0, 1].n W P 所以,是的线性子空间1111021121001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'∀∈⊂=++++=+++'+=+==-=++++-设则由得即故23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -⇒===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -⇐“”:要证存在,只需证明是单射：121212121212,,((),()()()0,0,,.x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ∀∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--∀∈∀∈∃∈====及即于是有1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+1:.T Y X -→故是线性的7. 2222:,.B A σ⨯⨯→解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵221212,,,,X X k k σ⨯∀∈∀∈由的定义，有 10010000,,,0001001()B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===2222:.σ⨯⨯→故是线性的1112212210010000,,,00001001E E E E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦关键是求基元的像在基下的坐标：()()()11111221221110000000,00,Tab acd cE aE E cE E E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()12111221221201000000,00,Tab a cd c E E aE E cE E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()21111221222100010000,00,T ab bcd d E bE E dE E E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()2211122122200001000,00,Tab b cd d E E bE E dE E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0000.0000aba b A c d c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦习题二A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.二、填空题1.x ；2.n ；3.2,(1),i,i λλλλ-+-；4. 1,1λλ-+；5.200004014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；6.200020012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；7.O ； 8.O ；9.1λ-；10.6.三、单项选择题1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a).B1.解（1）E A λ-()[]−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=-+212]3,2[]2,1[020012201200120012λλλλλλλ ()[]()[]()[]()[]222311322132232)2(00)2(10001020)2(10201-⋅+-⋅-⋅--⋅+−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----λλλλλλλλ ()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⋅3123)2(11)2(00010001λλ, 3123()()1, ()(2).d d d λλλλ∴===-（2）E A λ-[][]()[]−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------=+-λλλλλλλ13123,1111111111111()[][]3211222311111011010011012λλλλλλλλλλ+⋅-⎡⎤⎣⎦+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--−−−→+−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++---⋅-+)2)(1(11)2)(1(0001011117312λλλλλλλλ, 1()1d λ∴=,1)(2+=λλd ,)2)(1()(3-+=λλλd .（3）E A λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=52340100010012345100010001λλλλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---→542300100100012λλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++--→543200100010001232λλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++→5432111234λλλλ, 12()()()1d d d λλλ∴===,5432)(2344++++=λλλλλd .（4）[]1,2310013004100140071211721761671E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=−−→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()[]()()()21122314162131113001000021000(1)0004210(4)210611106111λλλλλλλλλλλλλλ+-+⎡⎤⎣⎦-+-⎡⎤⎣⎦+⋅-⎡⎤⎣⎦⋅-⎡⎤⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥-----+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]()2243232100010000(1)000(1)000621062106101010(1)0λλλλλλλλ+⋅⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()()()2421[4()][24(1)]10[246][41][342]2210001000(1)0(1)0000010********(1)(1)0100101010λλλλλλ-⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦[][]242,4(2)3,4[32]1041000100(1)010001110(1)λλλ-+⋅⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 123()()()1d d d λλλ∴===,44)1()(-=λλd .2. 