同态基本定理与同构定理

第九节 同态基本定理与同构定理

重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.

一 同态基本定理

前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.

定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.

证 令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π

显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.

注1 定理2.9.1中的π称为自然同态；

注2 自然同态π一定是满同态.

利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质.

自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.

定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合

})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.

注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态；

注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.

推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π.

证 由于N G /的单位元是N ，则

N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.

定理2.9.3 （同态基本定理）设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射，则

(1)G Ker ϕ；

(2)G Ker G '≅ϕ/.

证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则

e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'

===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于

e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ，即

G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.

(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射：

(ⅰ)ψ为映射：

).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射：,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ

(ⅲ) ψ为单射：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则

ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则

)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.

综上所述，G Ker G '≅ψ

ϕ/. 注 一般地，设G G '→:ϕ为一个群同态，则⎩

⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G

我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.

定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.

(1) 设A S ⊆，记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像；

(2)设A S '⊆'，记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像（或后

像）.

注 一个不能多且一个不能少！

定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射，

(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ；

(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ；

(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ；

(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.

证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ， )()()()()()()(11111H b a b a b a b a H

b a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----，故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩

⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---，故G N )(ϕ.

(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .（)(1H e H e -∈⇒∈ϕ）

)()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.

(ⅳ),),(1

G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.

注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.

二 同构定理

第一同构定理 设G G f '→:为群同态，则f G f Kerf G f

Im )(/=≅ 第二同构定理（方块定理）

H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.

第三同构定理（分式定理） 设G K G H K ,≤≤，则①G

H G H ⇔（K G G K H H /,/==） ② H G K H K G ≅.