高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末检测卷 pdf版含解析
[精品]新人教A版选修2-2高中数学第二章 推理与证明综合检测和答案
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第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案] 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②si n 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12si n(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ， 由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2， 即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1， 在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd . 由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.1.2演绎推理 Word版含解析
2.1.2 演绎推理明目标、知重点1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P情境导学]小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B ＝180°.答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．思考2 演绎推理有什么特点？答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．思考3 演绎推理的结论一定正确吗？答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．思考4 演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B. 结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形． 结论 (2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线， 大前提 函数y ＝2x ＋5是一次函数， 小前提 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线． 结论 (3)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x (x ∈R )是三角函数， 小前提 y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．结论探究点二 三段论推理中的易错点例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数．结论 (2)常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0，小前提 f (x )为常函数．结论 (3)无限不循环小数是无理数， 大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 13是无理数．结论解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提 北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提 所以菱形是正多边形．结论解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形． 探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°， 小前提 所以△ABD 是直角三角形．结论同理，△AEB 也是直角三角形．(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线， 小前提 所以DM ＝12AB .结论同理EM ＝12AB .所以DM ＝EM .反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF ∥平面BCD .证明 三角形的中位线平行于底边，大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4.如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >BCD .证明：在△ABC 中， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ， ① 所以AD >BD, ② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．呈重点、现规律]1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础过关1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案 D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．下列说法不正确的是( )A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠答案 D3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 A6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图答案 A7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是__________________．答案 y ＝log 2x －2的定义域是4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)． 答案 ②③11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )． 结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(a －1a )(e x－1e x )＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a＝0，即a 2＝1.又a >0， ∴a ＝1. 三、探究与拓展13．设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32×a 2－a －22＋a 3－a －32×a 2＋a －22＝a 5－a －52又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2，(大前提)所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y2，f (y )＝a y ＋a －y2，(小前提及结论)所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2×a y －a －y 2＋a x －a －x 2×a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y ).。
新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 检测A
第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案B2用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()A.将结论与条件同时否定,推出矛盾B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件答案B3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面”.()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C. 答案C4已知c>1,a=√c +1−√c ,b=√c −√c -1,则正确的结论是( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a ,b 大小不定解析∵a=√c +1−√c =√c+1+√c,b=√c−√c -1=√c+√c -1,而√c +1+√c >√c +√c -1,∴a<b.答案B5下列结论正确的是( )A.当x>0,且x ≠1时,lg x+1lgx≥2 B.当x>0时,√x +√x≥2 C.当x ≥2时,x+1x 的最小值为2D.当0<x ≤2时,x-1x 无最大值解析选项A 错在lg x 的正负不明确;选项C 错在等号成立的条件不存在;根据函数f (x )=x-1x的单调性,当x=2时,f (x )取最大值32,故选项D 错误. 答案B6观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( ) A.28B.76C.123D.199解析利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8 +b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案C7设x i,a i(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两位同学由命题“若x1+x2=1,则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2”分别推理得出了新命题:甲:若x1+x2+x3=1,则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2;乙:若x1+x2+x3+x4=1,则a1x1+a2x2+a3x3+a4x4≤(√a1+√a2+√a3+√a4)2.他们所用的推理方法是()A.甲、乙都用演绎推理B.甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理,乙用类比推理D.甲用归纳推理,乙用类比推理答案B8已知数列{a n}的前几项为23,415,635,863,1099,…,则猜想数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n2n(2n-1)B.a n=2(n-1)2n(2n-1)C.a n=2n(2n-1)(2n+1)D.a n=2(n-1)(2n-1)(2n+1)解析23=2×11×3,415=2×23×5,635=2×35×7,863=2×47×9,1099=2×59×11,…,于是猜想数列{a n}的通项公式为a n=2n(2n-1)(2n+1).答案C9已知数列{a n}的前n项和S n=n2·a n(n≥2,n∈N),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想a n等于()A.2(n+1)2B.2 n(n+1)C.2 2n-1D.22n-1解析∵S n=n2·a n(n≥2),a1=1,∴S2=4a2=a1+a2⇒a2=13=23×2,S3=9a3=a1+a2+a3⇒a3=a1+a28=16=24×3,S4=16a4=a1+a2+a3+a4⇒a4=a1+a2+a315=110=25×4.故猜想a n=2n(n+1).答案B10用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n-1<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为.解析“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,y都大于1”.答案x,y都大于112观察数列√3,3,√15,√21,3√3,…,写出该数列的一个通项公式为.解析将各项统一写成根式形式为√3,√9,√15,√21,√27,…即√3×1,√3×3,√3×5,√3×7,√3×9,…,被开方数是正奇数的3倍,故a n=√3(2n-1)(n∈N*).答案a n=√3(2n-1)(n∈N*)13以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足a12+a22=1,则a1+a2≤√2”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤√2.根据上述证明方法,若n个正实数满足a12+a22+…+a n2=1,你能得到的结论为(不必证明).解析依题意,构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2,则有f(x)=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,Δ=[-2(a1+a2+…+a n)]2-4n=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即有a1+a2+…+a n≤√n.答案a1+a2+…+a n≤√n14若等差数列{a n}的前n项之和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:若等比数列{b n}的前n项之积为T n,则T4,,,T16T12成等比数列.解析本题是数列与类比推理相结合的问题,既考查了等差数列与等比数列的知识,又考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.答案T8T4T12 T815设C1,C2,C3,…为一组圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切;在C2的每一个圆中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,….(1)其中C2中每个圆的半径长等于(用a表示);(2)猜想C n中每个圆的半径长为(用a表示,不必证明).答案(√2-1)a(√2-1)n-1a三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)若x,y>0,且x+y>2,求证:1+xy <2和1+yx<2中至少有一个成立.证明假设1+xy ≥2,且1+yx≥2,则1+x≥2y,1+y≥2x,所以(1+x)+(1+y)≥2y+2x,即x+y≤2,与题设矛盾.故假设不成立,原命题成立.17(8分)已知命题“若数列{a n}是等比数列,且a n>0,则数列{b n},b n=√a1a2…a nn(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.解类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n}是等差数列,则数列{b n},b n=a1+a2+…+a nn也是等差数列.证明如下:设等差数列{a n}的公差为d,则b n=a1+a2+…+a nn =na1+n(n-1)d2n=a1+d2(n-1),所以数列{b n}是以a1为首项,d2为公差的等差数列.18(9分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n =x 12x 32…x 2n -12,证明:T n ≥14n.(1)解y'=(x 2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1-1n+1=nn+1. (2)证明由题设和(1)中的计算结果知T n =x 12x 32…x 2n -12=(12)2(34)2…(2n -12n )2.当n=1时,T 1=14.当n ≥2时,因为x 2n -12=(2n -12n )2=(2n -1)2(2n )2>(2n -1)2-1(2n )2=2n -22n =n -1n ,所以T n >(12)2×12×23×…×n -1n =14n .综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14n .19(10分)如图,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.求证:直线AC 经过原点O.证明因为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F (p 2,0),所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+p2,代入抛物线方程,可得y 2-2pmy-p 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是该方程的两个根, 所以y 1y 2=-p 2.因为BC ∥x 轴,且点C 在准线x=-p2上, 所以点C 的坐标是(-p 2,y 2),故直线CO 的斜率为k=y 2-p 2=2p y 1=y 1x 1, 即k 也是直线OA 的斜率.故直线AC 经过原点O.20(10分)设f (n )=1+12+13+ (1),问是否存在关于自然数n 的函数g (n )使等式f (1)+f (2)+…+f (n-1)=g (n )·[f (n )-1]对于n ≥2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论. 