解 (1)∵4det ()(2)A λλ=-+，∴44)2()(+=λλD ,又∵01021210100≠-=++λλ,∴1)(3=λD ,从而1)()(21==λλD D .于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,44)2()(+=λλd ；初等因子组为4)2(+λ. (2)2210010010010()00000()000()B λαλαλαλαλλαλαλαλα++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥≅≅⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≅22)()(11αλαλ, 故不变因子为 1)()(21==λλd d ,23)()(αλλ+=d ,24)()(αλλ+=d ; 初等因子组为 22)(,)(αλαλ++.(3)显然313()1,det ()(1)()D C D λλλλ==+=,而2(1)(5)08(1)adj ()3(1)(1)6(1)2(1)0(1)(3)C λλλλλλλλλλ+++⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦， ∴1)(2+=λλD .因此2321)1()(,1)(,1)(+=+==λλλλλd d d ; 初等因子组:2)1(,1++λλ.（4）由第1题（4）知1)()()(321===λλλd d d ,44)1()(+=λλd .也可这样解：由行列式的Laplace 展开定理得43121det ()(1)411D λλλλλλ----=⋅=-+，故44)1()(-=λλD ;又)(λD 的左下角的三阶子式372471672170142+-=---+λλλλ与)(4λD 是互质的,所以1)(3=λD ,从而1)()(12==λλD D .因此44321)1()(,1)()(,1)(-====λλλλλd d d d ;初等因子组:4)1(-λ.3.解（1）∵12020(1)(1)(2)211E A λλλλλλλ---=-=+--+，∴1~12A J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）∵E A λ-611123034371230343104252373-+-+-=-++-+-=--+--=λλλλλλλλλλλλ 611123036411022-+-+++----=λλλλλλλ)i )(i )(1(123+--=-+-=λλλλλλ，∴~A J ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=i i 1. （3）∵[]1,231001300410014007121172117616171E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][])1(12)1(13)6(14+⋅+-⋅+⋅+−−−→−λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------λλλλλλλλλλ2222)1()1(0100000)1(000011160124000)1(00031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→22)1()1(11λλ, ∴初等因子组为2)1(-λ,2)1(-λ,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11011J ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,故12111111JJ J ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （4）0001001E A λλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,()det()n nD E A λλλ=-=,又有一个1-n 阶子式0)1(1111≠-=----n λλλ,∴1)()(11===-λλD D n ，故1)()()(121====-λλλn d d d ,n n d λλ=)(;初等因子组为n λ,所以010~110A J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (事实上，A 本身就是一个Jordan 块)4.解（1）由第1题（2）知1)(1+=λλϕ,2)2)(1()(22--=-+=λλλλλϕ,所以12100~002011CA C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （2）由第1题（3）知5432)(234++++=λλλλλϕ，故B 的有理标准是0005100401030012C -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.5.解由J 立即可知A 的初等因子组为2)1(-λ,2-λ,2)2(-λ,于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,()24-=λλd ,225)2()1()(--=λλλd .即2)(1-=λλϕ，412136)(2342+-+-=λλλλλϕ，故200000000401001200101300016C ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6.解（1）744744()481099418418f E A λλλλλλλλλ----=-=-+=++++2)9)(9(71490847+-=++--=λλλλλ.因为2441644(9)(9)4171 4114117411A E A E O ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦,所以最小多项式为)9)(9()(+-=λλλm .（2）32310()det()0132(2)(1)23D E B λλλλλλλλλ-=-=-=--=-+--,∵有一个二阶子式01101≠=--λ,∴1)()(21==λλD D .因此,23)1)(2()()(+-==λλλλd m . （3）对E C λ-施行初等变换得其Smith 标准形23()diag(1, 1, 1,(3),(3))S λλλ=--，∴35)3()()(-==λλλd m .7.证若A 可对角化,则A 的最小多项式)(λm 无重零点,必要性得证. 若A 有一个无重零点的零化多项式)(λϕ,则因为)(deg )(deg λϕλ≤m ,故)(λm 也无重零点,由定理2.16知A 可对角化.8. 证 (1) 22A A E +=,22A A E O +-=,∴)1)(2(2)(2+-=-+=λλλλλϕ是A 的一个无重零点的零化多项式,故A 可对角化. (2)mA E =,∴1-mλ是A 的零化多项式,其零点2i ek mk πλ=(0,1,,1)k m =-是互不相同的,故A 可对角化.习题三A一、判断题1.√；2.√；3.√；4.√；5.√；6.√；7.√；8.×；9.√；10.×；11.√；12.√；13.×； 14.× 15.√；16.√；17.√；18.√；19.√；20.×；21.√；22√；.23.×；24.√；25.√.二、填空题1.0；2.0y ；3.()T111,,,2n；4. 12；5.Banach ；6.1；7.3；8.15,2FA A A∞==+=；9.3.三、单项选择题1.(c)；2. (c)；3. (b)；4. (a)；5. (b);6.(c).B1. 证仅验证三角不等式,其余是显然的.设Tn ),,(1ξξ =x ,T n ),,(1ηη =y 是n中的任意两个元素.∑∑∑∑====+=+=+≤+=+n i ni ni i ni i i i i i 1111111)(y x y x ηξηξηξ；i ni i ni i i ni i ni ηξηξηξ≤≤≤≤≤≤≤≤∞+≤+≤+=+11111max max }{max max y x∞∞+=y x .2. 证因为[],, x y C a b ∀∈及∈∀α,有(N 1) t t x x bad )( 1⎰=0≥,显然若0=x ,即0)(≡t x ,则01=x ;反之,若01=x ,即0d )( =⎰t t x ba,则由)(t x 的连续性,知0)(≡t x ,即0=x ;(N 2) 11d )(d )(x t t x t t x xba b aαααα===⎰⎰;(N 3) t t y t t x t t y t x yx bab ab ad )(d )(d )()(1⎰⎰⎰+≤+=+11y x +=;所以1 ⋅是[], C a b 上的范数.3.解121i 1i 22,max{1,i ,1i}x x x ∞=+-++===-+= 4.解1max{101,210,i 11i }max{2,3,22max{12i ,011,101i }max{4,2,1 4.A A ∞=++-++-+-+-===++-++--++-==5.证 (1)lim ,lim ,.n n n n x x X x y Y x y →∞→∞=∈=∈=设又只需证明即可 {}0lim lim lim lim lim 000,0,0,.n n n n n n n n n n n x y x y x x x y x x x y x x x y x y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞≤-=-=-+-≤-+-=-+-=+=∴-=-==故即122lim ,1,,1,1, 1. max{,,,,1},,().n n n n n n N n n x x X N n N x x x x x x x x M x x x x n x M x ε→∞=∈=∃∈>-≤-≤-≤≤+=+∀∈≤ （）设则对使得当时,恒有从而有即取则，有故有界6.证设x 是,()n X x X x 中任意一点是中收敛于的任一序列.()():,lim ()();:,lim ()().lim()()()(),:.n n n n n n n f X Y Y f x f x g Y Z Z g f x g f x g f x g f x g f X Z x →∞→∞→∞→=→==∴→ 由连续知在中有又由连续知在中有即在点处连续,:.x X g f X Z ∈→由的任意性知是连续映射7. 证由于()n x 和()n y 都是X 中的Cauchy 序列，则0>∀ε,12,N N ∃∈,使得当1,N m n >时，2ε<-m n x x ；当2,N m n >时，2ε<-m n y y .令},m ax {21N N N =,则当N n m >,时,有)()( m m n n m m n n y x y x y x y x ---≤---εεε=+<-+≤22m n m n y y x x ,这表明()n n x y -是中Cauchy 的序列,由的完备性知,数列()n n x y -收敛.100001110101010121 (1)[0, 1],0,[0, 1],()0,max ()()0,(N ).d(())d(())[0, 1],,max ()maxmax ()max ,d d (N ). ,[0,dx d ddx x x x d f C f x f x f f x f x f x f x f C f f x f x fx x f g C λλλλλλλ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∀∈≠∃∈>≥≥>⋅∀∈∀∈=+=+=⋅∀∈8.证且即使得故即满足即满足01010101010d(()())1],max ()()maxd d ()dg() max ()()max d d max ()max dx x x x x f x g x f gf xg x xf x x f xg x x x f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++=++⎡⎤≤⎡+⎤++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+101010101010131d ()dg()()max maxd d d ()dg()max ()maxmax ()max ,d d (N ).,[0, 1].x x x dd x x x x d d f x x g x x x f x x f x g x f g x x C ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++⎡⎤⎡⎤=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅即满足所以是上的范数(2):D ]1 ,0[1C ]1 ,0[C →显然是线性的.因为1[0, 1]f C ∀∈,有110101d ()d ()maxmax ()max ,d d dx x t f x f x Df f x f x x≤≤≤≤≤≤=≤+=故D 是有界的. 9. 证由于 ⋅是n n⨯上的方阵范数,故,n nA B ⨯∀∈及α∀∈,有(1)1*0AS AS -=≥,并且11*0A S AS S AS O A O --==⇔=⇔=;(2)11**A S AS O S AS A αααα--====;(3)()11111*A B S A B S S AS S BS S AS S BS -----+=+=+≤+**A B =+;(4)111*()()AB S ABS S AS S BS ---==11**S AS S BS AB --≤=;因此,* ⋅是n n⨯上的方阵范数.10. 