解当n=2时,由f (1)=g (2)·[f (2)-1],得g (2)=f (1)f (2)-1=11+12-1=2,当n=3时,由f (1)+f (2)=g (3)·[f (3)-1],得g (3)=f (1)+f (2)f (3)-1=1+1+121+12+13-1=3,猜想g (n )=n (n ≥2).下面用数学归纳法证明:当n ≥2时,等式f (1)+f (2)+…+f (n-1)=n [f (n )-1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设当n=k 时,f (1)+f (2)+…+f (k-1)=k [f (k )-1]恒成立.则当n=k+1时,f (1)+f (2)+…+f (k-1)+f (k )=k [f (k )-1]+f (k )=(k+1)f (k )-k=(k+1)·[f (k +1)-1k+1]-k=(k+1)[f (k+1)-1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n ≥2的自然数n ,等式都成立,故存在函数g(n)=n,使等式成立.。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3数学归纳法 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n(n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设) ＝1kk ＋1k(变形)＝1k ＋1(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明． 解 由a 1＝2－a 1， 得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2， 得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3， 得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4， 得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k－12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3D.22n－1答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1)＋(k －1)]·(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2. ＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *).三、探究与拓展13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1). 下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.1.1 含解析
02第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课时过关·能力提升基础巩固1数列5,9,17,33,x,…中x的值为()A.47B.65C.63D.128解析5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.答案B2下列类比推理恰当的是()A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c解析选项A,B,C没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.答案D3下列关于归纳推理的说法错误的是()A.归纳推理是由一般到一般的推理过程B.归纳推理是由特殊到一般的推理过程C.由归纳推理得出的结论不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析由归纳推理的定义与特征可知选项A错误,选项B,C,D均正确,故选A.答案A4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知a 所表示的数是( )A.2B.4C.6D.8解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第3行开始,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数为5,它肩上的两数为1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C. 答案C5若在数列{a n }中,a 1=1,a 2=3+5,a 3=7+9+11,a 4=13+15+17+19,……,则a 10= . 解析前10项共使用了1+2+3+…+10=55个奇数,a 10由第46个到第55个共10个奇数的和组成,即a 10=(2×46-1)+(2×47-1)+…+(2×55-1)=10×(91+109)2=1 000. 答案1 0006观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……根据上述规律,第四个等式为 .答案13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)27对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题 .解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面. 答案夹在两个平行平面间的平行线段相等8在平面△ABC 中,角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比为S △AEC S △BEC=ACBC,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD 中,平面DEC 平分二面角A-CD-B ,且与AB 交于点E ,则类比的结论为 .解析平面中的面积类比到空间为体积,故S △AEC S △BEC类比成VA -CDE VB -CDE.平面中的线段长类比到空间为面积, 故AC BC 类比成S△ACD S △BCD.故有V A -CDE V B -CDE =S△ACD S △BCD.答案V A-CDEV B-CDE =S△ACDS△BCD能力提升1下列说法正确的是()A.合情推理得到的结论是正确的B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理解析归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.答案D2定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的图形分别是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)解析由已知的4个图形可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,所以表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.答案C3已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则此数列的第k项是()A.a k+a k+1+…+a2kB.a k-1+a k+…+a2k-1C.a k-1+a k+…+a2kD.a k-1+a k+…+a2k-2解析利用归纳推理可知,第k项中的第一个数为a k-1,且第k项中有k项,幂指数连续,故第k项为a k-1+a k+…+a2k-2,故选D.答案D4观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,……,52 017的末四位数字为( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625D.8 125解析由观察易知55的末四位数字为3 125,56的末四位数字为5 625,57的末四位数字为8 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,故周期T=4.又由于2 017=504×4+1,因此52 017的末四位数字是3 125. 答案A5观察下列等式 1-12=121-12+13−14=13+141-12+13−14+15−16=14+15+16 ……据此规律,第n 个等式可为 . 解析经观察知,第n 个等式的左侧是数列{(-1)n -1·1n}的前2n 项和,而右侧是数列{1n}的第n+1项到第2n 项的和,故为1-12+13−14+…+12n -1−12n=1n+1+1n+2+ (12). 答案1-12+13−14+…+12n -1−12n =1n+1+1n+2+…+12n6一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0). 已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算 定义为:0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,则利用上述校验方程组可判定k= . 答案57图①是某届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中|OA 1|=|A 1A 2|=|A 2A 3|=…=|A 7A 8|=1.如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA 1,OA 2,…,OA n ,…的长度构成数列{a n },那么推测数列{a n }的通项公式为a n = .解析根据|OA 1|=|A 1A 2|=|A 2A 3|=…=|A 7A 8|=1和题图②中的各直角三角形,由勾股定理,可得a 1=|OA 1|=1,a 2=|OA 2|=√|OA 1|2+|A 1A 2|2=√12+12=√2,a 3=|OA 3|=√|OA 2|2+|A 2A 3|2=√(√2)2+12=√3,……故可归纳推测a n =√n . 答案√n ★8有一个雪花曲线序列,如图所示.其产生规则是:将正三角形P 0的每一边三等分,而以其中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条线段,便得到第1条雪花曲线P 1;再将P 1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第2条雪花曲线P 2,……将P n-1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第n 条雪花曲线P n (n=1,2,3,4,…). (1)设P 0的周长为L 0,试猜想P n 的周长L n ; (2)设P 0的面积为S 0,试猜想P n 的面积S n .解(1)在雪花曲线序列中,前后两条曲线之间的基本关系如图所示,易得L n =43L n-1(n ∈N *),故可猜想L n =43L n-1=…=(43)nL 0,n ∈N *.(2)由雪花曲线的构造规则比较P 0和P 1,易得P 1比P 0的每边增加一个小等边三角形(缺少一边),其面积为S032,而P 0有3条边,故有S1=S0+3·S032=S0+S03.再比较P2与P1,可知P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形(缺少一边),其面积为132·S0 32,而P1有3×4条边,故有S2=S1+3×4×S034=S0+S03+4S033.同理可得S3=S2+3×42×S036=S0+S03+4S033+42S35,故可猜想S n=S0+S03+4S033+42S35+43S37+…+4n-1S32n-1=S0+13[1-(49)n]1-49S0=[85-35(49)n]S0.。
人教A版选修2-2第二章 推理与证明本章练测.docx
第二章 推理与证明本章练测建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、 选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分） 1.已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 2．设a 、b 、c 都是正数，则1a b +,1b c +,1c a+三个数（ ）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于23．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos a bA B=，则△ABC 一定是（ ） Ａ. 等腰三角形 Ｂ. 直角三角形Ｃ.等边三角形 Ｄ. 等腰直角三角形4．给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）A ．251×22 007 B.2 007×22 006 C.251×22 008 D.2 007×22 005 5.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则 a 2 009+a 2 010+a 2 011等于( )A.1 003B.1 005C.1 006D.2 0116.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（ ）A.29B.30C.31D.32 7.下面使用类比推理正确的是A ．“若33,a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”D ．“()nnnab a b =”类推出“()nnna b a b +=+ 8.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（ ）Ａ.2log y x = B.y x =C.2y x =D.3y x =二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.2.1习题课 Word版含解析
习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)(a －b )2≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b2≥ab ，特别地b a ＋a b≥2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≤4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 即证ca ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ， ∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .② 要证a x ＋c y＝2， 只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE . 证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 可得AC ＝PA ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，又AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG . 因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， 所以BD ⊥平面ACEF . 所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ， 所以CF ⊥平面BDE . 呈重点、现规律]1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋cb ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cdC.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能答案 A解析 方法一 特值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd.∴B、C 、D 不正确． 方法二 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a 、b 、c 、d ∈{正实数}， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd. 3．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ；a (1－a )≤(a ＋1－a2)2＝14；(a 2＋b 2)(c2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当ba <0时，b a ＋a b≥2不成立． 4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．a 答案 C解析 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________． 答案 a >b >c 解析 a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6.∴a >b >c . 6．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．答案 EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC ⊥平面SAB ，可得AE ⊥BC ，进而AE ⊥平面SBC ，SC ⊥平面AEF ，问题得证．7．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba>a ＋b . 证明 方法一 用综合法a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b aab＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0，∴a b ＋ba>a ＋b . 方法二 用分析法 要证a b ＋ba>a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab ， 只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立， 所以a b ＋ba>a ＋b 成立． 二、能力提升8．命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列可得：(2－x )2＝(14)x ·2x －4，解得x ＝4；由lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列得：2lg(x ＋2)＝lg x ＋lg(2x ＋1)，可解得x ＝4(x ＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.9．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q答案 B解析 a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ⇒R >Q >P .10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c－1)≥8.证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立．因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c≥8成立，即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8成立． ∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8成立． 方法二 (综合法) (1a －1)(1b －1)(1c－1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1) ＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)证明 方法一 (用分析法) ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证 (ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2即证0≤(bc －ad )2. 因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①②知，命题得证． 方法二 (用综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2) ＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd . 方法三 (用比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四(用放缩法)为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五(构造向量法)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。
人教新课标版数学高二人教数学B版选修2-2练习第二章《推理与证明》测试
章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()．A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案 D2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则当n＝2时，f(n)是()．A．1＋12 B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1，分子是1，分母为1,2,3，…，2n＋1，故当n＝2时，f(2)＝1＋12＋…＋12×2＋1＝1＋12＋13＋14＋15.答案 C3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()．A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的．答案 A4．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( )．A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ＝3b ，且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b答案 D5．下面几种推理是合情推理的是( )．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④D ．②④ 解析 ①是类比，②④是归纳推理． 答案 C6．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立． 判断以上评述( )．A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确解析 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没用假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B. 答案 B7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中的白色地面砖有( )．A ．4n －2块B ．4n ＋2块C ．3n ＋3块D ．3n －3块解析 法一 第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n 个图案中有4n ＋2块．法二 验n ＝1时，A 、D 选项不为6，排除．验n ＝2时，C 选项不为10，排除．故选B. 答案 B8．观察下列数表规律则从数2 012到2 013的箭头方向是( )A.2 012↑→ B ．→2 012↑C.2 012↓→ D ．→2 012↓解析 图下行偶数是首项为4，公差为4的等差数列，且2 012＝4×503，故2 012在下行，又因为在下行偶数的箭头为a ↓n →，故选C. 答案 C9．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()．A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2kC．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k解析5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.答案 B10．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①②③D．③解析类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合．答案 B11．设P＝1log211＋1log311＋1log411＋1log511，则()．A．0<P<1 B．1<P<2C．2<P<3 D．3<P<4解析P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120,1＝log1111<log11120<log11121＝2，即1<P<2.答案 B12．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于()A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2 C ．n (n ＋1)D ．n (n ＋1)f (1)解析 由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2知，f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)，…，f (n )＝nf (1)．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)＝n (n ＋1)2×2＝n (n ＋1)．或f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋3＋…＋n )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：当n ≥2时，有________．解析 左边为n 项和：1＋122＋132＋…＋1n 2，右边为分式，易知n ≥2时为2n －1n . 答案 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n14．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.解析 由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)15．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12( AB →＋AC →)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为___________________________．答案 在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →) 16．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为__________，由此猜想S n ＝________. 解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列， 得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， ∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32， 同理分别令n ＝2，n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121， S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32，74，158 2n －12n －1三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤)17．(10分)设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果． 解 当n ＝1,2,3,4时， 计算得原式的值分别为： S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝nn ＋1.证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论． (1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tanπ4＝1＋tan x 1－tan x；(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．19．(10分)若a 1>0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…，)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ；(3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值．(1)证明 (采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0,1.从而a n ＝a n －1＝……＝a 1＝0,1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， ∴假设错误． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)解 a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)证明 因为a n ＋1＋p a n ＋1＝(2＋p )a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n ·q ，所以(2＋p －2q )a n＋p (1－2q )＝0，因为上式是关于变量a n 的恒等式， 故可解得q ＝12、p ＝－1.20．(10分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a2k(2a k＋1)＝b k1－2a k＝1－2a k1－2a k＝1.∴n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n＋b n＝1，即点P n在直线l上．。
最新整理高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A版选修2-2.doc
第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n(n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则ab ＞1，a －b ＞0，∴p q＞1； 若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴p q＞1； 若a ＝b ，则p q＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k)＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k f (2k ＋1)－f (2k )＝12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin (30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4； (2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1) ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1. ②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n＝a n＋b n(n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n， 于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n.② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞an －2，cn －2＞bn －2，即cn －2－an －2＞0，cn －2－bn －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)cn －2－a n －b n＝a 2(cn －2－an －2)＋b 2(cn －2－bn －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0. 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1， 在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋1.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1， 在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第二章 推理与证明 章末复习 Word版含答案
＝
.
2k＋1 2 k＋1
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
2k＋3
只需证
＞ k＋2成立，
2 k＋1
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
2＋1 4＋1 2k＋1 2k＋3
∴ 当 n＝ k＋ 1 时 ， · ·…· ·
＞ k＋1＋1成 立 ， 综 合 ① ② 可 知 不 等 式
进行证明.