2;F A 解 21i()det(),()0;i1f E A A λλλλρλ--=-==∴=-+H HH 21i 1i 22i 22i,(4),()4,i 1i 12i 22i 22.A A E A A A A A λλλλρλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴=11. 证显然A λ≤.∵λ是可逆阵A 的特征值,则λ1是1A -特征值,故11A λ-≤,即11Aλ-≥. ∴11A A λ-≤≤.12.证要证0(),x T ∈N 只需证明00.Tx =()0()(),0.lim ,,n n nn x T Tx n xx T →∞⊂=∀∈=由知于是当且是有界线性算子时有N0(lim )lim ()lim00,n n n n n Tx T x T x →∞→∞→∞====故0().x T ∈N习题四A一、判断题1.×；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.×；8.×.二、填空题1.2213e e 001cos x x x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；2.222(1)tE t -+；3.1；4. 3e t ；5.22222222e e e e e e tt t t tt t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t 2cos 2cos cos ；7.1； 8.3e -. B1. sin cos d (),d cos sin tt A t t tt -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解 []22d d det ()cos sin 0d d A t t t t t =+=⎡⎤⎣⎦,22sin cos d ()det()sin cos 1.d cos sin t t A t t t t t t-==+=-- 2. 2213e e 0 ().01cos x x x f x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦解x3. 1 1 0 0 11 10 0 0 110 0e d e d e 11 ()d d2d 11.sin d cos d 1cos1sin1t tt t t A t t t t t t t t t ⎡⎤-⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥==⎰⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎰⎰⎣⎦⎣⎦解 4. 证明（1）d d d d d d ()()()()d d d d d d T T T T T f x x x x Ax Ax x Ax Ax x A t t t t t t==+=+d d d d d ()2;d d d d d T T T T T T T T x x x x x x A x A x A x A x A t t t t t=+=+=.（2）d d d d d d ()()2.d d d d d d T T T T T T T x x x x x x x x x x x x t t t t t t=+=+=5. 证（1）若lim k k A A →∞=,则2lim 0k k A A →∞-=. ∵222()T TTk k k A AA A A A -=-=-(可以证明[1]2222H T A A A A ===)，∴2lim 0T Tk k A A →∞-=,即lim T Tk k A A →∞=. 同理可证lim k k A A →∞=,由上已证的结果立即可得lim H H k k A A →∞=.（2）000()lim ()lim ()NNTkT kk Tk k k N N k k k c A c A c A ∞→∞→∞=====∑∑∑0lim()Nk Tk N k c A →∞==∑ 0(lim )N k T k N k c A →∞==∑0()k Tk k c A ∞==∑ 6. 证令()3200det()11120113E A λλλλλ--=---=-=--得A 的全部特征值均为 2. 于是13B A =的所有特征值都是32,故()213B ρ=<,因此lim k k B O →∞=.7. 证方法一: 当0=t 时,显然成立,故设0≠t .记010100t t A t ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 22det()(i )(i )E A t t t λλλλ-=+=-+，t i 1=λ,t i 2-=λ.对t i 1=λ,解方程(i )0tE A x -=可得11i x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；对t i 2-=λ解方程(i )0tE A x --=得21i x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.令11i i P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,则P 可逆且11/2i /21/2i /2P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以01i 10i i 1i 111/2i /2e 0ee diag(e ,e )i i 1/2i /20e tt Attt P P ⎡⎤⎢⎥---⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---+=----t t t t t t t t t t t t cos sin sin cos )e e (21)e e (i 21)e e (i 21)e e (21i i i i i i i i .方法二：记0110B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,21det()11E B λλλλ--==+,{}()i,i B σ=-.B 的最小多项式1)(2+=λλϕ,2)(deg =λϕ. 故设01e ()()tB a t E a t B =+.∵λt e 与λ)()(10t a t a +在()B σ上的值相等,即⎩⎨⎧=-=+-tt t a t a t a t a i 10i 10e )(i )(e )(i )(, ∴t t a t t cos 2e e )(i i 0=+=-，t t a tt sin i2e e )(i i 1=-=-.因此0110cos sin ecos sin sin cos t t t tE tB t t ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦.8. 