题型一 归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正
确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题
时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比
→ ∴MN＝(－1,1，－2)．
→ 又DA＝(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量，
→→
→→
MN·DA
6
∴cos〈MN，DA〉＝
＝－ ，
3
→→ |MN||DA|
∴MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
→→
6
|cos〈MN，DA〉|＝ .
3
(2)证明 假设直线 ME 与 BN 共面，则 AB⊂平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交
1
13 7
a3＝2a2＋1＝2·2＋1＝4，
1
1 7 15
a4＝2a3＋1＝2·4＋1＝ 8 .
2n－1 (2)法一 猜想 an＝ 2n－1 ，下面用数学归纳法证明．
21－1 证明 (1)当 n＝1 时，a1＝ 21－1 ＝1，满足上式，显然成立；
高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
第二章 推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n＜n ＋1（n ＞1），当n ＝2时，中间式子等于（ ） A.1 B.1＋12C.1＋12＋13D.1＋12＋13＋14解析：选D.n ＝2时中间式子的最后一项为14，所以中间式子为1＋12＋13＋14.2.用反证法证明命题：“若函数f （x ）＝x 2＋px ＋q ，那么|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是（ ）A.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都不小于12B.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12C.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有两个小于12D.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有一个小于12解析：选B.“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”的反设为“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12”.3.设x ＞0，则不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，推广到x ＋axn ≥n ＋1，则a＝（ ）A.2nB.2nC.n 2D.n n解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方，可得a ＝n n.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）>0恒成立.因为f （x ）＝x 3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f ′（x ）＝3x 2>0恒成立.以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是（ ）A.2k （k ＋2）B.1k （k ＋1）C.1（k ＋1）（k ＋2）D.2（k ＋1）（k ＋2）解析：选D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋（k ＋1）＝2（k ＋1）（k ＋2）.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是（ ）A.a －b >0B.a －c <0C.（a －b ）（a －c ）>0D.（a －b ）（a －c ）<0解析：选C.要证明 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，只需证（a ＋c ）2－ac <3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证（a －c ）（2a ＋c ）>0，即证（a －c ）（a －b ）>0.7.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是（ ）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形.8.已知f （x ）＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＞0，a ＋c ＞0，b ＋c ＞0，则f （a ）＋f （b ）＋f （c ）的值一定（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f （x ）为奇函数，也是增函数，因此由a ＋b ＞0可得a ＞－b ，所以f （a ）＞f （－b ），即f （a ）＞－f （b ），于是f （a ）＋f （b ）＞0，同理，f （a ）＋f （c ）＞0，f （b ）＋f （c ）＞0，所以f （a ）＋f （b ）＋f （c ）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A （－1，0，0），B （1，0，0），则点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（ ）A.以A ，B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A ，B 为焦点的椭球体C.以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P （x ，y ）||PA |－|PB |＝1}是以A ，B 为焦点的双曲线的一支，点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y ＝t 被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（ ）A.4B.92 C.5D.112解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为（1＋2）×32＝92.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个“整数对”是（ ）A.（7，5）B.（5，7）C.（2，10）D.（10，2）解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60个“整数对”是（5，7）.12.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos （90°－∠A 2）， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以（90°－∠A 2）＋（90°－∠B 2）＋（90°－∠C 2）＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在（0，π）内无解.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.补充下列证明过程： 要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac （a ，b ，c ∈R ），即证，即证Ｗ. 因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立，故命题结论成立. 答案：2（a 2＋b 2＋c 2）≥2ab ＋2bc ＋2ac （a －b ）2＋（b －c ）2＋（a －c ）2≥014.已知a ＝5－12，函数f （x ）＝a x，若实数m ，n 满足f （m ）>f （n ），则m ，n 的大小关系为Ｗ.解析：因为当0<a <1时，函数f （x ）＝a x为减函数，a ＝5－12∈（0，1），所以函数f （x ）＝（5－12）x为减函数.故由f （m ）>f （n ）得m <n .答案：m <n15.有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是Ｗ.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一X ，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n （n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数（从左往右数）为Ｗ. 11 1212 131613 14112112141512013012015…解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：1140三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）定义在[－1，1]上的奇函数f （x ），当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0.证明：函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明：假设函数f （x ）的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，则A ，B 两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则f （x 1）＝f （x 2）. 又f （x ）是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）[x 1＋（－x 2）].又由题意，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）＞0，且x 1＋（－x 2）＜0，所以f （x 1）＋f （－x 2）＜0，即f （x 1）－f （x 2）＜0， 这与f （x 1）＝f （x 2）矛盾，故假设不成立，即函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直. 18.（本小题满分12分）已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2， 展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角，所以0°＜A ＋B ＜180°.所以A ＋B ＝45°.19.（本小题满分12分）已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，只需证（a －c ）2＜（c 2－ab ）2， 只需证a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ，即证2ac ＞a 2＋ab ，因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b .因为2c ＞a ＋b 已知， 所以原不等式成立.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点.求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE .证明：（1）因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.（2）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD .因为AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .21.（本小题满分12分）设函数f （x ）＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1].证明：（1）f （x ）≥1－x ＋x 2；（2）34<f （x ）≤32.证明：（1）因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f （x ）≥1－x ＋x 2.（2）由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f （x ）＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f （x ）≤32.由第一问得f （x ）≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f （12）＝1924>34，所以f （x ）>34.综上，34<f （x ）≤32.22.（本小题满分12分）在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .（1）求a 1，a 2，a 3；（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（1）易求得a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. （2）猜想a n ＝n －n －1（n ∈N *）证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立. ②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以，a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立. 由①②知，n ∈N *时，a n ＝n －n －1.。
(人教版)高中数学选修2-2检测第2章 推理与证明2.3 Word版含答案
第二章一、选择题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋＋＝(≠)”．在验证＝时，左端计算所得项为( ) ．＋．＋＋．＋＋＋．＋＋＋＋解析：将＝代入＋得，故选.答案：．用数学归纳法证明(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈)，从＝推导到＝＋时，左边需要增乘的代数式为( )＋．(＋) ．＋．．解析：当＝时，等式左端为(＋)(＋)·…·(＋)，当＝＋时，等式左端为(＋＋)(＋＋)…(＋)(＋＋)(＋)，∴从＝推导到＝＋时，左边需增乘的式子为(＋)．答案：．若命题()(∈*)＝(∈*)时命题成立，则有＝＋时命题成立．现知命题对＝(∈*)时命题成立．则有( )．命题对所有正整数都成立．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立．以上说法都不正确解析：由题意知＝时命题成立能推出＝＋时命题成立，由＝＋时命题成立，又推出＝＋时命题也成立…，所以对大于或等于的正整数命题都成立，而对小于的正整数命题是否成立不确定．答案：．棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱的对角面个数(＋)为(≥，∈*)( )．()＋－．()＋＋．()＋．()＋－解析：三棱柱有个对角面，四棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；五棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；六棱柱有个对角面(＋＝＋(－))．猜想：若棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱有()＋－个对角面．答案：二、填空题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数，总有>”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值最小应当是．解析：∵＝>＝<，∴填.答案：．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋－＝－(∈*)的过程如下：()当＝时，左边＝，右边＝－＝，等式成立．()假设当＝(∈*)时等式成立，即＋＋＋…＋－＝－，则当＝＋时，＋＋＋…＋－＋＝＝＋－.所以当＝＋时等式也成立．由此可知对于任何∈*，等式都成立．上述证明的错误是．解析：本题在由＝成立，证＝＋成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(∈＋)．证明：()当＝时，左边＝－＝＝右边，等式成立．()假设当＝时等式成立，即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当＝＋时，－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，即当＝＋时等式也成立．由()和()，知等式对所有∈＋都成立．．用数学归纳法证明＋≤＋＋＋…＋≤＋(∈*)．证明：()当＝时，左式＝＋，右式＝＋，∴≤＋≤，命题成立．()假设当＝(∈*)时命题成立，即＋≤＋＋＋…＋≤＋，则当＝＋时，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋·＝＋.又＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋＋·＝＋(＋)，即＝＋时，命题成立．由()和()可知，命题对所有∈*都成立．☆☆☆(分)是否存在一个等差数列{}，使得对任何自然数，等式＋＋＋…＋＝(＋)(＋)都成立，并证明你的结论．解析：将＝分别代入等式得方程组：。
人教新课标版数学高二选修2-2第二章《推理与证明》质量评估
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单元质量评估(二)第二章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知:①正方形的对角线相等,②矩形的对角线相等,③正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是( )A.正方形的对角线相等B.矩形的对角线相等C.正方形是矩形D.其他2.(2013·咸宁高二检测)有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确3.(2013·台州高二检测)用反证法证明“方程ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的假设中,正确的是( )A.至多有一个解B.有且只有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解4.(2013·莱芜高二检测)下列推理是归纳推理的是( )A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)6.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4a6>a3a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b87.(2013·襄阳高二检测)已知x>0,由不等式x+≥2=2,x+=++≥3=3,…,可以推出结论:x+≥n+1(n∈N*),则a=( )A.2nB.3nC.n2D.n n8.已知a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值为( )A.7+2B.2C.7+2D.149.设x>0,y>0,A=,B=+,则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A≥BC.A<BD.A≤B10.(2013·遵义高二检测)对于直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),定义运算P1⊗P2=(x1,y1)⊗(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1),若M是与原点相异的点,且M⊗(1,1)=N,则∠MON=( )A.πB.C.D.11.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.(k+1)[2(k+1)2+1]12.(2013·通化高二检测)在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积之比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2013·姜堰高二检测)利用数学归纳法证明不等式++…+>(n>1,n∈N*)的过程中,用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为.14.(2013·陕西高考)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10…照此规律,第n个等式可为.15.(2013·漳州高二检测)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3), ……n(n+1) =[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果为.16.给出下列不等式:①a>b>0,且a2+=1,则ab>a2b2;②a,b∈R,且ab<0,则≤-2;③a>b>0,m>0,则>;④|x+|≥4(x≠0).其中正确不等式的序号为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在△ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.18.(12分)(2013·攀枝花高二检测)用反证法证明:如果x>,那么x2+2x-1≠0.19.(12分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1).(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点对称.(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.20.(12分)用分析法证明:若a>0,则-≥a+-2.21.(12分)(2013·无锡高二检测)已知a i>0(i=1,2,…,n),考查①a1·≥1;②(a1+a2)≥4;③(a1+a2+a3)≥9.归纳出对a1,a2,…,a n都成立的类似不等式,并用数学归纳法加以证明.22.(12分)(能力挑战题)在数列{a n},{b n}中,a1=2,b1=4,且a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{a n},{b n}的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:++…+<.答案解析1.【解析】选A.大前提:矩形的对角线相等.小前提:正方形是矩形.结论:正方形的对角线相等.2.【解析】选A.在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析其大前提的形式:“对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不难得到结论.因为大前提是:“对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号,那么x=x0是函数f (x)的极值点,所以大前提错误.3.【解析】选C.“至多n个”的反设应为“至少n+1个”.故选C.4.【解析】选B.A选项用的椭圆定义进行推理,不是归纳推理,B项根据前3项的值,猜想出S n的表达式,属于归纳推理,符合要求,C项属于类比推理,D项是类比推理.5.【解析】选D.由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,所以g(-x)=-g(x).6.【解析】选A.根据类比特征,等差中a4a6>a3a7,其中4+6=3+7.因为(b4+b8)-(b5+b7)=b4(1-q)2(1+q+q2)>0,所以b4+b8>b5+b7. 7.【解题指南】分析不等号右边项与左边最后一项的特点即可得出. 【解析】选D.由两个不等式的结构特点知,x+=+≥(n+1)=(n+1)=n+1.所以a=n n.8.【解题指南】利用“1”的代换来求解.【解析】选A.a+2b=(a+2b)·(+)=7++.又因为a>0,b>0,所以由基本不等式可得:a+2b=7++≥7+2=7+2.当且仅当=且+=1,即3a2=2b2且+=1时等号成立,故选A.【变式备选】设a与b为正数,并且满足a+b=1,a2+b2≥k,则k的最大值为( )A. B. C. D.1【解析】选C.因为a>0,b>0,a2+b2=(a+b)2-2ab≥1-2()2=(当且仅当a=b=时等号成立),即(a2+b2)min=,所以k≤也即k的最大值为.9.【解析】选C.因为x>0,y>0,所以B=+>+==A,所以A<B.10.【解析】选B.设M(x0,y0)且x0≠0,y0≠0,由M⊗(1,1)=N得N(x0-y0,x0+y0),所以cos∠MON===,所以∠MON=.【举一反三】在本题中“M⊗(1,1)=N”改为“M⊗(-1,-1)=N”,其他条件不变,∠MON等于多少?【解析】设M(x0,y0)且x0≠0,y0≠0,根据(x1,y1)⊗(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)知N=(x0,y0)⊗(-1,-1)= (-x0+y0,-x0-y0),所以·=-+x 0y0-x0y0-=-(+),||=,||==,所以cos∠MON==-,所以∠MON=.11.【解析】选B.n=k时,左=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12. n=k+1时,左=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12.所以从n=k到n=k+1,左边应添加的式子为(k+1)2+k2.12.【解题指南】由平面图形面积类比立体图形的体积,结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可.【解析】选D.平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,由平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以体积比为1∶8.13.【解析】令f(n)=++…+,所以f(k)=++…+,f(k+1)=++…+++,所以f(k+1)-f(k)=+-=-.答案:-14.【解题指南】根据已经给出的部分规律推知整体的规律,然后根据这些规律和相关的数学知识进行推理或计算,从而找到问题的答案. 【解析】分n为奇数、偶数两种情况.第n个等式的左边为12-22+32-…+(-1)n-1n2.当n为偶数时,分组求和:(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]=-. 当n为奇数时,(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-+n2=.综上,第n个等式:12-22+32-…+(-1)n-1n2=n(n+1).答案:12-22+32-…+(-1)n-1n2=n(n+1)15.【解析】因为n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],所以1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n·(n+1)(n+2)],所以1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=[1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)×(n+3)-(n-1)×n×(n+1)×(n+2)]=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)【变式备选】研究问题:“已知关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(1,2),解关于x的不等式cx2-bx+a>0”,有如下解法:解析:由ax2-bx+c>0⇒a-b+c>0,令y=,则y∈,上式可化为cy2-by+a>0,所以不等式cx2-bx+a>0的解集为.参考上述解法,已知关于x的不等式+<0的解集为(-2,-1)∪(2,3),则关于x的不等式+<0的解集为.【解析】根据题目方法.由+<0⇒+<0,令-=y,则+<0.因为+<0的解集为(-2,-1)∪(2,3).所以y∈(-2,-1)∪(2,3),所以所求不等式的解集为∪.答案:∪【拓展提升】类比推理的基本原则类比推理是由特殊到特殊的推理,它的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目,位置关系,度量等方面入手,由一类事物的特征类比出另一类事物的相关特征.平面图形与空间图形的类比如下:平面空间平面空间线面线线角二面角点线面积体积边长面积三角形四面体16.【解析】①a>b>0,所以a≠,所以a2+=1>2=ab,所以1-ab>0,所以ab-a2b2=ab(1-ab)>0,所以ab>a2b2正确.②+2=,因为ab<0,(a+b)2≥0,所以≤-2,②正确;③-=,因为a>b>0,m>0,所以b(b+m)>0,b-a<0,所以<0,所以<,③不正确.④=|x|+≥4,④正确.答案:①②④17.【解题指南】借助平面图形到空间图形的类比,根据平面图形的结论得到空间图形的相应结论.【解析】如图,在四面体PABC中,设S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA与平面ABC所成二面角的大小.我们猜想,射影定理类比推理到三维空间,可表示为S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.18.【证明】假设x 2+2x-1=0,则x=-1±.容易看出-1-<,下面证明-1+<.要证:-1+<,只需证:<,只需证:2<.上式显然成立,故有-1+<.综上,x=-1±<.而这与已知条件x>相矛盾,因此假设不成立,也即原命题成立.19.【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知得y=-(a>0,且a≠1),则-1-y=-1+=-,f(1-x)=-=-=-=-,所以-1-y=f(1-x).所以点(1-x,-1-y)在f(x)的图象上.即函数y=f(x)的图象关于点对称.(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1,所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.【误区警示】将点(x,y)关于的对称点写成致错.20.【证明】要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.因为a>0,所以两边均大于零,因此只需证(+2)2≥(a++)2,只需证a2++4+4≥a2+2++2+2,只需证≥,只需证a2+≥,即证a2+≥2,它显然成立,所以原不等式成立.21.