2eJordan ,e e e .e e e 2ttAtt t tt A t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解是块 9. 解 2214det()02(2)(1)031E A λλλλλλ----=-=----.∵(2)()A E A E O --≠,∴A 的最小多项式)1()2()(2--=λλλϕ.3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=. 由()f t λ与()T t λ在{}()1,2A σ=上的值相等,于是(1)对()e Atf At =有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++tttt t a t a t a t a t a t a t a t a 2212210210e )(4)(e )(4)(2)(e )()()(,解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=t t t t t t t t t t t a t t a t t a 222221220e e e )(e 3e 4e 4)(e 2e 3e 4)(所以22100e (4e 3e 2e )010001tA t t t t ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+130020412)e 3e 4e 4(22t t t t⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+19004012164)e e e (22t t t t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=ttt t t t t t t tt e e 3e 300e 0e 4e 4e 13e 12e 12e 222222(2)对()sin()f At At =有01201212()()()sin ()2()4()sin 2()4()cos 2a t a t a t t a t a t a t t a t a t t t ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=tt t t t a t t t t t a t t t t t a 2cos 2sin sin )(2cos 32sin 4sin 4)(2cos 22sin 3sin 4)(210. ∴2012sin()()()()At a t E a t A a t A =++sin 212sin 12sin 213cos 24sin 4sin 20sin 2003sin 3sin 2sin t t t t t t t t t t t -+-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦（注）可利用(1)的结果求(2)（或cos()At ）：在(1)中分别以t i 和t i -替代t 得i e tA 和i etA-，再由公式i i i i e e e e sin()(cos())2i 2tA tA tA tAAt At ---+==或即得. 10. 解 210det()01(+1)01+2E A λλλλλλ-==-()A A E O -≠且,故A 的最小多项式2()(1)φλλλ=+，3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=,即012100010001()()010()001()012001012023f At a t a t a t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦012021212012()()()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦. 由()f t λ与()T t λ在A 上的谱值相等,于是(1)对()e Atf At =有001212()1()()()e ()2()e tta t a t a t a t a t a t t --=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得012()1()22e e ()1e e t t t t a t a t t a t t ----=⎧⎪=--⎨⎪=--⎩012021212012()()()e 0()()()2()0()2()()2()3()122e e 1e e 0e e e 0e e e At t t t t t t tt t ta t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t t t t t t t -----------⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦-++-+⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (2)对()sin()f At At =有001212()0()()()sin ()2()cos a t a t a t a t t a t a t t t =⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得012()0()2sin cos ()sin cos a t a t t t t a t t t t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.012021212012()()()sin()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t At a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦02sin cos sin cos 0sin cos cos 0cos sin cos t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11.tr 2i 332i det(e )e e e .A A +-===解12. 解此处775885050A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,122()()()()x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,321C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为775det()885(5)(5)(15),deg ()3,05E A λλλλλλϕλλ+--=+=-++=故设2012e ()()()()At a t E a t A a t A T At =++=.