【解析】结论:(a1+a2+…+a n)≥n2.证明:①当n=1时,显然成立;②假设当n=k时,不等式成立,即(a1+a2+…+a k)≥k2,则n=k+1时,(a1+a2+…+a k+a k+1)=(a1+a2+…+a k)+a k+1+(a1+a2+…+a k)+1≥k2+++…++1≥k2+2k+1=(k+1)2.由①②得,不等式对任意正整数n成立.【变式备选】(2012·重庆高考改编)设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1,其中a2≠0.求证:数列{a n}是首项为1的等比数列.【证明】用数学归纳法证明a n=,n∈N*.当n=1时,由S2=a2S1+a1,得a1+a2=a2a1+a1,即a2=a2a1,再由a2≠0,得a1=1,所以结论成立.假设n=k时,结论成立,即a k=,那么a k+1=S k+1-S k=(a2S k+a1)- (a2S k-1+a1)=a 2(S k-S k-1)=a2a k=,这就是说,当n=k+1时,结论也成立.综上可得,对任意n∈N*,a n=.因此{a n}是首项为1,公比为a2的等比数列.22.【解题指南】本题主要考查归纳、猜想、证明,关键是根据数列的前几项探索规律,提出猜想,然后用数学归纳法证明.【解析】(1)由已知得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1,a1=2,b1=4.所以a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测a n=n(n+1),b n=(n+1)2.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,结论成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即a k=k(k+1),b k=(k+1)2,那么当n=k+1时,a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),b k+1==(k+2)2,所以当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,a n=n(n+1),b n=(n+1)2对一切正整数n都成立.(2)当n=1时,=<.当n≥2时,由(1)知,a n+b n=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.所以<,所以++…+<+=+<+=.综上所述,对任意n∈N*,++…+<成立.关闭Word文档返回原板块。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末检测卷
章末检测卷（二）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析 这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21， ∴n 3＝53，n ＝5，∴m ＋n ＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A ．假设2是有理数B ．假设3是有理数C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数 答案 D解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．用数学归纳法证明1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( ) A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)答案 D解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).故选D.6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A.42x＋2B.2x ＋1C.1x ＋1D.22x ＋1答案 B解析 当x ＝1时，f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝24＝23＋1；当x ＝3时，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2x ＋1，故选B. 7．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f (n (n ＋1)2)C ．n (n ＋1)D.n (n ＋1)2f (1)答案 C解析 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，∴f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝n (n ＋1)2f (1)．∴A、D 正确；又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n ) ＝f (n (n ＋1)2)．∴B 也正确，故选C.8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 9．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( ) ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能等于0D ．可正也可负答案 A解析 不妨设x 1－2<0，x 2－2>0， 则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1，∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)， 从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)，f (x 1)＋f (x 2)<0.12．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3答案 A解析 方法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”． 故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 方法二 (特殊值代入排除法)或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案 当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为____________． 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 通过观察可以得规律为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 14．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n与n 个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n －1)．15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B . ∴AC BC 可类比成S △ACDS △BCD， 故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD.16．已知S k ＝1k＋2k＋3k＋…＋n k，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 2＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，…可以推测，A －B ＝________. 答案 14解析 由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又各项的系数和为1，∴A ＋12＋512＋B ＝1，则B ＝－112.因此推测A －B ＝16＋112＝14.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则 1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数， ∴m ≠(3＋1)n . ∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项． 18．(12分)设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．19．(12分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， (a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．20．(12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三条边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b，即证b <s .因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立． 21．(12分)数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130.(2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴k 2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝kk (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3).当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).22．(12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·f (2)－1]， 得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1(1＋12)－1＝2，当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·f (3)－1]， 得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋(1＋12)(1＋12＋13)－1＝3，猜想g (n )＝n (n ≥2)． 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝kf (k )－1](k ≥2)成立，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝kf(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
精品-新人教版高中数学第二章推理与证明章末优化总结优化练习新人教A版选修2_2
第二章 推理与证明章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( )A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理．答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22 C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…， 可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝＋3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12 B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0.∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加1＋B ．增加12k ＋1＋1＋C ．增加1＋＋＋，减少1k ＋1D ．增加1＋，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1＋＋＋，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1＋＋＋－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1＋＋＋－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1＋＋＋，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xex ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x ex ，f 2(x )＝x －2ex ，f 3(x )＝3－xex，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n，括号里是x －n ，故f n (x )＝－－ex .答案：－－ex15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T16T12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．答案：T8T4T12T816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 2＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ，∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN＋S 2△OML＋S 2△ONL＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL，即S 21＋S 2＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 2＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a2＋mb21＋m .证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝－＋－－＋＋＋＝－＋＋，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x0－2x0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x0－2x0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝n a1an ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an ＋1－an anan ＋1＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－1a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2－1a3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1an －1an ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－1an ＋1＝an ＋1－a1da1an ＋1＝n a1an ＋1.