由tλe 与)(t T λ在(){5,5,15}A σ=--上的值相同,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++--ttt t a t a t a t a t a t a t a t a t a 1521052105210e )(225)(15)( e )(25)(5)( e )(25 )(5 )(,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-+=-----)e e 2(e )( )e (e )( )e 6e (3e )(1555200125510111555810t t t t t t t tt a t a t a ;于是 0121775105800e ()1()885()12014501050404025At a t a t a t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+-+-+-+---+--++=---------------t t tt t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t 551555155555155515555515551555e 5e 5e 2e e 3e 24e e 2e 5e 5e 6e e 3e64e 2e e 5e 5e 4e e 3e 44e e 2101. 所以,解为 55155515551517e 9e 4e 1()e 17e 9e 6e 1017e 9e 2e t t t At t t t t t tx t C ------++⎡⎤⎢⎥==--+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=++=------)e 2e 9e 17(101)()e 6e 9e 17(101)()e 49e e 17(101)(155531555215551tt t t t t t t t t x t x t x .习题五A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.√；6.×；7.√；8.√；9.×；10.√；11.√；12.×；13.√；14.√ 15.√.二、填空题1.0；2.{}0；3.span A ；4.1；5.3；6.O ；7.123()1,()1,()(1)(2)d d d λλλλλλ==-=--；8.实；9.0; 10.1;11.1,a b c ===.三、单项选择题1.(d)；2. (c)；3. (c).B1.证 121212(1)(,,,),(,,,),(,,,),,T T T nn n n x y z ξξξηηηςςςλμ∀===∈∀∈及，有1111(I ),(),,;nnnk k k k k k k k k k k k k x y z k k k x z y z λμλξμηςλξςμηςλμ===<+>=+=+=<>+<>∑∑∑211(I ),,;n nk k k k k k k k x y k k y x ξηηξ==<>===<>∑∑231221(I ),0, ,=01,2,,,=01,2,,,00;nk k k nk kk k k x x k x x k k n k n x ξξξξ==<>=≥<>=⇔∀=⇔∀==⇔=∑∑且有有,.nk <⋅⋅>故是上的一种内积(2),,,,n nij ij ij A a B b C c λμ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀===∈∀∈⎣⎦⎣⎦⎣⎦及,有1111111(I ),(),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij ij i j i j i j A B C a b c a c b c A C B C λμλμλμλμ======<+>=+=+=<>+<>∑∑∑∑∑∑2111111(I ),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij i j i j i j A B a b a b a b B A ======<>====<>∑∑∑∑∑∑2311112211(I ),0, ,0,1,2,,,00;n n n nij ij ij i j i j nnijijij i j A A a a a A A a i j n a a A O ======<>==≥<>==⇔∀===⇔=∑∑∑∑∑∑且有即,.n n⨯<⋅⋅>故是上的一种内积12211.nnij F i j A a A ==⎛⎫>== ⎪⎝⎭∑∑2. 证右端) , ,(41>--<->++<=y x y x y x y x><+><+><+><=y y x y y x x x ,,,,(41),,,,><-><+><+><-y y x y y x x x 1(4,)4x y =<>=左端.3.证（1）若⊥∈B x ,则B y ∈∀皆有y x ⊥,由假设B A ⊂,于是对每一个A y ∈皆有y x ⊥,即⊥∈A x ,故⊥⊥⊂A B .（2）若A x ∈,则⊥∈∀A y 皆有y x ⊥,故⊥⊥∈)(A x ,于是⊥⊥⊂)(A A .4.解显然123.det 20,det 110,det 380,.A A A A A =>=>=>∴是实对称矩阵正定其余略.5. 证 “⇒”: 若n nA ⨯∈正定,则det det 0n A A =>,故A 非奇异.“⇐”: 若A 非奇异,则1det 0ni i A λ==≠∏,从而),,2,1(0n i i =≠λ. 又因为A 半正定,故有0≥i λ,于是),,2,1(0n i i =>λ,所以A 是正定的.6.证先验证2A 是Hermite 矩阵.22222()()(),Hermite .H H H H H H H H H H H A A AA AA A A AA A AA A AA AA AAA A A A A ======∴是矩阵再证2A 是正定的.12222 ,,Hermite 0(1,2,,).0(1,2,,),.n i i i A n A i n A i n A λλλλλλ∈≠=>=设是的个特征值,由是矩阵且可逆知,且从而的所有特征值故是正定矩阵7. 解（1）令3i 1i 02010E A λλλλλλ---==-=-得01=λ,22=λ,23-=λ,由此判定A不是正定的.对01=λ解方程组0Ax -=,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000i 0100i 1i 0321ξξξ,亦即⎩⎨⎧==+ 00i 132ξξξ,得⎩⎨⎧==321i 0ξξξ. 若取13=ξ,则有10i 1x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=. 对22=λ解)0A x -=可得2i 1x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-.对23-=λ解()0A x -=可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=1i 23x .由于1x ,2x ,3x 分别对应于A 的不同特征值,故彼此正交.