再证充分性．(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝na1an ＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＋1an ＋1an ＋2＝n ＋1a1an ＋2.②②－①得1an ＋1an ＋2＝n ＋1a1an ＋2－na1an ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k－1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2 (P ′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)．解析：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．当m ＝d 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．所以无论m ＝a 还是m ＝d ，T 2(P )≤T 2(P ′)都成立．(3)数对序列P ：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T 5(P )值最小，T 1(P )＝10，T 2(P )＝26，T 3(P )＝42，T 4(P )＝50，T 5(P )＝52.。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆；②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案 T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明．已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α. 证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立． 只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0.只要证明4cos α≤11－cos α. 上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0，∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号． ∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立． ∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立． (综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4， (1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号) ∴4cos α≤11－cos α. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α. ∴2sin 2α≤sin α1－cos α. 跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立． 证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立． 因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立． 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)． 证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)． 当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1. (1)写出a 2，a 3，a 4.(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32. a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明， (1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立； (2)假设当n ＝k 时a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k 满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1. 方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列， 所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1. 呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教A高中数学选修22作业：第2章 推理与证明2章末跟踪测评2 含解析
第二章章末跟踪测评(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是(B) A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理解析由特殊到一般的推理为归纳推理，故选B．2．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(A) A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BC3．我们知道，若a，b，c是实数，则可得如下结论：①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③ab ＝0⇒a＝0或b＝0；④ab＝bc，b≠0⇒a＝c.类比此性质，在平面向量中，若a，b，c均是向量，则类似可得：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·b＝0⇒a＝0或b＝0；④a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c.这四个结论中正确的有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个解析由向量数量积的定义及性质知仅①正确．4．已知结论：“在正△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM＝(C) A．1 B．2 C．3 D．4解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AGGD＝2类比AOOM＝3，故选C．5．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(A)A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论不正确D．全不正确解析 正弦函数是y ＝sin x (x ∈R )，所以f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提错误． 6．数列2,5,11,20，x,47，…中的x ＝( B ) A ．28B ．32C ．33D ．27解析 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，得x －20＝12，x ＝32.7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( C )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故选C ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( C )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶16解析 由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8，故选C ．9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( B )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析 n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·2k ， 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2)，∴左端需增乘的代数式为(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为( A )A ．8B ．13C ．14D ．15解析 归纳得出一般规律为m 3＝(m 2－m ＋1)＋…＋(m 2＋m －1)，所以m 2－m ＋1≤59≤m 2＋m －1，m ＝8，故选A ．11．已知a ，b ，c ∈(0,1)，设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于m ，则m 的最小值为( C )A ．12B ．13C ．14D ．16解析 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于m ， 又1－a,1－b,1－c 都是属于(0,1)的正数，(1－a )＋b2≥(1－a )b ＞m ，同理(1－b )＋c2＞m ，(1－c )＋a 2＞m ，三式相加得32＞3m ，则m ＜14，矛盾，依选项知m 的最小值为14.12．把数列{2n ＋1}按规律依次分为(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…，则第104个括号内的各数之和为( D )A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析 由题设知，第104个括号内的最后一个数是数列{2n ＋1}中的第260个数，所以这四个数分别是515,517,519和521，故它们的和为2 072，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．用反证法证明“形如4k ＋3(k ∈N *)的数不能化为两个整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写成__假设4k ＋3＝m 2＋n 2(m ，n 是整数)__．14．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出__1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *)__. 解析 根据三个式子的规律特点进行归纳可知， 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N*)．15．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n＝bn －amn －m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__n －m b na m__.解析 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －mb n a m ，故b m ＋n ＝n －m b na m. 16．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是__AE EB ＝S △ACDS △BCD__.解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B ， 所以ACBC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)若x ，y >0且x ＋y >2，求证：1＋x y <2和1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y ≥2且1＋yx ≥2，则1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，所以(1＋x )＋(1＋y )≥2y ＋2x ，即x ＋y ≤2，与题设矛盾，所以假设不成立，原命题成立．18．(12分)用演绎法证明：在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，AD ，CD ，BC 的中点，则EF ∥GH .证明 如图，在三角形中，中位线平行于底边．(大前提) ∵E ，F 为AB ，AD 中点， ∴EF 为中位线．(小前提) ∴EF ∥BD .(结论)同理，在△CBD 中，HG ∥BD .∵平行于同一直线的两直线互相平行，(大前提) 又EF ∥BD ，HG ∥BD ，(小前提) ∴EF ∥HG .19．(12分)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是否为等差数列？并说明理由．解析 (1)证明：若数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，数列{S n }是等差数列，当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，所以2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2.又∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；q ≠1时，数列{S n }不是等差数列． 20．(12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三条边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s ＜2a .证明 要证s ＜2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s ＜s 2b，即证b ＜s .因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b ＜a ＋b ＋c ，即证b ＜a ＋c .由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．21．(12分)已知平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R .(1)若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，证明a 和b 不可能平行； (3)若α＝0，求函数f (x )＝a ·(b －2c )的最大值，并求出相应的x 值． 解析 (1)因为a ⊥c ，则a ·c ＝0，所以cos x sin α＋sin x cos α＝0，即sin(x ＋α)＝0， 所以cos(2x ＋2α)＝1－2sin 2(x ＋α)＝1. (2)证明：假设a 与b 平行， 则cos x sin x －sin x (cos x ＋23)＝0，即sin x ＝0，而x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x >0，矛盾． 故假设不成立，即a 和b 不可能平行． (3)若α＝0，c ＝(0,1)， 则f (x )＝a ·(b －2c )＝(cos x ，sin x )·(cos x ＋23，sin x －2) ＝cos x (cos x ＋23)＋sin x (sin x －2) ＝1－2sin x ＋23cos x ＝1＋4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3， 所以当x ＝2k π－π6，k ∈Z 时，f (x )max ＝5.22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解析 (1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴S n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)．∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1. ∴S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即S k ＝2kk ＋1，∵当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2kk ＋1，∴a k ＋1＝2k (k ＋1)[(k ＋1)2－1]＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，即n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立． ∴a n ＝S n －S n －1＝2n n ＋1－2(n －1)n ＝2n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1符合上式，故a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第二章 推理与证明 章末复习 Word版含答案