将它们单位化,得10i 1/α⎡⎤⎢⎢⎢⎣=，2i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-，3i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-.令[]12301/,,i i /2i /21/21/2U ααα⎡-⎢==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,01/i /21/2i /21/2H U ⎡-⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则0H U AU ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎣.习题六A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.×.二、填空题1.1122112201010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2. (1)()12(1)(1)()213(1)(1)321( 3 24)41(3 30)(0,1,2,)41( 24)4k k k k k k k x x x x x k x x +++++⎧=-+⎪⎪=-++=⎨⎪⎪=-⎩；3.1()D L U --；4.Seidel,Jacobi .B1. 解（1）110000100005000.55000A-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-, 3.0001A ∞=,120000A-∞=,∴cond 60002A ∞=.（2）1 1.38 2.1810.2106 2.79 4.56B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-,17.35B =，1132.00B -=，∴1cond 235.2B =.（3）12212max{,}1009910099,cond (6-3).min{,}99989998C C λλλλλλ--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦是实对称矩阵故见令12122019810,9999cond 39206.C λλλλλλ=--===∴==≈得 2. 解（1）对增广矩阵施行行的初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡330002121041123232300212104112522162134112得到等价的上三角方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++330212142332321x x x x x x .进行回代,得方程组的解为：12/)4( ,1)21/(21 ,13/3321323=--==--===x x x x x x .故解为(1,1,1).T x =（2）对增广矩阵施行初等行变换11034110341103421111011590115931123041715003132112314033280001319⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到等价的上三角方程组1242343443459313211319x x x x x x x x x ++=⎧⎪---=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩.进行回代,得方程组的解：43419219/(13), (2113)/3,133x x x =--==-=2341244055(95), 433939x x x x x x =--++==--=-,故解为()5540192,,,.3939313Tx -=3. 解首先用顺序Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1.982.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-65424101798.0104453.0101467.00104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-9924109774.0101762.000104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0,经回代得547.53=x ，43.722=x ，05.811-=x . 此时,620.174310Ax b -=⨯. 下面用列主元素Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换（下画横线者为主元素）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9812.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-6744.01670.0105500.00101179.0105909.04584.009812.41200320022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-5329.0109610.000101179.0105909.04584.009812.41200320012, 经回代得46.17,76.45,545.5123=-==x x x . 此时,289.22=-b Ax .列主元素Gauss 消去法比顺序Gauss 消去法的精度高.4. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ). 计算结果如下表：解为767354.01=x ，138410.12=x ，125368.23=x .Seidel 迭代格式与计算结果如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k );5. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ), 因为()()21113300044335110,det(),1,444481100044M E M M λλλλλρλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ).因为系数矩阵A 对称，且123det 40,det 70,det 240,,A A A A =>=>=>从而正定故Seidel 迭代格式收敛.6. 解（1）Jacobi 迭代矩阵1111022()10111022M D L U -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;215det()()4E M λλλ-=+,1()1M ρ=>.因此,Jacobi 迭代格式发散.Seidel 迭代矩阵12111000222011111()100010222000111000222M D L U -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 221det()()2E M λλλ-=+,21()2M ρ=.因此Seidel 迭代格式收敛.（2）Jacobi 迭代矩阵1100022022010101101001220220M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦;31det()E M λλ-=,1()0M ρ=.因此, Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代矩阵2100022022110001023021000002M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦;()22det()2E M λλλ-=-,2()21M ρ=>.因此, Seidel 迭代格式发散.*7.用追赶法解线性方程组12123233 1, 247, 259.x x x x x x x +=-⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520142013A .31=u ,3/2/212==u l ,3/101422=⋅-=l u ,5/3/223==u l ,5/221533=⋅-=l u ;11-=y ，3/237122=-=y l y ，5/229233=-=y l y ；1/333==∴u y x ，2/)1(2322=⋅-=u x y x ，1/)1(1211-=⋅-=u x y x .即解为(1,2,1).Tx =- 8. 解把方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++22846231312123x x x x x x x , 此时系数矩阵为312041102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.Seidel 迭代矩阵111200033301211()000010044000111106263M D L U -⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 11det()(66E M λλλλ-=---+,()1M ρ=<.因此,此时Seidel 迭代格式()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=++++ )2(21)8(41)26(3113111121213k k k k k k k x x x x x x x 收敛.习题七A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×.二、填空题1.1,1n +；2. 11:455;:;:33-一阶差商，，二阶差商1,三阶差商；3.16.640,0.096,16.736.B1. 解因为0120.15,0.00,0.10,0.20.x x x x ====故取则2(0.150.10)(0.150.20)(0.15)(0.15)0.000(0.000.10)(0.000.20)(0.150.00)(0.150.20)0.0998(0.100.00)(0.100.20)(0.150.00)(0.15 f L --≈=⨯----+⨯----+0.10)0.1987(0.200.00)(0.200.10)00.074850.074510.1494.⨯--=++= 521(0.15)(0.150.00)(0.150.10)(0.150.20) 6.2510.3!R -≤---=⨯2.解对于点76.35x =,取076x =,177x =,278x =,379x =. 作差商表于是有2(1)(76.35)(76.35)2.832670.0689(76.3576)0.00306(76.3576)(76.3577) 2.832670.024120.00070 2.85609.f N ≈=+-+--=+-=32(2)(76.35)(76.35)(76.35)0.00017(76.3576)(76.3577)(76.3578) 2.856090.00006 2.85615.f N N ≈=+---=+=3. 解选01220.20,0.40,0.60,0.80x x x x ====.作差商表：。

高等数学分析教材答案

高等数学分析教材答案混用格式的高等数学分析教材答案第一章微分学1.1 函数与极限1.1.1 极限的定义设函数$f(x)$在$x_0$的某个领域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，就有$|f(x) - A| < \varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

【例题1】求极限$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

解：由题意，当$x \neq 2$时，可以将分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$化简为$x + 2$。

因此，$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。

1.1.2 极限的性质与运算法则性质1：唯一性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在，那么极限必定唯一。

性质2：有界性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且有界，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处连续。

性质3：保号性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且大于（或小于）零，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处大于（或小于）零。

运算法则1：四则运算法则如果$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，那么：（1）$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = A + B$；（2）$\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = A - B$；（3）$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$；（4）$\lim_{x \to x_0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] =\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）。