章末复习1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n ＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．5．归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.跟踪演练1自然数按下表的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007 D．2 007×2 008答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.题型二 直接证明由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用． 例2 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．跟踪演练2如图，在四面体B －ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证： (1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .证明 (1)要证直线EF ∥平面ACD ， 只需证EF ∥AD 且EF ⊄平面ACD . 因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，所以直线EF ∥平面ACD .(2)要证平面EFC ⊥平面BCD ， 只需证BD ⊥平面EFC ， 只需证⎩⎪⎨⎪⎧EF ⊥BD ，CF ⊥BD ，CF ∩EF ＝F .因为⎩⎪⎨⎪⎧EF ∥AD ，AD ⊥BD ，所以EF ⊥BD .又因为CB ＝CD ，F 为BD 的中点， 所以CF ⊥BD .所以平面EFC ⊥平面BCD . 题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．例3 如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解 法一图(1)如图(1)所示，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2， 则MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝2， ∵平面ABCD ⊥平面DCEF ，∴MG ⊥平面DCEF ，∴∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角． ∵MN ＝6，∴sin ∠MNG ＝63， ∴直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为63.图(2)法二 设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示． 则M (1,0,2)，N (0,1,0)， ∴MN →＝(－1,1，－2)．又DA →＝(0,0,2)为平面DCEF 的法向量， ∴cos 〈MN →，DA →〉＝MN →·DA →|MN →||DA →|＝－63，∴MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为 |cos 〈MN →，DA →〉|＝63.(2)证明 假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN ，∵两正方形不共面， ∴AB ⊄平面DCEF .又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线， ∴AB ∥EN .又AB ∥CD ∥EF ，∴EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立． ∴ME 与BN 不共面，即它们是异面直线．跟踪演练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， ∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立，∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 题型四 数学归纳法1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换．2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明．例4 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式＞右式，所以结论成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1＞k ＋2成立，只需证：4k 2＋12k ＋9＞4k 2＋12k ＋8成立，显然成立， ∴当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞(k ＋1)＋1成立，综合①②可知不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 跟踪演练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32，a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)法一 猜想a n ＝2n －12n －1，下面用数学归纳法证明．证明 (1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n －12n －1.法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n＝b1·q n－1＝－12n－1，所以a n＝b n＋2＝2n－12n－1.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用一次或几次．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
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地面砖的块数是( )
A．4n＋2
B．4n－2
C．2n＋4
D．3n＋3
答案 A
解析 方法一 (归纳猜想法)
观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，
因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项，公差是 4 的等差数列的第 n 项”
．
故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n＋2.
∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
∴53＝21＋23＋25＋27＋29，
∵n3 的分解中最小的数是 21，
∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11. 4．用反证法证明命题“ 2＋ 3是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设 2是有理数
B．假设 3是有理数 C．假设 2或 3是有理数
章末检测卷（二）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．由 1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到 1＋3＋…＋(2n－1)＝n2 用的
是( )
A．归纳推理
B．演绎推理
C．类比推理
D．特殊推理
答案 A
2．在△ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，则有 EF∥BC，这个问题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF 为中位线
D．EF∥BC
答案 A
解析 这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△
ABC 的中位线；结论：EF∥BC.
3．对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1＋3
32＝1＋3＋5
42＝1＋3＋5＋7
23＝3＋5
33＝7＋9＋11
43＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，若 m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则 m＋n＝( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 B 1＋11
解析 ∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝ 2 ×6＝36， ∴m＝6.
nn＋1 ＝ 2 f(1)．
∴A、D 正确；
又 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)
nn＋1 ＝f( 2 )．
∴B 也正确，故选 C.
8．对“a，b，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b 与 b＝c 及 a＝c 中至少有一个成立；
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
答案 C
解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．
1
1
10．数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝1－an，则 a2 013 等于( )
1 A.2 B．－1 C．2 D．3
答案 C
1
1
解析 ∵a1＝2，an＋1＝1－an，
1
1
11
∴a2＝1－a1＝－1，a3＝1－a2＝2，a4＝1－a3＝2，
答案 D
1
2
解析 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边需要添加的项是1＋2＋3＋…＋k＋1＝k＋1k＋2.故
选 D.
2fx
6．已知 f(x＋1)＝fx＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想 f(x)的表达式为( )
4
2
A.2x＋2
B.x＋1
1
2
C.x＋1
D.2x＋1
答案 B
2f1 2 2 解析 当 x＝1 时，f(2)＝f1＋2＝3＝2＋1，
③a≠c，b≠c，a≠b 不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则 a＝b＝c，与“a，b，c 是不全相等的正数”矛
盾，故①正确．a＝b 与 b＝c 及 a＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c
2f2 2 2 当 x＝2 时，f(3)＝f2＋2＝4＝3＋1；
2f3 2 2 当 x＝3 时，f(4)＝f3＋2＝5＝4＋1，
2 故可猜想 f(x)＝x＋1，故选 B.
7．已知 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
方法二 (特殊值代入排除法)
或由图可知，当 n＝1 时，a1＝6，可排除 B 答案 当 n＝2 时，a2＝10，可排除 C、D 答案．
nn＋1 B．f( 2 )
C．n(n＋1)
nn＋1 D. 2 f(1)
答案 C
解析 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令 x＝y＝1，∴f(2)＝2f(1)，
令 x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)
⋮ f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)
是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．
9．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状
完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．
1
1
a5＝1－a4＝－1，a6＝1－a5＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.
11．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x＋4)，且 f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已
知 x1＋x2<4 且(x1－2)·(x2－2)<0，则 f(x1)＋f(x2)的值( )
D．假设 2＋ 3是有理数
答案 D
解析 应对结论进行否定，则 2＋ 3不是无理数，即 2＋ 3是有理数．
1
1
1
2n
5．用数学归纳法证明 1＋1＋2＋1＋2＋3＋…＋1＋2＋3＋…＋n＝n＋1时，由 n＝k 到
n＝k＋1 左边需要添加的项是( )
2 A.kk＋2
1 C.k＋1k＋2
1 B.kk＋1
2 D.k＋1k＋2
A．恒小于 0
B．恒大于 0
C．可能等于 0
D．可正也可负
答案 A
解析 不妨设 x1－2<0，x2－2>0， 则 x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1， ∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)， 从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)， f(x1)＋f(x2)<0. 12．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有白色